自动控制课后答案1
1
第一章
1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；
受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程
扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。
给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值 参考输入即为给定值。
反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。
2 请说明自动控制系统的基本组成部分。
解： 作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成： ① 被控对象： 所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象； ② 执行部件： 根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生
相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③ 给定元件： 给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）； ④ 比较元件： 把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元
件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
⑤ 测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，
如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；
⑥ 放大元件： 将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执
行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦ 校正元件： 亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元
件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
4 请说明自动控制系统的基本性能要求。 解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。
（2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。
（3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。
第二章
2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中f 为黏性摩擦系数，k 为弹簧系数，系统的输入量为力()
p t ，系统的
输出量为质量
m 的位移()x t 。试列出系统的输入输出微分
方程。
解：显然，系统的摩擦力为
dt
t dx f
)(，弹簧力为
)(t kx ，根据
牛顿第二运动定律有
2
2)()()()(dt t x d m
t kx dt t dx f t p =--
移项整理，得系统的微分方程为
)()()
()(2
2t p t kx dt t dx f dt t x d m
=++ 2-3 求下列函数的拉氏变换。
（1）)sin 1(3)(t t f -=
（2）at
te t f =)(
（3）
)
4
3cos()(π-
=t t f
解：（1）[()][3(1sin )]L f t L t =-
2223([1][sin ])113()
13(1)(1)
L L t s s s s s s =-=-+-+=
+
（2）at te t f =)(
2
1[]L t s =
2
1
[()][]()at
L f t L te s a ==
-
（3
）
()cos(3))cos(3)]
4f t t t t π
=-+
[()][sin(3)cos(3)]
L f t t t +
2222
[sin(3)][cos(3)])
3()
99
39
L t L t s s s s s ++++++
2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容C 上的电压为)(t u c ，电容1C 上的电压为)(1t u c ，以此类
推）。
(a)
(b)
(c)
+
－u R1(t)图2-3 习题
2-5 无源网络示意图 解：（a ）设电容C 上电压为)(t u c
，由基尔霍夫定律可写
出回路方程为
2
1)
()()()()()(R t u R t u dt t du C
t u t u t u o c c o i c =+-=
整理得输入输出关系的微分方程为
1
21)()()()1
1()(R t u dt t du C t u R R dt t du C
i
i o o +=++（b ）设电容1C 、2C 上电压为)(),(21t u t u c c ，由基
尔
霍
夫
定
律
可
写
出
回
路
方
程
dt
t du RC t u t u dt
t du C R t u t u R t u t u t u t u t u c c o c c o c i o i c )
()()()
()()()()()
()()(1
122
2221=-=-+--=
整理得输入输出关系的微分方程为
R t u dt t du C dt t u d C RC R t u dt t du C C dt t u d C RC i i i o o o )
()(2)()()()2()(12
22121222
1+
+=+++
2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。
(a)(b)
(c)
图2-4 习题
2-6示意图 解：（a ）由图得
2
1)
()()(R s U R s U s CsU o
C C =+
（1）
)
()()(s U s U s U o i C -= （2）
（2）代入（1），整理得传递函数为
2
1212
212
11
111
)(R Cs R R R R Cs R Cs s U i o +=
+
++
=
（b ）由图得
)()()(1s U s U s U o i C -= （1）
)
()
()()()(2222s sU C R
s U s U R s U s U C C o C i =-+- （2）
)()()(211s U
s
U s sU RC C o C -=
整理得传递函数为
1
)2(122
2
1
)()(212112212221
21+++++=
++++
=C C Rs s C C R s RC s C C R s RC s RC s RC s RC s U s U i o
2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。 解：由图得
12212()()1
()()
U s U s Cs U s R R Ls
-=++整理得
21
22111212
121
()11()()U s R R Ls
U s R CLs R R C L s R R Cs R R Ls
+==+++++++
2-11 根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，
并用梅森公式求系统传递函数)(/)(s R s C 。 解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a 所示
由信号流图2-11a 可见，从源节点s R 到阱节点)(s C 之间，
有一条前向通路，其增益为 4
3
2
1
1
G G G G p =
有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
1
321H G G L -=，2432H G G L -=，3
43213H G G G G L -=
没有互不接触回路。因此，流图特征式
3
43212431323211)(1H G G G G H G G H G G L L L +++=++-=?由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
11=?根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
3
43212431324
321111)()(H G G G G H G G H G G G G G G p s R s C +++=??= 3-3
已知二阶系统的单位阶跃响应为
1.2()101
2.5sin(1.65
3.1)t h t e t -=-+ ，试求系
统的超调量%σ，峰值时间和调节时间s
t
。
解：
1.2()101
2.5sin(1.65
3.1)t h t e t -=-+
＝ 1.210[1 1.25sin(1.653.1)]
t e t --+ 由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影
响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式
为
()1sin()
n t h t ζωβ-= 所以有 1.2
1.6
n ζω=?
