2021-2022学年湖北省黄冈市高三上学期月考数学试卷(11月份)(含答案解析)
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
2021-2022学年湖北省仙桃市沔城高级中学高三(上)月考数学试卷(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年湖北省仙桃市沔城高级中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={x|3x>1}，则A∩B=()A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (0,3)2.已知a，b∈R，则“ab=0”是“函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A. ac2<bc2B. 1a <1bC. ba>abD. a2>ab>b24.下列命题正确的是()A. 若x≠kπ，k∈Z，则sin2x+41+sin2x≥4B. 若a<0，则a+4a≥−4C. 若a>0，b>0，则lga+lgb≥2√lga⋅lgbD. 若a<0，b<0，则ba +ab≥25.已知f(1+xx )=x2+1x2+1x，则f(x)=()A. (x+1)2B. (x−1)2C. x2−x+1D. x2+x+16.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x−1)−f(13)<0的x的取值范围()A. (13,23) B. [13,23) C. (12,23) D. [12,23)7.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.8.设a=30.7，b=(13)−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x−a)(x+1)>0的解集可能为()A. ⌀B. (−1,a)C. (a,−1)D. (−∞,−1)∪(a,+∞)10.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2+b2≥2(a−b−1)B. a+b≥2√abC. 1a +1b>√abD. ba+ab≥211.下列函数中在区间(0,1)上单调递减的函数是()A. y=x12B. y=log12(x+1)C. y=|x−1| D. y=2x+112.已知函数f(x)=|x2−2ax+b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是()A. 若a2−b≤0，则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数B. 存在a∈R，使得f(x)为偶函数C. 若f(0)=f(2)，则f(x)的图象关于x=1对称D. 若a2−b−2>0，则函数ℎ(x)=f(x)−2有2个零点三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知集合A={x|x(x−1)≤0}，B={x|y=ln(x−a)}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为______．14.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6，则a=______ ．15.设偶函数f(x)满足f(x)=2x−4(x≥0)，则{x|f(x−2)>0}=______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.设函数f(x)={x 2+1,x≤12x+ax,x>1，若f(f(1))=4a，则实数a=(1)，函数f(x)的单调增区间为(2)．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算：(1)(279)0.5+0.1−2+(21027)−23−3π0+3748；(2)2(lg√2)2+lg√2⋅lg5+√(lg√2)2−lg2+1．18.已知1≤lg(xy)≤4，−1≤lg xy ≤2，求lg x2y的取值范围．19.如图，已知A(n,−2)，B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOC的面积．20.已知函数f(x)=ln x+1x−1．(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,6]，f(x)=ln x+1x−1>ln m(x−1)(7−x)恒成立，求实数m的取值范围．21.已知函数y=√ax2+2ax+1的定义域为R．(1)求a的取值范围．(2)若函数的最小值为√22，解关于x的不等式x2−x−a2−a<0．22.已知函数f(x)=2x，x∈R．(1)当m取何值时方程|f(x)−2|=m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)+f(x)−m>0在R上恒成立，求m的范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，B={x|3x>1}={x|x>0}，∴A∩B={x|0<x<3}=(0,3)．故选：D．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数f(x)=x|x+a|+b为奇函数，则f(0)=b=0，当b=0时，f(x)=x|x+a|，若为奇函数，则f(−x)=−x|−x+a|=−f(x)=−x|x+a|，即|x−a|=|x+a|，∴a=0，即函数f(x)=−x|x+a|+b为奇函数的充要条件是a=b=0，∵ab=0，∴a=0或b=0，∴“ab=0”推不出“函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数”，“函数f(x)=x|x+a|+b 是奇函数”⇒“ab=0”；则“ab=0”是“函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数”的等价条件，再根据“ab=0”⇔a=0或b=0；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．3.【答案】D【解析】解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，1a −1b=b−aab，∵a<b<0，∴b−a>0，ab>0，∴b−aab>0，即1a >1b，故选项B不成立；选项C，∵a<b<0，∴取a=−2，b=−1，则ba =−1−2=12，ab=2，∴此时ba <ab，故选项C不成立；选项D，∵a<b<0，∴a2−ab=a(a−b)>0，∴a2>ab．∴ab−b2=b(a−b)>0，∴ab>b2．故选项D正确，故选D．本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A ．sin 2x +41+sin 2x=1+sin 2x +41+sin 2x −1≥2√(1+sin 2x)⋅41+sin 2x −1=3，当且仅当1+sin 2x =41+sin 2x ，即1+sin 2x =2，sin 2x =1取等号，所以A 错误． B .当a <0时，a +4a =−(−a +4−a )≤−2√−a ⋅4−a =−4，当且仅当−a =4−a ，即a =−2时取等号，所以B 错误．C .当0<a <1，0<b <1时，lga <0.lgb <0，所以C 错误．D .若a <0，b <0，则ba >0,ab >0，所以b a+a b≥2√b a⋅ab=2，当且仅当a =b 时取等号，所以D 正确． 故选D ．利用基本不等式，分别判断是否满足基本不等式成立的条件，然后做出判断即可． 本题主要考查基本不等式的应用，主要基本不等式成立的前提：一正二定三相等，缺一不可．5.【答案】C【解析】解：∵f(1+x x)=x 2+1x 2+1x =(1+x x)2−(1+x x)+1∴f(x)=x 2−x +1 故选：C ． 利用凑配法，可将f(1+x x)的表达式变形成(1+x x)2−(1+x x)+1的形式，用x 替换1+x x后，可得答案．本题考查的知识点是函数解析式的求解，已知复合函数及内函数解析式，求外函数解析式时，换元法和凑配法是最常用的方法6.【答案】A【解析】解：因为f(2x −1)−f(13)<0，即f(2x −1)<f(13)， 又偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增， 所以f(|2x −1|)<f(13)，则|2x −1|<13，解得13<x <23，所以满足f(2x −1)−f(13)<0的x 的取值范围(13,23)． 故选：A ．利用偶函数的性质以及单调性将不等式等价转化为|2x −1|<13，求解不等式即可． 本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了偶函数性质与单调性的应用，解题的关键是利用单调性去掉“f ”，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数y =lncosx(−π2<x <π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决． 【解答】解：∵cos(−x)=cosx ，∴y =lncosx(−π2<x <π2)是偶函数， 可排除B 、D ，由cosx ≤1⇒lncosx ≤0排除C ， 故选：A ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题． 根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间量1即可求出． 【解答】解：a =30.7，b =(13)−0.8=30.8，由函数y =3x 是R 上的增函数，0.8>0.7>0， 则30.8>30.7>30，即b >a >1，由函数y=log0.7x是R上的减函数，0.8>0.7，则log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．9.【答案】ABCD【解析】解：对于a(x−a)(x+1)>0，当a>0时，y=a(x−a)(x+1)开口向上，与x轴的交点为a，−1，故不等式的解集为x∈(−∞,−1,)∪(a,+∞)；当a<0时，y=a(x−a)(x+1)开口向下，若a=−1，不等式解集为⌀；若−1<a<0，不等式的解集为(−1,a)，若a<−1，不等式的解集为(a,−1)，综上，ABCD都成立，故选：ABCD．根据函数y=a(x−a)(x+1)的图象和性质，对a进行讨论，解不等式即可．考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，中档题．10.【答案】AD【解析】解：对于A：a2+b2−2a+2b+2=(a−1)2+(b+1)2≥0，故A正确；对于B：当a≥0，b≥0时，成立，故B错误；对于C：当a>0，b>0时，成立，故C错误；对于D：当a和吧同号时，成立，故D正确；故选：AD．直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：关系式的变换，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：A是幂函数，其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数，故A不符合要求；x向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在(0,+∞)内为B中的函数是由函数y=log12减函数，故B符合要求；C中的函数图象是由函数y=x−1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象C符合要求；D中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，D不合题意．故选：BC．本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在(x+1)解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；A：y=x12为增函数，B：y=log12为定义域上的减函数，C：y=|x−1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，D：y=2x+1为增函数．本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．12.【答案】AB【解析】解：若a²−b≤0，则f(x)=|(x−a)²+b−a²|=(x−a)²+b−a²在区间[a,+∞)上是增函数，故A正确；当a=0时，f(x)=|x²+b|显然是偶函数，故B正确；取a=0，b=−2，函数f(x)=|a²−2ax+b|化为f(x)=|x²−2|，满足f(0)=f(2)，但f(x)的图象不关于x=1对称，故C错误；a²−b−2>0，即为b−a²<−2，即a²−b>2，则ℎ(x)=|(x−a)²+b−a²|−2有4个零点，故D错误．故选：AB．A中，f(x)=|(x−a)²+b−a²|，当a²−b≤0，可以去绝对值，根据对称轴可以判断；B中，将奇函数部分变为0，则是偶函数，a=0时，即可，C中，可以举反例，取a=0，b=−2，D中，a²−b−2>0，即为b−a²<−2，即a²−b>2，则ℎ(x)=|(x−a)²+b−a²|−2有4个零点，本题考查绝对值函数，结合二次函数，合理去绝对值进行研究，属于难题．13.【答案】(−∞,0)【解析】解：集合A={x|x(x−1)≤0}={x|0≤x≤1}，B={x|y=ln(x−a)}={x|x> a}，∵A∩B=A，∴A⊆B，∴a<0，∴实数a的取值范围为(−∞,0)，故答案为：(−∞,0)．先求出集合A，B，再由A∩B=A可知A⊆B，从而求出a的取值范围．本题主要考查了解一元二次不等式，考查了对数函数的性质，同时考查了集合间的基本关系，是基础题．14.【答案】2【解析】解：∵函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)f(1)=a，f(2)=a2+log a2，∴当a>1时，函数f(x)=a x+log a x，单调递增，当0<a<1时，函数f(x)=a x+log a x单调递减，∴在[1,2]上的最大值与最小值之和为：a+a2+log a2=log a2+6，∴a2+a=6，a=2，a=−3(舍去)故答案为：2根据函数解析式判断当a>1时，函数f(x)=a x+log a x，单调递增，当0<a<1时，函数f(x)=a x+log a x单调递减，可得出f(1)=a，f(2)=a2+log a2，其中有一个最大值，一个最小值，即可得出a+a2+log a2=log a2+6，求出a即可．本题考查了指数函数，对数函数的单调性，解决最值问题，属于容易题．15.【答案】{x|x<0，或x>4}【解析】解：由偶函数满f(x)足f(x)=2x−4(x≥0)，故f(x)=f(|x|)=2|x|−4，则f(x−2)=f(|x−2|)=2|x−2|−4，要使f(|x−2|)>0，只需2|x−2|−4>0，|x−2|>2，解得x>4，或x<0．故答案为：{x|x<0，或x>4}．由偶函数满f(x)足f(x)=2x −4(x ≥0)，可得f(x)=f(|x|)=2|x|−4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，然后求解不等式可得答案．本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，属基础题．16.【答案】2(0,+∞)【解析】解：函数f(x)={x 2+1,x ≤12x +ax,x >1，可得f(1)=2，f(f(1))=f(2)=4+2a =4a ， 解得a =2；f(x)={x 2+1,x ≤12x +2x,x >1的增区间为(0,1)∪[1，+∞)=(0,+∞)．故答案为：2，(0,+∞)求出f(1)=2，再求f(2)，解方程可得a ；求出分段函数式，求出增区间． 本题考查分段函数的函数值和单调区间，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)(279)0.5+0.1−2+(21027)−23−3π0+3748=(259)12+(110)−2+(6427)−23−3+3748 =53+100+916−3+3748 =100(2)2(lg √2)2+lg √2⋅lg5+√(lg √2)2−lg2+1=2×14lg 22+12lg2lg5+|1−12lg2|=12lg2(lg2+lg5)+1−12lg2=12lg2+1−12lg2=1【解析】(1)变代分数为假分数后，直接运用有理指数幂的公式进行化简计算； (2)运用log a b n =nlog a b 变形，把根式内部的利用完全平方式开方出来，最后再利用对数式的性质化简．本题考查了有理指数幂的运算性质，考查了对数式的运算性质，解答的关键是对有关性质的记忆，此题是基础题．18.【答案】解：令lg x 2y =mlg(xy)+nlg xy ，∵mlg(xy)+nlg xy =lg(xy)m +lg(xy )n =lg(x m y m )+lg x ny n =lg(x m y m ×x ny n )=lg x m+ny n−m ， ∴{m +n =2n −m =1，解得{m =12n =32， ∴lgx 2y=12lg(xy)+32lg xy，∵1≤lg(xy)≤4，−1≤lg xy ≤2， ∴12≤12lg(xy)≤2，−32≤32lg xy ≤3， ∴−1≤12lg(xy)+32lg xy ≤5， 即lg x 2y 的取值范围为[−1,5]．【解析】令lgx 2y=mlg(xy)+nlg xy ，根据对数的运算性质求出m ，n 的值，再结合1≤lg(xy)≤4，−1≤lg xy ≤2，即可求出lg x2y 的取值范围．本题主要考查了对数的运算性质，考查了不等式的性质，是基础题．19.【答案】解：(1)∵B(1,4)在反比例函数y =mx 上，∴m =4，又∵A(n,−2)在反比例函数y =m x=4x 的图象上，∴n =−2，又∵A(−2,−2)，B(1,4)是一次函数y =kx +b 的上的点，联立方程组解得， k =2，b =2， ∴y =4x ，y =2x +2；(2)∵y =2x +2，令x =0代入得C(0,2)； ∴△AOC 的面积为：S =12×2×2=2；【解析】(1)由B 点在反比例函数y =mx ，可求出m ，再由A 点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；(2)由上问求出的函数解析式联立方程求出A ，B ，C 三点的坐标，从而求出△AOC 的面积；此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式．