2018年 初三中考专题复习 圆 综合训练题 含答案
2018年中考数学圆的综合题试题
2018年中考数学圆的综合题试题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的综合题1.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝13，延长OE到点F，使EF＝2OE.(1)求证：∠BOE＝∠ACB;(2)求⊙O的半径；(3)求证：BF是⊙O的切线．2. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且AD DE，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O 的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC 于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．6 (2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E 为DC的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.(1)求证：AB＝AG；(2)(2)若DG＝DE，求证：GB2＝GC·GA；(3)在(2)的条件下，若tan D＝34，EG＝10，求⊙O的半径．7.(2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为AD上一点，且AF BC，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E. (1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD≌△AFD；(3)若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．8. 如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)求证：∠PCA＝∠ABC；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sin P＝35，CF＝5，求BE的长．9、(2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB 于点M，若H是AC的中点，连接MH。
河南2018中考数学总复习专题检测：圆(含答案)
圆(建议时间：90分钟总分：100分)一、选择题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分)1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(D) A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α第1题图第2题图2．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C.连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于(B)A．20°B．25°C．30°D．40°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A．100°B．112.5°C．120°D．135°第3题图第5题图4．已知圆锥的底面面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是(A) A．18π cm2B．27π cm2C．18 cm2D．27 cm2 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为(A)A．2 B．－1 C.2D．46．已知一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为(A)A ．6 cmB ．12cmC ．2 3 cm D. 6 cm7．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC ＝∠AEC ；③BC 平分∠ABD ；④AF ＝DF ；⑤DB ＝2OF ； ⑥△CEF ≌△BED ，其中一定成立的是( D )A ．②④⑤⑥B ．①③⑤⑥C ．②③④⑥D ．①③④⑤二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)8．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D .若∠CAD ＝30°，则∠BOD ＝ 120 °.第8题图 第9题图 9．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，︵AD ＝︵CD .若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝ 25° .10．在半径为20的⊙O 中，弦AB ＝32，点P 在弦AB 上，且OP ＝15，则AP ＝7或25 .11．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm 的⊙O ，︵AB ＝90°，弓形ACB (阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为 (48π＋32)cm 2 .第11题图 第12题图12．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在︵AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π－4. 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长线于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为π(结果保留根号)．三、解答题(本大题共4个小题，共48分)14．(12分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF，BE.(1)求证：DB＝DE；(2)求证：直线CF为⊙O的切线．证明：(1)∵E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE；(2)连接CD ，如解图所示．∵E 是△ABC 的内心，∴∠DAB ＝∠DAC ，∴BD ＝CD .∵BD ＝DF ，∴CD ＝DB ＝DF ，∴∠BCF ＝90°，∴BC ⊥CF ，∴CF 是⊙O 的切线．15．(12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵)的长l .(1)证明：连接OC ，如解图所示．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .又∵∠OAC ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴AD ∥OC .∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥OC ，∴EF 是⊙O 的切线；。
2018 初三数学中考复习 与圆有关的计算 专项复习练习题 含答案
2018 初三数学中考复习 与圆有关的计算 专项复习练习题1．将半径为12 cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( D )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm2．半径相等圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( B )A ．1∶2∶ 3 B.3∶2∶1 C ．3∶2∶1 D ．1∶2∶33．如图，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE︵的长为( B )A.13πB.23πC.76πD.43π 4．如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为( D )A ．π＋1B ．π＋2C ．π－1D ．π－25．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为( C )A ．4πB ．6πC ．12πD ．16π6．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－47．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30厘米，则BC ︵的长为__20π__厘米．(结果保留π)8．如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE ＝2，则EG 的长是．9．圆锥的底面半径为 2 cm ，圆锥高为 3 cm ，则此圆锥侧面展开图的周长为10．如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点A ，D 为圆心，以AB 长为半径画BE ︵，CE ︵.若AB ＝1，则阴影部分图形的周长为__65π＋1__(结果保留π)．11．如图，P ，Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边AB ，BC 上的点，BP ＝CQ ，则∠POQ ＝__72°__.12．如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，则图中阴影部分的面积为3．(结果保留π)13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E.(1)求证：AD 平分∠BAC；(2)若CD ＝1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：连结DE ，OD.∵BC 相切⊙O 于点D ，∴∠CDA ＝∠AED，∵∠ADE ＝∠ACD＝90°，∴∠DAO ＝∠CAD.∴AD 平分∠BAC.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC＝45°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝BD.∴∠BOD＝45°.设BD ＝x ，则OD ＝OA ＝x ，OB ＝2x ，∴BC ＝AC ＝x ＋1，∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴2(x ＋1)2＝(2x ＋x)2，∴x ＝2.∴BD＝OD ＝2.∴图中阴影部分的面积＝S △BOD －S 扇形DOE ＝12×2×2－45·π×（2）2360＝1－π4.14．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，∠BAC ＝∠DAC，过点C 作直线EF⊥AD，交AD 的延长线于点E ，连结BC.