初三圆知识点_专项复习,推荐文档

、圆的概念 集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：至U 定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）；
3、 角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定
长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离
都相等的一条直线。

三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
d r 无交点；
2、直线与圆相切 d r
有一个交点;
、点与圆的位置关系
1、点在圆内
d r 点C 在圆内; 2、点在圆上
d r 点B 在圆上; 3、点在圆外 d r
点A 在圆外;
8cm ，到圆心的距离为 5cm ，则该点在圆 ___________________
练习题：一个圆的直径为
四、圆与圆的位置关系
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;
（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;
3、直线与圆相交 有两个交点;
练习题：、一个点到圆的最短距离为
3cm ，到圆的最长距离为 9cm ，则这个圆的半径为
外离（图1） 无交点
外切（图2） 有一个交点
相交（图3） 有两个交点
内切（图4） 有一个交点
内含（图5） 无交点
(3 )平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中 可推出其它3个结论，即:
中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所
夹的弧相等。

即:在O O 中，••• AB //CD
•••弧 AC 弧 BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对
的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论
中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，
即：① AOB DOE :② AB DE ;
③OC OF ;④弧BA 弧BD 练习题：如图， O 为 ABC 的外心，若 BAC 500
则 OBC =
七、圆周角定理
①AB 是直径 ②AB CD ③CE DE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC 弧AD
r
2个即
E
F
O
A
D
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：••• AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
••• AOB 2 ACB
2、圆周角定理的推论：
推论1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等
弧；
即：在O O中，••• C、D都是所对的圆周角
• C D
推论2 :半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直
径。

A 即：在O O中，••• AB是直径或T C 90
• C 90 • AB是直径
推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形。

即：在△ ABC 中，••• OC OA OB
• △ABC是直角三角形或C 90
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论: 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
的逆定理。

6、如图四边形BOC
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在O O中，
•••四边形ABCD是内接四边形
••• C BAD 180 B
DAE C
练习题5 :边形ABCD内接于O O,若ABC
7、如图，AOB 110°,则ACB ______________
B 九、切线的性质与判定定理
7题图
(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切
线;
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：••• MN OA且MN过半径OA外端
• MN是O O的切线
(2 )性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1 ：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

11、如图，O O 的半径为6，弦AB 最大值为 _________________
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线
的夹角。

即：••• PA 、PB 是的两条切线
•••PA PB P0平分 BPA
I ^一、圆幕定理 (1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在O 0中，•••弦AB 、CD 相交于点P ,
• PA PB PC PD
(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中
项。

即：在O 0中，•••直径AB CD ,
2
• CE AE BE
10,M 是弦AB 上的动点，最线段0M 的最小值为 __________________
D
D
A
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在O O中，T PA是切线，PB
是割线
••• PA2 PC PB
(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即：在O O中，••• PB、PE是割线
• PC PB PD PE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。

如图：O1O2垂直平分AB。

即：TO Q、O O2相交于A、B两点
••O1O2垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
(1)公切线长：Rt OQ2C中，
(2)外公切线长：CO2是半径之差；AB2CO12
内公切线长：CO2是半径之和
E
B
十四、圆内正多边形的计算
（1 ）正三角形
在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行:
C
O
B
D
OD : BD :OB 1: 32 ；
（2 ）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行，OE:AE:OA 1:1: .2 :
（3 ）正六边形
同理，六边形的有关计算在
卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1 ）弧长公式：I n R 180
（2 ）扇形面积公式: n R2
360
!|R
2
n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径I:扇形弧长S:扇形面积
2、圆柱:
(1 )圆柱侧面展开图
S表S侧2S底= 2 rh 2 r (2)圆柱的体积：V r2h
(2 )圆锥侧面展开图
2 (1)S表S侧S底=Rr r
1 2
(2)圆锥的体积：V — r2h
3
中考真题
1 （陕西）•如图，在RT\ABC中/ABC=90，斜边AC的垂直平分线交BC与D 点，交AC与E点，连接BE
（1）若BE是△ DEC的外接圆的切线，求/ C的大小？
（2）当AB=1,BC=2是求厶DEC外界圆的半径
2（安徽）•如图所示，在圆O O内有折线OABC，其中0A = 8，AB = 12，/ A =Z B = 60°，则BC的长为（）
3 （福州）.（满分11分）
如图，AB是O O的直径，弦CD丄AB与点 / C，
（1）求证：CB // PD;
3
（2）若BC=3，sinP=—，求O O 的直径。

5
A • 19
B • 16C. 18 D• 20
i 爭
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-11 -。