20.【答案】解：(1)由x+1x−1>0，解得x <−1或x >1，∴定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)(2分)当x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，f(−x)=ln −x+1−x−1=ln x−1x+1=ln(x+1x−1)−1=−ln x+1x−1=−f(x) ∴f(x)=lnx+1x−1是奇函数． ….(5分)(2)由x ∈[2,6]时，f(x)=ln x+1x−1>ln m(x−1)(7−x)恒成立， ∴x+1x−1>m(x−1)(7−x)>0，∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x +1)(7−x)在x ∈[2,6]成立…(8分) 令g(x)=(x +1)(7−x)=−(x −3)2+16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知x ∈[2,3]时函数单调递增，x ∈[3,6]时函数单调递减， ∴x ∈[2,6]时，g(x)min =g(6)=7 ∴0<m <7….(12分)【解析】(1)利用真数大于0，可得函数的定义域，利用奇偶函数的定义，可得函数f(x)的奇偶性；(2)将问题转化为0<m <(x +1)(7−x)在x ∈[2,6]成立，利用二次函数的性质，即可求得结论．本题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，利用奇偶性的定义，熟练掌握二次函数的性质．21.【答案】解：(1)函数y =√ax 2+2ax +1的定义域为R ，∴ax 2+2ax +1≥0恒成立， 当a =0时，1>0恒成立，满足题意；当a ≠0时，根据二次函数y =ax 2+2ax +1的图象与性质， 知不等式ax 2+2ax +1≥0恒成立时，{a >0△≤0，即{a >04a 2−4a ≤0， 解得0<a ≤1；综上，a 的取值范围是{a|0≤a ≤1}； (2)∵函数y 的最小值为√22，∴√ax 2+2ax +1≥√22，a ∈[0,1]；∴ax 2+2ax +1≥12； 当a =0时，不满足条件；当1≥a >0时，ax 2+2ax +1的最小值是4a−4a 24a =12，∴a =12；∴不等式x 2−x −a 2−a <0可化为x 2−x −34<0， 解得−12<x <32；∴不等式的解集是{x|−12<x <32}.【解析】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．(1)由函数y =√ax 2+2ax +1的定义域是R ，得出ax 2+2ax +1≥0恒成立，求出a 的取值范围；(2)由题意得ax 2+2ax +1的最小值是12，求出a 的值，代入不等式x 2−x −a 2−a <0，求解集即可．22.【答案】解：(1)令g(x)=|f(x)−2|=|2x−2|={2x −2, x ≥1−2x +2, x <1，方程|f(x)−2|=m 有一个解，即y =g(x)与y =m 有一个交点，方程|f(x)−2|=m 有两个解，即y =g(x)与y =m 有两个交点， 作出图象如右图所示，可得当m =0或m ≥2时，方程|f(x)−2|=m 有一个解，当0<m <2时，方程|f(x)−2|=m 有两个解． (2)不等式f 2(x)+f(x)−m >0在R 上恒成立，即4x +2x −m >0在R 上恒成立，即m <4x +2x 在R 上恒成立，即m <(4x +2x )，4x +2x =(2x +12)2−14>0， ∴m ≤0，所以m 的取值范围为m ≤0．【解析】(1)|f(x)−2|=m 有一个解和两个解，转化成g(x)=|f(x)−2|与y =m 有一个交点和两个交点问题，画出g(x)=|f(x)−2|=|2x −2|={2x −2, x ≥1−2x +2, x <1的图象，根据图象即可得答案，(2)不等式f 2(x)+f(x)−m >0在R 上恒成立，即4x +2x −m >0在R 上恒成立，利用参变量分离，转化成求4x +2x 的取值范围．本题考查了函数的零点和函数的恒成立问题，函数的零点问题经常利用函数图象转化为求交点问题，恒成立问题一般使用参变量分离法处理．属于中档题．。
2021-2022学年江西省智慧上进大联考高三上学期月考数学试卷(理科)(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年江西省智慧上进大联考高三上学期月考数学试卷(理科)(12月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）}，B={x|x>2}，则A∩(∁U B)=()1.已知全集U=R，若集合A={x|2x>116A. |x|−4<x<2|B. {x|2<x<4}C. |x|−4<x≤2|D. {x|2<x≤4}2.已知向量a⃗=(2,λ)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 3B. √10C. 2√2D. 2√33.哥隆尺是一种特殊的测量尺子，图(1)中的哥隆尺可以一次性测量的长度为1，2，3，4，5，6，小明同学要测量5，8，11，15这4个长度，若使用图(2)中的哥隆尺，则不可以一次性测量的长度个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为()(注：圆台的体积V=13⋅(S上+S下+√S上S下)⋅ℎ)A. 2√10B. 2√13C. √10D. √135.近年来，娱乐综艺《中国好声音》备受全国音乐爱好者的关注，许多优美的声音通过该节目传到全国观众的耳朵里．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某二和弦可表示为函数f(x)=2sin2x+sin4x，则f(x)在[−π,π]上的图象大致为()A. B.C.D.6.已知a ，b ∈(0,+∞)，若1a +4b ⩾λa+b 恒成立，则实数λ的取值范围为( )A. [5,+∞)B. [9,+∞)C. (−∞,5]D. (−∞,9]7.已知平行四边形ABCD 中，AB =3√2，AD =2，∠ABC =135°，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则λ=( )A. 13B. 23C. 25D. 358.如图所示，平面四边形ABCD 中，AB =4，AC =2，CD =√2，∠ADC =45°，∠DAB =150°，则BC 的长为( )A. √14B. 2√14C. 2√5D. 2√79.如图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 74πB. 64πC. 78πD. 68π10. 若斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 23+y 22=1交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为(12,13)，则k =( )A. −2B. −32C. −1D. −1211. 已知函数f(x)=|sin2x|+sin(2x −π3)，命题p ：f(x)的图象是轴对称图形，但不是中心对称图形；命题q ：f(x)在[−π,−23π]上单调递减，则在￢p ，p ∨￢q ，￢p ∧q 中，正确的命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 若曲线y =e x−1与曲线y =a √x 在公共点处有公共切线，则实数a =( )A. √2e eB. √eeC. 2eD. 1e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某公司工人甲生产第x 件产品的所需时间f(x)(单位：ℎ)满足f(x)={log a x +4,0<x <λ,10x+1,λ⩽x ⩽8,其中a >0且a ≠1，若甲生产第2件产品的时间为3ℎ，生产第λ件产品的时间为2ℎ，则λa =______． 14. 若直线l 1：x −3y =0与直线l 2：ax −y +2=0相互垂直，则l 2被圆C ：(x −2)2+(y −1)2=6截得的弦长为______．15. 已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n+1=S n +3a n +2n −1，则{a n }的通项公式为______．16. 已知表面积为24的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，L 分别是线段AA 1，A 1D 1，D 1C 1的中点，点P 在平面ABCD 内，若D 1P//平面LMN ，则线段D 1P 的长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知圆C 过点(2,−1)，(6,3)，(−2,3)． (1)求C 的标准方程；(2)若点P(x,y)在C 上运动，求3x −4y 的取值范围．18. 已知函数f(x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，其中A(0,3√32)，B(2π3,−3√32).(1)求f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=f(2x)，x ∈[−π3,0]，求g(x)的值域．19.从①c(c−b)=(2−b)(2+b)，②△ABC的面积S=√3(2cosC+ccosA)ccosA，③2sinA=2bsinB+c(sinC−sinB)，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，且_____．(1)求A；(2)若角A的平分线AM与BC交于点M，AM=√3，求b，c．20.如图，在四棱椎P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PH⊥AD，垂足为H，HA=HB=HP=√2AB=1．2(1)求证：平面PBC⊥平面PBH；(2)若PB=√2，求二面角A−PB−C的正弦值．n(n+1)(n+2)．21.已知首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，且nS n+1−(n+2)S n=13}是等差数列；(1)求证：数列{S nn(n+1)(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若数列{b n}满足a2n+1⋅b n=a2n，求证：b1⋅b2⋅b3⋅⋯⋅b n<1．n+122.已知函数f(x)=ae x−x2．,3]上恰有1个零点，求实数a的取值范围；(1)若f(x)在[12(2)若关于x的不等式f(x)+x2≥ln x−1在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．ae参考答案及解析1.答案：C解析：由2x>116=2−4，得x>−4，∴A={x|2x>116}={x|x>−4}，∵全集U=R，B={x|x>2}，∴∁U B={x|x≤2}，则A∩(∁U B)={x|−4<x≤2}．故选：C．求解指数不等式化简A，再由补集与交集运算得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查指数不等式的解法，是基础题．2.答案：B解析：向量a⃗=(2,λ)，b⃗ =(−1,2)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−2+2λ=0，解得λ=1，∴a⃗+b⃗ =(1,3)，|a⃗+b⃗ |=√1+9=√10．故选：B．利用向量坐标运算法则、向量的模直接求解．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：根据题意，哥隆尺能够一次性测量的长度均为尺子上的刻度之差，若使用图(2)所示的哥隆尺，能够一次性测量的长度数据只有8，因为9−1=8，其余3个数据均无法一次性测量．故选：C．根据题意，哥隆尺能够一次性测量的长度均为尺子上的刻度之差，即可容易判断．本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题．4.答案：B解析：∵圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，该圆台的体积为104π，∴圆台的体积V=13(S上+S下+√S上S下)ℎ=52π3ℎ=104π，解得ℎ=6，∴其母线长为l =√62+42=2√13． 故选：B ．根据圆台的体积公式求出贺台的高，再根据圆台轴截面的性质，利用勾股定理求出母线长即可． 本题考查圆台的母线长的求法，考查圆台的体积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：对于函数函数f(x)=2sin2x +sin4x ，满足f(−x)=−f(x)，故该函数f(x)为奇函数，故排除D ，由于函数的y =2sin2x 的最小正周期为π，函数y =sin4x 的最小正周期为π2，故函数f(x)的最小正周期为π；当x →+0时，f(x)>0，故排除C ；利用函数的导数f′(x)=4cos2x +4cos4x =8(cos2x +14)2−92， 在(0,π2)时，函数的极值点只有一个，故排除B ； 故选：A ．直接利用排除法和函数的性质，利用奇偶性，函数的极值点和函数的导数和极值点的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的性质，奇偶性，函数的极值点和函数的导数和极值点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．6.答案：D解析：因为a ，b ∈(0,+∞)，若1a+4b ≥λa+b恒成立，所以λ≤(a +b)(1a +4b )， 因为(a +b)(1a +4b )=ba +4a b+5≥2√b a ⋅4a b+5=9，当且仅当ba +4a b ，即b =2a 时等号成立，所以λ≤9，故实数λ的取值范围为(−∞,9]． 故选：D ．由已知可得出λ≤(a +b)(1a +4b )，利用基本不等式可求得实数λ的取值范围．本题主要考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求最值问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7.答案：A解析：∵平行四边形ABCD 中，AB =3√2，AD =2，∠ABC =135°，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+λ×3√2×2×√22−3√2×2×√22−18λ=−2−12λ=−6，∴12λ=4，∴λ=13， 故选：A ．利用向量的数量积运算，平面向量的线性运算求解即可．本题考查了向量的数量积运算，平面向量的线性运算，属于中档题．8.答案：D解析：∵AB =4，AC =2，CD =√2，∠ADC =45°，∠DAB =150°， 在△ACD 中，由正弦定理知CDsin∠CAD =ACsin∠ADC ，可得√2sin∠CAD=2sin45∘，∴sin∠CAD =12，∵CD <AC ，可得∠CAD 为锐角， ∴∠CAD =30°，∴∠BAC =150°−30°=120°，∴在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =42+22−2×4×2×cos120°=28， ∴BC =2√7． 故选：D ．由已知在△ACD 中，由正弦定理可得sin∠CAD =12，利用大边对大角可求∠CAD 为锐角，进而可得∠CAD =30°，可求∠BAC =120°，在△ABC 中，由余弦定理即可求解BC 的值．本题考查正弦定理、余弦定理与大边对大角在解三角形中的应用，考查了逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.答案：D。
