量子力学5
量子力学第五章
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
第5套量子力学自测题
量子力学自测题5一、填空题（本题20分）1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。
Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的 的起源问题。
2．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。
对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。
测量结果的不确定性来源于 。
两个力学量同时具有确定值的条件是 。
二、（本题15分）1．设算符aˆ具有性质{}1ˆ,ˆ,0ˆ2==+a a a 。
求证： （1）a a Nˆˆˆ+≡本征值必为实数。
（2）N Nˆˆ2= （3）Nˆ的本征值为0或者1。
2．利用对易式σσσi 2=⨯，求证：{}0,=jiσσ，),,,(z y x j i =，其中，jiσσ,为Pauli 矩阵。
三、（本题15分）1．设氦原子中的两个电子都处于1s 态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为)()(),(2100110021r r r r ψψψ=（1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。
（2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121z z s s r r ϕ（同时考虑空间自 由度和自旋自由度）。
2．一电子处于自旋态)(21z z ↓+↑=ψ，求：（1）在自旋态ψ下，zS ˆ的可能测值与相应的几率。
（2）在自旋态ψ下，xS ˆ的可能测值与几率。
四、（本题15分）设一个类氢离子的电荷数由Z 变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。
已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为a e Z E n 222-=，aZrea Z -⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/31001πψ计算时，可利用积分公式2241α=⎰∞-dx xe ax 。
五、（本题20分）设一维谐振子的能量本征函数为)(x n ψ，求：（1）动量ρˆ在)(x n ψ态下的平均值。
量子力学概论第5章 全同粒子
例题5.1 假设我们有两个没有相互作用——它们相处在一起 运动……不要深究这个在现实中到底会不会发生——的粒子， 质量都为m，处在无限深方势阱中(见2.2节)。单粒子态为： ψn(x)=2asinnπax, En=n2K(方便起见令K≡π2ћ2/2ma2。)如 果粒子是可分辨的，粒子1在n1态上，粒子2在n2态上，完整 的波函数为简单乘积：
第5章 全同粒子
5.1 双粒子体系 5.2 原子 5.3 固体 5.4 量子统计力学
5.1 双粒子体系
5.1.1 玻色子和费米子 5.1.2 交换力
5.1.1 玻色子和费米子
我们可以简单地构造一个波函数，这个波函数并不给出哪个粒 子是处于哪个态。有两种不同的构造方法： ψ±(r1,r2)=A［ψa(r1)ψb(r2)±ψb(r1)ψa(r2)］.(5.10) 这样，理论上将允许两种全同粒子：玻色子(Bosons)，这时上 式取正号；费米子(Fermions)，这时上式取负号。光子和介子 是玻色子；质子和电子是费米子。恰巧的是： 所有自旋为ћ整数倍的粒子为玻色子所有自旋为ћ半整数倍的 粒子为费米子(5.11) 这种自旋与统计(我们将看到，玻色子和费米子有截然不同的 统计性质)之间的联系，可以在相对论量子力学中得到证明； 在非相对论理论中，它被作为一个公理3。
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
5.3.1 自由电子气体 5.3.2 价带结构
5.3 固体
5.3.1 自由电子气体
图5.3 自由电子气。格子中的每一个 交点代表一个定态。阴影立方体为一
个态所占据的体积
图5.4 k空间中一个球壳的八分之一
5.3.2 价带结构
5.4.4 α和β的重要物理意义
量子力学基本理论
量子力学基本理论量子力学是描述微观世界的基本理论，它涉及到微观粒子的行为、相互作用和性质等方面。
本文将对量子力学的基本理论进行介绍和探讨。
