2019届高三数学备考冲刺140分问题09高考数学导数解答题大盘点含解析
2019届高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题含解析
问题19 数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2) 最大值与最小值：若⎩⎨⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎨⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小.(3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k k S S -最大。
四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.，120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为，且145,,2a a a -成等差数列，，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C 【解析】，当2n ≥时，，由145,,2a a a -成等差数列可得，即，解得2m =-，故2nn a =，则，故，由20172018n T >得，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A ．338B ．337C ．336D ．335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A．62 B．63C．126 D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则， 由于，故：，解得：，∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f ()＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )ma ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n}不是等差数列；当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 11．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式恒成立，则M 的最小值为__________．【答案】625912．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即3a .13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．【答案】5【解析】，，两式相减，故， 112n n a ++=故，故n 的最小值为5.14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512 【解析】依题意有，解得，故.，故当3n =时，取得最大值为92512=.15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，，且11a =，设，则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时，，即，展开化为：∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且,记集合.（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。
2019届高三数学备考冲刺140分问题39二项式定理与其他知识的交汇问题含解析
问题39 二项式定理与其他知识的交汇问题一、考情分析二项式定理是高考高频考点,基本上每年必考,难度中等或中等以下,二项式定理作为一个工具,也常与其他知识交汇命题,如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识,其解题的关键点是它们的交汇点,注意它们的联系． 二、经验分享1.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .2.求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数＋1，代回通项公式即可．3.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．4.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 三、知识拓展1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(a ＋b )n ，(a 2＋b ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令＝1即可；对形如(a ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令＝y ＝1即可．2.若f ()＝a 0＋a 1＋a 22＋…＋a n n ，则f ()展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝()()112f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝()()112f f --.四、题型分析(一) 二项式定理与函数的交汇【例1】设函数f ()＝⎩⎨⎧（x －1x ）6，x <0，－x ，x ≥0，则当>0时,f [f ()]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15【答案】A【解析】＞0时,f ()＝－x ＜0,故f [f ()]＝f (－x )＝(－x ＋1x)6,其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－x )6－r·(1x )r ＝(－1)6－r·C r 6·(x )6－2r ,由6－2r ＝0,得r ＝3,故常数项为(－1)3·C 36＝－20. 【点评】解决本题的关键是当>0时,将f [f ()]表达式转化为二项式． 【小试牛刀】设()f x 是261()2x x +展开式的中间项,若()f x mx ≤在区间2⎣上恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－∞,5）B ．（－∞,5]C ．（5,＋∞）D ．[5,＋∞） 【答案】D【解析】由题意可知()3636315()22f x C x x x =⋅=,由35()2f x x mx =≤得252m x ≥在区间2⎣上恒成立,所以5m ≥,故选D ． (二) 二项式定理与数列的交汇【例2】将211nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n +∈N ）的展开式中4x -的系数记为n a ,则232015111a a a ++⋅⋅⋅+= ． 【答案】40282015【解析】211nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n +∈N ）的展开式的通项为()21211rr r r rr n n T C C x x -+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ,由题意可知2r =,此时,2(1)2n n n n a C -==,所以12112()(1)1n a n n n n ==---,所以 23201511111111140282[(1)()()]2(1)2232014201520152015a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-=-=． 【小试牛刀】设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12nn (∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n 、b n ,则a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝( ) A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1) C ．2n ＋1D ．1【答案】C【解析】由题意知a n ＝2n成等比数列,令＝1则b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n也成等比数列,所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋1,故选C.(三) 二项式定理与不等式的交汇【例3】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+020202x y x y x ,22-+=y x n ,则n 取最大值时,n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12二项展开式中的常数项为 . 【答案】240【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线22++-=n x y 经过点)4,2(A 时,22-+=y x n 取最大值6.当6=n 时,故由二项式展开式的通项公式r rr r r rr r x C xx C T ----+==26666612)1()2(,由题设026=--r r可得2=r ,所以展开式中的常数项是2402264=C ,故应填答案240.【小试牛刀】已知的展开式中与的项的系数之比为，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】在二项式的展开式中项的系数是，在二项式的展开式中项的系数是。