2021-2022学年湖北省黄冈市、黄石市高三(上)调研数学试卷(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年湖北省黄冈市、黄石市高三（上）调研数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知A ={3,4,5,6}，B ={x|2≤x <6}，则A ∩B =( )A. {2,3,4}B. {3,4,5}C. {2,3,4,5}D. {3,4,5,6}2. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为π3，a ⃗ =(1,√2)，|b ⃗ |=√3，则|a ⃗ −2b ⃗ |=( )A. √21B. 21C. 3D. 93. 已知圆锥的母线长为3√2，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的底面面积是( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知函数f(x)=2x |x|4x +1，则函数y =f(x)的大致图象为( )A.B.C.D.5. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两点，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB 中点到准线的距离为3，则AF 中点到准线的距离为( )A. 1B. 2C. 52D. 36. P 为双曲线x 2−y 2=1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x −2)2+y 2=4的任意一条直径，则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 97. 已知a =4ln5π，b =5ln4π，c =5lnπ4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. b <c <aC. b <a <cD. c <b <a8. 普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以1为首项的“外观数列”记作A 1，其中A 1为1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得A1其它项，例如A3为3，13，1113，3113，132113，…若A i；的第n项记作a n，A j的第n项记作b n，其中i，j∈[2,9]，若c n=|a n−b n|，则{c n}的前n项和为()A. 2n|i−j|B. n(i+j)C. n|i−j|D. 12|i−j|二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设实数满足a，b满足2a<2b<1，则下列不等式一定成立的是()A. a2<b2B. ln|a|>ln|b|C. ab +ba>2 D. a+b+2√ab<010.将函数f(x)=sin(2x+2π3)+1的图象向右平移π6个单位，得到函数y=g(x)的图象，则以下说法正确的是()A. 函数y=g(x)在[−4,4]在内只有2个零点B. g(x−π2)=−g(x)C. 函数y=g(x)的图象关于(−π6,1)对称D. g(π6)≥g(x)恒成立11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N两点，设BM=x，x∈[0,1]，以下说法中正确的是()A. 平面MENF⊥平面BDD1B1B. 四边形MENF的面积最小值为1C. 四边形MENF周长的取值范围是[4,4√2]D. 四棱锥C1−MENF的体积为定值12. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，M n ，N n 是圆O ：x 2+y 2=n 2上两个不同的动点，P n 是M n ，N n 的中点，且满足OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0(n ∈N ∗).设M n ，N n 到直线l ：√3x +y +n 2+n =0的距离之和的最大值为a n ，则下列说法中正确的是( ) A. 向量OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为120° B. |OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=nC. a n =n 2+2nD. 若b n =a nn+2，则数列{2b n (2b n −1)(2b n +1−1)}的前n 项和为1−12n+1−1 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=(e x +m ⋅e −x )⋅sinx 是偶函数，则m =______． 14. 曲线y =lnx −2x 在x =1处的切线的倾斜角为α，则sin2α3cos 2α+sin 2α=______． 15. 已知函数f(x)=1cosx +162−cosx (0<x <π2)，则f(x)的最小值为______．16. 已知m >0，若存在实数x ∈[1,+∞)使不等式成立m ⋅2mx+1−log √2x ≤0成立，则m 的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x +3．(1)若角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆(圆心为坐标原点O)交于点P(−√55,2√55)，求f(α)的值；(2)当x ∈[−π4,π2]时，求函数f(x)的值城．18. 在①√3(a −ccosB)=bsinC ；②sinA−sinCb=sinA−sinBa+c；③bcos(C −π6)=csinB.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件____(填写所选条件的序号)． (1)求角C ；(2)若△ABC的面积为16√3，D为AC的中点，求BD的最小值．19.已知数列{a n}前n项和为S n，若2S n=(n+1)a n，且a1>1，a2−1，a4−2，a6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=4a n a n+1+2−a n，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<43．20.已知函数f(x)，对∀x，y∈R，都有f(x+y)−f(y)−x2−2xy+3x=0恒成立，且f(2)=−1．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数ℎ(x)=f(x)x ，G(x)=ℎ(|2x−1|)+2m|2x−1|−5m有三个零点，求m的取值范围．21. 如图，平面四边形OABC 中，OA =OB =OC =1，对角线AC ，OB 相交于M ．(1)设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<t <1)， (ⅰ)用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(ⅱ)若∠BOA =π3，记λ=f(t)，求f(t)的解析式．(2)在(ⅱ)的条件下，记△AMB ，△CMO 的面积分别为S △AMB ，S △CMO ，求S △AMBS △CMO的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax 2+1，a ∈R ，函数g(x)=e x −2x +sinx ．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)记F(x)=g(x)−f(x)，对任意的x ≥0，F(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={3,4,5,6}，集合B={x|2≤x<6}，∴A∩B={3,4,5}．故选：B．根据已知条件，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由题得|a⃗|=√12+(√2)2=√3，|a⃗−2b⃗ |²=|a⃗|²+4|b⃗ |²−4a⃗⋅b⃗ =(√3)²+4×(√3)²−4×√3×√3cosπ3=3+ 12−6=9，故选：D．由题得到|a⃗|=√3，再由模的运算公式代入数据即可求得答案．本题考查平面向量数量积的运算，考查向量模的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r，由题意可得，3√2=2π3，解得r=√2，所以圆锥的底面面积为π⋅(√2)2=2π．故选：B．设圆锥的底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求出半径r，由圆的面积公式求解即可．本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数f(x)=2x |x|4x +1，函数f(−x)=2−x |−x|4−x +1=2x |x|4x +1=f(x)，所以函数是偶函数，所以B 不正确； 函数f(x)=2x |x|4x +1=0，可得x =0，函数值域一个零点，所以A 不正确；C 不正确；故选：D ．判断函数的奇偶性，利用特殊点的位置判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性以及函数的零点，是快速解题的关键．是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵抛物线y 2=4x ， ∴2p =4，即p =2， ∵AB 中点到准线的距离为3，∴结合抛物线的定义可得，|AF|+|BF|=3×2=6， 又∵|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且A ，B ，F 共线， ∴|AF|+12|AF|=6，解得|AF|=4， ∴AF 中点到准线的距离为p+|AF|2=2+42=3．故选：D ．根据已知条件，结合抛物线的定义求得|AF|，即可求得AF 中点到准线的距离． 本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：设P(x,y)，且x ≤−1，则x 2−y 2=1，设直线EF 的方程为x =my +2， {x =my +2(x −2)2+y 2=4整理可得：(1+m 2)y 2=4，解得y =√1+m 2， 设E(√1+m 2√1+m 2)，√1+m 22,√1+m 2)，则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√1+m 22−√1+m 2y)⋅√1+m 2+2−x,√1+m 2y) =−4m 21+m 2+(2−x)2−41+m 2+y 2=2x 2−4x −1=2(x −1)2−3， 因为x ≤−1，所以(x −1)2≥4，所以可得2(x −1)2−3≥2×4−3=5， 当直线的斜率为0时，则设E(0,0)，F(4,0)，这时PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y)(4−x,−y)=−x(4−x)+y 2=2x 2−4x +1，与上面类似， 综上所述：PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥5， 故选：C ．设P 的坐标，由题意设直线EF 的方程，与圆联立求出E ，F 的坐标，求出PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式．再由P 的横坐标的范围，求出数量积的范围．本题考查双曲线的性质，直线与圆的综合，数量积的运算性质，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：令f(x)=lnx x(x ≥e)，f′(x)=1−lnx x 2，可得函数f(x)在(e,+∞)上单调递减． ∴πln44>πln55，∴5ln4π>4ln5π，∴b >a ． 同理可得：lnππ>ln44，∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，∴c >b ．∴a <b <c ． 故选：A ． 令f(x)=lnx x(x ≥e)，利用导数研究函数的单调性即可得出a 与b 的大小关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意得，a 1=i ，a 2=1i ，a 3=111i ，a 4=311i ，…，a n =⋯i ； b 1=j ，b 2=1j ，b 3=111j ，b 4=311j ，…，b n =⋯j ；由递推可知，随着n 的增大，a n 和b n 每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同， 所以c n =|a n −b n |=|i −j|， 所以{c n }的前n 项和为n|i −j|， 故选：C ．列出A i 、A j 的前四项，观察规律，即可得出所求的答案．本题考查数列的求和，考查学生的观察能力和计算能力，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：∵2a<2b<1，∴a<b<0，∴a2>b2>0，故A错；∵−a>−b>0，∴|a|>|b|>0，∴ln|a|>ln|b|，故B对；∵ ab >1，0<ba<1，∴ba + ab>2√ ba⋅ab=2，故C对；a+b+2√ab=−(−a−b−2√ab)=−(√−a−√−b)2<0，故D对；故选：BCD．由2a<2b<1知a<b<0，从而依次对四个选项判断即可．本题考查了指数函数的单调性的应用，对数函数的单调性的应用，不等式的性质应用，基本不等式的应用等，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：将函数f(x)=sin(2x+2π3)+1的图象向右平移π6个单位，得到函数y=g(x)=sin(2x+π3)+1的图象，在[−4,4]内，2x+π3∈[−8+π3,8+π3]，g(x)=0，即sin(2x+π3)=−1，函数y=g(x)在[−4,4]在内只有2个零点，故A正确；∵g(x−π2)=sin(2x−2π3)+1≠sin(2x+π3)+1=g(x)，故B错误；由于g(−π6)=1，故g(x)的图象关于(−π6,1)对称，故C正确；∵g(π6)=√32+1，不是最大值，故g(π6)≥g(x)不恒成立，故D错误，故选：AC．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于选项A：连接EF，AC，BD，B1D1，如图所示，由正方体的性质，可知AC⊥平面BDD1B1，又∵E，F分别是棱AA1，CC1的中点，∴EF//AC，∴EF⊥平面BDD1B1，又∵EF⊂平面MENF，∴平面MENF⊥平面BDD1B1，故选项A正确，对于选项B：由选项A可知，EF⊥MN，∴四边形MENF的面积为12|MN||EF|=√22|MN|，当M，N分别是棱BB1，DD1的中点时，|MN|取得最小值√2，∴四边形MENF的面积的最小值为1，故选项B正确，对于选项C：由面面平行的性质可知EM//NF，EN//MF，∴四边形MENF为菱形，∴四边形MENF周长L(x)=4|EM|=4√12+(12−x)2，又∵x∈[0,1]，∴L(x)∈[4,2√5]，故选项C错误，对于选项D：V C1−MENF =V C1−MEN+V C1−MFN=2V C1−MFN=2V N−C1MF =2×13×S△C1MF×D1C1=2×13×12×12×1×1=16，为定值，故选项D正确，故选：ABD．由正方体的性质，可知AC⊥平面BDD1B1，所以EF⊥平面BDD1B1，即可得到平面MENF⊥平面BDD1B1，由题意可知四边形MENF为菱形，利用菱形的面积公式可知选项B正确，再由菱形的周长公式结合二次函数的性质可知选项C错误，利用分割体积法和等体积法可判断选项D正确．本题主要考查了立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，考查了学生转化思想和运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为P n 是M n ，N n 的中点，所以OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，因为OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0， 所以OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=0， 即n 2cos∠M n ON n +n 2+n 2cos∠M n ON n =0，解得cos∠M n ON n =−12，所以∠M n ON n =120°，故A 正确；|OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14(OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√14[n 2+n 2+2n 2×(−12)]=12n ，故B 错误； 由|OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12n 可得点P n 在圆x 2+y 2=n 24上，M n ，N n 到直线l ：√3x +y +n 2+n =0的距离之和等于点P n 到该直线的距离的两倍， 点P n 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， 而圆x 2+y 2=n 24的圆心(0,0)到直线√3x +y +n 2+n =0的距离d =√3+1=n(n+1)2，所以a n =2[n(n+1)2+n2]=n 2+2n ，故C 正确；若b n =a n n+2=n 2+2n n+2=n ，则2b n(2b n −1)(2b n +1−1)=2n(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1， 所以数列{2b n(2b n −1)(2b n +1−1)}的前n 项和为12−1−122−1+122−1−123−1+123−1−124−1+⋯+12n −1−12n+1−1=1−12n+1−1，故D 正确．故选：ACD ．由向量的线性运算可得OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OM n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合已知由向量的数量积运算可求出∠M n ON n =120°，从而判断选项A ；利用模的运算性质及数量积的运算可求得|OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而判断选项B ；由|OP n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12n 可得点P n 在圆x 2+y 2=n 24上，M n ，N n 到直线l ：√3x +y +n 2+n =0的距离之和等于点P n 到该直线的距离的两倍，点P n 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式即可求得a n ，从而判断选项C ；求出b n ，利用裂项求和法即可求得数列{2b n(2b n −1)(2b n +1−1)}的前n 项和，从而判断选项D ．本题主要考查数列的求和，向量的数量积运算，点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于难题．13.【答案】−1【解析】解：因为函数f(x)=(e x+m⋅e−x)⋅sinx是偶函数，又y=sinx为奇函数，所以函数g(x)=e x+m⋅e−x为奇函数，则g(−x)=e−x+m⋅e x=−f(x)=−(e x+m⋅e−x)，所以(1+m)(e−x+e x)=0恒成立，则m=−1．故答案为：−1．利用函数y=sinx为奇函数，则函数g(x)=e x+m⋅e−x为奇函数，由奇函数的定义求解即可．本题考查了函数奇偶性的判断与应用，解题的关键是掌握奇函数与偶函数的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：由y=lnx−2x 得y′=1x+2x2，依题意，tanα=1+2=3，∴sin2α3cos2α+sin2α=2sinαcosα3cos2α+sin2α=2tanα3+tan2α=63+9=12．故答案为：12．先根据导数的几何意义可得tanα=3，再利用同角三角函数的基本关系即可得解．