【名师一号】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练13(含解析)新人教A版选修1-1
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1
解析答案
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2). 解 设所求双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1(16－k>0，4＋k>0)， ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴136－2k2－4＋4 k＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
∴c＝ a2＋b2＝ 16＝4.
∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，
渐近线方程为 y＝± 33x，离心率 e＝2.
解析答案
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为153； 解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
当λ<0时，焦点在y轴上.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率、渐近线方程. 解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程x92－y42＝1，即3x22－2y22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13.
答案 不一样.椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1.
(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
答案 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；
反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线， 如具有相同的渐近线 y＝±bax 的双曲线可设为ax22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)， 当λ>0时，焦点在x轴上，
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质练习 新人教A版高二选修1-1数学
2.3.2 抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．过点(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：∵点(2,4)在抛物线上，∴与抛物线只有一个公共点的直线有2条，即一条与抛物线相切，另一条与对称轴平行．故选B.答案：B2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：∵A (－2,3)在y 2＝2px 的准线x ＝－p2上，∴－p2＝－2，∴p ＝4.∴y 2＝2px 的焦点F (2,0)， ∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.故选C.答案：C3．(2019·某某月考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，以PF 为半径的圆P 与y 轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OB →＝7OA →，则圆P 的半径r ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：设P (a ，b )，则4a ＝b 2，F (1,0)，r ＝|PF |＝a ＋1，则圆P 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝(a ＋1)2，令x ＝0，则y 2－2by ＋b 2－2a －1＝0，∴y 1y 2＝b 2－2a －1，y 1＋y 2＝2b . 设A (0，y 1)，B (0，y 2)， ∵OB →＝7OA →，∴y 2＝7y 1.又y 1＋y 2＝2b ，y 1y 2＝b 2－2a －1，∴y 1＝b 4，y 2＝7b 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧7b 216＝b 2－2a －1，b 2＝4a ，∴a ＝4，∴r ＝5，故选D.答案：D4．(2019·甘谷一中期中)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为( )A ．2 2B ．4C ．8D ．4 2解析：如图所示，A ，B 在准线l 上的射影分别为A ′，B ′.作BN ⊥AA ′于N ，则|AF |＝|AA ′|＝6，|BF |＝|BB ′|＝3， ∴|AN |＝|AA ′|－|BB ′|＝3， ∴cos ∠NAB ＝13，∴tan ∠NAB ＝22， ∴k AB ＝22，设AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝5p 4，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9p4＝9，∴p ＝4.故选B. 答案：B5．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：当直线l 的斜率不存在且0<r <5时，必有两条直线满足题设， 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)，∴2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 0， 即k ＝2y 0.∵直线AB 与圆相切，切点为M ，则 y 0x 0－5·2y 0＝－1，∴x 0＝3. ∵(x 0，y 0)在抛物线内部， ∴y 20<4x 0， ∴y 20<12.∴r 2＝(x 0－5)2＋y 20＝4＋y 20∈(4,16)， ∴r ∈(2,4)，故选D. 答案：D6．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2， ∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ， 则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2， 解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.答案：B 二、填空题7．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的左顶点为(－1,0)，由题意得－p2＝－1，∴p ＝2.答案：28．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：如图所示．过点A 作AA ′垂直准线，交准线于A ′，过点B 作BB ′垂直准线，交准线于B ′，∴|AF |＝|AA ′|＝3，又F (1,0)，∴A (2,22)．∴AB 的方程为y ＝22(x －1)， 代入y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，∴|BF |＝12＋1＝32.答案：329．(2019·西城模拟)已知点A (2,1)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则最小值为________；此时P 点的坐标为________．解析：∵12<8，∴A 在抛物线内部．设P 到准线的距离为d ， ∴|PA |＋|PF |＝d ＋|PA |≥2＋1＝3，即当y ＝1，x ＝y 24＝14时，|PA |＋|PF |的值最小，∴|PA |＋|PF |的最小值为3，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 答案：3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 三、解答题10．(2019·某某月考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段|AB |＝20，求线段AB 的中点到y 轴的距离； (2)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程． 解：(1)由题意知，p ＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋2＝20， ∴x 1＋x 2＝18，∴x 1＋x 22＝9，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为9. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，∴x 0＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝2k.∵AB 的中点在直线y ＝2上，∴2k＝2，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －1.11．如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)某某数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.∵直线l 与抛物线相切， ∴Δ＝16＋16b ＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)知，b ＝－1，∴x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 把x ＝2代入x 2＝4y ，得y ＝1，故A (2,1)． ∵圆A 与抛物线C 的准线相切，∴圆A 的半径r 就等于圆心A 到准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 故圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意知，直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 并整理，得4x 2－5px ＋p 2＝0.∴x 1＋x 2＝5p4，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝54p ＋p ＝9，解得p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0为4x 2－20x ＋16＝0.即x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.于是y 1＝－22，y 2＝4 2.从而A (1，－22)，B (4,42)，∴OA →＝(1，－22)，OB →＝(4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)，∵OC →＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，∴x 3＝4λ＋1，y 3＝42λ－2 2. 又y 23＝8x 3，∴(42λ－22)2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1. 解得λ＝0或λ＝2.13．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，且x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此直线l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.若圆心为(3,2)，则AB 为直径，∴半径为4，圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16， 若圆心为(11，－6)，则圆的半径r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|11＋6－1|22＋42＝144， ∴圆的方程为(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
名师一号高中数学新课标人教a版选修1 1综合测试题含答案解析含答案
综合测试题)分满分：150(时间：120分钟分．在每小题60小题，每小题5分，共一、选择题(本大题共12)给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列说法正确的是(1 A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”2＝0有实根”不是命题－4x＋a B．语句“当a>1时，方程x C．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题2 0有实根”是假命题4x＋a＝D．命题“当a>4时，方程x－D答案”是真命题，那么下列结论中正确的是綈q2．如果命题“綈p且) ( ”是真命题．“p且q p或q”是真命题BA．“．以上都有可能”为真命题DC．“綈p均为真命题，即，綈qp且綈q”是真命题，则綈綈解析若“p C.、命题q都是假命题，故选命题p C答案2222y3xyx的离心率为，则双曲线－>0)＝1的＝3．若椭圆＋1(a>b2222 b2aba渐近线方程为()1A．y＝±x B．y＝±2x21D 4＝．C y±x．y＝±x4．222ba－1c3bc3，＝＝＝，∴＝，可知＝解析由椭圆的离心率e22224aaaa1A.，选±x故双曲线的渐近线方程为y＝2A答案22表示的曲线不可能是＝y4sin4．若θ是任意实数，则方程xθ＋)( B．双曲线．椭圆 A D ．圆C．抛物线1时，曲线表示圆．sinθ＝解析当<0时，曲线表示的双曲线．当sinθ1时，曲线表示椭圆．sinθ≠当sinθ>0，且C答案3) 处的切线方程为(＋1在点(－5．曲线y＝x1,0)0 ＝＋3．3x－y B．3x＋y＋3＝0 A0＝－33x－y D x C．3－y＝0 ．2 3，，∴y′3解析y′＝x＝| 1x＝－0. 3＝－y＋3(x＋1)，即3x＝故切线方程为y B答案)．下列命题中，正确的是(6π轴对称的充分不必要条件的图象关于yx－2θ)(A．θ＝是fx)＝sin( 4 的方向相同b的充要条件是a 与|b|＝a－b|||B．a|－b＝ac是a，b，c三数成等比数列的充分不必要条件．CD．m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件A答案．2) 等于(x在x＝1处取得极值，则)7．函数f(x＝xa＋a ln2 ．－BA．24DC．4 ．－∞)，(x)的定义域为(0，＋解析fa x＋，(x)＝2又f′x2. a＝－＋a＝0，∴f∴由题可知，′(1)＝2?＋1－1??x?2x2 ，2x －＝′＝－2时，f(x)＝当a xx)<0. xf′(<1当0<x 时，，(x)>0当x>1时，f′＝1处取得极值．f(x)在x∴B. 故选B 答案22yxP，F，F>0)＝．设椭圆C：＋1(a>b的左、右焦点分别为82221ba)C的离心率为(＝PFFPF是C上的点，⊥F，∠F30°，则2121213B. A.3631D.C. 32．. ＝3m，|FF|m|解析设|PF|＝m，则PF|＝221213c3mc2.＝＝＝故离心率e＝32aam＋2m D答案．给出下列三个命题：9ba；1，则≥a≥b>－①若b＋a1＋1nn满足m≤n，则m?n②若正整数m和－m?≤；222＝9上任一点，圆O以Q(＋ya，b)：x③设P(，y)为圆Ox为圆211122＝2时，圆O与圆y)O相切．a心且半径为1.当(－x)b＋(－2111其中假命题的个数为()A．0个B．1个D．2个3个C．解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图象，则正确的判断是()上是增函数；3,1)－(在)x(f①．x)的极小值点；x＝－1是f(②1,2)上是增函数；)在(2,4)上是减函数，在(－③f(x )的极小值点．＝2是f(x④x B．②③A．①②③D ．①③④C．③④为减函数，当x)，(2,4)时，f(解析从图象可知，当x∈(－3，－1) 为增函数，时，f(x)－x∈(1,2)，(4，＋∞) 的极小值点，是f(x)∴x＝－1B. 的极大值点，故选是f(x)x＝2B答案22yx，F>0)的左、右焦点分别为F，11．已知双曲线－＝1(a>0，b2221ba2a222，＝4ab|PF，|PF|·PF是直线l：x＝(c＝a＋b|)上一点，且PF⊥P2211c)(则双曲线的离心率是3 B.2 A.D. 3C. 2|PFPF|·|Rt△PFF中，有|A解析设直线l与x轴交于点，在22112222aab4aab22)c＋c－)·(F|·|A|，则＝(||P|·|A|，则|PA＝，又|PA＝|FAF＝|F22112cccc44ac－c2222222＝3.选c B.，从而(ce＋a3)，即a＝4，即＝a＝b＝b2ac答案 B32＋mx＋1在(x－∞，＋∞)内单调递增，q：xp12．设：f()＝x＋28xm ≥对任意x>0恒成立，则p是q的()24＋x A．充分不必要条件B．必要不充分条件．既不充分也不必要条件D ．充要条件C．，＋∞0在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥解析f(x)在(－42；≥即m∈R恒成立，故Δ≤0，＋∞)上恒成立，即3x4x＋m≥0对任意x388x8x8x，＝≤2>0恒成立，即m≥()，因为对任意m≥x222max44x4x＋＋4x＋＋x x的必要不充分条是q 成立，故m≥2.