0.62
n ζω=??
=?
所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下
超调
量
0.6 1.25
%100%100%9.5%e
e πσ--?==?≈
峰值时间
1.9620.8
p t s
π
≈?
调节时间
3.5
3.5
2.92
20.6
s n
t =
=
=?
3-5
已知控制系统的单位阶跃响应为
6010()10.2 1.2t t h t e e --=+-，试确定系统的
阻尼比ζ
和自然频率n
ω。
解：
系统的
单位
脉冲
响应
为60101060()()121212()
t
t
t
t
k t h t e
e
e e ?
----==-+=-系统的
闭
环
传
递函数
为
211600
()[()]12(
)
106010600
s L k t s s s Φ==-=
++++自然
频率
24.5
n ω
阻尼比
1.429
ζ
3-6 已知系统特征方程为2310520s s s s ++++=，
试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。 解：
先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表
如下
4321
0 3 5 2 10 147
2
10153 47 2
s s s s s -
显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以
该系统在s
右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则
2120310531470
a a a a ?=-=?-?=>
221423102
2001
a a a ?==>?
显然，此系统不稳定。
3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
(0.51)
()(1)(0.51)
K s G s s s s s +=
+++，试确定系统稳定时的
K 值范围。
解：由题可知系统的特征方程为
432()34(2)20
D s s s s K s K =+++++=列劳斯表如下
4
3210 1 4 3 2+K 10-K
2K 3
(10-K)(2+K)
63
10-K 3
2K s s s K
s s -
由劳斯稳定判据可得
1003[(10)(2)/3]60(10)/320K
K K K
K K -?>??
-+-?>?
-?
?>??
解上述方程组可得 0 1.705K <<
3-9系统结构如图3-1所示，
)
1()(+=
Ts s K
s G ，定义误差
)()()(t c t r t e -=，
(1) 若希望图a 中，系统所有的特征根位于
s 平面
上2-=s 的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件
的T K ,的取值范围。
(2) 求图a 系统的单位斜坡输入下的稳态误差。 (3)
为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b 所示，试求出合适的0
K 值。
解
：（1）
闭环传
递函
数为
T
K s T s T K K
s Ts K
s +
+=
++=
1/)(22φ 即
K T
T T K n n n ,1
5.0,12,==?===
ωζζωω 2',)(2+=++=s s K s Ts s D 令，代入上式得， /
14')14('2')2'()('22++--=+-+-=T s T Ts K s s T s D
列出劳斯表，
210 T 4T+12 1-4T 4T+12
s T s s T --
002/14,041,0<
?>-+>->T T T T 无解
或?<-+<-<02/14,041,0T T T T ∞<<<<∴K T 4,4/10
(2) t t R =)(，系统为I 型系统 ∴K e ss /1= (3)
K
s Ts K s KK K Ts s K
s K s G +++=
+++=200)1()
1()('1(1)]('1)[()()()(222s Ts KK Ts s s G s R s C s R s E +
+-+=
-=-=∴K KK K
s Ts KK Ts s sE e s s ss 11lim
)(lim 0
200
-=
++-+==→→令0K 并没有改变系统的稳定性。
3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数：
（1）100()(0.11)(5)
G s s s =
++； （2）
50
()(0.11)(5)
G s s s s =
++ 试求输入分别为()2r t t =和2()22r t t t =++时，
系统的稳态误差。 解： （1）
10020
()(0.11)(5)(0.11)(0.21)
G s s s s s =
=
++++
由上式可知，该系统是
0型系统，且20K =。
0型系统在2
11(),,2
t t t
信号作用下的稳态误差分别为：
1
,,1K
∞∞+。根据线性叠加原理有该系统在输入为
()2r t t =时的稳态误差为22ss e =?∞=∞，该系统在
输入为
2
()22r t t t =++时的稳态误差为
21221ss e K
=?
+?∞+∞=∞+
（
2
）
5010
()(0.11)(5)(0.11)(0.21)G s s s s s s s ==
++++ 由上式可知，该系统是I 型系统，且10K
=。
I 型系统在
2
11(),,2
t t t
信号作用下的稳态误差分别为：1
0,
,K
∞。根据线性叠加原理有该系统在输入为
()2r t t =时的稳态误差为
2
1
20.2ss e K
=?
