难点31 数学归纳法解题
数学归纳法精品教案
数学归纳法精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理以及应用。
重点讲解数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤，并通过典型例题，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，能熟练运用数学归纳法证明问题；2. 掌握数学归纳法的证明步骤，提高逻辑推理能力和解决问题的能力；3. 能够运用数学归纳法解决实际问题，培养数学应用意识。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中，归纳假设的运用和归纳步骤的推理。
教学重点：数学归纳法的概念、原理和证明步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题，如“计算1+2+3++n的和”，让学生思考如何证明其结论。
2. 新课导入讲解数学归纳法的概念和原理，阐述其两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3. 例题讲解选取一道典型例题，如“证明对于任意正整数n，都有1+3+5++(2n1)=n^2”，详细讲解数学归纳法的证明过程。
4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的练习，巩固所学知识。
5. 知识拓展引导学生思考数学归纳法在实际问题中的应用，如等差数列求和、二项式定理等。
6. 课堂小结七、作业设计1. 作业题目：（1）利用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2；（2）已知数列{a_n}，a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，证明对于任意正整数n，a_n都是奇数。
2. 答案：（1）证明过程略；（2）证明过程略。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思2. 拓展延伸引导学生深入研究数学归纳法在其他数学分支中的应用，如数列、组合数学等。
同时，鼓励学生参加数学竞赛，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定；2. 例题讲解的详细程度；3. 随堂练习的设计与实施；4. 作业设计中的题目难度和答案的详细性；5. 课后反思及拓展延伸的实际操作。
数学归纳法
【方法指导】
“归纳——猜想——
证明”的模式，是不完全归纳法与数
学归纳法综合应用的解题模式，这种
方法在解决探索性问题、存在性问题
时起着重要作用，它的模式是先由合
情推理发现结论，然后经逻辑推理证
明结论的正确性．这种思维方式是推
动数学研究和发展的重要方式．
考点4 用数学归纳法证明几何问题
例4 平面上有n个圆，其中任何两圆都相
用数学归纳法证明与n有关的不等式一
般有两种具体形式：一是直接给出不 等式，按要求进行证明；
二是给出两个式子，按要求比较它们
的大小．对第二类形式，往往要先对n
取前几个值的情况分别验证比较，以
免出现判断失误，再猜出从某个n值开
始都成立的结论，最后用数学归纳法
证明．
例2
用数学归纳法证明：
n 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋„＋ n≤ ＋n(n∈N*)． 2 2 3 2 2
后从理论上证明(或否定)这种猜想，这
个过程叫做“归纳—猜想—证明”．
课前热身
1． 已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋ „ － ＝ n 2 3 4
1 1 1 2n＋2＋n＋4＋„＋2n时，若已假设
n
＝k(k≤2 且 k 为偶数)时命题为真， 则还 需要用归纳假设再证( )
【思路分析】 进行证明即可．
按数学归纳法的步骤
【证明】 (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1， 1 右边＝2(1＋ －1)＝1， 2 左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k) －1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图(1)
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章第六节“数学归纳法”。
详细内容包括数学归纳法的定义、数学归纳法证明的步骤、数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义和证明步骤。
难点：运用数学归纳法证明数学问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题（如：1+2+3++n的计算公式）引入数学归纳法。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的定义和证明步骤；（2）以等差数列求和公式为例，详细讲解数学归纳法证明过程。
3. 随堂练习让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，如：1^2+2^2+3^2++n^2=(n(n+1)(2n+1))/6。
4. 课堂讲解（1）讲解数学归纳法在实际问题中的应用；（2）分析学生在随堂练习中遇到的问题，给出解答。
六、板书设计1. 板书数学归纳法的定义、证明步骤和应用。
2. 板书随堂练习的题目和解答过程。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2；（2）C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)++C(n,n)=2^n。
2. 答案：见教材课后习题解答。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的定义和证明步骤掌握程度，以及对实际问题的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在解决更复杂数学问题中的应用，如：数列的通项公式、组合恒等式等。
重点和难点解析：1. 教学难点与重点的明确；2. 例题讲解的详细程度；3. 随堂练习的设计与指导；4. 作业设计中的题目难度与答案解析；5. 课后反思及拓展延伸的深度。
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章第四节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、步骤和证明方法，以及数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤，并能运用数学归纳法证明简单的数学问题。
2. 通过实践，培养学生运用数学归纳法解决问题的能力，提高逻辑思维能力。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个有趣的数学问题，如“一个台阶问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2. 新课导入：讲解数学归纳法的概念、步骤和应用，结合具体例题进行讲解。
3. 例题讲解：选用一道典型的数学归纳法证明题，详细讲解证明过程，强调第二步证明的关键点。
4. 随堂练习：布置几道数学归纳法证明题，让学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
6. 课堂小结：对本节课所学内容进行回顾，强调重点，解答学生疑问。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法概念（2）数学归纳法步骤（3）数学归纳法证明方法（4）数学归纳法应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：见附录。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握数学归纳法的程度，以及证明过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：引导学生探讨数学归纳法在其他数学问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
附录：作业答案1. 证明：1+3+5++(2n1)=n^2证明过程略。
2. 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2证明过程略。
数学归纳法
解析：(1)由 bn＝an－1 得 an＝bn＋1 代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1. 整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1, 1 ∵bn≠0，否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾，从而得 － ＝1. bn＋1 bn 1 ∵b1＝a1－1＝1， ∴数列b 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列． n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)∵Sn＝1＋2＋3＋„＋n， 1 1 1 1 1 ∴ Tn ＝ S2n － Sn ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ „ ＋ n ＋ ＋ „ 2n － n＋1 1 1 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ ＝ ＋ ＋ „ ＋ . 2 3 n 2 n n＋1 n＋2 1