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l.解：(1)证明：连结OC ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA，∴∠DAC ＝∠OCA.∴AD//OC，∴∠OCF ＝∠AEC＝90°.∴EF 是⊙O 的切线．(2)连结OD ，DC ，∵∠DAC ＝∠OAC，∴DC ＝BC ＝2.∵ED＝1，DC ＝2，∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12.∴∠ECD＝30°.∴∠OCD ＝60°.∵OC ＝OD ，∴△DOC 是等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD＝60°，OC ＝2.∴l＝60π×2180＝23π.15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是边AC 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，D ，在BC 的延长线上取点F ，使得BF ＝EF ，EF 与AC 交于点G.(1)试判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若OA ＝2，∠A ＝30°，求图中阴影部分的面积．解：(1)连结OE ，∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO，∵BF ＝EF ，∴∠B ＝∠BEF.∵∠A ＋∠B＝90°，∴∠AEO ＋∠BEF＝90°，即∠OEG＝90°.∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°.∵∠A ＝30°，∴∠EOD ＝60°.∵OE ＝OA ＝2，∴EG ＝23.∴阴影部分的面积＝12×2×23－60·π×22360＝23－23π.16．如图为一个圆锥形粮堆，从正面看是边长为6米的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线是多少米？(结果保留根号)解：∵BC＝6，∴圆锥的底面周长为6π，则6π＝n π×6180，∴n ＝180°.∵AP ＝3，AB ＝6，将圆锥展开后∠BAP＝90°，∴BP ＝32＋62＝3 5.故小猫所经过的最短路线是35米．。
5.16圆的综合题(第1部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第五部分图形的性质5.16 圆的综合题【一】知识点清单圆的综合题【二】分类试题及参考答案与解析一、选择题二、填空题1．（2018年山西-第15题-3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB 的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB 于点G，则FG的长为．【知识考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；切线的性质．【思路分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．【解答过程】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．【总结归纳】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．2．（2018年安徽省-第12题-4分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE=°．【知识考点】切线的性质；菱形的性质．【思路分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．【解答过程】解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【总结归纳】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键3．（2018年广东省-第15题-4分）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为．（结果保留π）【知识考点】切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算．【思路分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答过程】解：连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．故答案为π．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．4．（2018年新疆-第12题-5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【知识考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；扇形面积的计算．【思路分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：【总结归纳】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．三、解答题1．（2018年上海-第25题-14分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）由AC=BD知+=+，得=，根据OD⊥AC知=，从而得==，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，继而求得EF=AC=，由余切函数定义可得答案；（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=、OF=，从而根据三角形面积公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵OD⊥AC，∴=，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴=，即+=+，∴=，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×=，则AC=2AF=；（2）如图1，连接BC，∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=，则DF=BC=、AC===，∴EF=FC=AC=，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D===；（3）如图2，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，则+2×=180，解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC=，∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos∠AOF=，则DF=OD﹣OF=1﹣，∴S△ACD=AC•DF=××（1﹣）=．【总结归纳】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．2．（2018年河北-第25题-10分）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧AB，使点B在O右下方，且tan∠AOB=43，在优弧AB上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧AB上一段AP的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与AB所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；（2）当直线PQ经过圆心O时，x的值最小最小值为0，此时直线l是⊙O的对称轴．（3）分三种情形分别求解即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，由2613 180nππ⨯=，解得n=90°，∴∠POQ=90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO=∠BOQ，∴tan∠PQO=tan∠QOB=43OPOQ =，∴392 OQ=，∴392x=．（2）当直线PQ经过圆心O时，x的值最小最小值为0，此时直线l是⊙O的对称轴．（3）①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k．。
2018年中考数学圆的综合题试题
圆的综合题1.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝13，延长OE到点F，使EF＝2OE.(1)求证：∠BOE＝∠ACB;(2)求⊙O的半径；(3)求证：BF是⊙O的切线．2. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且AD DE，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．6 (2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C 和点D，点E为DC的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.(1) 求证：AB ＝AG ；(2) (2)若DG ＝DE ，求证：GB 2＝GC ·GA ；(3)在(2)的条件下，若tan D ＝34，EG ＝10，求⊙O 的半径．7.(2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D ，F 为AD 上一点，且AF BC ，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E . (1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD ≌△AFD ；(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．8. 如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)求证：∠PCA＝∠ABC；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sin P＝35，CF＝5，求BE的长．9、(2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB 于点M，若H是AC的中点，连接MH。
2018中考专题-圆综合(含答案)