易知p当且仅当x＝2时，“＝”件．B答案分．请把正确答分，共20(本大题共4小题，每小题5二、填空题) 案填在题中横线上22yx的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为113．以－＝－124 ．________22xy，±4)，顶点坐标为(0＝解析∵双曲线－1的焦点坐标为(0，412 ±，23)a3)±，在椭圆中2(0，±4)，焦点坐标为(0，∴椭圆的顶点坐标为2＝4.3，，＝4c＝b222yx∴椭圆的方程为＋＝1. 16422yx答案＋＝1 16414．给出下列三个命题：①函数y＝tan x在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为π，其中假命题的序号是________________．．π9π9ππ解析①不正确，如x＝时tan x＝1，当x＝时tan x＝1，而>，4444．1是奇函数，但图象不过＝不是增函数；②不正确，如函数y所以tan x x原点；③正确．①②答案则它)无盖的水箱，324的方底(底为正方形15．若要做一个容积为时，材料最省．________的高为把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然解析的函数关系式．后列出所用材料和面积关于边长a，设水箱的高度为h，底面边长为a3242，水箱所用材料的面积是h＝那么V＝ah＝324，则2a1 29622，S＝a＋4ah＝a＋a1 29633 3，得－＝0a＝648，a＝，62令S′＝a2a3243243 3h∴＝＝＝，32a32??363 时，材料最省．3经检验当水箱的高为3333答案x2e)＝(2x－x，给出以下几个结论：)16．已知f(x是极大值；((f2)－2)是极小值，f{①f(x)>0的解集是x|0<x<2}；②)有最大值，没有最小值．fx)没有最小值，也没有最大值；④(x③f( ________．其中判断正确的是2x)f，故①正确．由(x－x>0.∴0<x<2，又f解析(x)>0e，∴>02x xx22e，(2(，得f′x)＝－x)xx＝(2－)e2.x2x0)(f令′x＝，得＝－，＝21．)单调递减；x)<0，fx∵当<(－2或xx>2时，f′( x)单调递增．x)>0，f(当－2<x′<2时，f( (2)为极大值，故②正确．(2)－是极小值，f∴f由②知，f为最大值，没有最小值，故③错，④正确．(2) 答案①②④解答应写出必要的文字三、解答题(本大题共6个小题，共70分．) 说明、证明过程或演算步骤2，∈x R＋1>0.若m sin x＋cos x>，q(x)：x?＋mx)．17(10分)若p(x：m的取值范围．(x)为真命题，求实数p(x)为假命题，且qπ??＋x＝2sin∈，解∵sin x＋cos x??4??2.≥)为假命题，∴mx又?x∈R，p(2恒1>0＋mx为真命题，即对任意实数∈R，q(x)x，不等式x＋x?成立，2<2.，∴－2<m∴Δ＝m－4<02m的取值范围是)(x为假命题，q(x)为真命题，实数?故x∈R，p<2.m≤226yx：直线a>b>0)l的离心率为，＋)18．(12分已知椭圆C：＝1(2213ab的短半轴长为半径的圆相与以原点为圆心、以椭圆＝－xC＋22y1C的方程．切．求椭圆1222b－a26c222.3a＝＝，∴e＝＝，∴be解∵＝2233aa222b＝相切，x：y＝－2＋2与圆x＋yl∵直线2222＝a4∴＝，∴＝∴bb2.b＝，12.2．22yx∴椭圆C的方程是＋＝1.1412a19．(12分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．x(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x，y)为切点的切001线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．2x－aa1a解(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋(x>0)，则F′(x)＝－＝22xxxx(x>0)，∵a>0，由F′(x)>0，得x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上单调递增；由F′(x)<0，得x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上单调递减．∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．x－ax－a10(2)由(1)知F′(x)＝(0<x≤3)，则k＝F′(x)＝≤(0<x≤3)22002xx0恒成立，12即a≥(－x＋x)，max002112当x＝1时，－x＋x取得最大值，0002211∴a≥，∴a＝.min2220．(12分)已知定点F(0,1)和直线l：y＝－1，过定点F与直线l11相切的动圆圆心为点C.的轨迹方程；C求动点(1)．→→(2)过点F的直线l交轨迹于两点P，Q，交直线l于点R，·求RPRQ12的最小值．解(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l的距离，且F不在1l上1∴点C的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．12＝4y∴所求轨迹的方程为x.(2)由题意知，直线l的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程22－4kx－4y得x＝0.联立消去设P(x，y)，Q(x，y)，2211则x＋x＝4k，xx＝－4. 22112又易得点R的坐标为(－，－1)．k22→→，y＋1)·∴RPRQ(x＋，y·＋＝(x＋1) 2112kk22＝(x＋)(x＋)＋(kx＋2)(kx＋2) 2121kk2424 ＋＋)k)(x＋x＋＋)＝(1＋kxx(222211kk2424＋＋k＋(4)＋＝－4(1k＋k2)2kk128.＋k＋)＝4(2k122时取等号，＝1＋≥2，当且仅当k∵k2k→→≥4×2＋8＝16，·∴RPRQ→→的最小值为16. 即RP·RQ22＋14x. x)＝－x)＝xg－8ln x，(．21(12分)已知函数f(x(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．8解(1)因为f′(x)＝2x－，x所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6，又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)，即y＝－6x＋7. 2?x＋2??x－2?，(2)因为f′(x)＝x又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．2＋49，所以g(x)在(－∞，7)(又gx)＝－(x－7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，，2a≥??则1)上均为增函数，a(，a＋)f(x与g(x)在区间欲使函数?，≤7a＋1??解得2≤a≤6.故a的取值范围是2－8ln x－14x＝m原方程等价于(3)2x，2.m＝)x(h，则原方程即为x14－x8ln－x2＝)x(h令．的图象m与y＝时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)因为当x>0 轴右侧有唯一的交点．在y?x＋122?x－4??8 x>0，－－14＝，且x又h′(x)＝4xx)<0.(xx<4时，h′h所以当x>4时，′(x)>0；当0<＝x在h(x))在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h即(x处取得最小值，4－16ln2＝h(4)＝－从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m24.3，轴上，离心率为)已知椭圆的中心在原点，焦点在x22．(12分2 两点．A，By＝x＋m交椭圆于且经过点M(4,1)，直线l：求椭圆的方程；(1)轴能否围成等腰三xMB与不过点M，试问直线MA，(2)若直线l角形？22yx，>b>0)＝解(1)根据题意，设椭圆的标准方程为＋1(a22ba322222. b＝a＝，4－b＝c，所以a因为e2161又椭圆过点M(4,1)，所以＋，1＝22ba22＝20，＝5，b则可得a22yx故椭圆的方程为＋＝1.52022yx(2)将y＝x＋m代入＋＝1并整理得52022－20＝m0，5x ＋8mx＋422)mΔ＝(8－20)>0，得－5<m<5. －20(4m设直线MA，MB 的斜率分别为k和k，21A(x，y)，B(x，y)，21122－204m8m则x＋x ＝－，xx＝. 212155y－1y－121k＋k＝＋214－4x－x21?y－1??x－4?＋?y－1??x－4?1221＝.?－44??x?x－21上式分子＝(x＋m－1)(x－4)＋(x＋m－1)·(x－4) 1212＝2xx＋(m－5)(x＋x)－8(m－1) 21122－20?8m?m－5?42?m＝－－8(m －1)＝0，55即k＋k＝0.21所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练12(含解析)新人教A版选修11