(3)用数学归纳法证明： 1 n ①当 n＝1 时 1＋2＝1＋2， 1 1 1 S2n ＝1＋ ， ＋n＝ ＋1，不等式成立； 2 2 2 ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 1 k 1＋2≤S2k≤2＋k，那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 k S 2k 1 ＝1＋ ＋„＋ k＋„＋ k＋1≥1＋ ＋ k 2 2 2 2 ＋1＋„＋2k＋1>1＋ 2
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加的项数是 ( A) A．2k C．2k－1 B．2k－1 D．2k＋1
题型二、证明等式问题
用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n ＝k＋1时命题成立，要从n＝k＋1时待证的目 标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等 式的一端，再运用归纳假设即可．同时，还 要注意待证的目标恒等式的另一端的变化， 即用“k＋1”替换恒等式中的所有“n”．
考纲要求
温故夯基·面对高考
1．数学归纳法的适用对象
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、步骤和应用。
重点讲解数学归纳法的基本原理，并通过实例演示如何运用数学归纳法证明数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的基本原理。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法》学习笔记、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个与数学归纳法有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和步骤。
（2）以实例演示数学归纳法的证明过程，强调第二步的证明方法。
3. 随堂练习让学生独立完成一道数学归纳法证明题目，教师巡回指导。
5. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念和步骤（2）数学归纳法证明实例（3）随堂练习题目七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生的掌握程度，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生研究数学归纳法在数学竞赛中的应用，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
2. 例题讲解：数学归纳法的概念和步骤的详细解释。
3. 随堂练习：学生独立完成证明题目的过程和教师的巡回指导。
4. 作业设计：作业题目的难度和答案的详细解释。
5. 课后反思及拓展延伸：学生对数学归纳法掌握程度的评估和竞赛级应用的探索。
详细补充和说明：一、教学难点解析归纳假设的正确性：学生必须明白归纳假设是在前一步的基础上得出的结论，是可信的。
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过实例分析，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤及证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数学归纳法，如“爬楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2. 新课讲解：（1）讲解数学归纳法的定义，解释其原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）教师点评，指出学生存在的问题，并进行讲解。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤（3）例题及证明过程（4）课堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）让学生了解数学归纳法在其他数学领域的应用，如数列、组合数学等。
（2）探讨数学归纳法与递归思想的关系，提高学生的逻辑思维能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计3. 板书设计4. 作业设计5. 课后反思及拓展延伸一、教学难点与重点的确定教学难点与重点的确定是教学过程中的关键环节。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。
2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。
2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。
3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。
六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。
3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。
七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。
九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。
数学归纳法
¬q ⇒r ⇒L⇒t
问题1 今天，据观察第一个到学校的是男同学， 问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学， 第二个到学校的也是男同学， 第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是 男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 数列{a 的通项公式为a 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2, 计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列 的通项公式为： {an}的通项公式为：an＝1. 问题3 三角形的内角和为180 180° 问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和 180° 角和为3 180° 于是有： 为2 · 180°，五边形的内 角和为3 · 180°，于是有： 边形的内角和为(n (n180° 凸n边形的内角和为(n-2) · 180°. 问题4 数列为{1,2,4,8} {1,2,4,8}， 问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为 (n≤4， an=2n-1(n≤4，n∈N* ) 请问： 以上四个结论正确吗？为什么? 请问： 以上四个结论正确吗？为什么? 得出 以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
n +n 2
4
2
当n=k+1时， 时
k +k L假设n = k(k ∈N )时成立，即1+ 2 +L+ k = )时 2
4 * 2
2
多少项？ 2k+1 多少项？
1+2+3+…+k2+ (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 k4 + k2 2 = +(k2 +1)+(k2 + 2)+L+ + +1) (k 2 2 4 k +k = +(2k+1)k2 +(1+ 2 +L+ 2k +1) 2 k4 + 4k3 + 7k2 + 6k + 2 = 22 4 3 3 2 2 k + 2k + k + 2k + 4k + 2k + 2k + 4k + 2 = 2 2 4 2 2 2 2 (k +1) +(k +1) k (k +1) + 2k(k+1) + 2(k+1) = L = 2 2
数学归纳法教学设计完整版课件
数学归纳法教学设计完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第四章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和步骤，以及数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。
教学重点：数学归纳法的概念、原理和步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题：“计算1+2+3++100的值”，让学生尝试解决，引导学生思考是否有更简便的方法。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）通过具体例题，演示数学归纳法的步骤。
（3）分析例题中的关键步骤，强调逻辑推理的重要性。
3. 随堂练习（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
（2）证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
