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江苏九年级数学知识点

1．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，

除 0 外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如 a 的相反数是﹣ a，m+n 的相反数是﹣（ m+n），这时 m+n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

2．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对

值．①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母 a 表示有理数，则数 a 绝对值要由字母 a 本身的取值来确定：

①当 a 是正有理数时， a 的绝对值是它本身a；

②当 a 是负有理数时， a 的绝对值是它的相反数﹣a；

③当 a 是零时， a 的绝对值是零．

即| a| ={ a（ a＞ 0） 0（ a=0）﹣ a（a＜0）

3．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a× 10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数， n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式： a

× 10n，其中 1≤ a＜ 10，n 为正整数．】

（ 2）规律方法总结：

①科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原

来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10 的指数n．②记数法要求是大于10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

4．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、

开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从

左到有的顺序进行．

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级

运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

5．同底数幂的乘法

（ 1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

a m?a n=a m+n（ m，n 是正整数）

（ 2）推广： a m?a n?a p=a m+n+p（ m，n， p 都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与 25，（ a2 b2）3与（ a2b2）4，（x﹣y）2与（ x﹣y）3等；② a 可以是单项式，也可以是多项式；

③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算

的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并

不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

6．分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，

叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．

②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；

通分则是对两个或两个以上的分式来说的．

7．零指数幂

零指数幂： a0=1（ a≠0）

由a m÷ a m=1， a m÷a m=a m﹣m=a0可推出 a0=1（ a≠ 0）

注意： 00≠ 1．

8．解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较

简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出

来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出 x（或 y）的值．④将求得的未知数的值代

入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y 的值用“{”联立

起来，就是方程组的解．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同

一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，

消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数

的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用

{ x=ax=b的形式表示．

9．根与系数的关系

（ 1）若二次项系数为1，常用以下关系： x1，x2是方程 x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=﹣p， x1x2=q，反过来可得 p=﹣（ x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（ 2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系： x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠ 0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一

个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字

母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑

a≠0，△≥ 0 这两个前提条件．

10．分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率 =工作量工作时间

等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，

提高理解能力．

11．解一元一次不等式组

（ 1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做

由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等

式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解

集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

12．一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对

于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整

数解．

（2）已知解集（整数解）求字母的取值．

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，

然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可

得到答案．

13．坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴

的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标

可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关

的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．

14．函数自变量的取值范围

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13 中的 x．

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x ﹣1．

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④

对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保

证实际问题有意义．

15．动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以

解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

16．一次函数图象上点的坐标特征

x 轴的交点一次函数 y=kx+b，（k≠0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线．它与

坐标是（﹣，0）；与 y 轴的交点坐标是（ 0，b）．

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

17．反比例函数综合题

（ 1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．

（ 2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大

小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．

18．二次函数综合题

（ 1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（ 2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、

创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

19．对顶角、邻补角

（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的

反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关

系的两个角，互为邻补角．

（3）对顶角的性质：对顶角相等．

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为 180°．

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补

角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．

20．垂线

（ 1）垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

（2）垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：

“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯

一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以．

21．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要

工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要

时添加适当辅助线构造三角形．

22．直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的

外心位于斜边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三

角形是以这条边为斜边的直角三角形．

该定理可一用来判定直角三角形．

23．多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（n﹣2）?180 （ n≥ 3）且 n 为整数）

此公式推导的基本方法是从 n 边形的一个顶点出发引出（ n﹣3）条对角线，将 n

边形分割为（ n﹣2）个三角形，这（n﹣ 2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．

（ 2）多边形的外角和等于360 度．

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

②借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论：外角和 =180°n（n﹣2）?180°=360．°

24．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等．

②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行线间的距离处处相等．

（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它

的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）

的平行四边形面积相等．

25．矩形的判定

（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的

平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通

常证这个四边形的对角线相等．

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判

定矩形．

26．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做

正方形．

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对

称图形，有四条对称轴．

27．切线的性质

（1）切线的性质①圆的切线垂直于

经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（ 2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（ 3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

28．弧长的计算

（1）圆周长公式： C=2πR

（2）弧长公式： l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）

①在弧长的计算公式中， n 是表示 1°的圆心角的倍数， n 和 180 都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧

长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．

29．圆锥的计算

（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点

与底面圆心的线段叫圆锥的高．

（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长．

（3）圆锥的侧面积： S 侧= ?2πr?l= π．rl

2

（ 4）圆锥的全面积： S 全=S底 +S 侧 =πr+πrl

（ 5）圆锥的体积 =×底面积×高

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．

②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．

30．轴对称图形

（ 1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线

分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

31．轴对称 -最短路线问题

1、最短路线问题

在直线L 上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L 的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对

称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

32．旋转的性质

（ 1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

33．中心对称图形

（ 1）定义

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．

（2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．

34．平行线分线段成比例

（ 1）定理 1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）定理 2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线

段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

（3）定理 3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交

的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

35．锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠ C=90°．

（1）正弦：我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠ A 的正弦，记作 sinA．即sinA=∠A 的对边除以斜边 = ．

（2）余弦：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠ A 的余弦，记作 cosA．

即 cosA=∠A 的邻边除以斜边 =．

（3）正切：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做∠ A 的正切，记作 tanA．即

tanA=∠A 的对边除以∠ A 的邻边 = ．

（4）三角函数：锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠ A 的锐角三角函数．

36．解直角三角形的应用 -仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水

平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角

形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题

以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形

中边角关系问题加以解决．

37．由三视图判断几何体

（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视

图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进

行分析：

①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及

几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．

38．扇形

（1）扇形是用整个表示数用内各个扇形的大小表示各部分数量占数的百分数．通扇形可以很清楚地表示出各部分数量同数之的关系．用整个的面表示

数（位 1），用的扇形面表示各部分占数的百分数．

（2）扇形的特点：从扇形上可以清楚地看出各部分数量和数量之的关系．

（3）制作扇形的步

①根据有关数据先算出各部分在体中所占的百分数，再算出各部分心角的度数，公式是各部分扇形心角的度数=部分占体的百分比×360°．②按比例取适当半径画一个；按扇形心角的度数用量角器在内量出各个扇形的

心角的度数；

④在各扇形内写上相的名称及百分数，并用不同的把各扇形区分开来．

39．条形

（1）定：条形是用段度表示数据，根据数量的多少画成短不同的矩形直条，

然后按序把些直条排列起来．

（2）特点：从条形可以很容易看出数据的大小，便于比．

（3）制作条形的一般步：①根据的大小，画出两条互相垂直的射．②在水平射上，适当分配条形的位置，确定直条的度和隔．③在与水平射垂直的射上，根据数据

大小的具体情况，确定位度表示多少．

④按照数据大小，画出短不同的直条，并注明数量．

40．算平均数

（1）平均数是指在一数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集

中的一指．

（2）算平均数：于 n 个数 x1，x2，?，x n， xˉ=1n（x1+x2+?+x n）就叫做

n个数的算术平均数．

（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．

41．中位数

（1）中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，

则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中

位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．

42．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表

的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象

树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．