2018届四月调考复习专题一圆综合例1如图，O O 的弦 AB CD 相交于点 P ,弦CA BD 的延长线交于 S , APD 2m ,• Z APD=m ,Z PAC= m+15° Z APD Z PDB Z PAC• Z B=2rn-( m 0 +15o )= m o -15o / PA(=Z B+Z S•••/ S =Z PAC Z B=30作DT T CS 于T=30o△ SCB(1 )解△ SDAPAC m 15 .H=H=、3易证, ST=CT•••/ ACD/ S=30o =Z ABD= rm-15°/• m=45例2.(本题8分)RT^ABC中，/ ACB= 90° , AO是厶ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作O O.(1)求证：AB为O O的切线；(2)已知AO的延长线交O O于点E,延长AO交O O于D,若tan / D=丄，AC=4,2求O O的半径(1 )过O作OH L AB于H,T AO平分/BAC又ACB=900，•. OH=OC,AB 的切线。
(4分)(2)连接CF, •/ DF O O为直径，•/FCD=90°,易证△ ACF^A ADC,AF AC AC ADCFDC1 AF 4又••• tan / D ，AC=4,「.2 4 AD 1，二AF=2, AD=8,即卩DF=6,2•••OD=3即O O的半径为(8分)例3.在△ PAE中，/ PAE= 90°,点O在边AE上，以OA为半径的O O交AE于B, OP平分/ APEB (1) 求证：PE是O O的切线4M = r, PA 皿一"丁黑h 享•謎财三匚型 EC 4r ・由 RtAFfVt/'RiAFP/i W [ - r_^h J.u - ■4 * 亠•irf 2r s琴齐二t-hZAPfi -乞=?=上a 45 •如图，AC 为O 0的直径，DAB 为O 0的割线，E 为O 0上一点，弧 BE =弧CE DEL AB 于D,交 A0的延长线于F(1) 求证：DF 为O 0的切线5(2) 若 AD= 5，CF= 3,求 tan / CAE 的值例4 •如图，BC 为O O 的直径，AB 为O 0的弦, 丄r1 tanB =-2⑴求证：DE = 2AE (2)求 sin / BFD 勺值D 为弧BC 的中点，CH AD 于 E, AD 交BC 于点F ,11)4；<1> JStA ZW-*■■* E -上收卜■3, il 北丰址科「曲.Vf；£屮ARID *r 轉・” = ■FA AD_ + …厂1 …•旺=用”由1■讶［>E-更.4 46如图，△ ABC内接于O 0, D为直径AC延长线上一点，若/ DCB=Z ABD7 .如图，D为O 0上一点，点C在直径BA的延长线上，且/ CDA M CBD (1)求证：CD是O 0的切线；■j 厶it—M Uy⑴求证：DB为O 0的切线HE t 畑./. w I-：? o于(2)过点B 作。
【中考专题】2018年 九年级数学中考 圆 专题复习(含答案)
2018年九年级数学中考圆专题复习一、选择题:1.如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,∠AED=115°,则∠B的度数是（）A．50°B．75°C．80°D．100°2.如图,已知☉O是△ABD的外接圆,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于( )A．16°B．32°C．58°D．64°3.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2B．3C．4D．64.如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C=( ) A．20°B．25°C．40°D．50°5.如图，PA．PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A．50°B．60°C．70°D．70°6.如图，AB是⊙O的弦，CD与⊙O相切于点A，若∠BAD=66°，则∠B等于（）A．24°B．33°C．48°D．66°7.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米8.如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知CD=6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△CMN），则剪下的△CMN的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在BC上,以点O为圆心,OC为半径的⊙O刚好与AB相切，交OB于点D.若BD=1,tan∠AOC=2,则⊙O的面积是（）A．πB．2πC．D．10.如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与⊙O 交与点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD，若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为（）二、填空题：11.若圆锥的母线长为3cm ，底面半径为2cm ，则圆锥的侧面展开图的面积 cm 2．12.如图，已知AB 是的直径，BD=CB,∠CAB=30°,请根据已知条件和所给图形，写出三个正确的结论：(除AO=OB=BD 外)①、 ；②、 ；③、13.如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为 ．14.如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D.若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm.15.如图5，PA ，PB 分别为⊙O 的切线，切点分别为A ．B ，∠P=80°，则∠C=16.如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=， AC=4，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE ，DF 交EC 的延长线于点F ，当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是 ．图5 PC BAO三、解答题：17.如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长.18.如图，AB为⊙O的直径，C O⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若AF=8，tan∠BDF=0.25，求EF的长．19.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA=BC；（2）若AG=2，cosB=0.6，求DE的长．20.如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．21.如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）22.如图,⊙O的半径r=25,四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H,P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH,求BD的长；（3）在（2）的条件下,求四边形ABCD的面积．参考答案1.D2.B3.B4.D5.B6.A7.A8.B9.C10.A11.答案为：6πcm2．12.答案为：∠ACB=550；13.答案为：2．14.答案为：315.答案为：55°16.答案为：32；17.答案：.18. (1)证明:连接OD,∵CO⊥AB,∴∠E+∠C=90°,∵∠DFO为△EFD的外角,且FD=FE,∠ODC为△EOD的外角,且OD=OC,∴∠DFO=∠E+∠EDF=2∠E,∠DOF+∠E=∠ODC=∠C,得∠DOF+∠E+∠DFO=∠C+2∠E,即∠DOF+∠DFO=∠C+∠E=90°,∴FD是⊙O的切线. (2)解:连接AD,如图,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A+∠ODB=90°,∵∠BDF+∠ODB=90°,∴∠A=∠BDF,而∠DFB=∠AFD,∴△FBD∽△FDA,∴DF:AF=BD:AD,在Rt△ABD中,tan∠A=tan∠BDF=0.25,∴DF:8=0.25,∴DF=2,∴EF=2.19.（1）证明：连结OD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA=∠C，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠C，∴BA=BC；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，∵OD∥BC，∴∠B=∠DOG，∴cos∠DOG=cosB=0.6，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=，即=，∴r=3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH==，∴OH=，∴AH=3﹣=，在Rt△ADH中，AD==，∵∠DEC=∠C，∴DE=DC，而OA=OB，OD∥BC，∴AD=CD，∴DE=AD=．20.（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=0.5∠AOF=30°（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=0.5BE=5又Rt△ADE∽Rt△CGE∴sin∠ECG=sin∠A=，∴CE==13∴CG==12，又CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得=∴AD=•CG=4.8∴⊙O的半径为2AD=9.6．21.解：如图所示.圆P即为所作的圆.22.解：（1）PD与圆O相切．理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，∵DE是直径，∴∠DAE=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，∵∠PDA=∠ABD=∠AED，∴∠PDA+∠ADE=90°，即PD⊥DO，∴PD与圆O相切于点D；（2）∵tan∠ADB=∴可设AH=3k，则DH=4k，∵PA=AH，∴PA=（4﹣3）k，∴PH=4k，∴在Rt△PDH中，tan∠P==，∴∠P=30°，∠PDH=60°，∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，∴BD=DE•cos30°=；（3）由（2）知，BH=﹣4k，∴HC=（﹣4k），又∵PD2=PA×PC，∴（8k）2=（4﹣3）k×[4k+（25﹣4k）]，解得：k=4﹣3，∴AC=3k+（25﹣4k）=24+7，∴S四边形ABCD=BD•AC=×25×（24+7）=900+．。
2018中考专题-圆综合(含答案)