=
，该系统在输入为
2
()
2
2r t t t =++时的稳态误差为
21
202
ss e K =+=∞+∞
图2-1 习题2-1 质量
－弹簧－摩擦系统示意图
图图2-5 习题2-7 无源
图
3-2 习题 3-16 示意图
2
3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：
（1）50()(0.11)(21)G s s s =++；（2）2()(4200)
K
G s s s s =
++；
（3）22
10(21)(41)
()(210)s s G s s s s ++=++试求位置误差系数
p K ，速度误差系数，加速度误差系数a
K 。解：
（1）
此系统是一个0型系统，且20K =。故查
表可得
10p K K ==，
v K =，
a K =
（2）
根据误差系数的定义式可得
20
20022200lim ()()lim
(4200)
lim ()()lim (4200)200
lim ()()lim 0
(4200)
p s s v s s a s s K
K G s H s s s s K K
K s G s H s s s s s K
K s G s H s s s s s →→→→→→===∞
++=?=?=
++===++
（3） 根据误差系数的定义式可得
22002200220010(21)(41)lim ()()lim (210)
10(21)(41)lim ()()lim (210)
10(21)(41)
lim ()()lim 1
(210)p s s v s s a s s s s K G s H s s s s s s K s G s H s s s s s s s K s G s H s s s s s →→→→→→++===∞
++++=?=?=∞++++===++
3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为()1
G s =。试用
动态误差系数法求出当输入信号分别为2()r t t =时，系统的稳态误差。 解：
系统的误差传递函数为
234()1()()()()()1()1e E s Ts
s Ts Ts Ts Ts R s G s Ts
Φ====-+-+++
所以有
234()()()()()()()()()()e E s s R s Ts R s Ts R s Ts R s Ts R s =Φ?=?-?+?-?+
对上式进行拉氏反变换可得
234(4)()()()()()e t T r t T r t T r t T r t ??????=-+-+ （1） 当2
()2r t t =时，显然有
(4)()()1
()()0
r t t r t r t r t ?
?????=====
将上述三式代入（1）
式，
可
得
234()100()e t T t T T T T t T =?-?+?-?+=-
系统的稳态误差为lim ()lim ()ss t t e e t T t T →∞
→∞
==-=∞
3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差)(s E 在输入
端定义，扰动输入)(12)(t t n ?=.
(1) 试求40=K 时，
系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。
(2) 若20=K
, 其结果又如何？ (3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节s
1
，对其结果有何影响？
在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节s
1，对其结果又有何影响？ 解：令1
05.01+=
s K
G ，5
12+=
s G ，5.2=H
则
)()()(212
s E G G s N G s C +=
代
入
)()()(s HC s R s E -=
得
)
(1)(1)(212
1212s R H
G G G G s N H G G G s C +++=
令0)(=s R ，得扰动作用下的输出表达式：
)
(1)(212
s N H
G G G s C n +=
此
时
的
误
差
表
达
式为
：
)
(1)()()(212s N H
G G H
G s HC s R s E n n +-=-=
若在s 右半平面上解析，则有
)
(1lim
)(lim 2
1200
s sN H G G H
G s sE e s n s ssn +-==→→ 在扰动输入下的稳态输出为
)
(1lim )(lim )(212
00s sN H G G G s sC C s n s n +-==∞→→
代入H G G s N ,,),(21的表达式，可得
K
e K c ssn n 5.215
,5.211)(+=
+=∞
（1） 当40=K
时，
101
5
,1012)(-==
∞ssn n e c
（2） 当20=K 时，51
5,512)(-
==∞ssn n e c
可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增
大，且稳态误差的绝对值也增大。 （3） 若
s 1加在扰动之前，则
)
105.0(1+=
s s K G
12=
G 5.2=H
得 0
,0)(==∞ssn n e c
若1加在扰动之后，则
105.01+=
s K
G
)5(12+=s G 5
.2=H )
20(04.0),40(02.05.22
)(====∞K K K
c n
)20(1.0),40(05.05.25
=-=-=-
=K K K
e ssn 可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，
可以消除阶跃输入引起的稳态误差。
第四章
4-2 已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为： (1) )
4)(2()
1()(+++=
s s s s K s G （1）按下列步骤绘制根轨迹：
① 系统开环有限零点为11
-=z ；开环有限
极点为4,2,043
2,1-=-==p p p ②实轴上的根轨迹区间为[][]
1,2,4,---∞- ③根轨迹的渐近线条数为3=-m n ，渐近线的倾角
为
601=φ， 1802=φ， 603-=φ
渐近线与实轴的交点为
3
5
1
1
-
=--=
∑∑==m
n z p m
i i
n i i a σ
图4-2a 闭环系统根轨迹图 4-4 给定控制系统如图4-3所示， 0≥K ，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益K