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练12（含解析）新人教A 版选修1-11．抛物线x 2＝－8y 的准线方程是( ) A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2答案 B2．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4答案 D4．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段D ．直线 解析 点(3,5)在直线2x ＋3y －21＝0上，所以到点(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线．答案 D5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( ) A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x答案 B6．如图，l为南北方向的公路，A地在公路正东2 km处，B地在A地东偏北30°方向2 3 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建费用都为a万元/km，那么修建这条公路的总费用最低是________万元．( )A．(2＋3)a B．2(3＋1)aC．5a D．6a解析由抛物线的定义知，曲线PQ为抛物线，要使修建费用最低，可从B作l的垂线，其垂线段长为5 km，所以最低费用为5a万元．答案 C7．已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则点P的轨迹方程为________．解析由题意可知点P到(3,0)的距离与到x＝－3的距离相等，故P的轨迹是抛物线，p＝6，∴方程为y2＝12x.答案y2＝12x8．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到直线x＝－1的距离为________．解析 如图所示，B (1,0)是抛物线y 2＝4x 的焦点，直线l ：x ＝－1是抛物线的准线，过A 作AA ′⊥l 于A ′，则|AA ′|＝AB ＝6.则M 到直线x ＝－1的距离为6＋22＝4.答案 49．若抛物线y 2＝8x 上一点A 到焦点的距离为6，则该点的横坐标为________． 解析 设横坐标为x 0，抛物线的准线为x ＝－2， 则x 0＋2＝6，x 0＝4. 答案 410．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．解 由抛物线定义，设焦点为F (－p2，0)．则准线为x ＝p2，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝10.即 p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9,6)，或M (－9，－6)．11．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，得(a2)2＝－2p (－a4)，p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.由点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13 m.12．已知抛物线的焦点在坐标轴上，且抛物线上的一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值及抛物线的标准方程．解 ①当抛物线开口向下时，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，此时准线为y ＝p2，由抛物线的定义知，p2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y .将(m ，－3)代入方程，得m 2＝24，m ＝±2 6.②当抛物线的开口向左或向右时，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)． 由p ＝|a |知，准线方程可统一为x ＝－a2.于是⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2－m ＝5，2am ＝9.解此方程组有四组解⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，m 1＝92，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－1，m 2＝－92，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝9，m 3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－9，m 4＝－12.∴抛物线方程为y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12.。
新人教版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程达标练新人教A版选修1_1
2.2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线-=1的焦距为10，则实数m的值为( )A.-16B.4C.16D.81【解析】选C.因为2c=10，所以c2=25.所以9+m=25，所以m=16.2.在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程可变为-=1，又m·n<0，所以又可变为-=1.所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.3.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为( ) A.-1<k<1 B.k>1C.k<-1D.k>1或k<-1【解析】选A.由题意得解得即-1<k<1.4.已知双曲线-=1上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则点M到另一个焦点的距离为________. 【解析】由题意可知，a=4，b=，设焦点为F1，F2且|MF1|=6，则|MF2|-|MF1|=±2a=±8，所以|MF2|=6+8=14或|MF2|=6-8=-2(舍去).答案：145.双曲线中c=，经过点(-5，2)，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程是________. 【解析】因为c=，且焦点在x轴上，故可设标准方程为-=1(a2<6).因为双曲线经过点(-5，2)，所以-=1，解得a2=5或a2=30(舍去).所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.答案：-y2=16.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|-|PF2|=4.求动点P的轨迹E的方程.【解析】由椭圆的方程可化为+=1得|F1F2|=2c=2=8，|PF1|-|PF2|=4<8.所以动点P的轨迹E是以F1(-4，0)，F2(4，0)为焦点，2a=4，a=2的双曲线的右支，由a=2，c=4得b2=c2-a2=16-4=12，故其方程-=1(x≥2).。
【名师一号】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练8(含解析)新人教A版选修1-1