2018届四月调考复习专题—圆综合例1如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，弦CA 、BD 的延长线交于S ,︒=∠m APD 2，︒+︒=∠15m PAC 。
（1）求∠S 的度数；(2）连AD 、BC ，若3=ADBC,求m 的值.（1)解 ∵∠APD=2m º， ∠P AC= m º+15º ∠APD =∠B +∠PDB =∠B +∠P AC ∴∠B=2m º-( m º+15º)= m º-15º…………2分 ∠P AC =∠B+∠S∴∠S =∠P AC —∠B=30º…………4分 （2） 作DT ⊥CS 于T∵∠S =30º 易证△SDA △SCB ………………………5 分∴ AD BC =SDCS=3易证, ST=CT …………7分∴∠ACD =∠S=30º=∠ABD = m º—15º∴m=45 ………………8分例2． (本题8分）RT △ABC 中,∠ACB ＝90°， AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O 。
（1） 求证：AB 为⊙O 的切线;（2） 已知AO 的延长线交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于D,若tan ∠D ＝12,AC=4，求⊙O 的半径(1）过O 作OH ⊥AB 于H ，∵AO 平分∠BAC,又∴∠ACB=090,∴OH=OC ， ∴AB 为⊙O 的切线。
——---—-—-——-—-——---—--—---————---——--——---—----—--—(4分）（2)连接CF ，∵DF ⊙O 为直径,∴∠FCD=090，易证△ACF ∽△ADC,∴AF AC CFAC AD DC==E DOCAB又∵tan ∠D 12=，AC=4，∴4142AF AD ==，∴AF=2，AD=8，即DF=6，∴OD=3，即⊙O 的半径为3。
2018中考数学总复习圆训练题(江西含答案和解释)
第六单元限时检测卷(时间：120分钟分值：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．⊙O的半径r＝5 cm，圆心到直线l的距离OM＝4 cm，则⊙O与直线l的位置关系为()A．相离B．相交C．相切D．无法判断2．如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为2，圆心P的坐标为(－3,0)，将⊙P沿x 轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为()图1A．1 B．3C．5 D．1或53．已知，AB是⊙O的弦，且OA＝AB，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图2，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是()图2A．25°B．40°C．50°D．65°5．如图3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为()图3A．30°B．50°C．60°D．70°6．如图4，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( )图4A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为__________．8．如图5，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上的两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB 的度数为__________．图59．如图6，CD 为⊙O 的弦，直径AB 为4，AB ⊥CD 于E ，∠A ＝30°，则BC ︵ 的长为__________．(结果保留π)图610．如图7，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵ 上一点，且DF ︵ ＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ．若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为__________．图711．将直角△ABC 绕顶点B 旋转至如图8位置，其中∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，点C ，B ，A ′在同一直线上，则阴影部分的面积是__________．图812．如图9，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，⊙P的半径为1 cm，且OP＝4 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么__________秒后⊙P与直线CD相切．图9三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，求桥弧AB所在圆的半径．图1014．如图11，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E.若AC＝EC，求证：AD＝BE.图1115．如图12，AB是⊙O的直径，且AB＝4，AC是弦，∠CAB＝40°，求劣弧BC和弦AC的长．(参考数据：sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，弧长计算结果保留π，弦长精确到0.01)图1216．如图13，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D ，E 在⊙O 上，连接AE ，DE ，CD ，BE ，CE ，∠EAC ＋∠BAE ＝180°，AB ︵ ＝CD ︵.图13(1)判断BE 与CE 之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：△ABE ≌△DCE .17．(2017贵阳)如图14，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F .图14(1)求∠AFE 的度数；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图15，在平面直角坐标系中，△ABC 内接于⊙P ，AB 是⊙P 的直径，A (－1,0)，C (3,2 2)，BC 的延长线交y 轴于点D ，点F 是y 轴上的一动点，连接FC 并延长交x 轴于点E .图15(1)求⊙P的半径；(2)当∠A＝∠DCF时，求证：CE是⊙P的切线．19．(2017南充)如图16，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.图16(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．20．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB 于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.(1)求证：△ABC≌△ABF；(2)当∠CAB＝60°时，判断四边形ADFE是什么特殊四边形？说明理由．图17五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图18，OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E.(1)求证：CD＝CE；(2)如图19，若将图18中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C＝2∠A；图18 图1922．如图20，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将CD ︵沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP ＝OA ，连接PC ．(1)求CD 的长；(2)求证：PC 是⊙O 的切线；(3)点G 为ADB ︵ 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ，交BC ︵于点F (F 与B ，C 不重合)．GE ·GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．图20六、(本大题共12分)23．如图21所示，点A 为半圆O 的直径MN 所在直线上的一点，射线AB 垂直于MN ，垂足为A ，半圆绕M 点顺时针转动，转过的角度记作α.设半圆O 的半径为R ，AM 的长度为m ，回答下列问题：探究：(1)若R ＝2，m ＝1，如图21，当旋转30°时，圆心O ′到射线AB 的距离是________；如图22，当α＝________°时，半圆O 与射线AB 相切；(2)如图23，在(1)的条件下，为了使得半圆O 转动30°即能与射线AB 相切，在保持线段AM 长度不变的条件下，调整半径R 的大小，请你求出满足要求的R ，并说明理由．发现：(3)如图24，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O 与射线AB 能够相切，小明探究了cos α与R ，m 两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系：cos α＝________.(用含有R ，m 的代数式表示)拓展：(4)如图25，若R ＝m ，当半圆弧线与射线AB 有两个交点时，α的取值范围是__________，并求出在这个变化过程中阴影部分(半圆与射线AB 所形成的弓形)面积的最大值．(用m 表示)图21 图22 图23 图24 图25第六单元限时检测卷1．B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.3 8.20° 9.23π 10.50°11.163π－2 3 12.2或6 13．解：根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．设圆的半径是R ，根据勾股定理， 得R 2＝202＋(R －10)2， 解得R ＝25(米)．答：桥弧AB 所在圆的半径为25米． 14．证明：∵AC ＝EC ，∴∠E ＝∠CAE .∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∴∠DAC ＝∠E . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°.又∠CBE ＋∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠CBE . 在△ADC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠EBC ，∠DAC ＝∠E ，AC ＝EC ，∴△ADC ≌△EBC . ∴AD ＝BE . 15．