2019届高三数学备考冲刺140分问题29立体几何中的最值问题含解析
问题29立体几何中的最值问题一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题A C与BD上,求MN的最小值. 【例1】正方体的棱长为1,M、N分别在线段11【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.A C与BD是异面直线,所以当MN是两直线的共垂线段时,MN 【解析】方法一（定义转化法）因为直线11取得最小值.取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.下证明之.在矩形11BDD B 中,PQ 为中位线,所以1//PQ BB ,又因为1BB ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD又因为BD ⊆平面ABCD ,所以PQ BD ⊥.同理可证11PQ A C ⊥,而, ,所以线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段,且1PQ =.由异面直线公垂线段的定义可得,故MN 的最小值为1.方法二：（参数法）如图,取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC A C ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角.在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且. 设PM m =,QN t =,则QH m =.在Rt QNH ∆中,, 在Rt MHN ∆中,.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.方法三：（向量法）如图,以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设DN m =,1A M n =.则,即；,即.所以,故当2m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
2019届高三数学备考冲刺140分问题29立体几何中的最值问题含解析
问题29立体几何中的最值问题一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题A C与BD上,求MN的最小值. 【例1】正方体的棱长为1,M、N分别在线段11【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.A C与BD是异面直线,所以当MN是两直线的共垂线段时,MN 【解析】方法一（定义转化法）因为直线11取得最小值.取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.下证明之.在矩形11BDD B 中,PQ 为中位线,所以1//PQ BB ,又因为1BB ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD又因为BD ⊆平面ABCD ,所以PQ BD ⊥.同理可证11PQ A C ⊥,而, ,所以线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段,且1PQ =.由异面直线公垂线段的定义可得,故MN 的最小值为1.方法二：（参数法）如图,取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC A C ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角.在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且. 设PM m =,QN t =,则QH m =.在Rt QNH ∆中,, 在Rt MHN ∆中,.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.方法三：（向量法）如图,以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设DN m =,1A M n =.则,即；,即.所以,故当2m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
2019届高三数学备考冲刺140分问题26利用基本不等式处理最值含解析20190426236
问题26 利用基本不等式处理最值一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考． 二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．类型二 未知定值【例2】已知,x y 为正实数,则433x yx y x++的最小值为（ ）A ．53 B ．103 C ．32D ．3 【答案】D【解析】,当且仅当时取等号,故选D.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【小试牛刀】【山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试】已知函数在R 上是单调递增函数,则23cb a-的最小值是A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A技巧一：凑项【例3】设0a b >>,则的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】拼凑成和为定值的形式 【解析】4=(当且仅当和1ab ab =,即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a 时取等号),故选D. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型. 技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错． 【例7】已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值． 【错解】0,0x y >>,且191xy+=,∴,故．【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是x y =,在19xy+≥是19x y=,即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误．因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】,,当且仅当9y x x y=时,上式等号成立,又191x y+=,可得时,．【小试牛刀】已知正实数,a b 满足37a b +=,则的最小值为___________．技巧六：取平方【例8】已知x ,y 为正实数,3x ＋2y ＝10,求函数W ＝3x ＋2y 的最值． 【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系．【解法一】3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5 ．【分析二】条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢．【解法二】W ＞0,W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20,∴W ≤20 ＝2 5 ． 【小试牛刀】求函数的最大值．【解析】注意到21x -与52x -的和为定值．,又0y >,,当且仅当21x -=52x -,即32x =时取等号,故max y =． 【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件．技巧七：构造要求一个目标函数),(y x f 的最值,我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式）,解之即可得),(y x f 的最值． 【例9】设,x y 为实数,若,则2x y +的最大值是 ．【分析】利用基本不等式将已知定值式中224x y ,xy +的均转化成含2x y +的不等式,再求2x y +的最大值．．【解析】,可解得2x y +的最大值为． 【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式． 【小试牛刀】若正实数x ,y ,满足,则x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．5 【分析】构成关于x y +的不等式,通过解不等式求最值 【解析】由,得.