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练8（含解析）新人教A 版选修1-11．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C. 1D. 3解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝32.答案 B2．若椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 为( )A.1－54B.1＋52 C.12D.22解析 由a 2x 2－a2y 2＝1，得x 21a 2＋y 2－2a＝1，∴a ＜0，∵焦点(－2,0)，∴1a 2＋2a＝4，即4a 2－2a －1＝0，解得a ＝1－54，或a ＝1＋54 (舍去)．答案 A3．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．4,8B ．6,8C ．8,12D ．2,6解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，两圆的半径为R ，由题意可知|PM |＋|PN |的最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2R ，最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2R ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM |＋|PN |的最大值为8，最小值为4.答案 A4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析 由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3(1－x 204)，∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)， ∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， ∵－2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时， OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6，选C.答案 C5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3解析 把y ＝x ＋2代入x 2m ＋y 23＝1，并整理得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.Δ＝16m 2－4m (m ＋3)＝12m (m －1)， 由Δ>0，得m <0或m >1. ∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. 答案 B6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析 设椭圆的一个焦点F (1,0)，则直线l ：y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，并整理得3x 2－4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝43，∴y 1＝－1，y 2＝13.又OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝－13.答案 B7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析 由题意可知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝12－3＝9.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1.答案x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1 8．设P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＋|MF →|＝________. 解析如图所示，F 0为椭圆的右焦点，连接PF 0， 由OM →＝12(OP →＋OF →)，可知M 为PF 的中点， 则|OM →|＝12|F 0P →|，∴|OM →|＋|MF →|＝12|F 0P →|＋12|PF →|＝12(|F 0P →|＋|PF →|)＝a ＝2.答案 29．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，以坐标原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，∵四边形OAPB 是正方形，且PA ，PB 为圆O 的切线， ∴△OAP 是等腰直角三角形， 故b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝22. 答案2210．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 解 (1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a ＋－2b ＝1，又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得x 2－x 1x 2＋x 116＋y 2－y 1y 2＋y 112＝0.整理得k AB ＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝0.11．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．解 (1)设P (x ，y )，依题意，有x －22＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， 6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.12．如图椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a ＋y 2b＝1.(a >b >0)由e ＝12，得c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴x 24c 2＋y 23c 2＝1.将A (2,3)代入，有1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为x ＝2.由椭圆E 的图形知，∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P (x ，y )为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有|3x －4y ＋6|5＝|x －2|，若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去． 于是3x －4y ＋6＝－5x ＋10，即2x －y －1＝0. ∴∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为 2x －y －1＝0.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 双曲线的简单几何性质课时作业(含解析)新人教A版高
第二章 2.3 2.3.2 第1课时请同学们认真完成练案[15]A 级 基础巩固一、选择题1．(安徽安庆市2019－2020学年高二调研)“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3. ∵e ＝c a ＝1＋b 2a2＝1＋3m＝2， ∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ理，5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵ 离心率ca＝a 2＋b 2a＝3， ∴ a 2＋b 2＝3a 2.∴ b ＝2a (a >0，b >0)． ∴ 渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x . 故选A ．3．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( D )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 24＝1D ．x 24－y 212＝1[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D ．4．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( D )A ．433B ．23C ．6D ．4 3[解析] 双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0得：y 2＝12，y ＝±2 3 ，∴|AB |＝4 3.选D ． 5．已知双曲线以△ABC 的顶点B ，C 为焦点，且经过点A ，若△ABC 内角的对边分别为a ，b ，c .且a ＝4，b ＝5, c ＝21，则此双曲线的离心率为( C )A ．5－21B ．21＋52C ．5＋21D ．5－212[解析] 由题意，2c ′＝4,2a ′＝5－21，∴e ＝45－21＝5＋21.故选C ．6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] e 21＝c 21a 2＝a 2－b 2a 2，e 22＝c 22a 2＝a 2＋b 2a 2， ∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－(b a )4＝34，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__x 24－y2＝1__.