解：连接OC ，BC ，如图1，图1∵∠CAB ＝40°，∴∠COB ＝80°.∴劣弧BC 的长＝80·π·2180＝8π9.∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°. 在Rt △ACB 中，cos 40°＝AC AB ＝AC4，∴AC ＝4cos 40°＝4×0.766≈3.06. 16．(1)解：BE ＝CE .理由如下：∵∠EAC ＋∠BAE ＝180°，∠BCE ＋∠BAE ＝180°， ∴∠BCE ＝∠EAC . ∴BE ︵＝CE ︵.∴BE ＝CE .(2)证明：∵AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD . ∵BE ︵＝CE ︵，∴AE ︵＝ED ︵.∴AE ＝ED . 由(1)得BE ＝CE ，在△ABE 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，AB ＝DC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE (SSS)．17．解：(1)如图2，连接OD ，OC ，图2∵C ，D 是半圆O 上的三等分点， ∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵.∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°. ∴∠CAB ＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°. ∴∠AFE ＝90°－30°＝60°. (2)由(1)知，∠AOD ＝60°， ∵OA ＝OD ，AB ＝4，∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2. ∵DE ⊥AO ，∴DE ＝ 3.∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60·π×22360－12×2×3＝23π－ 3.18．(1)解：如图3，作CG ⊥x 轴于G ，则AC 2＝AG 2＋CG 2＝(3＋1)2＋(2 2)2＝24， ∵AB 是⊙P 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴cos ∠CAB ＝AG AC ＝AC AB .∴AB ＝AC 2AG ＝244＝6.∴⊙P 的半径为3.(2)证明：如图3，连接PC ，图3∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠CBA ＝90°. ∵PC ＝PB ， ∴∠PCB ＝∠PBC . ∵∠A ＝∠DCF ＝∠ECB ， ∴∠ECB ＋∠PCB ＝90°. ∵C 在⊙P 上， ∴CE 是⊙P 的切线．19．(1)证明：如图4，连接OD ，CD ，图4∵AC 为⊙O 的直径， ∴△BCD 是直角三角形．∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝DE . ∴∠CDE ＝∠DCE .∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD . ∵∠ACB ＝90°，∴∠OCD ＋∠DCE ＝90°. ∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，即OD ⊥DE .∴DE 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为r ， ∵∠ODF ＝90°，∴OD 2＋DF 2＝OF 2，即r 2＋42＝(r ＋2)2. 解得r ＝3. ∴⊙O 的直径为6. 20．(1)证明：∵EF ∥AB ， ∴∠E ＝∠CAB ，∠EF A ＝∠F AB . ∵∠E ＝∠EF A ，∴∠F AB ＝∠CAB . 在△ABC 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AF ，∠CAB ＝∠F AB ，AB ＝AB ，∴△ABC ≌△ABF .(2)解：当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形． 理由：∵∠CAB ＝60°， 由(1)得∠F AB ＝∠CAB ， ∴∠F AB ＝∠CAB ＝∠F AE ＝60°. 又AD ＝AE ＝AF ，∴△AEF ，△AFD 为等边三角形． ∴EF ＝AD ＝AE ＝DF . ∴四边形ADFE 是菱形．21．证明：(1)连接OD ，如图5所示，图5∵OA ⊥OB ，∴∠AOE ＝90°. ∴∠A ＋∠AEO ＝90°， ∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，即∠CDE ＋∠ODE ＝90°. 又OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODE .∴∠AEO ＝∠CDE .∵∠CED ＝∠AEO ，∴∠CDE ＝∠CED .∴CD ＝CE . (2)连接OD ，作CM ⊥AD 于M ，如图6所示，图6同(1)可证得CD ＝CE .则∠ECM ＝∠DCM ＝12∠DCE ，DE ＝2DM ，∠CME ＝90°. ∴∠ECM ＋∠CEM ＝90°.∵∠A ＋∠AEF ＝90°，∠AEF ＝∠CEM ，∴∠A ＝∠ECM .∴∠A ＝12∠DCE ，即∠DCE ＝2∠A . 22．(1)解：如图7，连接OC ，图7∵CD ︵沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，∴OM ＝12OA ＝12×2＝1，CD ⊥OA . ∵OC ＝2，∴CD ＝2CM ＝2OC 2－OA 2＝222－12＝2 3.(2)证明：∵P A ＝OA ＝2，AM ＝OM ＝1，CM ＝12CD ＝3，∠CMP ＝∠OMC ＝90°，∴PM ＝3.∴PC ＝MC 2＋PM 2＝(3)2＋32＝2 3.∵OC ＝2，PO ＝2＋2＝4，∴PC 2＋OC 2＝(2 3)2＋22＝16＝PO 2.∴∠PCO ＝90°.∴PC 是⊙O 的切线．(3)解：GE ·GF 是定值．如图8，连接GO 并延长，交⊙O 于点H ，连接HF ，图8∵点G 为ADB ︵的中点，∴∠GOE ＝90°.∵∠HFG ＝90°，∴∠GOE ＝∠GFH .又∠OGE ＝∠FGH ，∴△OGE ∽△FGH .∴OG GF ＝GE GH. ∴GE ·GF ＝OG ·GH ＝2×4＝8.23．解：(1)3＋1；60°.(2)设切点为P ，如图9，连接O ′P ，作MQ ⊥O ′P ，则四边形APQM 是矩形．图9∴O ′P ＝O ′Q ＋QP ＝R .由题知，∠α＝30°，∴O ′Q ＝cos 30°·R ，AM ＝QP ＝1.∴R ＝32R ＋1.∴R ＝4＋2 3. (3)R －m R. (4)当半圆与射线AB 相切时，之后开始出现两个交点，此时α＝90°；当N ′落在AB 上时，为半圆与AB 有两个交点的最后时刻，此时∵MN ′＝2AM ，∴∠AMN ′＝60°.∴α＝120°.∴当半圆弧线与射线AB 有两个交点时，α的取值范围是90°＜α≤120°.当N ′落在AB 上时，阴影部分面积最大，∴S ＝120·π·m 2360－12·3m ·12m ＝πm 23－34m 2.。
5.16圆的综合题(第3部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第五部分图形的性质5.16 圆的综合题【一】知识点清单圆的综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年贵州省遵义市-第12题-3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．D．【知识考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答过程】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．【总结归纳】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．2．（2018年江苏省无锡市-第8题-3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【知识考点】矩形的性质；切线的判定．【思路分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答过程】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O 不是AC 与BD 的交点； 而四边形AEFD 为⊙O 的内接矩形， ∴AF 与DE 的交点是圆O 的圆心； ∴（1）错误，（2）（3）正确． 故选：C ．【总结归纳】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质． 3．（2018年辽宁省葫芦岛市-第9题-3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上AB 两侧的点，若∠D=30°，则tan ∠ABC 的值为（ ）A ．12 B ．2 C D ．3【知识考点】圆周角定理；解直角三角形．【思路分析】根据圆周角定理得出∠BAC=30°，进而得出∠ABC=60°，利用三角函数解答即可． 【解答过程】解：∵∠D=30°， ∴∠BAC=30°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∴∠ABC=60°， ∴tan ∠ABC=，故选：C ．【总结归纳】本题考查的是圆周角定理及特殊角的三角函数值等知识，熟知圆周角定理是解答此题的关键． 4．（2018年辽宁省锦州市-第7题-3分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B ，C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC=135°，CF=则AE 2+BE 2的值为（ ）A．8 B．12 C．16 D．20【知识考点】圆的综合题．【思路分析】由四边形BCDE内接于⊙O知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF是⊙O的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF是⊙O的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BFC得AE=BF，根据Rt△ECF是等腰直角三角形知EF2=16，继而可得答案．【解答过程】解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BFC（ASA），∴AE=BF，∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，∴EF2=16，则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，故选：C．