本题考查导数的几何意义以及同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】252【解析】解：设cosx=t，(0<t<1)，所以f(t)=1t −162−t，所以f′(t)=−1t 2+16(2−t)2=15t 2+4t−4t 2⋅(2−t)2=(2t+3)(2t−5)t 2(2−t)2令f′(t)=0， 得t =−23或25，当t ∈(0,25)时，f′(x)<0，故f(x)单调递减， 当t ∈(25,1)时，f′(x)>0，故f(x)单调递增， 所以f(t)min =f(25)=52+10=252，即f(x)的最小值为252． 故答案为：252．由题意考虑用换元法求解，由cosx 的范围得出t 的范围，再用导数来研究f(t)的最值． 本题考查三角函数与导数的综合，首先采用换元法转化为t 的函数，再用导数研究函数的最值，属于中档题．16.【答案】1eln2【解析】解：依题意m >0，存在实数x ∈[1,+∞)使不等式m ⋅2mx+1−log √2x ≤0成立，即m ⋅2mx ⋅2−2log 2x ≤0，亦即2mx −1m⋅log 2x ≤0，(2m )x −log 2m x ≤0，令a =2m ，a >1，则存在实数x ∈[1,+∞)使不等式a x −log a x ≤0，即a x ≤log a x 成立，作出y =a x 和y =log a x 的图象如图所示，结合图象可知，m 取得最大值时，y =a x 和y =log a x 相切， 由于y =a x 和y =log a x 关于直线y =x 对称，所以m 取得最大值时，y =a x 与y =log a x 的相切于直线y =x(切点相同)，如图所示， 由y =log a x 可知y′=1xlna ，设切点为(t,log a t)，则斜率为1tlna =1，故t =1lna ①， 由y =a x 可知y′=a x lna ，设切点为(t,a t )，则斜率为a t lna =1，则{a t =log a t a t lna =1tlna =1，解得t =e ， 将t =e 代入①得e =1lna ，即lna =1e ， 所以ln2m =1e ，解得m =1eln2． 故答案为：1eln2．画出y =a x 和y =log a x 的图象，结合图象可知，m 取得最大值时，y =a x 和y =log a x 相切，利用导数的几何意义得答案．本题考查函数与导数的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及数形结合思想，属于难题．17.【答案】解：(1)因为角α的终边与单位圆交于点P(−√55,2√55)，则sinα=2√55,cosα=−√55， 故f(α)=2√3sinαcosα−2sin 2α+3=7−4√35； (2)函数f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x +3 =√3sin2x −(1−cos2x)+3 =2sin(2x +π6)+2， 因为x ∈[−π4,π2]， 所以2x +π6∈[−π3,7π6]，则sin(2x +π6)∈[−√32,1]，故函数f(x)的值域为[2−√3,4]．【解析】(1)利用三角函数的定义求出sinα和cosα，再代入f(α)中求解即可； (2)利用二倍角公式以及辅助角公式将函数f(x)的解析式变形，然后由正弦函数的性质求解值域即可．本题考查了三角函数定义的理解与应用，二倍角公式以及辅助角公式的应用，正弦函数图象与性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)选①，∵√3(a −c ⋅cosB)=b ⋅sinC ，∴√3(sinA −sinC ⋅cosB)=sinB ⋅sinC ，∴√3[sin(B+C)−sinC⋅cosB]=sinB⋅sinC，∴√3sinB⋅cosC=sinB⋅sinC，∴tanC=√3，∴C=π3；选②，∵sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，∴a−cb=a−ba+c，∴a2−c2=ab−b2，∴a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12，∴C=π3；选③，∵b⋅cos(C−π6)=c⋅sinB，∴sinB⋅cos(C−π6)=sinC⋅sinB，∴sinB⋅(cosC⋅cosπ6+sinC⋅sinπ6)=sinC⋅sinB，∴√32⋅cosC=12sinC，∴tanC=√3，∴C=π3；(2)S△ABC=12absinC=16√3，又C=π3，∴ab=64；在△BCD中，BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cosC=a2+(b2)2−2a⋅b2⋅cosπ3=a2+b24−12ab≥2√a2⋅b24−12ab=12ab=32，当且仅当a=b2=4√2时取等号，∴BD的最小值为4√2．【解析】(1)选①：由正弦定理可将条件整理为√3(sinA−sinC⋅cosB)=sinB⋅sinC，再由两角和的正弦公式进行化简，即可求得tanC，进而得到C；选②：由正弦定理整理条件得到a−cb =a−ba+c，化简后得到a2+b2−c2=ab，再利用余弦定理可求得cosC，进而得到C；选③：利用正弦定理整理条件得到sinB⋅cos(C−π6)=sinC⋅sinB，再由两角和的余弦公式进行化简，可得tanC，进而得到C；(2)由三角形面积公式可得ab=64，在△BCD中，利用余弦定理结合基本不等式可得a2+b24−12ab≥2√a2⋅b24−12ab=12ab=32，进而可求得BD最小值．本题考查解三角形，考查正弦定理、余弦定理、基本不等式等知识点的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由2S n=(n+1)a n，得S n=(n+1)a n2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n+12⋅a n−n2⋅a n−1，∴a nn =a n−1n−1，∴a nn=a n−1n−1=⋯=a11，∴a n=na1，又a2−1，a4−2，a6成等比数列，得(a2−1)⋅a6=(a4−2)2，∴(2a 1−1)⋅6a 1=(4a 1−2)2，∴a 1=2或a 1=12， 又a 1>1，∴a 1=2，∴a n =2n(n ∈N ∗)； (2)证明：由(1)可得b n =4an ⋅a n+1+2−a n =42n⋅2(n+1)+2−2n =1n −1n+1+(14)n ，T n =b 1+b 2+⋯+b n =[(1−12)+14]+[(12−13)+(14)2]+⋯+[(1n −1n+1)+(14)n ]， 即T n =(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)+[14+(14)2+⋯+(14)n ]， 所以T n =1−1n+1+14[1−(14)n ]1−14=43−1n+1−13⋅(14)n <43．【解析】(1)由2S n =(n +1)a n 可得S n =(n+1)a n2，从而ann =a n−1n−1=⋯=a 11，即a n =na 1，再结合a 2−1，a 4−2，a 6成等比数列可求出a 1的值，进一步即可得到{a n }的通项公式； (2)由(1)可得b n =4an ⋅a n+1+2−a n =42n⋅2(n+1)+2−2n =1n−1n+1+(14)n ，从而利用分组求和法结合裂项相消求和法即可得出T n ，再利用{T n }的单调性证明T n <34即可． 本题考查等差数列的通项公式，分组求和法，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)，对∀x ，y ∈R ，都有f(x +y)−f(y)−x 2−2xy +3x =0恒成立，令x =2，y =0，则f(2)−f(0)+2=0， 又f(2)=−1，所以f(0)=1，令y =0，则f(x)−f(0)−x 2+3x =0， 所以f(x)=x 2−3x +1； (2)函数ℎ(x)=f(x)x=x +1x −3，令|2x −1|=t ，由题意t ≠0， 所以t >0，当t ≥1，方程t =|2x −1|有一根， 当0<t <1，方程有两根，令G(x)=ℎ(|2x −1|)+2m|2x −1|−5m =t +1t −3+2m t−5m =0，所以方程t 2−(3+5m)t +2m +1=0有两不等实根，且0<t 1<1，t 2>1或0<t 1<1，t 2=1，记ℎ(x)=t 2−(3+5m)t +2m +1，所以ℎ(x)的零点情况：①当0<t 1<1，t 2>1时，{ℎ(0)=2m +1>0ℎ( )1=−3m −1<0，解得m >−13； ②当0<t 1<1，t 2=1时，{0<3+5m2<1ℎ(0)=2m +1>0ℎ(1)=−3m −1=0，解得m =−13．综上所述，m 的取值范围为[−13,+∞)．【解析】(1)根据题中的恒等式进行赋值，先令x =2，y =0，求出f(0)，然后再令y =0，即可得到答案；(2)利用换元法|2x −1|=t ，当t ≥1，方程t =|2x −1|有一根，当0<t <1，方程有两根，将问题转化为方程t 2−(3+5m)t +2m +1=0有两不等实根，且0<t 1<1，t 2>1或0<t 1<1，t 2=1，分别利用二次方程根的分布求解即可．本题考查了抽象函数的理解与应用，函数与方程的理解与应用，二次方程根的分布的应用，对于抽象函数中的恒等式，一般运用赋值法进行求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)(i)因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<t <1)， 所以t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ−1λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tλOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (ii)因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(λ−1λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tλOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2，所以1=(λ−1λ)2+2(λ−1)t λ2cos π3+t 2λ2， 所以λ=t 2−t+12−t，(0<t <1)，即f(t)=λ=t 2−t+12−t ，(0<t <1)．(2)S △AMBS△CMO=12×AM×MB×sin∠BMA 12×CM×MO×sin∠CMO =AMCM ⋅MBMO =λ1−λ⋅1−t t=t 2−t+1t 2+t(0<t <1)，记g(t)=t 2−t+1t 2+t(0<t <1)，所以g′(t)=2t(t−1)−1(t 2+t)2<0，所以g(t)在(0,1)上单调递减， 所以g(t)>12，所以S △AMBS △CMO的取值范围为(12,+∞)．【解析】(1)(i)由AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<t <1)，得t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出结果． (ii)由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(λ−1λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2，得1=(λ−1λ)2+2(λ−1)t λ2cos π3+t 2λ2，由此能求出f(t)=λ=t 2−t+12−t，(0<t <1)．(2)S △AMB S △CMO=12×AM×MB×sin∠BMA 12×CM×MO×sin∠CMO =AM CM⋅MB MO=λ1−λ⋅1−t t=t 2−t+1t 2+t(0<t <1)，记g(t)=t 2−t+1t 2+t(0<t <1)，得g′(t)=2t(t−1)−1(t 2+t)2<0，由此能求出S△AMB S △CMO的取值范围．本题考查向量、函数的解析式、两个三角形的面积的比值的取值范围的求法，考查向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)g′(x)=e x −2+cosx 且g′(0)=0，令φ(x)=g′(x)=e x −2+cosx ，则φ′(x)=e x −sinx ，x ∈(0,+∞)， 所以φ′(x)=e x −sinx >1−sinx ≥0， 所以φ(x)=g′(x)>g′(0)=0， 所以g(x)的单调递增区间为(0,+∞)，当x ∈(−∞,0)，g′(x)=e x −2+cosx <cosx −1≤0， 所以g(x)的单调递减区间为(−∞,0)．(2)F(x)=g(x)−f(x)=e x −2x +sinx −ax 2−1，且F(0)=0， F′(x)=e x +cosx −2ax −2，令G(x)=F′(x)，G′(x)=e x −sinx −2a ，令H(x)=G′(x)，H′(x)=e x −cosx ≥1−cosx ≥0，所以G′(x)在(0,+∞)上单调递增， ①若a ≤12，G′(x)≥G′(0)=1−2a ≥0，所以F′(x)在[0,+∞)上单调递增， 所以F′(x)≥F′(0)=0，所以F(x)≥F(0)=0恒成立．②若a >12，G′(0)=1−2a <0，G′(ln(2a +2))=2−sin(2a +2)>0， 所以存在x 0∈(0,ln(2a +2))，使G′(x 0)=0，且x ∈(0,ln(2a +1))， G′(x)<0，F′(x)≤F′(0)=0，所以F(x)≤F(0)=0，不合题意． 综上，a 的取值范围为(−∞,12].【解析】(1)求导得g′(x)=e x −2+cosx ，令φ(x)=g′(x)=e x −2+cosx ，求导的φ′(x)=e x −sinx ，x ∈(0,+∞)，进一步求出函数g(x)的单调区间；(2)F(x)=g(x)−f(x)=e x −2x +sinx −ax 2−1，且F(0)=0，求导，令G(x)=F′(x)，则G′(x)=e x −sinx −2a ，然后分a ≤12，a >12两类讨论，对任意的x ≥0，F(x)≥0恒成立，即可求得实数a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查转化与化归思想以及分类讨论思想，考查逻辑推理能力与运算能力，是一道难题．。
湖北省部分重点学校联考2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题(含答案解析)
湖北省部分重点学校联考2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}21A x lg x =，{}|210B x x =<<，则A B =（ ） A ．{210}x x << B ．{2}x x > C ．{510}x x << D ．{5}x x >2．若复数|13i |12iz -=-，则i z 的实部为（ ）A ．B ．CD 3．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()||cos f x x x =B ．()sin f x x x =+C ．2()sin f x x x =D ．2()cos f x x x =+4．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．甲：该圆经过点(2,2)．乙：丙：该圆的圆心为(1,0)．丁：该圆经过点(3,0)．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丙或丁5．已知,,αβγ是三个不同的平面，且m αγ=，n βγ=，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．按照小李的阅读速度，他看完《红楼梦》需要40个小时.2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《红楼梦》的日期为（ ）A ．2021年11月8日B ．2021年11月9日C ．2021年11月10日D ．2021年11月11日7．如图，矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG GD =，则AC =（ ）A ．2BG DF -+B ．BG DF -+C ．2BG DF -+D ．122BG DF -+8．已知3321.584log 3 1.585,1.584 3.97,1.585 3.98<<≈≈.设()()2334log log 4,log log 2a b ==，()42log log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<二、多选题9．已知曲线C 的方程为()22220ax ay x y a +--=∈R ，则（ ）A ．曲线C 可能是直线B ．当1a =时，直线30x y +=与曲线C 相切C ．曲线C 经过定点D ．当1a =时，直线20x y +=与曲线C 相交10．在正项等比数列{}n a 中，44a =，则（ ） A ．358a a +≥B ．3514a a +的最小值为1 C．2611242aa-⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D411．已知函数()242,0,21,0,x x x x f x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则（ ）A ．x ∀∈R ，()2f x ≥-B ．x ∃∈R ，()()f x f x =-C ．直线910y =与()f x 的图象有3个交点 D ．函数()()sin g x f x x =-只有2个零点12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2(32)()x x f x x f x '+<+恒成立，则必有（ ）A ．(3)20(1)f f >B ．(2)6(1)f f <C ．13(1)162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．(3)3(2)f f <三、填空题13．已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示）①倾斜角为30︒；②不经过坐标原点．14．