人教版数学高二-备课资料数列探究

数列中探究性试题的研究高考中考察数列中的探究性问题由来已久，如1989年全国理科试题“是否存在常数a,b,c 使得)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=++⋅+⋅，对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。

”在近几年的高考中，数列方面的探究性问题仍是热点内容，这里作归类研究如下。

一、探究通项公式例1：(2006年，上海，春招)一个数列,,,,3021a a a 其中,,,,1021a a a 是首项为1 ，公差为1的等差数列；,,,,201110a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列(0≠d ). （I ）若4020=a ，求d ；（II ）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（III ）续写已知数列，使得 ,,,,403130a a a 是公差为3d 的等差数列，, 依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同(II)类似的问题,[(II)应当作为特例]，并进行研究，你能得到什么结论？分析：从简单入手，归纳，猜想，类似的把已知数列推广为无穷数列，再用数学归纳法证明. 解：（I ） d=3.(略)（II ） 1230++=d d a , 5.730≥a ,且1030≠a .(略) （III ） 由题意得 1010=a ,)1(1020d a +=, )1(10230d d a ++=,)1(103240d d d a +++=, ,)1(101210-+++=n n d d d a , (*N n ∈).用数学归纳法证明上述结论： 当1=n 时，显然成立.假设 1-=k n (2≥k )时，)1(1022)1(10--+++=k k d d d a ， 则1)1(101010--+=k k k d a a )1(1012-+++=k d d d 所以，证毕. 所以： ()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1101111010d n d d d a k n。

例2：(2006年江西)已知数列}{n a 满足231=a 且12311++=--n a na a n n n (*,2N n n ∈≥)（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）对一切正整数n ，不等式n a a a n 221< ！恒成立.分析：（I ） 本题若由1a 求2a ，再由2a 求3a ，, 不容易猜想出}{n a 的通项公式，因此把问题转化为所学过的数列问题，选用构造新数列的方法来求解. 解：（I ）由12311++=--n a na a n n n (*,2N n n ∈≥)得nn a na n 3121=-+-， 变形为)11(3111---=-n n a n a n ， 所以数列 }1{n a n -是首项为 31，公比为31的等比数列， 所以 n n n a n 31)31(3111==--， 得 133-⋅=n nn n a .（II ）(略)例3：(2005年，北京，文) 数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ， n n S a 311=+，,3,2,1=n .求：（I ）2a ,3a ,4a 的值及数列}{n a 的通项公式； （II ）2a +4a +6a n a 2++ 的值.分析：（I ） 计算出2a ,3a ,4a 后不易猜出}{n a 的通项公式，因此据nn S a 311=+的关系想到由n S 求n a 的方法.解：（I ） 11=a ，312=a ，943=a ，27164=a .当2≥n 时，由n n n n n a S S a a 31)(3111=-=--+得 n n a a 341=+,所以 222)34(31)34(--⋅==n n n a a .所以数列 }{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-.)2()34(31),1(12n n a n n（II ）2a +4a +6a ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=++1347322nna .(略)说明：探究通项公式的问题经常采用三种方法：一是从简单入手，观察，归纳，猜想，证明. 如例1所示；二是依换元的思想，用构造新数列的方法把问题转化为已学的等差数列或等比数列的问题，如例2所示；三是遇到n a 与n S 的混杂问题，经常应用()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 探求通项公式问题从属于结论开放的问题，因为这种题目很多，而且具有方法开放的色彩，因此我们单归于一类.二、条件开放的探究性问题例4：(2001年，上海春招) 已知{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列，nS 为它的前n 项和． （I ）用n S 表示1+n S ；（II ）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立． 分析：（II ） 假设存在自然数c 和k 使得21>--+cS cS k k 成立，据此先找出可能的c 值，再在确定的c 值下寻找k 值. 解：（I ） *).(221)211(411N n S S n n n ∈+=-=++ (略). （II ） 要使21>--+c S c S K K ，只要K K S c S c ---)223(＜0．因为)211(4k k S -=＜4，所以 04>-k S ，所以0)4(21]223[)(>-=----k k k S S c S c ，所以 0)(>-k S c ，0)223(<--k S c ，故只要 )(223*N ∈<<-k S c S k k ． ①因为k k S S >+1（*N ∈k ），所以 223-k S ≥12231=-S ，2≥k S .又4<k S ，故要使①成立，c 只能取2或3．当2=c 时，因为21=S 所以当k ＝１时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2232-S c >=25，由)N *∈<+k s s k k (1,得2232231-<-+k k S S ， 所以当2≥k 时，223-k S c >，从而①不成立．当3=c 时，因为21=S ，32=S ，所以当2,1=k 时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2233-S c >=413，又 2232231-<-+k k S S ， 所以当k ≥3时，2233-S c >，从而①不成立．故不存在自然数c 、k ，使21>--+cS cS K K 成立．例5：(2006年，山东)已知数列｛n a ｝中，211=a ，点()n n a a n -+12,在直线y=x 上，其中n=1,2,3….（Ⅰ）令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,11--=+（Ⅱ）求数列{}的通项；n a（Ⅲ）设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由. 分析：假设n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，只需B An n T S n n +=+λ，再寻找λ 的值. 解：（I ）211==n n b b . （略） （II ）32.2n n a n ∴=+-（略） （III ）假设存在λ，使数列{}n nS T n λ+是等差数列.12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+-- 2213333(1) 3.2222n n n n n n--=-+=-++12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}nn S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A n λ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+ 2313(1)(1)222n n n λ-=+--∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{}n nS T nλ+为等差数列. 说明：对于各种条例开放的探究性问题，一般使用执果索因的方法，假设探究的结论存在，逐层递推，寻找结论成立的充分条件。