【总结归纳】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．二、填空题1．（2018年湖南省娄底市-第17题-3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC 都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．【知识考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质．【思路分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．【解答过程】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【总结归纳】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．2．（2018年湖北省咸宁市-第16题-3分）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD2；其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）．【知识考点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；轴对称的性质；旋转的性质．【思路分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断；④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．【解答过程】解：①∵A、C关于直线OM'对称，∴OM'是AC的垂直平分线，∴CD=AD，故①正确；②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA，∴OA=OB=OC，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，∵∠MON=120°，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠E=60°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，由①得：CD=AD，∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD=CD，∴OC=OA=AD=CD，∴四边形OADC为菱形；故③正确；④∵CD=AD，∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，∴△ACD面积的最大值是：AC2==，故④正确，所以本题结论正确的有：①③④故答案为：①③④．【总结归纳】本题是圆和图形变换的综合题，考查了轴对称的性质、四点共圆的性质、等边三角形的判定、菱形的判定、三角形面积及圆的有关性质，有难度，熟练掌握轴对称的性质是关键，是一道比较好的填空题的压轴题．3．（2018年浙江省嘉兴市舟山市-第14题-4分）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为cm．【知识考点】垂径定理的应用；矩形的性质；切线的判定．【思路分析】连接OC，利用垂径定理解答即可．【解答过程】解：连接OC，∵直尺一边与量角器相切于点C，∴OC⊥AD，∵AD=10，∠DOB=60°，∴∠DAO=30°，∴OE=，OA=，∴CE=OC﹣OE=OA﹣OE=，故答案为：【总结归纳】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．4．（2018年浙江省嘉兴市舟山市-第16题-4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．【知识考点】矩形的性质；勾股定理．【思路分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF=0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．【解答过程】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，①当AF=0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，则OP⊥BC，设AF=x，则BF=P1C=4﹣x，EP1=x﹣1，∵OP∥EC，OE=OF，∴OG=EP1=，∴⊙O的半径为：OF=OP=，在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，∴，解得：x=，∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，③当AF=4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．故答案为：0或1＜AF或4．【总结归纳】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题．三、解答题1．（2018年内蒙古鄂尔多斯市-第21题-8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD ＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当sin∠BCE＝34，AB＝3时，求AD的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．【思路分析】（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据余角的性质得到∠ACB＝∠BCE，求得AC＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据相似三角形的性质得到CE＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答过程】解：（1）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线；（2）∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵BE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，∴∠ACB＝∠BCE，∵sin∠BCE＝，∴sin∠ACB＝，∵AB＝3，∴AC＝4，∵∠BDE＝∠BAC，∴sin∠DBE＝，∵BD＝AB＝3，∴DE＝，∴BE＝＝，∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，∴△BDE∽△CBE，∴＝，∴CE＝，∴CD＝，∴AD＝＝．【总结归纳】本题考查了圆的切线性质与判定，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识．2．（2018年广西桂林市-第25题-10分）如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC 交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC．（1）求证：AC=BC；（2）如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A做⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若△ABD的面积为，△ABD与△ABC的面积比为2：9，求CD的长．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）先判断出∠ADC=∠BDC，再用圆的性质即可得出结论；（2）先判断出AI⊥BC，进而求出∠IAC=30°，即可得出结论；（3）先判断出△ABC为等边三角形，进而判断出AB⊥CF，即：AE=BE，利用等边三角形的面积求出AB=，CE=9，再利用勾股定理求OE，进而得出OA，利用面积关系求出DG=2，再判断出四边形PDGE为矩形，得出PE=DG=2，即：CP=11，求出DP==，最后用勾股定理即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴，∴AC=BC（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J，∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，∴AI⊥BC，由垂径定理得，BI=IC，∵AC=BC，∴IC=AC，在Rt△AIC中，IC=AC，∴∠IAC=30°∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB，∵FC是直径，∴∠FAC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣60°=30°；（3）过点D作DG⊥AB，连接AO由（1）（2）知，△ABC为等边三角形，∵∠ACF=30°，∴AB⊥CF，∴AE=BE，∴，∴AB=，∴，在Rt△AEC中，CE=AE=9，在Rt△AEO中，设EO=x，则AO=2x，∴AO2=AE2+OE2，∴，∴x=6，∴⊙O的半径为6，∴CF=12，∵，∴DG=2，过点D作DP⊥CF，连接OD，∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴CF∥DG，∴四边形PDGE为矩形，∴PE=DG=2，∴CP=PE+CE=2+9=11在Rt△OPD中，OP=5，OD=6，∴DP==，∴在Rt△CPD中，根据勾股定理得，CD==2．【总结归纳】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，矩形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定和性质，三角形的面积公式，求出∠ACF=30°是解本题的关键．3．（2018年贵州省黔东南州/黔西南州/黔南州-第22题-12分）如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠tan∠A=14，求AE的长．【知识考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【思路分析】（1）连接OD，由ED∥OB，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠ODB=∠OCB，而由BC切⊙O于点C得出∠OCB=90°，那么∠ODB=90°，问题得证；（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2==，得出BC=OC=，再由tan∠A==，得出AC=4BC=4，那么AE=AC﹣CE=4﹣2．【解答过程】解：（1）连接OD，如图．∵ED∥OB，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2．