为何值时能使闭环系统极点阻尼
比等于7.0。
解：（1）求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图
变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数
)
101(10
1)1/(101)1/(10)(k s s s
s k s s G ++=
+++=
因为可变参数
K 不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统
的闭环特征方程
0101010)101(2=+++=+++ks s s k s s
改写为
010
101=+++
s s ks
即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为
k K s s Ks
s G 10,010
)('==++=
的系统的闭环特征方程。
（2）根据()
G s 作出根轨迹图。
'()
G s 有两个极点
0.5 3.1225
j -±，一个零点
，所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为
s
s s K 102
++-
=
由
/=ds dK 可以求得
10±=s ，其中
10
-=s 在根轨迹上，对应增益为
03246.5>=K ，故10-=s 是实轴上的分离点。根
轨迹如图4-4a 所示。
（3）求反馈增益
k 。首先要确定闭环极点。设途中虚线
代表0.7
ζ
=，则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由
0.7ζ=可得arccos 45.57
θζ== 。设
n
n n n j j s ωωζωζω51.07.0121+-=-+-=
列出该点对应的辐角条件
arg G -==.1解得n 1 2.2136 2.2583s j =-+。再由
4272.3102583.22136.22=++-
=+=j s s
s s K －得速
度反馈增益为3427.010/==K k 。
4-7 已知单位反馈系统的开环传递函数为：
()(1)(2)
K
G s s s s =
++ K 的变化范围是∞→0，试画出系统的根轨迹图。
解：按下列步骤绘制根轨迹：
①系统没有开环有限零点；开环有限极点为
1230,1,2
p p p ==-=-
②实轴上的根轨迹区间为
[][],2,1,0-∞--
③根轨迹的渐近线条数为3n m
-=，渐近线的倾角为
60
1=φ， 180
2
=φ
，
60
3-=φ
渐近线与实轴的交点为
1
1
1
-=--=
∑∑==m
n z
p m
i i
n
i i a σ
④分离点方程为
02
1
111=++++d d d 解得分离点0.42d =-
闭环系统根轨迹如下图4-7a 所示
已知单位反馈系统的开环传递函数
为：)
1()(41)(2
++=s s a s s G
a 的变化范围是] ,0[∞+，试画出系统的闭环根轨迹。
解：系统闭环特征方程为
32
11
()044
D s s s s a =++
+= 即有
321
4
10
1
4
a s s s
+
=++
等效开环传递函数为
*
12
()1()2
K G s s s =
+
*14
K a
=
，变化范围为[)0,+∞
按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数： （1）等效系统无开环有限零点；开环有限极点为：
12310,2
p p p ===-
（2）实轴上的根轨迹区间为(],0-∞
（
3）根轨迹有
3
条渐近线，且
1
,60,180,3003
a a σ?=-=
（4）根轨迹的分离点：由分离点方程
*2
12
41(32)
4()01()
2
K s s d
G s ds
s s -++==+ 解得
1211,26
d d =-=-
（5）根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下：
3211
1 4a
1
4
1a
-
44
s s s
当
1a =时，劳斯表的1
s
行元素全为零，辅助方程为
21()04A s s =+
= 解得
1,2
12
s j
=±
绘制系统参数根轨迹如图4-9a 所示
4-11 给定控制系统的开环传递函数为：
,)
2()(≥-+=
a a s s a
s s G 试作出以
a 为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分
a
取何值时闭环系统稳定。
解：（1）求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数a
不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程
022=++-a s as s
可改写为
)
12()1(1=+--+
s s s a 则开环传递函数为
,)
12()
1()12()1()('<-=+-=+--=
a K s s s K s s s a s G （2）根据'()G s 作系统的根轨迹。()G s 中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹。开环极点为0.5-和0，开环零
点为
1。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为
[]0.5,0-和[]1,+∞。在[]0.5,0- 区间有会合点，在[]1,+∞有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写
为
)
1()12(-+-
=s s s K
由0/=ds dK ，得014=--s s ，解
得122.2247,0.2247s s ==-，分别对
应
的增益为9.8990K =-和0.1010K =-，所以是分离、会合点。可以证明，
不在实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在()1,0，半径
为
1.2227。以a K -=为参变量的根轨迹如图
4-11a 所示，图中箭头表示a 从0到
+∞的方向，
也即K 从0到
-∞的方向。
（3）求a
使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与
虚轴的交点。由闭环特征方程 0)1(22=-++K s K s 可知，1K
=-时系统处于临界稳定状态，
这相当于1=a ，所以使闭环系统稳定的范围为10