找到了则存在，找不到（如推出矛盾或举出反例）则不存在.这类问题中常常存在参数，其实质是寻找使结论成立的参数的取值.三、结论开放的探究性问题除探究通项公式外，数列中的结论开放的探究性问题还广泛存在.例6：(2000年，上海)在等差数列}{n a 中 ，若010=a ，则等式n n a a a a a a -+++=+++192121 （*,19N n n ∈<）成立。

类比上述性质，相应地在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立．分析：在等差数列 {}n a 中，当010=a ，给出小于19的一个具体的ｎ的值，看看为什么会有n n a a a a a a -+++=+++192121 ；在等比数列{}n b 中，当19=b ，也给出小于19的具体的ｎ的值，类比就可以得到怎么样的等式成立了。

解：在在等差数列{}n a 中，当010=a ，若*,N l k ∈，且20=+l k ，则01010=+=+a a a a l k以2=n 为例，则=+21a a 1011916417321)()()(a a a a a a a a a +++++++++ =1721a a a +++在等比数列{}n b 中，当19=b ，若*,N l k ∈，且18=+l k ，则 .129==⋅b b b l k也以 2=n 为例，则=⋅21b b 910814415321)()()(b b b b b b b b b ⋅+⋅⋅+⋅⋅ =.1521b b b ⋅⋅⋅ 猜到等式应为，=⋅⋅n b b b 21n a b b -⋅⋅1721 .例7：(2003年，上海，文)已知数列｛n a ｝(n 是正整数)，是首项为1a ，公比为q 的等比数列.（I ）求和：223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-；（II ）由（I ）的结果归纳概括出与正整数n 的一个结论，并加以证明； （III ）设1≠q ，n S 是等比数列｛n a ｝的前n 项和，求：n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-分析：（II ）由（I ）类比猜想得到（II ），再加以证明.解：（I ）21223122021)1(q a C a C a C a -=+- 31334233132031)1(q a C a C a C a C a -=-+-（II ）若数列｛n a ｝是首项为 1a ，公比为 q 的等比数列，则有n n n n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-++-+-+ (*N n ∈). 证明如下：nn n n n n n n C a C a C a C a C a 134231201)1(+-++-+-nn n n n n n n C q a C q a C q a qC a C a 133********)1(-++-+-=])1([3322101nn n n n n n nC q C q C q qC C a -++-+-= n q a )1(1-=.（III ）n nn n n n n n nq q qa C S C S C S C S C S )1(1)1(1134231201--=-++-+-+ .(略) 说明：从例4与例5应该看到从简单入手，从特别到一般，类比发现是 探究结论开放的探究性问题的重要的数学思想方法.例8：(2005年，北京，理)设数列{a n }的首项411≠=a a ，且⎪⎩⎪⎨⎧+=+,n 41,211n 为奇数为偶数n n a n a a记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·．（I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()n n b b b b →∞++++.分析：（II ）先计算1b ，2b ，3b ，由前3项猜出数列{b n }是等比数列，然后证明nn b 1b +等于非零的常数. 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81；（II ）因为83214134+=+=a a a ，163412145+==a a a ，所以04111≠-=a b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=41214132a a b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=41414153a a b猜出：{}n b 是公比为21的等比数列. 证明如下：因为21414121414141214141214141121212121212121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=--=------++n n n n n n n n nn a a a a a a a a b b 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·（III ）11121(1)12lim()lim2()1141122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---. 例9：(2002年，上海文)已知函数x ab x f =)(的图像过点)41,4(A 和)1,5(B .（I ）求函数的)(x f 解析式；（II ）记)(log 2n f a n =,n 是正整数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，解关于n 的不等式0≤n n S a ；（III ）(文)对于（II ）中的n a 与n S ， 整数96是否为数列}{n n S a 中的项？ 若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.分析：（III ）先求出n a 、n S 关于n 的表达式，再考查是否存在n 使得96=n n S a .解：（I ）x x f 410241)(⋅=.(略) （II ）9,8,7,6,5=n . (略)（III ）(文)由已知及x x f 410241)(⋅=得 102-=n a n ，)9(-=n n S n ，)9)(5(2--=n n n S a n n .所以，6411=S a ，8422=S a ，7233=S a ，4044=S a . 当95≤≤n 时，0≤n n S a 当10≥n 时，1001010=≥S a S a n n . 因此，96不是数列}{n n S a 中的项.例10：（2004年，重庆理） 设数列{}n a 满足1112,,(1,2,3.......)n n na a a n a +==+= （I）证明n a >对一切正整数n 成立； （II）令1,2,3......)n b n ==,判断1n n b b +与的大小，并说明理由. 分析：（II ）要判断1n n b b +与的大小，只需使用比较法，鉴于n b 及na n 的分式形式，我们挑选了作商比较法. 解：（I ）略.（II ）由（I）知，n a > (*N n ∈)1)1211(1)11(1211+++<++=+=++n nn n n a n a n a b b n n n n n ..12141121412112)1(21)12()1(2122n n b b n n n n n n n n n n <<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=+故 说明：以上三例实质是在探究数列的属性，常见于判断数列的类型，是否为数列中的项，比较大小问题，极限存在的问题等等.探究性的问题如此热门，要认真研究.。