在△DOB与△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠ODB=∠OCB，∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB=90°，∴∠ODB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2==，∵⊙O的半径为1，OC=1，∴BC=，tan∠A==，∴AC=4BC=4，∴AE=AC﹣CE=4﹣2．【总结归纳】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，掌握各定理是解题的关键．4．（2018年贵州省铜仁市-第24题-12分）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．【知识考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．【思路分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．【解答过程】（1）证明：如图，连接OC，CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC；（2）解：如图，连接BG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，S△ABC=，6×4=5BG，BG=，由勾股定理得：CG==，∴tan∠CBG=tan∠E===．【总结归纳】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角的正切进行转移是基本思路，利用面积法求BG的长是解决本题的难点．5．（2018年贵州省遵义市-第26题-12分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【知识考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）先求出AC，进而求出AE=4，再用勾股定理求出DE即可得出结论；（2）分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论．【解答过程】解：（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE==2；在Rt△ADE中，AD==2；（2）当DP=DF时，如图2，点P与A重合，F与C重合，则AP=0；当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD，∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，∴∠DPF=∠C，∵∠PDF=∠CDP，∴△PDF∽△CDP，∴∠DFP=∠DPC，∴∠CDP=∠CPD，∴CP=CD，∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣2；当PF=DF时，如图3，∴∠FDP=∠FPD，∵∠DPF=∠DAC=∠C，∴△DAC∽△PDC，∴，∴，∴AP=5，即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．【总结归纳】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，判断出△PDF∽△CDP和△DAC∽△PDC是解本题的关键．6．（2018年湖北省襄阳市-第22题-8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=，求图中阴影部分的面积．【知识考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算．【思路分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积．【解答过程】解：（1）证明：连接OE、OC．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠OBC=∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6，∴DC=BC+AD=4．∵BC==2，∴BC﹣AD=2，∴BC=3．在直角△OBC中，tan∠BOE==，∴∠BOC=60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE=2∠BOC=120°．∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．【总结归纳】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算．7．（2018年湖北省咸宁市-第21题-9分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，DE的长．【知识考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．【思路分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，=，即可求出答案．【解答过程】（1）证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴=，即=，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．【总结归纳】此题主要考查了切线的判定与性质以及锐角三角函数关系的应用，正确利用tan∠CEG=tan∠ACB得出GE的长是解题关键．，8．（2018年湖南省娄底市-第25题-10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，AC BC弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答过程】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．【总结归纳】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．9．（2018年湖南省湘潭市-第25题-10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．【解答过程】解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∴DM=OM=10②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，∴OF=10﹣x，∵AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2∴x=，∴AF=，∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴，∴，∴AD=∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于之间时，连接BC，∵C是的中点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述，∠CMD=45°【总结归纳】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．10．（2018年江苏省淮安市-第24题-10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．【知识考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的性质；扇形面积的计算．【思路分析】（1）连接OE、OD，如图，根据切线的性质得∠OAC=90°，再证明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；（2）先计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．【解答过程】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC=90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵OB=OD，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，在△AOE和△DOE中，∴△AOE≌△DOE，∴∠ODE=∠OAE=90°，∴OA⊥AE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵点E是AC的中点，∴AE=AC=2.4，∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．11．（2018年江苏省无锡市-第24题-8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=35，求AD的长．【知识考点】勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形．【思路分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．解Rt△AEB，得出BE=AB•cos∠ABE=，AE= =，那么AF=AE﹣EF=．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=．解Rt△ADF，即可求出AD==6．【解答过程】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，∴BE=AB•cos∠ABE=，∴AE==，∴AF=AE﹣EF=﹣10=．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，∵cos∠ABC=，∴sin∠ADF=cos∠ABC=．在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，∴AD===6．【总结归纳】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sin∠ADF=是解题的关键．12．（2018年江苏省苏州市-第26题-10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；垂径定理；切线的性质．【思路分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据AAS 证明△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论．【解答过程】证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD=CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，∴∠AOC=2∠F=45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，∴△CEO是等腰直角三角形．