[解析] 根据双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程x 24－y 2＝m ，把(4，3)代入x 24－y 2＝m 得m ＝1.所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 8．(2019－2020学年房山区期末检测)以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为__②③__(写出所有真命题的序号)．[解析] ①平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数k (k ＜|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k ＜|AB |时是双曲线的一支，当k ＝|AB |时，表示射线，∴①不正确；②方程2x 2－5x ＋2＝0的两根是2和12，2可作为双曲线的离心率，12可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1的焦点都是(±34，0)，有相同的焦点，③正确；故答案为②③.三、解答题9．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．[解析] ∵点A 与圆心O 连线的斜率为－14，∴过A 的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x . 设双曲线方程为x 2－y 216＝λ. ∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516.∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． [解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c 得，aba 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入平方后整理得，16(a 2c 2)2－16·a 2c2＋3＝0. 解关于a 2c 2的一元二次方程得a 2c 2＝34或14.∵e ＝c a ，∴e ＝233或e ＝2.因0<a <b ，故e ＝c a＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2， 所以应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.B 级 素养提升一、选择题1．(多选题)双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则离心率为( BC )A ．62B ．52C ．5D ． 3[解析] 当焦点在x 轴上时，b a ＝12，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝52， 当焦点在y 轴上时，a b ＝12，∴e ＝ca＝1＋b 2a2＝5，故选BC ． 2．(2019－2020学年辽宁葫芦岛协作校考试)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (4,0)，点A 的坐标为(0,3)，点P 为双曲线左支上的动点，且|P A |＋|PF |的最小值为9，则该双曲线的离心率是( C )A ．2B ．3C ．2D ．3[解析] 设双曲线左焦点为Q (－4,0)，则由双曲线的定义有|P A |＋|PF |＝|P A |＋2a ＋|PQ |≥|AQ |＋2a ＝9.当且仅当P ，A ，Q 三点共线时成立．此时|AQ |＝32＋42＝5.故5＋2a ＝9⇒a ＝2.又c ＝4.故离心率e ＝42＝2.故选C ．3．(2020·河南洛阳市高二期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过左焦点F 1的直线切圆x 2＋y 2＝a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若F 1P →＝PQ →，则双曲线C 的渐近线方程为( B )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±32x[解析] ∵过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为P ，∴|OP |＝a ，设双曲线的右焦点为F ′， ∵P 为线段FQ 的中点， ∴|QF ′|＝2a ，|QF 1|＝2b ， 由双曲线的定义知：2b －2a ＝2a ， ∴b ＝2a .∴双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0，即2ax ±ay ＝0，∴2x ±y ＝0. 故选B ．4．(多选题)双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，下列结论正确的是( BC )A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为y ＝±43xC ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为32[解析] ∵x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴e ＝c a ＝53，故A 错误；双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，故B 正确；设双曲线上一点P (x 0，y 0)，∴x 209－y 2016＝1，即16x 20－9y 20＝144，则点P 到两渐近线的距离的乘积为|4x 0＋3y 0|5·|4x 0－3y 0|5＝|16x 20－9y 20|25＝14425，故C 正确；若PF 1⊥PF 2，则∠F 1PF 2＝90°， 由焦点三角形面积公式S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝16tan45°＝16，故D 错误．综上，正确的有BC ．二、填空题5．(2020·北京卷，12)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为__y ＝±6x __，C的焦点到其渐近线的距离是[解析] 双曲线C ：x 26－y 23＝1中，c 2＝6＋3＝9，∴c ＝3，则C 的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y ＝±36x ，即y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，则C 的焦点到其渐近线的距离d ＝33＝3.6．从双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |＝__1__.[解析] 设F 2为椭圆右焦点，则|OM |＝12|PF 2|，|PF |－|PF 2|＝6.∵FT 是⊙O 的切线，∴|FT |＝4， ∴|MT |＝|MF |－|FT |＝12|PF |－4，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－12|PF |＋4＝4－12(|PF |－|PF 2|)＝1.三、解答题7．若F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．[解析] 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5. 由双曲线的定义得， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. 上式两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100， 由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， 所以∠F 1PF 2＝90°.8．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．[解析](1)由题意可设所求的双曲线方程为x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则有e＝ca＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝3，∴所求的双曲线方程为x2－y23＝1.(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，∴l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)．令x＝0得M(0,2k)，∵|MQ→|＝2|QF→|且M、Q、F共线于l，∴MQ→＝2QF→或MQ→＝－2QF→，当MQ→＝2QF→时，x Q＝－43，y Q＝23k，∴Q⎝⎛⎭⎫－43，23k，∵Q在双曲线x2－y23＝1上，∴169－4k227＝1，∴k＝±212，当MQ→＝－2QF→时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－4k23＝1，∴k＝±325，则所求的直线l的方程为：y＝±212(x＋2)或y＝±352(x＋2)．。