即,.计算得出:.y x +∴的最大值是4.所以C 选项是正确的.技巧八：添加参数【例10】若已知0,,>c b a ,则的最小值为 ．【小试牛刀】设w z y x ,,,是不全为零的实数,求的最大值．【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数,αβ满足：故依据取等号的条件得, ,参数t就是我们要求的最大值．消去,αβ我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到12t=．【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值．4．【湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研】已知为抛物线上两点，为坐标原点，且，则的最小值为（）A． B． C．8 D．【答案】C5．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，，则，解得，，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.6．【河北省邢台市2019年高三期末】在中，点满足，为上一点，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，则，因为三点共线，所以，（当且仅当，即，时，等号成立），故.故选A7．【山西省2018届高三第一次模拟】若点为圆上的一个动点,点,为两个定点,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B中,若8．【云南省保山市2018届普通高中毕业生第二次市级统测】在ABC,则的最小值为（）D.【答案】B，，,【解析】设ABC的内角A,B,C所对应的三条边分别为a b c则有,由正弦定理得：展开可得,所以,则=,当且仅当tan B 时,等号成立,故选B．9．【辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第一次模拟】在中,为的重心,过点的直线分别交,于,两点,且,,则的最小值（）A. B. C. D.【答案】A10．【湖北省天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末】已知三点共线,则的最小值为A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】A【解析】由共线得,,当且仅当时取等号,所以选A.20．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】已知1,2a b >>,则的最小值为__________．【答案】621．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中,若,则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列,且,所以,则,即,即,即3a 点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中,往往考查等比数列的性质的应用,如：在等比数列{}n a 中,若,则.22．【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末】已知, 0x >, 0y >则x y +的最小值是__________．【解析】43x y x =- , 304x <<。
(江苏专版)2019届高三数学备考冲刺140分问题02函数中存在性与恒成立问题(含解析)
问题02 函数中存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2) 对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．(4)利用分离参数法来确定不等式(),0f xλ≥,（Dx∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期测试】函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是____.【解析】的定义域为，且，为奇函数，且在上单调递增，由得，，，，①时，，②时，，的最小值为1，，实数的取值范围是，故答案为.(二)分离参数法【例2】已知函数的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点e x =处的切线的斜率为3,可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：,从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需即可,而由（1）可知,∴问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是 .【答案】(,-∞(五)存在性之常用模型及方法【例5】设函数,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0.（1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞,使得,求a 的取值范围.【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a ,b 的方程,进而求得b 的值：,；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a 的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解得a 的取值范围是.【解析】（1）,由曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0,得()10f '=,②当112a <<时,11aa >-,x 1,1a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1a a -,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭()f x '-+()f x A极小值A,不合题意,无解,10分③当1a >时,显然有()0f x <,01aa >-,∴不等式恒成立,符合题意,综上,a 的取值范围是.6．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数,若存在唯一的整数x ,使得成立,则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]0,2[]3,8⋃7．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在x∈R,使得34x a ﹣ ≥22xx- （a ＞0且a≠1）成立,则实数a 的取值范围是_____．【答案】2a ≥或0a <<且 1.a ≠ .【解析】,∴（3x﹣4）,当3x﹣4=0即4x 3=时,故舍去当3x﹣4>0即4x 3>时,,令t=3x﹣4＞0, ,所以2log a ≥1．所以a≥2．当3x﹣4<0即4x 3<时,令t=3x﹣4<0,219log a ≤，所以a ≤综上,a≥2或0＜a ≤且a≠1． 14．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数（a 为常数,e=2．718…）,且函数处的切线和处的切线互相平行．（1）求常数a 的值；（2）若存在x 使不等式成立,求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(,0)-∞．【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问,先利用导数求出函数()y f x =在0x =处的切线的斜率011k e ==,再求出函数函数()y g x =在x a =处的切线的斜率21k a =, 根据题意列出等式,解出a 的值；第二问,先将转化为,构造函数, 利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到m的取值范围．（2）可化为,令,则,因为0x>,所以,, 故()0 h x'<,所以()h x在(0,)+∞上是减函数,因此,所以,实数m的取值范围是(,0) -∞；16. 【江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中】已知函数，直线是曲线的一条切线．（1）求实数a的值；（2）若对任意的x(0，)，都有，求整数k的最大值．【解析】（2）令F(x)＝f(x)－k(x－1)，则根据题意，等价于F(x)＞0对任意的正数x恒成立.F ′(x)＝ln x＋2－k，令F ′(x)＝0，则x＝e k－2 .当0＜x＜e k－2，则F ′(x)＜0，F(x)在（0，e k－2）上单减；当x＞e k－2，则F ′(x)＞0，F(x)在（e k－2，＋∞）上单增.所以有F(x)＝F(e k－2) ＞0，即e k－2－k－1＜0.当k＝3，容易验证，e k－2－k－1＜0；下证：当k≥4，e k－2－k－1＞0成立.。
2019届高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题含解析