若函数()f x ==a ___________.15．若函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与直线1y =只有两个公共点，则ω的取值范围是___________.四、双空题16．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为2，则该正八面体外接球的体积为___________3cm ；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________cm .五、解答题17．已知锐角α满足tan 4sin αα=． （1）求tan α； （2）若3tan()tan 29αβα+=-，求tan tan βα．18．设[]x 表示不大于x 的最大整数.数列{}n a 的通项公式为()*41N 3n n a n +⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. （1）求1a ，2a ，3a ，4a ；（2）设3437n n n b a a ++=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,//,,1ABCD AB CD AB BC PA PD ⊥==，1BC CD ==，2,AB E =为PB 的中点．（1）证明：//CE 平面PAD ． （2）求二面角P AB D --的余弦值．20．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,tan 2tan b c A C ==. （1）求A ；（2）若D 为BC 的中点，AD =ABC 内切圆的半径. 21．已知圆M 经过函数265y x x =-＋的图象与坐标轴的3个交点． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点P 为圆N ：22(2)1x y +-=上一动点，点Q 为圆M 上一动点，点A 在直线2y =-上运动，求AP AQ +的最小值，并求此时点A 的横坐标． 22．已知函数()(2)e x f x x a =-. （1）求()f x 的单调区间（2）若()f x 的极值点为12-，且()()()f m f n m n =≠，证明：3()0ef m n -<+<.参考答案1．C 【分析】解对数不等式化简集合A ，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】(){}(){}{}{}lg 21lg 2lg102105A x x x x x x x x ====，{}|210B x x =<<所以{}|510A B x x ⋂=<<. 故选：C 2．A 【分析】先利用复数的除法化简复数z ，再利用复数的乘法结合复数的概念求解. 【详解】因为)()()12i |13i |12i 12i 12i z +-===--+，所以i i z ⎫==⎪⎪⎝⎭，所以i z 的实部为 故选：A 3．A 【分析】根据图象的对称性及特殊点，即可作出判断. 【详解】由图可知，()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 是偶函数，排除B 和C ， 又(0)0f =，排除D . 故选:A . 4．D 【分析】由圆的定义和两点间的距离公式计算可得选项. 【详解】解：当选择甲、乙、丙三位同学的结论时，计算可得点(2,2)到圆心(1,0)的距离为=该圆经过点(2,2)，所以同学甲、乙、丙正确，丁错误；当选择甲、乙、丁三位同学的结论时，存在经过点(2,2)和点(3,0)但点(3,0)到(1,0)的距离为132-=≠(1,0)不是圆心，则同学甲、乙、丁正确，丙错误； 当选择甲、丙、丁三位同学的结论时，可知圆心到两点距离不相等，故此情况不成立；当选择乙、丙、丁三位同学的结论时，点(3,0)到(1,0)的距离为132-=≠成立；综上可得丙或者丁结论是错误的， 故选：D. 5．D 【分析】根据几何模型，结合充分条件和必要条件的定义可判断. 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11ABC D 为α，11BB D D 为β，11ABB A 为γ，则AB m =，1BB n =，满足m n ⊥，但α不垂直于β，故充分性不成立；若11ABB A 为α，1111D C B A 为β， 11ABC D 为γ，则AB m =，11C D n =，满足αβ⊥，但m 不垂直于n ，故必要性不成立； 故选：D6．B 【分析】由题意，从2021年10月20日开始到读完的前一天，他每天阅读《红楼梦》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为20，公差为10，进而根据等差数列的求和公式建立不等式，最后解得答案. 【详解】根据题意，从2021年10月20日开始到读完的前一天，他每天阅读《红楼梦》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为20，公差为10，则(1)201040602n n n -+⨯>⨯，整理得()234800N*n n n +->∈，易知数列()23480N*n b n n n =+-∈是递增数列，且2021200,240b b =-<=>，所以他恰好读完《红楼梦》共需要21天，而10月有31天，故他恰好读完《红楼梦》的日期为2021年11月9日. 故选：B. 7．B 【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设1AD =，再根据题意得其他边长，从而写出各点坐标，表示出向量,,AC BG DF ，即可得三者的等量关系. 【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 设1AD =，因为矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG GD =， 所以2AB =，则(1,2),(0,2),(1,1),(1,0),(3,1)C B G D F ， 所以(1,2),(1,1),(2,1)AC BG DF ==-=， 故AC BG DF =-+. 故选：B8．B 【分析】通过比较a ，b ，c 与0的大小关系，确定b 为三个数中的最小数，再通过作差法比较()232log 4log 3，的大小关系，由此确定a ，c 的大小，由此确定正确选项.【详解】()()2343421log 0,log log 40,log log 302b ac =<==>>. 因为321.584log 3 1.585,1.585 3.984<<≈<，所以()()()232223222224log 3log 4log 4log 3log 30log 3log 3-⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，所以()232log 4log 3>， ∴ ()24342log log 4log (log 3)>，即c a < 从而b c a <<. 故选：B. 9．ACD 【分析】当0a =时，写出曲线C 的方程，可知表示直线，故A 正确；将曲线C 的方程转化为()2222a x y x y +=+，令220220x y x y ⎧+=⎨+=⎩求出,x y ，即可判断C 选项；当1a =时，得曲线C 的方程()()22112x y -+-=，可知此时曲线C 表示圆，且圆心为()1,1C，半径R 到直线的距离公式，分别求出()1,1C 到直线30x y +=和到直线20x y +=的距离，并与R 比较，从而可判断直线与圆的位置关系，即可判断BD 选项. 【详解】解：当0a =时，曲线C 的方程为：220x y --=，表示直线，故A 正确；由22220ax ay x y +--=，得()2222a x y x y +=+，令220220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，得0x y ==，所以曲线C 经过定点()0,0，故C 正确；当1a =时，曲线C 的方程为：22220x y x y +--=，即()()22112x y -+-=， 此时曲线C 表示圆，且圆心为()1,1C，半径R = 因为()1,1C 到直线30x y +=的距离1d =≠ 所以直线30x y +=与曲线C 不相切，故B 错误；()1,1C 到直线20x y +=的距离2d =< 所以直线20x y +=与曲线C 相交，故D 正确. 故选：ACD. 10．AB 【分析】AB 选项，先根据等比数列的性质得到432516a a a ==，再利用基本不等式进行求解，C 选项，先得到226416a a a ==，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D 选项，平方后利用基本不等式，结合226416a a a ==进行求解.【详解】正项等比数列{}n a 中，44a =，故432516a a a ==，由基本不等式得：358a a +≥=，当且仅当354a a ==时，等号成立，此时4n a =，故A 正确；310a >，540a >，由基本不等式得：35141a a +≥，当且仅当3514a a =，32a =，58a =时等号成立，此时公比2q满足题意，B 正确；因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以26264211111242222aaa a +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎝⎭=当262a a =即2a =6a =C 错误；因为20a >，60a >，所以2264416a a a =++≥==，当且仅当26a a =时等号成立，故2442a a qq =，且0q >，解得：1q =，4，的最小值为4，故D 错误. 故选：AB 11．ABD 【分析】先利用二次函数、指数函数的单调性得到每一段上的函数值的取值范围，进而确定()f x 的值域，即选项A 正确；作出()f x 的图象，利用21(0)x y x -=+>、21(0)x y x =+<及242(0)y x x x =-+>的图象判定选项B 正确；直线910y =与()f x 的图象判定选项C 错误；由()f x 与sin y x =的图象的交点个数确定选项D 正确. 【详解】对于A ：当0x ≥时， 2242(2)22x x x -+=--≥-，当0x <时，1212x <+<, 所以()2f x ≥-成立， 即选项A 正确；对于B ：作出()f x 的图象（如图所示），由图象，得21(0)xy x -=+>与21(0)x y x =+<的图象关于y 轴对称，且与242(0)y x x x =-+>有交点，即x ∃∈R ，()()f x f x =-， 即选项B 正确；对于C ：由图象，得直线910y =与()f x 的图象只有2个交点， 即选项C 错误；对于D ：()()sin g x f x x =-的零点个数等于 ()f x 的图象与sin y x =的图象的交点个数，由图可知，()f x 的图象与sin y x =的图象的交点个数为2， 即选项D 正确. 故选：ABD. 12．BD 【分析】首先根据条件构造函数()()32f xg x x x =+，0x >，根据()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<得到()g x 在()0,∞+上单调递减，从而得到()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，再化简即可得到答案. 【详解】由()()()()232x x f x x f x +'+<及0x >，得()()()()32232x x f x x x f x +'+<.设函数()()32f xg x x x=+，0x >， 则()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，从而()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，即()()()112323212368f f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>>>，所以()()3181f f <，()()261f f <，()131162f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()332f f <.故选：BD13．10x +=（答案不唯一）. 【分析】根据一般式方程与斜率的关系，结合题意，不经过坐标原点即一般式方程中的常数项非零，即可求解. 【详解】由题意得，斜率3tan 303k ==又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零， 所以，直线的一个一般式方程为10x +=. 故答案为：10x +=（答案不唯一）. 14．2 【分析】先求得定义域，再利用二次函数的性质求得值域求解. 【详解】由240x x -+≥，得()f x的定义域为[0,4].因为02≤=， 所以24a =，即2a =. 故答案为：2 15．[)()17,2527,33【分析】由已知sin 1t =在,12444t ωππωππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上有两个解，数形结合可知52221242913222442k k k k πωππππππωπππππ⎧+<+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+<+⎪⎩，求解，根据k 的取值求得结果. 【详解】因为,,0124x ππω⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦，所以,412444x πωππωππω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦， 令4t x πω=+，由已知得()sin 14f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，可知sin 1t =在,12444t ωππωππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上有两个解，由题意得522()2124291322()2442k k k k k k πωππππππωπππππ⎧+<+≤+∈⎪⎪⎨⎪+≤+<+∈⎪⎩Z Z ，解得3242724()178258()k k k k k k ωω+<≤+∈⎧⎨+≤<+∈⎩Z Z 当1k ≤-时，2724178k k +<+，不等式组无解.当0k =时，3271725ωω<≤⎧⎨≤<⎩，得1725ω≤<.当1k =时，27512533ωω<≤⎧⎨≤<⎩，得2733ω<<.当2k ≥时，258324k k +<+，不等式组无解. 综上，ω的取值范围是[)()17,2527,33.故答案为：[)()17,2527,3316【分析】由已知求得正八面体的棱长为4，进而求得OA OB OC OD OP =====，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O 在正八面体内，则球O 半径的最大值为O 到平面PBC 的距离，证得OH ⊥平面PBC ，再利用相似可知OE OPOH PE⋅=，即可求得半径. 【详解】如图，记该八面体为PABCDQ ，O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD设cm AB a =28a ⨯=4a =.在正方形ABCD 中，BD ==，则OA OB OC OD ====在直角BOP △中，知OP =，即正八面体外接球的半径为R =故该正八面体外接球的体积为334cm 3π⨯=. 若球O 在正八面体内，则球O 半径的最大值为O 到平面PBC 的距离. 取BC 的中点E ，连接PE ，OE ，则OE BC ⊥， 又OP BC ⊥，OP OE O ⋂=，BC ∴⊥平面POE过O 作OH PE ⊥于H ，又BC OH ⊥，BC PE E ⋂=，所以OH ⊥平面PBC ，又POEOHE ，OH OE OP PE ∴=，则OE OP OH PE ⋅=，.17．（1（2）2. 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系可求得1cos 4α=，再由同角三角函数的平方关系求得sin α=（2）根据正切函数的和角关系可解得tan β=.解：因为tan 4sin αα=，所以sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以sin α=所以tan 4α== （2）解：因为3tan()tan 29αβα+=-，所以tan tan 3tan 1tan tan 29αβααβ+=--，又tan α==tan β=所以tan 2tan βα=，故tan 2tan βα=. 18．（1）1；3；4；5. （2）3681n nS n =+.【分析】（1）由()*41N 3n n a n +⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，结合[]x 的定义，准确运算，即可求解； （1）根据题意求得3445n a n +=+，3749n a n +=+，得到111144549n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，结合裂项法求和，即可求解. （1）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为()*41N 3n n a n +⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 可得1513a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2933a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，31343a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，41753a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.