一、波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现为波动，又可以表现为粒子。
这一概念由德布罗意提出，并由实验证明。
通过对电子的双缝实验，我们可以观察到电子既可以表现为波动现象，如干涉和衍射，也可以表现为粒子现象，如落在特定位置上。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。
根据不确定性原理，我们无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这意味着，我们只能通过概率的方式来描述微观粒子的行为。
不确定性原理的提出，深刻地影响了我们对物理世界的理解，挑战了经典物理学的观念。
三、波函数和波函数坍缩在量子力学中，波函数是描述微观粒子状态的数学对象。
波函数可以通过薛定谔方程来求解，从而得到粒子的能量和波函数。
波函数的模的平方表示在某个空间区域内找到粒子的概率。
当我们进行测量时，波函数会发生坍缩，粒子将出现在特定的状态中。
四、量子叠加和量子纠缠量子叠加是量子力学中的又一个重要概念。
根据量子叠加原理，一个粒子可以同时处于多个状态之中。
例如，一个量子比特可以处于0和1两个态的叠加态。
量子叠加的结果是通过干涉实验证实的。
此外，量子纠缠也是量子力学的重要特性。
当两个粒子发生纠缠后，它们之间的状态将紧密相关，无论它们之间的距离有多远。
五、量子力学的应用量子力学的基本理论在许多领域都有广泛的应用。
例如，在量子计算中，利用量子的叠加和纠缠性质可以实现更高效的计算。
量子通信则利用量子纠缠来实现信息传输的安全性。
此外，量子力学还涉及到材料科学、原子物理学、光学等领域。
综上所述，量子力学是描述微观世界的基本理论，其概念和原理对于我们理解物质的微观本质至关重要。
通过深入研究和应用量子力学的基本理论，我们可以更好地探索微观世界，并发展出更多前沿科技。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11
0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2
5.14 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为 M ，在棒的 两端分别有电荷＋Q 和－Q。 （i）写出体系的哈密顿量，本征函数和本征值； （ii）如果在转动平面内存在一电场强度为 的弱电场，准确到一级修正，他的本征函数和 能量如何变化？ （iii）如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值。 解： （i）该系统的哈密顿量为 H 式中 I
0
1
m1
n
n H' m Em 0 En 0
n H' m
1 2
2
dE cos e
0
i m n
d
1 1 dE 2 m n 1,0 m n 1,0 2 2 1 dE m n 1,0 m n 1,0 2
式中用了 k
0
0
0
取到 的一阶
B 0 C
0
的完备性
k
0 0
kLeabharlann k 1（ii）根据已给的条件
3 P2 1 H 0 i m 2 xi 2 , H ' x3 2 i 1 2m
可看出相应的 A
m
P3
2
, 它使 H ' i A, H 0 x3
计算 xi 在基态的平均值 xi
i 1, 2,3 至 的最低阶，并将这个结果和精确解相比较。
0
解： （i）设系统非微扰的本征态及对应的能量分别为 k 即 H0 k
0
, Ek 0
Ek 0 k
量子力学的未解之谜
量子力学的未解之谜量子力学是物理学中一门重要且前沿的学科，它研究微观世界中物质的性质和运动规律。
自从量子力学的建立以来，科学家们通过实验和研究取得了众多突破性的发现，然而仍有一些问题是至今无法被解决的。
本文将就量子力学中的一些未解之谜进行探讨和分析。
一、量子纠缠量子纠缠是量子力学中最引人入胜的现象之一，它描述了两个或多个被纠缠的粒子之间的非常特殊的关联。
当两个粒子纠缠在一起后，它们的状态会立即相互关联，即使它们之间的距离很远，也会出现“飞跃相互作用”的情况。
这种非局域性的纠缠关系挑战了传统物理学的理解，然而仍没有一个清晰的解释来解释纠缠现象的本质。
二、测量问题根据量子力学的原理，一个量子系统的状态在被测量之前是不确定的，只有通过测量才能确定其具体的状态。
然而，量子测量却是一个难以理解的过程。
根据著名的薛定谔方程，量子体系处于叠加态，即同时处于多个可能的状态，直到被测量时才会坍缩成一个确定的状态。
但是，这个坍缩的过程仍然没有被完全解释清楚，科学家们仍在努力寻找更深入的解释。