问题04函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),（1）f(x)>0在x∈R上恒成立⇔a>0且∆<0；（2）f(x)<0在x∈R上恒成立⇔a<0且∆<0.(2)对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n]有：⎧f(m)>0⎧f(m)<0f(x)>0恒成立⇔⎨,f(x)<0恒成立⇔⎨⎩f(n)>0⎩f(n)<0(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．(4)利用分离参数法来确定不等式f(x,λ)≥0,（x∈D,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为g(λ)≥f(x)（或g(λ)≤f(x)）恒成立的形式；②求f(x)在x∈D上的最大（或最小）值；③解不等式g (λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min),得λ的取值范围.(5)对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.(6)某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.三、知识拓展(1)恒成立问题①. ∀ x ∈D ,均有 f (x )>A 恒成立,则 f (x )min >A ；②. ∀ x ∈D ,均有 f (x )﹤A 恒成立,则 f (x )max <A ；③. ∀ x ∈D ,均有 f (x ) >g (x )恒成立,则 F (x )= f (x )- g (x ) >0,∴ F (x )min >0； ④. ∀ x ∈D ,均有 f (x )﹤g (x )恒成立,则 F (x )= f (x )- g (x ) <0,∴ F (x ) max <0； ⑤. ∀ x 1∈D , ∀ x 2∈E,均有 f (x 1) >g (x 2)恒成立,则 f (x )min > g (x )max ； ⑥. ∀ x 1∈D , ∀ x 2∈E,均有 f (x 1) <g (x 2)恒成立,则 f (x ) max < g (x ) min .(2)存在性问题①. ∃ x 0∈D ,使得 f (x 0)>A 成立,则 f (x ) max >A ；②. ∃ x 0∈D ,使得 f (x 0)﹤A 成立,则 f (x ) min <A ；③. ∃ x 0∈D ,使得 f (x 0) >g (x 0)成立,设 F (x )= f (x )- g (x ),∴ F (x ) max >0； ④. ∃ x 0∈D ,使得 f (x 0) <g (x 0)成立,设 F (x )= f (x )- g (x ),∴ F (x ) min <0； ⑤. ∃ x 1∈D , ∃ x 2∈E , 使得 f (x 1) >g (x 2)成立,则 f (x ) max > g (x ) min ； ⑥. ∃ x 1∈D , ∃ x 2∈E ,均使得 f (x 1) <g (x 2)成立,则 f (x ) min < g (x ) max .(3)相等问题若 f (x )的值域分别为 A ,B ,则①. ∀ x 1∈D , ∃ x 2∈E ,使得 f (x 1)=g (x 2)成立,则 A ⊆ B ；② ∃ x 1∈D , ∃ x 2∈E , 使得 f (x 1)=g (x 2)成立,则 A B ≠∅ .(4)恒成立与存在性的综合性问题①∀ x 1∈D , ∃ x 2∈E, 使得 f (x 1) >g (x 2)成立,则 f (x )min > g (x ) min ；②∀ x 1∈D , ∃ x 2∈E, 使得 f (x 1) <g (x 2)成立,则 f (x ) max < g (x ) max .四、题型分析解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.(一) 函数性质法【例 1】已知函数 f (x )＝x 3－ax 2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数 x ,使得 f (x )<0 成立,求实数 a 的取值范围．【分析】本题实质是存在性问题,1⎪ B ． ⎢ - , ⎪C ． ⎢ , ⎪D ． ⎢,1⎪ A ． ⎢ -方. g '(x ) = e x(2x + 1),当 x < - 时,函数单调递减,当 x > - ,函数单调递增,当 x = - 时,函数取得最小值为 -2e2 .当 x = 0 时, g (0) = -1 ,当 x = 1 时, g (1) = e > 0 ,直线 h (x ) = ax - a 过定点 (1,0 ) ,斜率为 a ,【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于 ax 2>x 3＋10 中 x 2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．【牛刀小试】【2017 山西大学附中第二次模拟】设函数 f (x ) = e x (2x -1)- ax + a ,其中 a < 1 ,若存在唯一的整数 t ,使得 f (t ) < 0 ,则 a 的取值范围是（）⎡ 3 ⎫ ⎡ 3 3 ⎫ ⎡ 3 3 ⎫ ⎡ 3 ⎫ ⎣ 2e ⎭⎣ 2e 4 ⎭⎣ 2e 4 ⎭⎣ 2e ⎭【答案】D【解析】令 g (x ) = e x (2x -1), h (x ) = ax - a .由题意知存在唯一整数 t ,使得 g (t ) 在直线 h (x ) 的下1 1 12 2 2- 1-a>g(0)且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得m∈⎢,1⎪.（1（x2x⋅x-(1+ln x)g'(x)=x=-故⎡3⎫⎣2e⎭(二)分离参数法【例2】已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a的值；(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围.【分析】1）由f('x)=a+ln x+结合条件函数f(x)=ax+x ln x的图象在点x=e处的切线的斜率为3,可知f'(e)=3,可建立关于a的方程：a+lne+1=3,从而解得a=1；2）要使f(x)≤kx2对任意x>0恒成立,只需k≥[f(x)1+ln x ]即可,而由（1）可知f(x)=x+x ln x,∴问题即等价于求函数g(x)=max的最1大值,可以通过导数研究函数g(x)的单调性,从而求得其最值：g'(x)=x⋅x-(1+ln x)x2=-ln xx2,令g'(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数；当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数,因此g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(2)由（1）知,f(x)=x+x ln x,∴f(x)≤kx2对任意x>0成立⇔k≥1+ln xx对任意x>0成立,令g(x)=1+ln xx,则问题转化为求g(x)的最大值,1ln xx2x2,令g'(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数；当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数．故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时 ,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式 f (x, λ ) ≥ 0 ,（ x ∈ D, λ 为实参数）恒成立中参数 λ 的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为 g (λ ) ≥ f (x )（或 g (λ ) ≤ f (x )）恒成立的形式；(2)求 f (x )在 x ∈ D 上的最大（或最小）值；(3)解不等式 g (λ ) ≥ f (x )max(或 g (λ ) ≤ f (x ) min) ,得 λ 的取值范围.【牛刀小试】【2017 湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数f ( x ) = log x , g ( x ) = 2log (2 x + t - 2) ,其中 a > 0 且 a ≠ 1 , t ∈ R ．aa1(1)若 t = 4 ,且 x ∈[ ,2] 时, F ( x ) = g ( x ) - f ( x ) 的最小值是－2,求实数 a 的值；41(2)若 0 < a < 1 ,且 x ∈[ ,2] 时,有 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立,求实数 t 的取值范围.4 【答案】(1) 1 5；(2) [2, +∞) .(2)∵ f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立,即 log x ≥ 2log (2 x + t - 2) 恒成立,a a∴ 1 2log x ≥ log (2 x + t - 2) .a a1又∵ 0 < a < 1 , x ∈[ ,2] ,∴ x ≤ 2 x + t - 2 ,4，1 [则⎨t+1≤0,t≥-2x+x+2∴恒成立,∴t≥(-2x+x+2)max.1171令y=-2x+x+2=-2(x-)2+(x∈[,2]),484∴y max=2.