基本不等式的证明
不等式证明的基本方法
4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
基本不等式几何证明方法
基本不等式几何证明方法宝子，今天咱来唠唠基本不等式的几何证明方法，可有趣啦。
咱先说说基本不等式是啥哈，就是对于正实数a、b，有(a + b)/(2) ≥ √(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
那它的几何证明可形象了呢。
想象一个直角三角形，设直角边为a和b。
我们以a + b为边长构造一个正方形。
这个正方形的面积就是(a + b)^2。
然后呢，我们把这个正方形进行分割。
在这个正方形里，有四个直角三角形，每个直角三角形的直角边就是a和b。
那这四个直角三角形的面积总和就是4×(1)/(2)ab = 2ab。
中间还剩下一个小正方形，这个小正方形的边长就是a - b（假设a>b哈），它的面积就是(a - b)^2。
所以整个大正方形的面积(a + b)^2就等于四个直角三角形面积加上中间小正方形面积，也就是(a + b)^2=4×(1)/(2)ab+(a - b)^2。
化简一下就得到(a + b)^2≥4ab，两边同时除以4，就有((a + b)^2)/(4)≥ ab，再开个方，就得到(a + b)/(2) ≥ √(ab)啦。
你看，当中间小正方形面积为0的时候，也就是a = b的时候，这个等号就成立了呢。
就好像这个正方形被分割得特别规整的时候。
还有一种几何证明也很有意思哦。
我们画一个半圆，直径是a + b。
然后在直径上取一点，把直径分成a和b两段。
从这点作一条垂直于直径的弦。
根据圆的性质，这条弦长的一半就是√(ab)。
而半圆的半径就是(a + b)/(2)。
因为弦长的一半肯定小于等于半径呀，所以又一次证明了(a + b)/(2) ≥ √(ab)。
当这条弦刚好是直径的时候，也就是a = b的时候，等号就成立啦。
宝子，这么看基本不等式的几何证明是不是超级好理解，就像看一幅画一样，一下子就明白这个不等式为啥是成立的啦。
基本不等式的证明
基本不等式的证明一、比较法：通过比较不等式的差与0的大小和商与1的大小来比较。
即：①作差比较法步骤：作差—变形—判定符号②作商比较法步骤：作商—变形—确定与1的大小关系例题讲解：1、求证：x 2 + 3 > 3x2. 已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：b a m b m a >++3、设a , b ∈ R +，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(课堂演练：1、对于10<<a ，给出下列四个不等式①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③a a a a 111++< ④a a a a 111++>其中成立的是···················································（ ）A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④2、a b m >>>00，，则mb m a b a ++，，1的大小关系为_________________。
3、已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2二、综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例题讲解：例1 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++例2 已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++例3、已知a , b , c ∈R , 求证：9)111)((≥++++cb ac b a课堂训练：1、设a , b ∈ R ，求证：)(2222b a b a +≥+3、a , b ∈ R ，若a + b = 1, 求证：22121≤+++b a。
不等式的性质与证明方法总结
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
证明不等式的基本方法
证明不等式的基本方法证明不等式是数学中一个相当有趣又有点小挑战的事儿呢。
比较法是很常用的一种。
差值比较法呢，就是把要证明的不等式两边相减，然后判断差的正负性。
比如说要证明a > b，那就计算a - b，如果结果大于0，那可不就证明出来了嘛。
这就好比两个人比身高，直接站一块儿量一下差值就知道谁高谁低啦。
在这个过程中呢，计算差值的时候要特别细心哦，可别在计算上出岔子，那可就像爬山爬到一半摔一跤，太可惜啦。
它的安全性就在于只要计算正确，结果就很可靠，稳定性呢，就是不管这个不等式看起来多复杂，只要能算出差值就有希望判断。
它的应用场景可广啦，像一些简单的代数式大小比较就特别好用。
例如比较x²+ 1和2x的大小，计算(x²+ 1 - 2x)=(x - 1)²，因为任何数的平方都大于等于0，所以很容易就证明出x²+ 1≥2x啦，多棒呀！综合法也很厉害。
它是从已知条件出发，利用一些定理、性质等，逐步推导出要证明的不等式。
这就像是盖房子，一块砖一块砖地往上垒。
不过这就要求我们对那些定理、性质得特别熟悉才行呀，要是不知道有哪些“建筑材料”，那房子可就盖不起来喽。
它的安全性取决于我们对基础知识的掌握程度，如果基础知识很扎实，那推导出来的结果就很靠谱。
稳定性呢，只要每一步推导都是正确的，就不会出问题。
比如说已知a > 0，b > 0，要证明(a + b)/2≥√ab。
我们可以根据完全平方公式(a - b)²≥0展开得到a²- 2ab + b²≥0，移项得到a²+ 2ab + b²≥4ab，也就是(a + b)²≥4ab，再两边同时开方除以2就得到(a + b)/2≥√ab啦。
多神奇呀！这种方法在解决一些和几何、函数相关的不等式证明中特别有用，因为在这些领域有很多已知的定理可以用来推导。
分析法呢，和综合法有点相反。
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
基本不等式的20种证明方法
基本不等式的20种证明方法
基本不等式“基本”在哪里？你认为怎样得引入最能体现他的本质？
（1）做差证明
（2）分析法证明
（3）综合法证明
（4）排序不等式
根据排序不等式所说的逆序和小于等于顺序和，便能得到
化简得
（5）函数证明
我们对原函数求导,并令导数等于零。
求的最小值
得出
（5）指数证明
首先这里要用到两个梯形的面积公式。
一个是大家小学都学过的
易得
进而有
进一步有
指取对有
（6）琴生不等式证明
取 y=lnx
由琴生不等式得到
进而有
（7）无字证明（Charles D. Gallant）
（8）无字证明（Doris Schattschneider）
（9）无字证明（Roland H. Eddy）
（10）无字证明（Ayoub B. Ayoub）
（11）无字证明（Sidney H. Kung）
（12）无字证明（Michael K. Brozinsky）
（13）无字证明（Edwin Beckenbach & RichardBellman）
（14）无字证明
（15）无字证明（RBN）
（16）无字证明
进而有
（17）无字证明
进而有
（18）无字证明
有
（19）构造函数证明
由
得
（20）构造期望方差证明
由
得
另外还有向量法，复数法，积分法等，均值定理在数学内外有广泛得运用，不仅可以推广，还可以联系多个领域，一个简单结论证明的背后往往可展示引人人胜的各种思路！。
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aa a ( 当且 1 A 2 仅 n 时 当 " " 号 取 )16 .