【总结归纳】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．13．（2018年辽宁省大连市-第23题-10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【知识考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解答过程】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．【总结归纳】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．，E是OB的中14．（2018年辽宁省葫芦岛市-第23题-12分）如图，AB是⊙O的直径，AC BC点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【知识考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）证明△OCE≌△BFE（SAS），可得∠OBF=∠COE=90°，可得结论；（2）由（1）得：△OCE≌△BFE，则BF=OC=2，根据勾股定理得：AF=2，利用面积法可得BD 的长．【解答过程】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，=，∴∠BOC=90°，∵E是OB的中点，∴OE=BE ，在△OCE 和△BFE 中， ∵，∴△OCE ≌△BFE （SAS ）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF 是⊙O 的切线； （2）解：∵OB=OC=2， 由（1）得：△OCE ≌△BFE ， ∴BF=OC=2， ∴AF===2，∴S △ABF =，4×2=2•BD ， ∴BD=．【总结归纳】本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．15．（2018年辽宁省锦州市-第22题-8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，O 是AB 上一点，经过A ，E 两点的⊙O 交AB 于点D ，连接DE ，作∠DEA 的平分线EF 交⊙O 于点F ，连接AF ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若sin ∠EFA=45，AF=AC 的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【思路分析】（1）连接OE ，根据同圆的半径相等和角平分线可得：OE ∥AC ，则∠BEO=∠C=90°，解决问题；（2）过A 作AH ⊥EF 于H ，根据三角函数先计算AH=4，证明△AEH 是等腰直角三角形，则AE=AH=8，证明△AED ∽△ACE ，可解决问题．【解答过程】证明：（1）连接OE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠CAE=∠OEA，∴OE∥AC，∴∠BEO=∠C=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）过A作AH⊥EF于H，Rt△AHF中，sin∠EFA=，∵AF=5，∴AH=4，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF=45°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AE=AH=8，∵sin∠EFA=sin∠ADE==，∴AD=10，∵∠DAE=∠EAC，∠DEA=∠ECA=90°，∴△AED∽△ACE，∴，∴，∴AC=6.4．【总结归纳】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16．（2018年甘肃省白银市/酒泉市/张掖市/武威市/定西市/陇南市-第27题-10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=35时，求AF的长．【知识考点】切线的性质；解直角三角形．【思路分析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===，从而可求出r的值．【解答过程】解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C=90°（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=∴AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===∴r=∴AF=5﹣2×=【总结归纳】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．17．（2018年山东省潍坊市-第22题-8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC=AC=AD的长．【知识考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理．【思路分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．【解答过程】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，∴∠D=∠DAO，∵∠D=∠C，∴∠C=∠DAO，∵∠BAE=∠C，∴∠BAE=∠DAO，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，。
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2018年初三中考专题复习圆综合训练题
1. 下列条件中，能画出唯一圆的是( )
A．以已知点O为圆心 B．以点O为圆心，5 cm为半径
C．以2 cm为半径 D．经过已知点A，且半径为2 cm
2. 已知⊙O的半径是6 cm，点O到直线l的距离为8 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
3. 如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAC＝30°，连结AC，则∠BOC的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．80°
4. 公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以点O为圆心，OA的长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的树为( )
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
5. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A．18° B．36° C．54° D．72°
6. 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵
上．若△PEF 的周长为6cm ，则PA 长是( )
A ．3 cm
B ．6 cm
C ．4 cm
D ．5 cm
7. 如图，一块直角三角形ABC 的斜边AB 与量角器直径重合，点D 对应54°，则∠BCD 的度数为( )
A ．27°
B ．54°
C ．63°
D ．36°
8. 如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等. ⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为( )
A ．4 cm
B ．3 cm
C ．2 cm
D ．1.5 cm
9. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么AB 的长为( )
A ．3
B ．2 3
C ．3 3
D ．2
10. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )
A.587 B ．8 C.40
7
D ．213 11. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠A ＝40°，则∠B ＝_____.
12. 在正方形ABCD 中，AB ＝3，以顶点D 为圆心作半径为4的圆，则点B 在圆______．
13．已知⊙O 的直径是10 cm ，点O 到直线l 的距离为d ，若d ＝4 cm ，则l 与⊙O 有______个公共点．
14．如图， ⊙O 的直径为20 cm ，弦AB ＝16 cm ，OD ⊥AB ，垂足为点D.则AB 沿OD 所在直线方向平移_________cm 时可与⊙O 相切．
15. 如图，已知四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC＝∠BAD ＝2∠DFC. (1)若∠DFC ＝40°，求∠CBF 的度数； (2)求证：CD⊥DF.
16. 如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；
(2)若∠APB＝60°，BC＝10 cm，求AC的长．
参考答案：
1---10 BABAB ACBAA
11. 70°
12. 外
13. 两
14. 4或16
15. 解：(1) ∵∠ADB＝∠ACB，∠BAD＝∠BFC，∴∠ABD＝∠FBC.又∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∴∠CBF＝∠BCF.∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，∴∠CBF＝180°－80°
＝50°.
2
(2) 证明：令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°－2α.又∵AB＝AD，∴∠ACD ＝∠ACB＝90°－α，∴∠CFD＋∠ACD＝α＋(90°－α)＝90°.∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF.
16. 解：(1)证明：连结OA.
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA＝PB，
∴OP平分∠AOB，
∴∠BOA＝2∠POB.
∵∠OAC＝∠C，
∴∠BOA＝∠C＋∠OAC＝2∠C，
∴∠POB＝∠C，∴AC∥OP.
(2) 连结AB.
∵PA＝PB，∠APB＝60°，
∴△PAB 是等边三角形，∴∠PBA ＝60°. 又∵∠PBC ＝90°，∴∠ABC ＝30°. ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°， ∴AC ＝1
2BC ＝5 cm .。