故实数t的取值范围为[2,+∞).(三)主参换位法【例3】已知函数f(x)=ln(e x+a)(a为常数）是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sin x是区间[-1,1]上的减函数,(1)求a的值；(2)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量,则上述问题即可转化为在(-∞,-1]内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(1)a=1(2)由(1)知：f(x)=x,∴g(x)=λx+sin x,g(x)在[-11]上单调递减,∴g'(x)=λ+cos x≤0∴λ≤-c os x在[-1，]上恒成立,∴λ≤-1，g(x)]max=g(-1)=-λ-sin1,∴只需-λ-sin1≤t2+λt+1,∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立,由上述②结论：可令f(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤-1）,⎧⎩-t-1+t2+sin1+1≥0⎧t≤-1∴⎨⎩t2-t+sin1≥0,而t2-t+sin1≥0恒成立,∴t≤-1.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求是关于 m 的一次型函数,要使 f (m ) < 0 恒成立,只需 ⎨ ,解得 3 - 1 < x < 2 .⎪解参数 应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式 2 x -1 > m (x2 -1)对任意 m ∈ [-1,1]恒成立,求实数 x 的取值范围.【答案】 3 - 1 < x < 2【解析】 2 x -1 > m (x 2 -1)可转化为 m (x 2 - 1)- 2 x + 1 < 0 ,设 f (m ) = m (x 2 - 1)- 2 x + 1 < 0 ,则 f (m )⎧ f (1) = x 2 - 2 x < 0⎪⎩ f (-1) = - x 2 - 2 x + 2 < 0(四)数形结合法【例 4】已知函数 f (x ) = x 2- 2kx + 2 ,在 x ≥ -1 恒有 f (x ) ≥ k ,求实数 k 的取值范围. 【分析】为了使题中的条件 f (x ) ≥ k 在 x ∈ [-1,+∞ ) 恒成立,应能想到构造出一个新的函数F (x ) = f (x ) - k ,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[-1,+∞) 时恒大于等于 0 的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等有两类函数：若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立,则有⎨小于0恒成立,则有⎨)()(2,+∞)（可得若存在x∈[1,+∞),使得不等式f(x)<成立,只需>f(x)单调性进而求得f(x)的最小值,进而得到关于a的不等式即可,而由（1）可知f(x)=a ln x+x2-x,式从而求得参数范围.解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的⎧a>0⎩∆<0,同理,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)⎧a<0⎩∆<0.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是（）A．(-∞,-2B．(-2,0)C.(-∞,0)⋃(2,+∞)D．-∞,-2⋃【答案】A(五)存在性之常用模型及方法【例5】设函数f(x)=a ln x+为0.（1）求b的值；1-a2x2-bx,a∈R且a≠1.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率（2）若存在x∈[1,+∞),使得f(x)<a a-1,求a的取值范围.【分析】1）根据条件曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a,b的方程,进而求得b的值：f'(x)=a+(1-a)x-b,f'(1)=0⇒a+(1-a)-b=0⇒b=1；（2）根据题意分析xa aa-1a-1min即可,因此可通过探求f(x)的1-a2则 f ' (x ) = (x - 1)⎡⎣(1 - a ) x - a ⎤⎦()a ( (1 - a ) x2 - x + a(x -1)⎡(1 - a ) x - a⎤= f (1) = 1 - af (x ) ⎛ a ⎫1,⎝ 1 - a ⎭, +∞ ⎪ ⎝ 1 - a ⎭ = f 1 - a ⎭1 - a2 (1 - a ) a - 1 a - 1 ③当 a > 1 时,显然有f ( x ) < 0 , a ,x ,因此需对 a 的取值范围进行分类讨论并判断 f ( x) 的单调性,从而可以解(1,+∞ ) .得 a 的取值范围是 - 2 - 1, 2 - 1a+ (1 - a ) x - b ,【解析】（1） f ' (x ) =x由曲线 y = f (x ) 在点 (1, f (1))处的切线的斜率为 0 ,得 f ' (1) = 0 ,即 a + (1 - a )- b = 0 , b = 1； 4 分（2）由（1）可得, f (x ) = a ln x +f ' (x ) = + 1 - a ) x - 1 ==,xxx1 - a2x 2 - x ,令 f ' (x ) = 0 ,得 x = 1 , x = 1 2 1 a 时, ≤ 1 ,①当 a ≤2 1 - aa a 2a - 1 ,而 - 1 =1 - a 1 - a 1 - a,在 [1,+∞) 上, f '(x ) ≥ 0 , f (x )为增函数, ()min-a - 1 - 1 =2 2,令 -a - 1 a<2 a - 1,即 a 2 + 2a - 1 < 0 ,解得 - 2 - 1 < a < 2 - 1.1 a ②当 < a < 1时, > 1 ,2 1 - ax⎪1 - aa⎛ a ⎫f ' (x )f (x )- 0极小值+( f (x ))min ⎛ a ⎫ ⎪ ⎝ a a 2 a a = a ln + + > ,不合题意,无解,10 分a> 0 ,∴不等式 f ( x ) <a - 1 a - 1综上, a 的取值范围是 (- 2 - 1, 2 - 1)(1,+∞ ) .恒成立,符合题意,【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法 先求其否定"∃x∈M,⌝P(x)"；原命题为"∃x∈M,P(x)"的否定为“∀x∈M,⌝P(x)".处理的原则就是：不熟系问题91．【2018 届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式3x 2 - log x < 0 对任意 x ∈ 0, ⎪ 恒成立,则实⎛3 ⎭ ⎝ ,1⎪ C. 0, ⎪ D. 0, ⎝ 27 ⎭ ⎝27 ⎥⎦B.⎛ 1 ⎫ 【解析】构造函数 f （x ）=3x 2,g （x ）=-log a x, x ∈ 0, ⎪ ∵不等式 3x 2-log a x ＜0 对任意 x ∈ 0, ⎪ 恒成立,1 1 1 1 1 3 3 9 27 271 ,3≥ (x - 1)⋅ ln3 对任意的, +∞ ⎪ C.[2, +∞)3 ⎥⎦ ⎣ B. ⎢⎛转化为熟悉问题.【牛刀小试】已知 f ( x ) =12x 2 + x , g ( x ) = ln( x + 1) - a ,(1)若存在 x , x ∈ [0,2] ,使得 f ( x ) > g ( x ) ,求实数 a 的取值范围；1 212(2)若存在 x , x ∈ [0,2] ,使得 f ( x ) = g ( x ) ,求实数 a 的取值范围.1 212五、迁移运用1 ⎫ a数 a 的取值范围为（ ）A. [127,1）⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎝ 27 ⎭【答案】A⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝ 3 ⎭⎝ 3 ⎭1 ∴f （ ）≤g（ ）∴3• - log 3 ≤0．∴0＜a ＜1 且 a≥ ∴实数 a 的取值范围为[a ，）故选 A2．【2018 届广西贵港市高三上学期12 月联考】若不等式 lnx ∈ ( -∞,1] 恒成立,则 a 的取值范围是（）1 + 32 x + (1 - a )⋅ 3xA. -∞, ⎝10 ⎤ ⎡10 ⎫ 3 ⎭ D. (-∞,2]【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有：ln 1 + 32 x + (1 - a )⋅ 3x 3 3x ≥ ln , 由对数函数的单调性有：3⎝3x⎭miny==⎪+323.【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数f(x)=⎨⎩x-2x,x<0⎣C.1+32x+(1-a)⋅3x33x1+32x⎛1+32x⎫≥,整理可得：a≤,由恒成立的条件有：a≤⎪,其中33x1+3x⎛1⎫x3x⎝3⎭x≥2,当且仅当x=0时等号成立.