4. 答疑解难针对学生在练习中遇到的问题，进行解答和指导。
回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的概念、原理和步骤。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念和原理（2）数学归纳法的步骤（3）例题及解答（4）随堂练习及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+4+9++n^2= n(n+1)(2n+1)/6。
（2）运用数学归纳法证明：3^n>2^n (n为正整数)。
2. 答案：（1）证明：1+4+9++n^2= n(n+1)(2n+1)/6。
（2）证明：3^n>2^n (n为正整数)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念、原理和步骤掌握情况。
2. 拓展延伸：（1）探讨数学归纳法在数学竞赛中的应用。
（2）研究数学归纳法在解决实际问题中的应用。
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难点31 数学归纳法解题 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)1(nn(an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.
证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=qb,c=bq(q＞0且q≠1)
∴an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn)＞2bn (2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想2nnca＞(2ca)n(n≥2且n∈N*) 下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222)2(2caca
②设n=k时成立，即,)2(2kkkcaca 则当n=k+1时，41211kkca (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c) ＞(2ca)k·(2ca)=(2ca)k+1 ［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－21成等比数列. (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
错解分析：(2)中，Sk=－321k应舍去，这一点往往容易被忽视.
技巧与方法：求通项可证明{nS1}是以{11S}为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式. 解：∵an,Sn,Sn－21成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－21)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－32 由a1=1，a2=－32,S3=31+a3代入(*)式得：a3=－152 同理可得：a4=－352,由此可推出：an=)1( )12)(32(2)1( 1nnnn (2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立. ②假设n=k(k≥2)时，ak=－)12)(32(2kk成立
故Sk2=－)12)(32(2kk·(Sk－21) ∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=321,121kSkk (舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1－21),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－21)
.1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即knkkaakaakaak
kkkkkk
由①②知，an=)2()12)(32(2)1(1nnnn对一切n∈N成立. (3)由(2)得数列前n项和Sn=121n,∴S=limnSn=0. ●锦囊妙记 (1)数学归纳法的基本形式 设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立. (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空题
3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222…则可归纳出_________.
4.(★★★★)已知a1=21,an+1=33nnaa,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________. 三、解答题 5.(★★★★)用数学归纳法证明412n+3n+2能被13整除，其中n∈N*.
6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：2413212111nnn.
7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+nb1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与31logabn+1
的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limnS2n＜3,
求q的取值范围. 参考答案 难点磁场
解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有10113 3970)24(2122)(614cbacbacbacba 于是，对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=)10113(12)1(2nnnn 记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 设n=k时上式成立，即Sk=12)1(kk (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2)1(kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 =12)2)(1(kk (3k2+5k+12k+24) =12)2)(1(kk［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是说，等式对n=k+1也成立. 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立. 歼灭难点训练 一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C 2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3. 答案：C
二、3.解析：11112)11(112321122即
12122)12(1)11(11,35312112222即
112)1(131211222nnn归纳为(n∈N
*) 112)1(131211:222nnn答案(n∈N
*)
53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112naaaaaaaaan猜想
同理解析
73:答案、83、93、103 53n 三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除 (2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴当n=k+1时也成立. 由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
6.证明：(1)当n=2时，2413127221121
(2)假设当n=k时成立，即2413212111kkk
2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当
7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得311452)110(10101111dbdbb,∴bn=3n－2 (2)证明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+…+loga(1+231n)
=loga［(1+1)(1+41)…(1+ 231n)］ 而31logabn+1=loga313n,于是，比较Sn与31logabn+1的大小比较(1+1)(1+41)…(1+231n)与313n的大小. 取n=1，有(1+1)=33311348
取n=2，有(1+1)(1+33312378)41 推测：(1+1)(1+41)…(1+231n)＞313n (*) ①当n=1时，已验证(*)式成立. ②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231k)＞313k
则当n=k+1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3kkkk
3131323k
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