(一)证明不等式
例1.证明：
a2a2 1 11 (当且 a0 时 仅 " " 取 当 号 ).
【变式1】已知a,b.c是不全相等的实数,证明：
【问题2】两个非负数的算术平均数与几何 平均数之间具有怎样的大小关系呢？
A
4
【问题2】两个非负数的算术平均数与几何 平均数之间具有怎样的大小关系呢？ 1.试验： 2.猜测： a b a b(当且 ab 时 仅 " " 取 当 号 ).
2
3.证明：
A
5
●证明：如果a,b是正数，那么
a b a b(当且 ab 时 仅 " " 取 当 号 ). 2
1.猜测： 物体的实际质量应为 a b
2.讨论：
2
3.提示： 应用力学原理求解 4.求解：
5.结论： 物体的实际质量应为 A
ab
3
(一)定义新概念
1.算术平均数：对于正数a,b,我们把 a 叫做a,b的算术平均数
2
b
2.几何平均数：对于正数a,b,我们把 ab
叫做a,b的算术平均数
(二)提出新问题
的质量呢？
A
2
问题一：把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一 个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果 天平制造得不准确,天平的两臂长略有不同(其它因素 不计),那么并非实际质量.不过,我们可作第二次测量： 把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为 b.那么如何合理地表示物体的质量呢？
8
A
18
(一)证明不等式
例3.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证：
1 1 1 9 abc
【变式】已知a,b,c都是互不相等的正数, 且abc=1,求证：
a b c111 abc
A
19
①教科书第93页习题3.4第1,2,3 ②《学习与评价》第11课时
A
20
筒单地说就是“执果索因”.
A
9
说明：①分析法是“执果索因”，
步步寻求上一步成立的充分条件，它
与综合法是对立统一的两种方法.
②分析法论证“若A则B”这个
命题的模式是：为了证明命题B真，
只需要证明命题B1为真，从而有…… 只需要证明命题B2为真，题A为真
而已知A为真，故B必A 真
10
●证明：如果a,b是正数，那么
a b a b(当且 ab 时 仅 " " 取 当 号 ). 2
证法三：
A
11
证明不等式的方法三：综合法
利用某些已经证明过的不等式（如 基本不等式）和不等式的性质推导出所 要证明的不等式成立，这种证明方法通 常叫做综合法 。
筒单地说就是“由因导果”.
A
12
证明不等式的方法
高二数学(必修五)多媒体课件
3.4.1 基本不等式的证明
A
1
【问题1】
把一个物体放在天平的一个盘子上,
在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得
物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天
平的两臂长略有不同(其它因素不计),那么
并非实际质量.不过,我们可作第二次测量：
把物体调换到天平的另一盘上,此时称得
物体的质量为b.那么如何合理地表示物体
ba
(4 )a2b22a(当 b 且 ab 仅 时 " 当 " 取 号 ).
A
14
(四)定理的几何解释
“半径不小于半弦”
A
15
(五)定理的拓广：
1.如果a,b,c是非负数，那么
3a ba c b c(当且 a b c 仅 时 " " 当 号 取 ). 3
三个非负数的算术平均数 不小于它们的几何平均数.
a b a b(当且 ab 时 仅 " " 取 当 号 ). 2
●两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
★定理的变形公式：
(1 )a b (a b)2(当且 ab 时 仅 " " 取 当 号 ). 2
(2)ab2a(b 当且 a仅 b时" 当 取 "号 ).
(3 )当 a b 0 时 ,a b 2 (当且 a b 时 仅 " "取 号 当 ).
证法一：
A
6
证明不等式的方法一：比较法
1. 依据： abab0 abab0
2.比较法（作差法）的解题步骤：
作差——变形——判断——结论
A
7
●证明：如果a,b是正数，那么
a b a b(当且 ab 时 仅 " " 取 当 号 ). 2
证法二：
A
8
证明不等式的方法二：分折法
证明不等式时，有时可以从求证的不 等式出发，分析使这个不等式成立的充分 条件，把证明不等式转化为判定这些充分 条件是否具备的问题，如果能够肯定这些 充分条件都已具备，那么就可以断定原不 等式成立，这种方法通常叫做分析法.
（一）比较法—— 作差—变形—判号—结论。
（二）综合法——结合已知条件，再利用熟知的事 实或已经证明过的不等式作为基
础推导出所要求证的不等式。
（三）分析法——从- 求证的不等式出发，寻求使
它成立的充分条件，直至这些
条件都已具备，那么就可以断
定原不A 等式成立。
13
(三)定理：如果a,b是正数，那么
a 2 b 2 c2a b b c ac 【变式2】已知a,b.c,d都是正数,证明：
adbcabcd4 bd ac
A
17
(一)证明不等式 例2.证明：若0<x<2,则 3x(63x)3 【变式1】若0<x<2,证明： x(63x) 3 【变式2】若x>0,y>0且2x+y=1,证明： xy 1