即x=0时,函数y=1+32x3x取得最小值2.综上可得：a≤2.本题选择D选项.⎡f2(x)⎤⎦+af(x)<0恰有个整数解,则实数的最大值是（A. B. C.5 D.【答案】D⎧-x2+2x,x≥02）,若关于的不等式4．【2018届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数f(x)=x+成立,则实数a的取值范围是（）A.(-∞,1-e)B.(1-e,1][1,e-1) D.(1-e,+∞)【答案】B1e x,若对任意x∈R,f(x)>ax恒，对任意 x ∈ R , f (x ) > ax 恒成立,∴ x + > ax 恒成立,即 g (x ) = 2x - lnx - 4, h (x ) = ax - 2a ,由 g ' (x ) = 2 - 1 ,可知 g (x ) = 2 x - lnx - 4 ,在 0, ⎪ 上为减函数,在 ⎛ 1 , +∞ ⎪ 上为增函数, h (x ) = ax - 2a 的图象恒过点 (2,0 ),在同一坐标系中作出 g (x ), h (x ) 的【解析】函数 f (x ) = x + 1 1 1 e x e x e x> (a - 1) x x恒成立；设 g (x ) =1 e x, h (x ) = (a - 1) x ,x ∈R ；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示；则满足不等式恒成立的是 h (x )的图象在 g (x )图象下方,求 g (x )的导数 g ' (x ) = -e - x ,且过 g (x )图象上点 (x , y 0)的切线方程为 y - y 0= -e - x 0 (x - x ),且该切线方程过原点(0,0),则 y = -e - x 0 ⋅ x ,即 e - x 0 = -e - x 0 ⋅ x ,解得 x = -1 ；∴切线斜率为 k = -e - x 0 = -e ,∴应满足 a −1>−e ,0 0 0即 a >1−e ；又 a −1⩽ 0,∴a ⩽ 1,∴实数 a 的取值范围是(1−e ,1].故选 B.5．【2018 届广东省五校高三 12 月联考】已知函数 f (x ) = lnx + (a - 2)x - 2a + 4(a > 0) ,若有且只有两个整数 x , x 使得 f (x ) > 0 ,且 f (x121 2) > 0 ,则 a 的取值范围是（ ）A. (ln3,2 )B. [2 - ln3,2 )C. (0,2 - ln3]D. (0,2 - ln3)【答案】C【解析】由题意可知 , f (x ) > 0 , 即 lnx + (a - 2)x - 2a + 4 > 0, (a > 0) , ∴ a x - 2a > 2x - lnx - 4 (a > 0) , 设2 x - 1 ⎛1 ⎫ = xx⎝ 2 ⎭⎫ ⎝ 2 ⎭A.⎢-,⎥B. -3,3⎪⎭33⎦⎝,0⎪⋃0,,0⎪⋃0,D. -3⎭C.⎢-⎥⎪3⎦⎝33图象如下：若有且只有两个整数x,x,使得f(x)>0,且f(x1212)>0,则a>0a>0{h(1)>g(1),即{-a>-2,解得0<a≤2-ln3,故选C.h(3)≤g(3)a≤2-ln36．【2018届陕西省西安高三上学期期中】已知函数f(x)=13x3-a2x,若对于任意的x,x∈[0,1],都有12f(x)-f(x12)≤1成立,则实数a的取值范围是（）⎡2323⎤⎛2323⎫⎣⎡23⎫⎛23⎤⎛23⎫⎛23⎫⎣⎭⎝⎭⎝【答案】A7．【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟】已知函数，，当时，不等式A．【答案】D【解析】不等式结合构造函数故B．可得恒成立，则实数的取值范围为C．D．即，恒成立，即，由题意可知函数恒成立，即恒成立，恒成立，在定义域内单调递增，【令当则时，的最小值为 ，则 ，单调递减；当，时， 单调递增；据此可得实数 的取值范围为.本题选择 D 选项.8．【山东省实验中学 2019 届高三第一次诊断】已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（ 为自然对数的底数），则实数 的取值范围是()A ．【答案】D【解析】B ．C ．D ．9． 贵州省铜仁市第一中学 2019 届高三上学期第二次月考】设函数，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得，则 的取值范围是（ ）A ．【答案】BB ．C ．D ．【解析】令，则，当当时，时， ，所以，所以 在在 上是单调减函数；上是单调增函数；所以 的图像如图所示：【时，故直线 恒过点，设过的直线与曲线相切于点，代入，故且切线方程为：，解得或者 ，当时， ，所以当 时，直线 可与 在 轴下方的图像相交．因为有且只有一个整数解，故曲线 上的点 在直线下方， 在直线上方或在直线上，故即 ，故选 B ．10． 山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区 2019 届高三 10 月联考】已知函数①f(x)=x+1；②f(x)= -2；③f(x)= ；④f(x)=lnx ；⑤f(x)=cosx 。
2019届高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题含解析
问题19 数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2) 最大值与最小值：若⎩⎨⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎨⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小.(3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k k S S -最大。
四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.，120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为，且145,,2a a a -成等差数列，，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C 【解析】，当2n ≥时，，由145,,2a a a -成等差数列可得，即，解得2m =-，故2nn a =，则，故，由20172018n T >得，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A ．338B ．337C ．336D ．335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A．62 B．63C．126 D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则， 由于，故：，解得：，∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f ()＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )ma ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n}不是等差数列；当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 11．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】625912．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即3a13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．【答案】5【解析】，，两式相减，故，112n n a ++=故，故n 的最小值为5.14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512 【解析】依题意有，解得，故.，故当3n =时，取得最大值为92512=.15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，，且11a =，设，则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时，，即，展开化为：∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且,记集合.（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数； 如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.。
高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题含解析
问题19 数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值.三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k kS S -最大。