（2）解：由题意，可得()3443412454533n n a n n +⎡⎤++⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，37249493n a n n +⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 所以()()11111454944549n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故111111111149131317454949493681n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.（1）证明见详解 （2【分析】（1）作PA 中点F ，连接,EF DF ，证四边形EFDC 为平行四边形可证//EC FD ，进而得证； （2）作AD 中点M ，MN AB ⊥于N ，DQ AB ⊥于Q ，连接PN ，由二面角定义可证PNM ∠为二面角P AB D --的平面角，结合几何关系可求二面角P AB D --的余弦值． （1）证明：作PA 中点F ，连接,EF DF ，因为,E F 为PAB △的中位线，所以1//2EF AB ，又因为//AB DC ，2,1AB CD ==，所以12CD//AB ，所以//EF CD ，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以,EC//FD FD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，所以//EC 平面PAD ；（2）作AD 中点M ，MN AB ⊥于N ，DQ AB ⊥于Q ，连接PN ，因为1BC CD ==，2,AB =//AB DC ，所以Q 为AB 中点，1AQ DQ ==，AD =因为M 为AD 中点，MN AB ⊥，所以12NM =，又因为1PA PD ==，所以PAD △为等腰直角三角形，PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PM ⊥底面ABCD ，又因为AB平面ABCD ，所以PM AB ⊥，NMPM M =，所以AB ⊥平面PNM ，又因为PN ⊂平面PNM ，所以AB PN ⊥，即PNM ∠为二面角P AB D --的平面角，2tan 12PM PNM MN ∠===cos PNM ∠P AB D --20． （1）3A π=（2 【分析】（1）由tan 2tan A C =，得sin 2sin cos cos A CA C=，根据两角和差公式化简得sin()3sin cos A C C A +=，再由正弦定理边角互化，两式联立即可求得角A ；（2）由题意，可得2AD AB AC =+，左右平方，代入23b c =，即可求出,b c 的值，再由余弦定理求解出a ，分别计算出ABC 周长与面积，利用内切圆半径计算公式代入求解即可. （1）∵tan 2tan A C =，∴sin 2sin cos cos A CA C=， ∴sin cos 2sin cos A C C A =，∴sin cos cos sin 3sin cos A C A C C A +=， ∴sin()3sin cos A C C A +=，即sin 3sin cos B C A =.∵23b c =，∴2sin 3sin B C =，即3sin sin 2B C =，∴3sin 3sin cos 2C C A =， ∵sin 0C >，∴1cos 2A =， 又(0,)A π∈，∴3A π=.（2）∵2AD AB AC =+，∴22224||()2cos AD AB AC c b bc A =+=++，∵23b c =，∴222331762222c c c ⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =，6b =由余弦定理，得2222cos 28=+-=a b c bc A ，则a =从而ABC 的周长为10a b c ++=+1sin 2ABCSbc A ==设ABC 内切圆的半径为r ，则1()2ABCa b c r S++=，故r ==【点睛】一般利用正弦定理边角互化时，需要注意三个内角之间的关系，化简计算时还需要用到三角恒等变换的公式，注意公式的灵活应用. 21．（1）22(3)(3)13x y -+-=（2）最小值为1；点A 的横坐标为43【分析】（1）求得函数的图象与坐标轴的3个交点，设设(3,)M b ，根据MB MC =，求得3b =，进而求得圆的方程；（2）求得圆N 关于直线2y =-对称的圆E 22(6)1x y ++=，设(,2)A x -，得到当A ，E ，M 三点共线时，||||AP AQ +取得最小值，求得其最小值，结合ME AE k k =，即可求解． （1）解：因为函数265y x x =-+的图象与坐标轴的3个交点分别为(0,5)B ，(1,0)C ，(5,0)D ， 根据题意，设圆M 的圆心坐标为(3,)M b ，由MB MC ==3b =，则||MC = 故圆M 的标准方程为22(3)(3)13x y -+-=． （2）解：设圆N 关于直线2y =-对称的圆为圆E ，则圆E 的方程为22(6)1x y ++=． 设(,2)A x -，则当A ，E ，M 三点共线时，||||AP AQ +取得最小值，且||||AP AQ +的最小值为||111ME ==， 此时可得ME AE k k =，即36263x +-+=，解得43x =，故点A 的横坐标为43．22．（1）单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （2）证明见解析 【分析】（1）求导()(22)e x f x x a +-'=，由()0f x '<，()0f x '>求解；（2）由（1）结合()f x 的极值点为12-，由2122a -=-，得到1a =，()(21)e x f x x =-，作出函数()f x 的大致图象，不妨设m n <，根据()()()f m f n m n =≠，得到1122m n <-<<，再由3(1)e f -=-，将证明3()0e f m n -<+<，转化为证明1m n +<-即可.（1）解：()f x 的定义域为R ，()(22)e x f x x a +-'=， 由()0f x '=，得22a x -=. 当2,2a x -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当2,2a x -⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>. 所以()f x 的单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）证明：由（1）可知，由()f x 的极值点为12-，得2122a -=-， 所以1a =，()(21)e x f x x =-.当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 的大致图象，如图所示；不妨设m n <，若()()()f m f n m n =≠，由图象知：1122m n <-<<， 又3(1)ef -=-，所以要证3()0ef m n -<+<，即证1m n +<-，当32m ≤-时，1m n +<-，3(1)()0e f f m n -=-<+<.当3122m -<<-时，111,22m ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭，1()(1)(21)e (23)e m m f m f m m m -----=----，=211(21)e 23e m m m m ++-++，31,22m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 设21()(21)e 23x h x x x +=-++，31,22x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则21()4e 2x h x x +'=+，31,22x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，令()21()4e2x g x h x x +==+'，则21()(48)e 0x g x x +='+<，所以()h x '在31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()02h x h ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭''，()h x 在31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，则1()02h x h ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，所以()(1)()(1)0f m f m f n f m ---=---<，即()(1)f n f m <--，答案第17页，共17页 又因为n ，111,22m ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭，且()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 所以1n m <--，即1m n +<-， 则3()0ef m n -<+<. 综上，3()0ef m n -<+<.。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三(上)起点质检数学试卷(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三（上）起点质检数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若复数z 的共轭复数z −满足(1+i)z −=i ，则z =( )A.−1+i 2B.−1−i 2C.1+i 2D.1−i 22. 若tanα=2，则cos2α1−sin2α=( )A. −13B. 13C. −3D. 33. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )A. 2√3B. 2√5C. 2D. 44. 某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为( )A. 2B. 43C. 32D. 545. 在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则( )A. 事件A ，B 一定互斥B. 事件A ，B 一定不互斥C. 事件A ，B 一定互相独立D. 事件A ，B 一定不互相独立6. 要得到函数y =sin(2x +π6)的图象，可以将函数y =cos(2x −π6)的图象( )A. 向右平移π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移π6个单位长度D. 向左平移π6个单位长度7. 在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()A. B.C. D.8.设双曲线E：x2−y23=1的左、右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=()A. 74B. 52C. 83D. 114二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于空集的说法中，正确的有()A. ⌀∈⌀B. ⌀⊆⌀C. ⌀∈{⌀}D. ⌀⊆{⌀}10.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有( )A. 调整后房地产业的利润有所下降B. 调整后医疗器械的利润增长量最大C. 调整后生物制药的利润增长率最高D. 调整后金融产业的利润占比最低11. 数列{a n }依次为：1，13，13，13，15，15，15，15，15，17，17，17，17，17，17，17，19，19，…，其中第一项为11，接下来三项均为13，再接下来五项均为15，依此类推．记{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a 100=119B. 存在正整数k ，使得a k >2√k−1C. S n ≤√nD. 数列{Snn}是递减数列 12. 已知函数f(x)=e x +1e 2x +k，则( )A. 当k =0时，f(x)是R 上的减函数B. 当k =1时，f(x)的最大值为1+√22C. f(x)可能有两个极值点D. 若存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数，则k =−1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线y 2=2x 上两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形，则该三角形的边长为______．14. (x +2y)(x −y)5的展开式中x 2y 4的系数为______．15. 平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，点P 满足PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 空间四面体ABCD 中，AB =CD =2，AD =BC =2√3，AC =4，直线BD 与AC 所成的角为45°，则该四面体的体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =1−na n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{(−1)n a n}的前n 项和为T n ，求T 2n 的表达式．18.在如图所示的六面体ABCDEF中，矩形ADEF⊥平面ABCD，AB=AD=AF=1，CD=2，CD⊥AD，AB//CD．(1)设H为CF中点，证明：BH//平面ADEF；(2)求二面角B−CF−E大小的正弦值．19.在平面凸四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠ABC=135°，AD=6，BD=5，BC=3√2．(1)求cos∠DBA．(2)求CD长．20.在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”，“百”，“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果．(1)求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；(2)用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX．21.已知函数f(x)=2(x−2)lnx+ax2−1．(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点A(0,−1)是椭圆E短轴的一个四等分点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0,2)，直线BM，BN分别交⊙C：x2+(y−1)2=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，求实数λ，使得k2=λk1恒成立．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z的共轭复数z−满足(1+i)z−=i，∴z−=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i21−i2=12+12i，则z=1−i2．故选：D．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵tanα=2，∴cos2α1−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α−2sinαcosα=1−tan2α1+tan2α−2tanα=1−41+4−4=−3．故选：C．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以√12+22=12√32+42，解得|c1−c2|=2√5．故选：B．利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设球半径为R，则由题可知圆柱底面半径也为R，高为2R，所以圆柱体表面积S=2×πR²+2πR×2R=6πR²，球的表面积S′=4πR²，故该圆柱体表面积与球体表面积的比值为6πR24πR2=32，故选：C．根据条件分别表示出圆柱和球的表面积，即可求得答案．本题考查球的表面积公式，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由题意，若事件A与事件B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=43>1，与0≤P(A+B)≤1矛盾，∴P(A+B)≠P(A)+P(B)，∴事件A与B一定不互斥，故B正确，A错误；没有条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，故不能判断AB是否互相独立，故CD错误．故选：B．根据互斥事件和独立事件的概率的定义即可判断．本题考查了互斥事件和独立事件的概率，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵y=cos(2x−π6)=sin[(2x−π6)+π2]=sin(2x+π3)=sin[2(x+π12)+π6]，∴要得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos(2x−π6)的图象向右平移π12个单位长度，故选：A．利用诱导公式可得：y=cos(2x−π6)=sin(2x+π3)，再由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查转化思想与运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．故选：A．相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y=x上方．