三、超光速传导根据狭义相对论，光速是宇宙中最快的速度，任何物质或信息都不能超越光速。
然而，量子力学中的一些实验结果却暗示着可能存在“超光速传导”。
例如，量子隧穿现象表明粒子有可能以超光速的方式通过经典物理学中不可能穿越的能垒。
这挑战了我们对真空中信息传播的理解，也是一个令人困惑的未解之谜。
四、量子引力在物理学中，引力是描述物体相互作用的基本力之一，然而量子力学对引力的描述却依然是一个问题。
目前的科学理论无法完全统一量子物理学和引力的描述，这直接导致了引力在量子力学中的位置不明确。
量子引力理论的发展是量子力学研究的重要领域之一，它将有助于解决引力在微观领域中的行为以及它与其他基本力的关系。
五、量子计算量子计算是在量子力学原理基础上进行计算的新型计算方式。
它利用量子叠加和量子纠缠等特性，可以进行更为复杂的计算和模拟，对于某些特定问题具有巨大的优势。
量子力学的应用
量子力学是一门研究微观世界物质和能量的科学理论，其应用非常广泛。
下面是量子力学的几个常见应用：
1.原子能科学：量子力学可以用来解释原子内部的结构和性质，例如原子的光谱、化
学反应以及分子结构等。
2.分子化学：量子力学可以用来解释分子内部的电子结构和相互作用，例如分子的光
谱、反应机理以及化学反应等。
3.半导体物理：量子力学可以用来解释半导体材料的电子结构和性质，例如半导体的
电子能带结构、电子输运性质以及半导体器件的工作原理等。
4.原子核物理：量子力学可以用来解释原子核内部的结构和性质，例如原子核的稳定
性、裂变、聚变以及核反应等。
5.量子信息：量子力学可以用来研究量子信息学中的基本概念和方法，例如量子密钥
分发、量子计算机以及量子通信。
6.量子光学：量子力学可以用来解释光的量子性质，例如光子的存在、光的干涉、振
幅和相位关系以及光的行为模拟等。
7.量子场论：量子场论是建立在量子力学基础之上的一种理论，可以用来研究费米子、
强子、重子和其他粒子的量子性质，以及它们之间的相互作用。
8.量子气体理论：量子气体理论是建立在量子力学基础之上的一种理论，可以用来研
究低温下的气体的量子性质，例如低温气体的热力学性质、统计物理性质和相变等。
1量子力学练习1～5+解答
量子力学练习一
1．爱因斯坦在解释光电效应时，提出光量子(光子)概念；爱因斯坦光电效应方程为
解：（1）令 ，则由归一化条件可得
而 ，故
归一化的波函数为
（2）坐标几率密度取极值的条件
即x＝0时坐标几率密度取极大值，其值为
9．设粒子归一化波函数为 ，求在 范围内找到粒子的几率。
解：波函数已归一化，故在 范围内找到粒子的几率，应将x,z分量积分掉即
10．写出几率守恒的积分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算：
4．对于质量为 、角频率为 的三维各向同性的谐振子，其势能表达式为，由于其势能表达式的特殊性，所以求解三维各向同性的谐振子的本征值和本征函数可以在三种坐标中进行，但是在不同坐标系中求解所选守恒量完全集不同，在球坐标系中常选为守恒量完全集，在柱坐标系常选为守恒量完全集中在直角坐标系中常选为守恒量完全集。
（2）粒子动量p的平均值 、 及动量不确定度（涨落） ；
（3） ，并验证测不准关系；
解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为
（1）粒子坐标的平均值：
（2）动量的平均值：
（3） ，满足测不准关系
2．粒子被限制在如下势场中运动，试写出粒子所满足的Schrodinger方程（粒子能量 ），并确定其边界条件。（不需要具体计算，所写方程要最简（参数引人））
（C1，C2为常数）
同理
8．设粒子处于 状态中，求 和 （提示：首先利用升降算符 ，证明
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.7-5#4
（0） 基态是非简并的，能级为 E 11 ，本征函数为
0） （ 11 ＝ sin
2 a
x
a
sin
y
a
（0） 第一激发态是二重简并的，能级为 E 12 ，本征函数为
2 x 2 y sin a a a 2 x y 0） 2 （ sin 21 ＝ sin a a a 基态能级的一级修正等于 H 的平均值，即 4 a a x 2 y (1) (0) (0) E11 11 | H | 11 2 xy sin 2 sin dxdy a 2 a 0 0 a a 4
解期望方程可得能级的一级修正为
（1） E 12 H H
4
a2
256 1024 a 2 a 2 (1 ) 4 81 4 81 4
a 2 a / 2 2 2 [ x(1 cos x)dx a (1 cos x)dx 2 0 a/2 a a a a 2 x(1 cos x)dx] a/2 a