四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为，且145,,2a a a -成等差数列，，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C【解析】，当2n ≥时，，由145,,2a a a -成等差数列可得，即，解得2m =-，故2nn a =，则，故，由20172018n T >得，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A ．338B ．337C ．336D ．335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A．62 B．63C．126 D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则， 由于，故：，解得：，∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减,结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{an }不是等差数列；当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 11．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】625912．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即3a13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．【答案】5【解析】，，两式相减，故， 112n n a ++=故，故n 的最小值为5.14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有，解得，故.，故当3n =时，取得最大值为92512=.15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，，且11a =，设，则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时，，即，展开化为：∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且,记集合.（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数.由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数； 如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。
2019届高三数学备考冲刺140分问题21复杂数列的求和问题含答案解析
问题21 复杂数列的求和问题一、考情分析数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题. 二、经验分享1.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【小试牛刀】【福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查】已知数列{}n b 满足，则该数列的前23 项的和为（ ）A. 4194B. 4195C. 2046D. 2047 【答案】A(三) 裂项相消法此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：○1余下的项前后的位置前后是对称的．○2余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项方法： 【 例3】在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，17a =，且2a ，5a ，10a 成等比数列. ⑴求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； ⑵若15n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【分析】⑴由2510 a a a ，，成等比数列⇒()7d +⇒2d =⇒25n a n =+⇒；⑵由⑴可得⇒.【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．③一般地，若{a n }为等差数列，则求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和可尝试此方法，事实上，1a n a n ＋1＝d da n a n ＋1＝a n ＋1－a n da n a n ＋1＝1d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1. 则；故选：C ．2．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列满足：，则的前40项的和为（ ）A ．860B ．1240C ．1830D ．2420 【答案】B3．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末】设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【解析】∵a n+2﹣2a n+1+a n＝2，∴a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4．∴{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．∴a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．∴．∴1．∴2+2018＝2020．故选：C．4．【江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】已知函数（其中）的图像经过点，令，则A．2019 B． C．6057 D．【答案】B5．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知函数，且，则( )A． B． C． D．【答案】B【解析】， 由，可得：9．【广西南宁市第二中学2018届高三1月月考】已知函数，且，记n S 表示{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【答案】10010.数列{}n a 的通项为，前n 项和为n S ，则100S = ．【答案】200 【解析】由已知可得；；；；；；；分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为15050⨯=． 分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为．．11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012= . 【答案】3231006-⋅【解析】a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 011＋a 2 012 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 012)＝1－21 0061－2＋－21 0061－2＝3·21 006－3.12．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.【答案】【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到,,两式子相减,得到,解得.13．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．【答案】14．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为_____________． 【答案】【解析】是奇函数，，，，，，如此继续，得，.15．【2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，，．（1）求λ的值； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（2） 由（1）可得21n a n =-，所以所以，所以19．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31n n S a =+ ()*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n b 满足，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】 (Ⅰ)当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3a n ＋1－3a n －1－1，即2a n ＝3a n －1，所以132n n a a -=，当n ＝1时，a 1＝3a 1＋1，解得112a =-. 所以数列{a n }是以12-为首项， 32为公比的等比数列， 即.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,,n n S a +成等比数列()n N *∈.（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）.【解析】（1）12,,n n S a +成等差数列，∴，当1n =时，， 当2n ≥时，，{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为.（2）由（1）得，∴.。