_学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2_2.2.2双曲线的简单几何性质练习新人教A版选修1_1
2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －y b＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b 2＝bc c＝3，故b ＝3，结合c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3.答案：38．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k 2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b2＝1.①又e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级 能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1与x 2a 2－y 2b2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1，焦点在x 轴上且c2＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线x 2a 2－y 2b2＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F 2P ，P 是MF 1中点，则PF 2⊥MF 1，在正三角形MF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c.因为P 在双曲线上， 所以 |PF 2|－|PF 1|＝2a 而3c －c ＝2a 所以 c a＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理，得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝（2k ）2－8（k 2－2）＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为{}k |－2＜k ＜－2. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
【名师一号】高中数学 第二章 推理与证明双基限时练3(含解析)新人教A版选修1-2
"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明双基限时练3（含解析）新人教A版选修1-2 "1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n答案B4．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11↑1012可知从2010到2012为↑→.答案C5．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为( )A．n2－1 B．n2－2n＋2C ．2n －1D ．2n －1＋1解析 ∵a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n ＝2n－1.答案 C6．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A .nn －4＋8－n－－4＝2B .n ＋1＋－4＋＋＋5＋－4＝2 C .n n －4＋n ＋4＋－4＝2D .n ＋1＋－4＋n ＋5＋－4＝2解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合．答案 A7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________． 解析 a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …，由此可以猜想a n ＝n 2. 答案 n 28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 答案 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n≥3) 9．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝3410．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？(2)(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(2)3＋2－3＝2； 8＋6－12＝2； 6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系为V ＋F －E ＝2.(3)由已知V ＝1006，F ＝1006，代入(2)中关系式，得E ＝2010. 故这个平面图形有2010条边．11．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n≥1，n ∈N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由 3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0， 解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n.12．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明．解 一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－α＋2＋1－α＋2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α ＝32＝右边， 所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立．(注：将一般式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确．)。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程讲义 新人教A版选修
2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案 C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？ 解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． 解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)． 拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】 如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________． 答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1； 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系． 则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。
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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程
双基限时练13（含解析）新人教A版选修1-1
1．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横
坐标为3，则|AB|为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
解析 由题可知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F，AB中点到准线的距离为3
＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.