本题以灰度值为背景考查函数的图象特征，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意知，a=1，b=√3，c=2，∴A(−1,0)，F1(−2,0)，F2(2,0)，设|NA|=x，∵NA//MF2，∴|NA||MF2|=|NF1||MF1|=|F1A||F1F2|=14，∴|MF2|=4|NA|=4x，由双曲线的定义知，|MF1|−|MF2|=2a=2，|NF2|−|NF1|=2a=2，∴|MF1|=4x+2，|NF1|=14|MF1|=x+12，|NF2|=x+52，在△ANF1中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|AF1|2+|NF1|2−|NA|22|AF1|⋅|NF1|=1+(x+12)2−x22×1×(x+12)，在△NF1F2中，由余弦定理知，cos∠AF1N=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，∴1+(x+12)2−x22×1×(x+12)=(x+12)2+16−(x+52)22(x+12)⋅4，解得x=58，∴|MF2|=4x=4×58=52．设|NA|=x，结合平行线的性质和双曲线的定义，求得|MF1|=4x+2，|NF2|=x+5，2再在△ANF1和△NF1F2中，均利用余弦定理表示出cos∠AF1N，从而建立关于x的方程，解之即可．本题主要考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：⌀⊆⌀或⌀=⌀，故选项A错误，选项B正确；⌀是集合{⌀}的元素，⌀也是任何集合的子集，即⌀∈{⌀}，⌀⊆{⌀}，故选项C、D正确；故选：BCD．根据集合与空集的定义依次对四个选项判断即可．本题考查了元素与集合、集合与集合的关系的判断与应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由题意知， 当0<n ≤1时，a n =1， 当1<n ≤4时，a n =13， 当4<n ≤9时，a n =15，……，当k 2<n ≤(k +1)2时，a n =12 k+1，(k ∈N) ∵100=102，∴a 100=12×9+1=119，故A 正确；对任意正整数k ，不妨设m 2<k ≤(m +1)2，则a k =12m+1， ∵a k 为定值，2√ k−1随着k 变大而变小， ∴(2√ k−1)min=2√(m+1)2−1=12m+1，故a k ≤2√ k−1恒成立，故B 错误； C ：若k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 而k +m2k+1−√n ， 若n =k 2，则m =0，故k +m 2k+1−√n =k −√n =0， 若k 2<n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则0<m <2k +1，故(k +m2k+1)2−(√k 2+m)2=k 2+(m2k+1)2+2km2k+1−k 2−m =m[m−(2k+1)](2k+1)2<0，即(k +m 2k+1)2<(√k 2+m)2， 因为k +m 2k+1>0,√k 2+m >0， 故k +m 2k+1<√k 2+m ，即S n −√n <0， 即S n <√n ，综上，S n ≤√n ，故C 正确；D ：因为k 2≤n <(k +1)2，k ，n ∈N ∗， 则S n =S k 2+m =k +m2k+1,0≤m <2k +1， 所以S n n=S k 2+m k 2+m=k+m 2k+1k 2+m=2k 2+k+m(2k+1)(k 2+m)，则S n n−Sn+1n+1=2k 2+k+m (2k+1)(k 2+m)−2k 2+k+m+1(2k+1)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)[(k 2+m)+1]−[(2k 2+k+m)+1](k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=(2k 2+k+m)(k 2+m)+(2k 2+k+m)−(2k 2+k+m)(k 2+m)−(k 2+m)(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)=k 2+k(2k+1)(k 2+m)(k 2+m+1)>0，所以Snn>S n+1n+1，故数列{Snn}是递减数列，故D 正确； 故选：ACD ．根据数列的规律即可求出a 100，即可判断A 选项； 求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B 选项； 求出数列的前n 项和公式，做差法即可说明C 选项；根据数列单调性的概念，比较S nn,Sn+1n+1，即可判断D 选项． 本题考查了归纳推理，数列的函数特性，属于难题．12.【答案】ABD【解析】解；A.当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，f′(x)=−e x −2e 2x<0，∴f(x)在R 上单调递减，因此正确． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，f′(x)=−e x (e x +1+√2)(e x +1−√2)(e 2x +1)2，可得：e x =√2−1时，函数f(x)取得极大值为：√2−1+1(√2−1)2+1=1+√22，因此正确．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，k =0，1时，由AB 可知，函数f(x)不可能有两个极值点．k <0时，函数f(x)在(−∞,12ln(−k))上单调递减，在(12ln(−k),+∞)上单调递减； k >0时，f′(x)=−e x (e x +1+√1+k)(e x +1−√1+k)(e 2x +k)2，此时函数f(x)也只有一个极值点，综上可得函数f(x)最多只有一个极值点，因此不正确．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，则g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出： 不存在实数a ，b ，使得g(x)=f(x +a)+b 为奇函数．因此正确．可以理解成函数g(x)有对称中心就可以平移变成奇函数，因此只要g(x)+g(m −x)=c 恒成立就行， 得到k =−1． 故选：ABD ． A .当k =0时，f(x)=e x +1e 2x，求导即可判断出单调性． B .当k =1时，f(x)=e x +1e 2x +1，求导即可判断出单调性与极值．C .f(x)=e x +1e 2x +k，f′(x)=−e x (e 2x +2e x −k)(e 2x +k)2，利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．D .k =−1时，f(x)=e x +1e 2x −1=1e x −1，取a =0，b =12，可得g(x)=1e x −1+12为奇函数；k ≠−1时，结合C 中的f(x)的图象及其单调性即可判断出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】4√3【解析】解：由抛物线的对称性可得A ，B 关于x 轴对称， 设A(n 22,n)，则B(n 22,−n)，可得|AB|=2n ，因为两点A ，B 与坐标原点O 构成等边三角形 所以可得O 到直线AB 的距离为√32⋅2n ，则√32⋅2n =n 22，解得：n =2√3，所以三角形的边长为2n =4√3， 故答案为：4√3．由题意设A 的坐标，由题意可得B 的坐标，求出|AB|的值，即三角形的边长，再求O 到直线AB 的距离，由等边三角形可得它们的关系，求出A 的坐标，进而可得等边三角形的边长．本题考查抛物线的对称性，及等边三角形的性质，属于基础题．14.【答案】−15【解析】解：根据二项展开式的应用：T r+1=C 5r x 5−r(−y)r ， 所以当r =4时，x 2y 4的系数为C 54=5． 当r =3时，x 2y 4的系数为−2C 53=−20，所以展开式中x 2y 4的系数为5−20=−15． 故答案为：−15．直接利用二项式的展开式的应用和配对问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =8+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8−5=3． 故答案为：3．先利用平面向量的线性运算得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用数量积运算即可求解．本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．16.【答案】4√23【解析】解：如图，在△ABC中，由AB=2，BC=2√3，AC=4，可得AB2+BC2=AC2，则△ABC是以AC为斜边的直角三角形，同理△ADC是以AC为斜边的直角三角形．过B作BE⊥AC，垂足为E，求得BE=√3，AE=1，过D作DF⊥AC，垂足为F，可得DF=√3，CF=1，在平面ABC中，过B作BG//EF且BG=EF，连接DG、FG，则四边形BEFG为平行四边形，得FG⊥AC，即BG⊥FG，又DF⊥AC，AC//BG，∴BG⊥DF，而DF∩FG=F，∴BG⊥平面DFG．∴BG⊥DG，在Rt△DGB中，BG=EF=2，∠DBG为直线BD与AC所成的角为45°，可得DG=2，∵BG⊥平面DFG，BG⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面DFG，在平面DFG中，过D作DH⊥FG，垂足为H，则DH⊥平面ABC．∵DF=FG=√3，DG=2，∴cos∠DFG=2×√3×√3=13，则sin∠DFG=2√23，∴DH=DF⋅sin∠DFG=√3×2√23=2√63．∴四面体ABCD的体积为V=13×12×2×2√3×2√63=4√23．故答案为：4√23．由题意画出图形，由已知求D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证及运算求解能力，属难题．17.【答案】解：(1)∵S n=1−na n(n∈N∗)，∴n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得：a n=(n−1)a n−1−na n，∴a na n−1=n−1n+1，n=1时，a1=1−a1，解得a1=12．∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋅ (2)4⋅13×12=1n(n+1)．(2)∵(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，∴数列{(−1)na n}的前2n项和T2n=−1×2+2×3−3×4+4×5+⋯−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4×(1+2+⋯+n)=4×n(n+1)2=2n2+2n．【解析】(1)由S n=1−na n(n∈N∗)，n≥2时，S n−1=1−(n−1)a n−1，相减可得a na n−1=n−1n+1，利用累乘求积即得出．(2)利用(−1)2n−1a2n−1+(−1)2na2n=−(2n−1)⋅2n+2n(2n+1)=4n，即可得出数列{(−1)na n}的前2n项和T2n．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：如图所示，连接DF，取线段DF的中点G，分别连接AG，GH，因为G，H分别为线段DF，CF的中点，则GH是△CDF的中位线，所以GH//DC，GH=12DC，由已知可得，AB//CD且AB=12CD，所以GH//AB且GH=AB，故四边形ABHG为平行四边形，所以AG//BH，又AG⊂平面ADEF，BH⊄平面ADEF，所以BH//平面ADEF；(2)解：因为四边形ADEF是矩形，则ED⊥AD，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，ED ⊂平面ADEF ， 则ED ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以ED ⊥CD ，又CD ⊥AD ， 所以ED ，CD ，AD 两两垂直，则以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，F(1,0,1)，C(0,2,0)，E(0,0,1)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 因为BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 所以{BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−x +y =0，令x =1，则y =1，z =1， 故n⃗ =(1,1,1)， 设平面CFE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 所以{m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −c =0，令b =1，则a =0，c =2， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 则|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+1+1×√1+4=√155， 故二面角B −CF −E 大小的正弦值为√1−(√155)2=√105．【解析】(1)连接DF ，取线段DF 的中点G ，分别连接AG ，GH ，利用中位线定理证明四边形ABHG 为平行四边形，得到AG//BH ，根据线面平行的判定定理证明即可； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF 和平面CEF 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．本题考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)在平面凸四边形ABCD 中，∠BAD =30°，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，BC =3√2． 如图所示：在△ABD 中，利用正弦定理：BD sin∠A =ADsin∠ABD ， 故：512=6sin∠DBA ，整理得：sin∠DBA =35，所以：cos∠DBA =±√1−sin 2∠DBA =±45． 当cos∠DBA =45时，AD >BD ，满足条件，当cos∠DBA =−45时，∠ABD 接近135°，故根据，∠ABC =135°，AD =6，BD =5，与三角形内角和定理矛盾，故舍去； 故：cos∠DBA =45(2)根据(1)的结论，cos∠DBA =45，故：cos∠DBC =cos(135°−∠DBA)=(−√22)×45+√22×35=−√210．利用余弦定理：CD 2=BC 2+BD 2−2⋅BC ⋅BD ⋅cos∠DBC =18+25+2×3√2×5×√210=49，解得：CD =7．【解析】(1)直接利用正弦定理和同角三角函数关系式的变换求出结果； (2)利用(1)的结论和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为是有放回的抽取，所以每位同学都有四种选择，故共有4×4×4×4=256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，共有2×2×2×2=16种，只有“建”或者只有“党”字，共有2×(C 41×2×2×2+C 42×2×2+C 43×2+1)=130种，所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为256−16−130256=55128；(2)由题意，X的可能取值为4，3，2，1，所以P(X=4)=4256=164，P(X=3)=C43C41C31256=316，P(X=2)=C42C42+C41C42A32256=4564，P(X=1)=A44256=332，所以E(X)=4×164+3×316+2×4564+1×332=178．【解析】(1)利用两个计数原理以及古典概型的概率公式分析求解，即可得到答案；(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了两个计数原理以及古典概型的概率公式的应用，排列组合知识的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=2(x−2)lnx−1的导数为f′(x)=2(lnx+x−2x)，可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为−2，由f(1)=−1，可得切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为y=1−2x；(2)由2(x−2)lnx+ax2−1≥0可得a≥1−2(x−2)lnxx2，设g(x)=1−2(x−2)lnxx2，可得g′(x)=2(xlnx−x+1−4lnx)x3，设ℎ(x)=xlnx−x+1−4lnx，ℎ′(x)=lnx−4x，ℎ′(x)在(0,+∞)递增，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,1)递减，即有ℎ(x)>ℎ(1)=0，此时g(x)递增；当x>1时，ℎ′(x)>ln1−4=−4，由lnx−4x<0，可设1<x<x0，若−4<ℎ′(x)<0，可得ℎ(x)在(1,x0)递减，可得ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,x0)递减，即g(x)<g(1)=1，当x>x0，且3<x0<4，1−2(x−2)lnx<0，g(x)<0，所以g(x)的最大值为1，所以a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率、切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；(2)由参数分离和构造函数，求得导数和单调性、极值和最值，可得所求范围． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√22，−b2=−1，又a 2=b 2+c 2，解得：a 2=8，b 2=4， 所以椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1；(2)方法一：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 则直线BM 方程为y =y 1−2x 1x +2，与x 2+(y −1)2=1联立，得(x 12+(y 1−2)2)x 2+2x 1(y 1−2)x =0，由x P ≠0，解得x P =−2x 1(y 1−2)x 12+(y 1−2)2，又x 128+y 124=1，即x 12=8−2y 12，代入上式，得x P =−2x 1(y 1−2)2(4−y 12)+(y 1−2)2=2x1y 1+6， 所以y P =y 1−2x 1x P +2=4−16y 1+6，即P(2x 1y1+6,4−16y 1+6)，同理Q(2x 2y 2+6,4−16y 2+6)，所以k 2=y P −y QxP −x Q=(4−16y 1+16)−(4−16y 2+16)2x 1y 1+6−2x2y 2+6=8(y 1−y 2)x1y 2−x 2y 1+6(x 1−x 2)，将y 1=k 1x 1−1，y 2=k 1x 2−1，代入上式， 则k 2=8k(x 1−x 2)x1(k 1x 2−1)−x 2(kx 1−1)+6(x 1−x 2)=8k 1(x 1−x 2)5(x 1−x 2)=85k 1，所以k 2=85k 1，即λ=85，所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法二：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x Q ,y Q )，直线MN 方程为y =k 1x −1， 将直线y =k 1x −1与x 28+y 24=1联立得，(2k 12+1)x 2−4k 1x −6=0， 则x 1+x 2=4k12k 12+1，x 1x 2=−62k 12+1，所以k BM +k BN =y 1−2x 1+y 2−2x 2=k 1x 1−3x 1+k 1x 2−3x 2=2k 1−3(x 1+x 2)x 1x 2=4k 1， 所以k BM ⋅k BN =y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=(k 1x 1−3)(k 1x 2−3)x 1x 2=k 12x 1x 2−3k 1(x 1+x 2)+9x 1x 2=−6k 12−12k 12+9(2k 12+1)−6=−32所以直线PQ 方程y =k 2x +t ，与x 2+(y −1)2=1联立得(k 22+1)x 2+2k 2(t −1)x +t(t −2)=0， 则x P +x Q =−2k 2(t−1)k 22+1，x P ⋅x Q =t(t−2)k 22+1， 所以k BP +k BQ =y P −2x P+y Q −2x Q=k 2x P +t−2x P+k 2x Q +t−2x Q=2k 2+(t−2)(x P +x Q )x P ⋅x Q=2k 2−2k 2(t−2)(t−1)t(t−2)=2k 2t则k BP ⋅k BQ =y P −2x P⋅y Q −2x Q=k 22x P x Q +k 2(t−2)(x P +x Q)+(t−2)2x P ⋅x Q=k 22t(t−2)−2k 22(t−2)(t−1)+(k 22+1)(t−2)2t(t−2)=k 22t−2k 22(t−1)+(k 22+1)(t−2)t=t−2t，由k BM +k BN =k BP +k BQ 及k BM ⋅k BN =k BP ⋅k BQ ， 即{4k 1=2k2t−32=t−2t，解得{t =45k 2=85k 1，所以λ=85， 所以，实数λ=85，使得k 2=85k 1恒成立．方法三：BM 与BN 两直线地位对等，P ，Q 两点地位对等， 设直线BM 的方程为：y =k 3x +2，BN 的方程为y =k 4x +2， 联立{y =k 3x +2x 2+(y −1)2=1，{x =−2k31+k 32y =21+k 32，同理Q(−2k 41+k 42,21+k 42)， 所以k 2=y Q −y PxQ −x P=21+k 42−21+k 42−2k 41+k 42−−2k 31+k 32=k 3+k 41−k3k 4，将B 点向下平移两个单位，椭圆方程变为x 28+(y+2)24=1，即x 2+2y 2+8y =0，①平移后，MN 方程：y =k 1x −3，即13(k 1x −y)=1，② 将①式中8y 是一次式通过乘以②式中的13(k 1x −y)，可将①式化为全是二次x 2+2y 2+83y(k 1x −y)=0，即2y 2−8k 1xy −3x 2=0同除以x 2，所以2(y x )2−8k 1yx −3=0，由于平移，即BM ，BN 的斜率(平移不改变斜率)，2k 2−8k 1k −3=0， 由韦达定理可知，k 3+k 4=4k 1，k 3⋅k 4=−32，所以k 2=k 3+k 41−k 3k 4=4k 11−(−32)=85k 1，所以λ=85，所以，实数λ=85，使得k2=85k1恒成立．【解析】(1)根据椭圆的离心率公式及−b2=−1，即可求得a和b值，求得椭圆E的方程；(2)方法一：联立直线方程与圆的方程和椭圆的方程，即可求得P和Q点坐标，因此可以求得k2，化简即可求得λ的值；方法二：分别联立直线与椭圆方程和圆的方程，分别表示出k BM+k BN，k BM⋅k BN及k BP+ k BQ，k BP⋅k BQ，根据其关系，即可求得λ的值；方法三：由题意，设直线BM和BN的方程，联立分别求得P和Q的方程，即可表示出k2，平移坐标系，然后齐次式化简，利用韦达定理，联立即可求得λ的值；本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆及圆的位置关系，考查韦达定理，平移与齐次式化简，考查计算能力，尤其是方法三，虽然不常用，但是可以简化计算，也是应该要掌握的，属于难题．。
湖北省黄冈、华师大附中2021-2022学年高考数学全真模拟密押卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．1343．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．22B ．32C ．102D ．126．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．57．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2238．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14B ．-12C ．-lD ．19．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．2310．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 11．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+12．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021-2022学年湖北省黄冈市高三上学期月考数学试卷(11月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 集合A ={x|−1≤x ≤83,x ∈N}，集合B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( ) A. {x|0<x ≤2}B. {x|1≤x ≤2}C. {1,2}D. {0,1,2} 2. 若复数z =12−i 3(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 若tanα=3，则1+cos2α1−sin2α=( )A. 12B. −12C. ±12D. ±2 4. 已知函数f(x)={sin(π2x −π3),x ≤0f(x −4),x >0，则f(f (2019))的值为( ) A. −12B. −√32C. −√6+√24D. −√6−√24 5. 函数f(x)=e x +e −xln|x|的部分图象大致为( )A. B.C. D.6. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √3 B. 3 C. 2√3 D. 47. 已知函数f(x)=xe x −x e x ，且a =f(log 3e)，b =f(log 30.5)，c =f(ln3)，则a ，b ，c 的大小为( ) A. c >a >bB. a >c >bC. b >c >aD. c >b >a 8. 如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x 轴，左边第一根弦在y 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y =1.1x ，第n(n ∈N ，第0根弦表示与y 轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l ：y =x +1交于点A n (x n ,y n )和B n (x′n ,y′n )，则∑y n 20n=0y n ′=( )参考数据：1.122=8.14．A. 814B. 900C. 914D. 1000二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法中正确的为( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. 向量e 1⃗⃗⃗ =(2,3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)能作为平面内所有向量的一组基底 C. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)D. 非零向量a ⃗ 和b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30°10. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9=S 17，则下列说法正确的是( ) A. a 8=0 B. a 9=0 C. a 1=S 16 D. S 8>S 1011. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )A. 该函数的解析式为y =2sin(23x +π3)B. 该函数的对称中心为(kπ−π3,0),k ∈ZC. 该函数的单调递增区间是[3kπ−5π4,3kπ+π4],k ∈Z D. 把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的32，纵坐标不变，可得到该函数图象12. 已知a 为常数，函数f(x)=x(lnx −2ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A. 0<a <14B. x 1+x 2<2C. f(x 1)<0D. f(x 2)>−12 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=lnx −2x 2在点(1,f(1))处的切线方程为______．14. 若函数f(x)定义域为[−2,2]，则函数y =f(2x)⋅ln(x +1)的定义域为______．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则2−3x 4y 2+1的最大值为______ ．16. 记n 项正项数列为a 1，a 2，a 3，…，a n ，其前n 项积为T n ，定义lgT 1+lgT 2+⋯…+lgT N 为“相对积叠加和”，如果有2020项的正项数列a 1，a 2，a 3，…，a 2020的“相对积叠加和”为2020，则有2021项的数列10，a 1，a 2，a 3，…，a 2020的“相对积叠加和”为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a =3sinB ，b =sinA ．(1)求a b ；(2)若A =2π3，求△ABC 的周长．18.已知等差数列{a n}中，a1=10，公差d>0，其前四项中删去某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列{b n}的前三项．(1)求d的值；(2)设{a n}中不包含{b n}的项按从小到大的顺序构成新数列{c n}，记{c n}的前n项和为S n，求S30．19.已知函数f(x)=sin(x+π3)．(1)若y=f(ωx)的图象向左平移π12个单位所得函数是偶函数，若0<ω<12，求ω的值；(2)若f(2α)=13，α∈(0,π3)，求sin2α的值．20.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，PA=2，AC=2√2．(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；(2)若二面角P−BC−A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小．21.淮安市白马湖生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中AB长为4km，C，D两点在半圆弧上，满足BC=CD，设∠COB=θ．(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段BC，CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l最大值；(2)若在△AOD和△BOC内种满向日葵，在扇形COD内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米2a元，薰衣草的利润是每平方千米a元，则当θ为何值时，才能使总利润最大？22.已知函数f(x)=e2x−(a+2)e x+ax(a>0)，其中e≈2.71828是自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)+(a+2)e x−ax(1+x)在(0,+∞)上存在极大值M，证明：M<a．4参考答案及解析1.答案：C解析：∵集合A={x|−1≤x≤83,x∈N}={0,1,2}，集合B={x|0<x<3}，∴A∩B={1,2}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．解：∵z=12−i3=12−i2⋅i=12+i=2−i(2+i)(2−i)=25−15i，∴复数z在复平面上对应的点(25,−15)，位于第四象限．故答案选：D．3.答案：A解析：由题意利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，属于基础题．解：因为tanα=3，则1+cos2α1−sin2α=2cos2αcos2α+sin2α−2sinαcosα=21+tan2α−2tanα=12，故选：A．4.答案：C解析：∵函数f(x)={sin(π2x−π3),x≤0 f(x−4),x>0，∴f(2019)=f(−1)=sin(−π2−π3)=−cosπ3=−12，f(f (2019))=f(−12)=sin(−π4−π3)=−sin π4cos π3−cos π4sin π3=−√22×12−√22×√32=−√2+√64故选：C ．推导出f(2019)=f(−1)=sin(−π2−π3)=cos π3=12，从而f(f (2019))=f(−12)=sin(−π4−π3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.答案：C解析：根据题意，f(x)=e x +e −x ln|x|， 则有f(−x)=e −x +e x ln|−x|=e x +e −x ln|x|=f(x)，所以f(x)是偶函数，故排除选项A ，D ；因为f(100)=(e 100+e −100)2ln10>e 90所以排除选项B ，故选：C ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A 、D ，求出f(100)的值，排除B ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性函数值的分析，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查向量加法的平行四边形法则的应用，涉及向量加法的定义，属于基础题．根据题意，有菱形的性质可得AC =2，由数乘向量的性质可得E 是BC 的中点，F 是CD 的中点，则有AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得答案． 解：根据题意，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，则∠BAC =60°，必有AC =2，又由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则E 是BC 的中点，F 是CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而AC =2，则|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=3， 故选：B ．7.答案：A解析：f(x)=xe x −x e x ，定义域是R ，而f(−x)=−xe −x +xe x =f(x)，故f(x)是偶函数，图像关于y 轴对称，x ≥0时，f′(x)=(x+1)e x +(x−1)e x ，令g(x)=(x +1)e x +(x −1)，(x ≥0)，则g′(x)=(x +2)e x +1>0，g(x)在[0,+∞)递增，而g(0)=3>0，故g(x)>0在[0,+∞)恒成立，故f′(x)>0在[0,+∞)恒成立，故f(x)在[0,+∞)递增，在(−∞,0)递减，而ln3>log 3e >log 32=|log 30.5|，故f(ln3)>f(log 3e)>f(log 32)=f(log 30.5)，故c >a >b ，故选：A ．根据函数的单调性和奇偶性判断即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题． 8.答案：C解析：根据题意，第n 根弦分别与雁柱曲线y =1.1x 和直线l ：y =x +1交于点A n (x n ,y n )和B n (x′n ,y′n )，则y n =1.1n ，y′n =n +1，则有y n y′n =(n +1)1.1n ，设T n =∑y n 20n=0y n ′，则T n =1+2×1.1+3×1.12+4×1.13+⋯…+21×1.120，①。