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问题09 高考数学导数解答题大盘点
一、考情分析
导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零
点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。
二、经验分享
(1) 用导数判断单调性
用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，
来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区
间内的间断点．
（2）已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，
“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．
（3）导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的
必要不充分条件．
（4）极值与最值的区别
“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个
区间上的最大值或最小值，具有绝对性．从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一
的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．从位置上看，极
值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；
极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．
当a≤0，x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
①0＜a＜2时，2a＞1，
当x∈(0，1)或x∈2a，＋∞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈1，2a时，f′(x)＜0，f(x)
单调递减；
【点评】 (1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的
分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调
性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．(3)利
用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解
集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．
【小试牛刀】【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
（2），即，
令， 则，
令，则.
①若，当时，，从而在上单调递增，
因为，故当时，，即，
从而在上单调递增，因为，
故当时，恒成立，符合题意；
②若，当时，恒成立，从而在上单调递减，
则，即时，，
从而在上单调递减，此时，不符合题意；
③若，由，得，当时，，故在上
单调递减，则，即，
故在上单调递减，故当时，，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为
(三) 利用导数解决函数的最值问题
【例3】【河北省保定市2019届高三上学期期末】已知函数，且函数的图像在点
处的切线与轴垂直.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.
（2）因为所以由得
解得（舍去）或
由（1）知的减区间为，增区间为,
所以，若 即时， .
若即1
则， ，在上为减函数，且， 当时， 当即时，， 当时，有一个零点. 【例5】【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考】设为实数，函数。 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2）， 【点评】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本的方法． 【解析】（1）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1． (3)当时，是否存在正整数n，使恒成立？若存在，求出n的最大值； 【解析】（1）当时， 当时，的最小值为 3．【福建省泉州市2019届高三1月质检】已知函数 （2）当时，，求的取值范围. 若，即， + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ -1 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 5．【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知函数. （2）当时， 所以函数的最小值为 又，所以 （2）若不等式在]上恒成立，求正数a的取值范围． （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， ,当时，， 9．【山东省潍坊市2019届高三上学期期末】已知，. （2）证明：，； 又，因此，而， （3）由题意知， 故 故在上单调递增，因此， ， 当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调 当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点； 12．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知函数. （2）对任意正数恒有，求的取值范围. ∴ 则
1
令，得，所以的递增区间为，
同理，可得的递减区间为，
所以即，
故在单调递减.
1
- 0 + 0 -
↘ ↗ ↘
，
故有一个零点，也有有一个零点.
综上可知，当时，无零点；
(五) 利用导数法证明不等式
(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。
【解析】∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．
【小试牛刀】【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知函数.
（1）设是的极值点，求的值；
（2）在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
经检验m=1符合题意.
五、迁移运用
1．【山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟】已知函数．
(1)若，判断上的单调性；
(2)求函数上的最小值；
若不存在，说明理由．
由于，故，
在单调递增.
故
若即时单调递减
，
综上所述：当时，的最小值为1；
当时，的最小值为.
（1）讨论的单调性；
【解析】解法一：（1）
①当时，
-1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
-1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求证：.
，，所以在上单调递增，
又，
所以，使得，即
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数是单调减函数，所以
即恒成立。
又所以，所以
6．【河南省实验中学2019届高三质量预测模拟】已知函数（e是自然对数的底数）．
（1）求证：；
亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，
以下求在上的最小值，
当]时，，
∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，
∴在处取得最小值为，
∴正数a的取值范围是．
（1）若，判断函数在的单调性；
（3）设，对，，有恒成立，求的最小值.
【解析】（1）.
所以，故在单调递增.
，
设，
则，
由于，故，
时，单调递增，又，，
因此在存在唯一零点，使，即，
且当，，，单调递减；
，，，单调递增；
故，
，
设
，又设
即，在单调递增，
又，
所以，
故所求的最小值为.
递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，
要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，，当时，
）
下面我们讨论当时的情形：
当，即时，因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因为，，所以，没有两个零点；
（1）设，求的最大值及相应的值；
【解析】（1）∵，∴，