2 1 2 a 2 a2 2 a/3 [( x x sin x sin x ) 0 a( x 2 2 a 2 2 a 4 a a 2 1 a 2 a2 2 a a sin x ) a / 2 ( x2 x sin x 2 cos x ) a/2] 2 a 2 2 a 4 a
5.8 一维无限深势阱（ 0 x a ）中的粒子，受到微扰
x 2 a H 2 (1 x ) a
a (0 x ) 2 a ( x a) 2
作用，求基态能量的一级修正值。
解：
基态波函数（零级近似）为
1( 0 )
1( 0 ) 0
曾谨严量子力学习题解答5
= − nx − iny 1+ nz
2
归一化本征函数为
φ−1
(θ
,ϕ
)
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎣−
sin θ 2
θ cos
eiϕ
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
或
⎡⎢⎢⎢⎢⎣−sicnoθs2θ2e
−iϕ /
eiϕ
2 /2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⑻
或
φ1(nr) =
或
1 ⎡ 1+ nz ⎤
2 (1 +
nz
)
⎢⎣nx
+
iny
⑷
由⑶、⑷可解得: a = −b = 1 2
所以 σ x的本征态为:
ψ− =
1 ⎛1⎞
2
⎜ ⎝
−1⎟⎠
5.《曾 p.442-练习2》
在σ z 表象中,求 σr ⋅ nr 的本征态,nr (sinθ cosϕ,sinθ sinϕ, cosθ ) 是 (θ ,ϕ )方向的单位
矢量.
解:在σ z 表象中, pauli 算符σ 的矩阵表示为
σx
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
,
σ
y
=
⎡0 ⎢⎣ i
−i⎤ 0 ⎥⎦ ,
σz
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
⑴
因此
σn
= σr
⋅ nr
= σ xnx
+σ
yny
+ σ znz
=
⎡
⎢ ⎣
nx
nz + iny
nx − iny ⎤
−nz
⎥ ⎦
=
⎡ cosθ ⎢⎣sinθ eiϕ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年硕士研究生入学考试试题
科目代码及名称： 619 量子力学A 适用专业：理论物理 凝聚态物理
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1.（20分）简述题：
（1） 简述波函数(,,,)xyzt的统计解释；
（2） 简述量子态叠加原理。
2．（30分）一维无限深势阱
(0)()0 (0)xxaUxxa，或
，
中运动的粒子的能量本征函数为2sin (0)0 (0)nnxxxaaaxa或，相应的能量本征值为
222
2
(1, 2, )2nnEna
。若粒子初始状态的波函数为
2()cossinxx
xAaa
，求：（1）归一化常数A; （2）粒子能量的可能取值；（3）粒子能量的平
均值。
3. （30分）已知角动量算符关系式 2222ˆˆˆˆxyzllll，以及角动量各分量间
的对易关系 ˆˆˆ[,],,,,,llilxyz，其中Levi-Civita符号
在下标为xyz时等于1，即1xyz，当任何两个相邻下标交换位置时
改变正负号，例如：xyzxzy，有两个下标相同时为0，
第 1 页，共 3 页
例如：0xxz。请证明：2ˆˆ[,]0,,,llxyz。
4. （30分）一维线性谐振子的哈密顿算符可表示为†1ˆˆˆ,2Haa
其本征方程为†11ˆˆˆ,22Hnaannn其中产生
算符†ˆa与消灭算符ˆa满足以下关系式：
††
ˆˆˆˆ
[,]1,1,11aaannnannn
且与坐标算符及动量算符之间满足如下关系：
††
11
ˆˆˆˆˆˆ
,
22xaapaai
。
能量本征态之间满足正交归一性关系nnnn。
请计算以下算符矩阵元：
2
ˆ
ˆˆ
;;.nHnnxnnxn
5. （20分）若函数fx存在任意阶导数，则相应的算符函数可有以下泰勒
展开式：
()0(0)()!n
n
nffAAn
其中上标()n表示n阶导数。已知1001z，201,2!cosnnnnxx
2101,21!sin,nnnnxxx
。请证明：
cossinizzei为常数
6. （20分）角动量z分量算符为ˆzli， 求ˆzl的本征态和本征值（提
示：体系的状态在绕z轴旋转2后保持不变）。