答案 B
2．已知点M(－4,1)，F为抛物线C：y2＝－4x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|＋|PM|
取最小值，则点P的坐标是 ( )
A．(0,0) B．(－1,2)
C．(－14，1) D．(－2,22)
解析
如图所示，l为抛物线的准线，过P作PP′⊥l于P′，过M作MN⊥l于N，
∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.
∴当|PF|＋|PM|取小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为(－14，1)．
答案 C
3．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a为( )
A．－1 B．1
C．－12 D．－2
解析 抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a＋1＝0，∴a＝－1.
答案 A
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准
线的距离之和的最小值为( )
A．3 B.172
C.5 D.92
解析 根据抛物线定义，点P到准线的距离转化为到焦点F(12，0)的距离，故为(0,2)
和(12，0)的距离为172.
答案 B
5．已知抛物线y＝4ax2(a>0)的准线与圆x2＋y2＋mx－14＝0相切，且此抛物线上的点
A(x0,2)到焦点的距离等于3，则m
＝( )
A．±3 B．±2
C．±1 D．0
解析 抛物线y＝4ax2的准线方程为y＝－116a，
由题知2＋116a＝3，∴a＝116.
∴抛物线的准线为y＝－1，
圆的方程可化为(x＋m2)2＋y2＝14＋m24，
由圆与抛物线的准线相切可得
1
4＋m24
＝1，即m＝±3，故选A.
答案 A
6．P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上任一点，则P到焦点的距离是________．
解析 抛物线的准线为y＝－p2，
∴P到焦点的距离为y0＋p2.
答案 y0＋p2
7．抛物线y＝4x2上一点P，则P到直线y＝4x－5的距离的最小值为________．
解析 设P(x，y)，则d＝|4x－y－5|17
＝|4x－4x2－5|17＝x－2＋4|17≥417＝41717.
答案 41717
8．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线
的方程为________．
解析 设点(x0，－42)，则(－42)2＝2px0，
∴x0＝322p＝16p.
又由抛物线的定义可知x0＋p2＝6，∴16p＋p2＝6，
即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
9．已知点A(x，y)在抛物线y2＝4x上运动，求z＝x2＋12y2＋3的最小值．
解 ∵A在抛物线上，∴x≥0，
z＝x2＋12y2＋3＝x2＋2x
＋3，
二次函数z＝x2＋2x＋3的对称轴为x＝－1.
∴在[0，＋∞)上是增函数．
∴当x＝0时，z有最小值3.
10．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴的距离之积为2m，以
x
轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线，求抛物线的方程．
解 画图可知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，
由 x＝ky＋m，y2＝2px
消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0.
由根与系数的关系得y1y2＝－2pm.
由题设|y1|·|y2|＝2m，则p＝1.
故抛物线方程为y2＝2x.
11．一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为35，
求抛物线的方程．
解 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
将直线方程y＝2x－4代入，并整理得
2x2－(8＋p)x＋8＝0.
设方程的两个根为x1，x2，则根据韦达定理有
x1＋x2＝8＋p2，x1x
2
＝4.
由弦长公式，得
(35)2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即9＝(8＋p2)2－16.
整理得p2＋16p－36＝0，
解得p＝2，或p＝－18，此时Δ>0.
故所求的抛物线方程为y2＝4x，或y2＝－36x.
12．如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B
两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面
积．
解 由 y＝2x－4，y2＝4x.解得 x＝4，y＝4，或 x＝1，y＝－2.
∴A(4,4)，B(1，－ 2)．
∴|AB|＝－2＋＋2＝35.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d
＝|2x0－y0－4|4＋1＝15y202－y0－4
＝125|(y0－1)2－9|.
∵－2
此时P14，1.因此，当P14，1时，△PAB的面积取得最大值，最大值为274.