2012年中考数学押轴题备考复习测试题41
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋32＝32解得t＝－3 2∴二次函数的解析式为y＝－12x2＋x＋32（2）∵A（－3，m）在二次函数y＝－12x2＋x＋32的图象上∴m＝－12×(－3)2＋(－3)＋32＝－6∴点A的坐标为（－3，－6）∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上∴－6＝－3k＋6，∴k＝4（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）平移后，点B，C的对应点分别为B′（－1－n，0），C′（3－n，0）将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n如图1，当直线y＝4x＋6＋n经过点B′（－1－n，0）时，图象G（点B′除外）在该直线右侧由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝2 3如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′（3－n，0）时，图象G（点C′除外）在该直线左侧由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6∴由图象可知，符合题意的n的取值范围是23≤n≤6图1 图22．（北京模拟）已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△P AO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．（1）证明：∵△＝(m－2)2－4×(－1)×3(m＋1)＝(m＋4)2≥0∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点（2）解：由题意，m＋1＜0当m＝－4，图象与x轴只有一个交点∴m＜－1且m≠-4（3）解：令y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)解得x1＝m＋1，x2＝－3可求得顶点P（m－22，(m＋4)24）①当A（m＋1，0）、B（－3，0）时∵S△P AO＝S△ABC，∴12(m＋1)×(m＋4)24＝12(－m－4)×3(m＋1)解得m＝－16∴y＝－x2－18x－45②当A（－3，0）、B（m＋1，0）时同理得12×3×(m＋4)24＝12(m＋4)×[－3(m＋1)]解得m＝－8 5∴y＝－x2－85x－953．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xO y中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO＝∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P（1）解：由题意，得 ⎩⎨⎧1＝－13＋b ＋c 2＝－ 4 3＋2b ＋c解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2 3c ＝2∴二次函数的解析式为y ＝－13x2＋23x ＋2 对称轴为直线x ＝1（2）证明：易得直线OA 的解析式为y ＝－x ，从而C 的坐标为（1，－1） ∵由A （－1，1），B （2，2），C （1，－1） 得AB ＝BC ＝10，OA ＝OC ＝ 2 ∴∠ABO =∠CBO（3）解：由直线OB 的表达式y ＝x ，得点D 的坐标为（1，1） 由A （－1，1），B （2，2），得直线AB 的解析式为y ＝13x ＋4 3从而直线AB 与x 轴的交点E 的坐标为（－4，0） ∵△POB ∽△BCD 相似，∠ABO ＝∠CBO ∴∠BOP ＝∠BDC 或∠BOP ＝∠BCD ①当∠BOP ＝∠BDC 时 由∠BDC ＝135°，得∠BOP ＝135° 此时点P 与点E 重合∴点P 的坐标为（－4，0） ②当∠BOP ＝∠BCD 时 由△POB ∽△BCD ，得BPBO＝BDBC而BO ＝22，BD ＝2，BC ＝10，∴BP ＝2510又∵BE ＝210，∴PE ＝8510作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F 则PH ∥BF ，∴PHBF＝PEBE＝EHEF． 而BF ＝2，EF ＝6，∴PH ＝85，EH ＝24 5，∴OH ＝45∴点P 的坐标为（45，85）综上所述，点P 的坐标为（－4，0）或（45，85）4．（安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a (x －6)2＋h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：（1）当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60∴y＝－160(x－6)2＋2.6（2）当h＝2.6时，由（1）知y＝－160(x－6)2＋2.6由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网由－160(x－6)2＋2.6＝0，x＞0，得x＝6＋156＞18或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界（3）根据题设知y＝a(x－6)2＋h由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2 ①由球能越过球网，得9a＋h＞2.43 ②由球不出边界，得144a＋h≤0 ③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥835．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有y a＋y b≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：设f(x)在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，即M≥1 2二次函数y＝x2－2mx＋1的图象是一条开口向上的抛物线①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，此时1≥12成立②当对称轴x＝m在0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1－m2此时有1－m2≥12，即m2≤12，故有0＜m≤22③当对称轴x＝m在m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2－2m此时有2－2m≥12，即m≤34，与m≥1矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤2 26．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于14的抛物线有几条？请证明你的结论．解：（1）∵判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 ∴抛物线与x轴总有两个交点又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方（或由二次函数解析式得：y＝(x＋a2)2－14a2＋a－2∵抛物线顶点的纵坐标为－14a2＋a－2＝－[14(a－2)2＋1]＜0，当a取任何实数时总成立∴不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q(－a2，－14a2＋a－2)，点C(0，a－2)当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD＝|－a|，点Q到CD的距离为|(a－2)－(－14a2＋a－2)＝14a2过Q作QP⊥CD于P要使△QCD为等边三角形，则需OP＝32CD，即14a2＝32|－a|由a≠0，解得a＝±23（或由CD＝CQ，或由CP＝12CO等求得a的值）∴△QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋23x＋23－2或y＝x2－23x－23－2 （3）∵CD＝|－a|，点A到CD的距离为＝|a－2|由S△ACD＝12|a(a－2)|＝14，解得a＝1±22或a＝1±62∴满足条件的抛物线有四条7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．解：[尝试]（1）（1，－2）（2）将x ＝2代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋(1－t )( －2x ＋4)，得y ＝0，所以点A （2，0）在抛物线E 上（3）将x ＝－1代入n ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)＝6 [发现]A （2，0），B （－1，6）[应用1]∵x ＝－1代入y ＝－3x2＋5x ＋2，计算得y ＝－6≠6∴抛物线y ＝－3x2＋5x ＋2不经过点B∴二次函数y ＝－3x2＋5x ＋2不是二次函数y ＝x2－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4的一个“再生二次函数” [应用2]]如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过点B 作RM ⊥x 轴于点M 易得AM ＝3，BM ＝6，BK ＝1，△KBC 1∽△MBA则AMBM＝C 1KBK，即36＝C 1K1，求得C 1K ＝1 2，∴点C 1（0，13 2） 易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG ＝1，D 1G ＝1 2，∴点D 1（3，1 2）易知△OAD 2∽△GAD 1，得D 1GOD 2＝AGOA由AG ＝1，OA ＝2，D 1G ＝12，求得OD 2＝1，∴点D 2（0，－1）易知△TBC 2≌△OD 2A ，得TC 2＝AO ＝2，BT ＝OD 2＝1，∴点C 2（－3，5∵抛物线E 总过定点A （2，0），B （－1，6） ∴符合条件的三点只可能是A 、B 、C 或A 、B 、D当抛物线E 经过A 、B 、C 1时，将C 1（0，13 2 ）代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4 )，求得t 1＝－5 4当抛物线E 经过A 、B 、D 1，A 、B 、C 2，A 、B 、D 2时，可分别求得t 2＝58，t 3＝－1 2 ，t 4＝52∴满足条件的所有t 的值为：－5 4，5 8，－1 2，528．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xO y ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y （千米）与飞行的水平距离x （千米）满足关系式y ＝kx －120(1＋k2)x2（k ＞0），其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（1）令y ＝0，得kx －120(1＋k2)x2＝0 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0 ∴x ＝20k1＋k2＝ 20 1 k＋k≤ 202＝10，当且仅当k ＝1时取等号 ∴炮的最大射程为10千米（2）∵a ＞0，炮弹可以击中目标 ∴存在k ＞0，使ka －120(1＋k2)a2＝3.2成立 ∴关于k 的二次方程a2k2－20ak ＋a2＋64＝0有正根∴△＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a ≤6∴当它的横坐标a 不超过6千米时，炮弹可以击中它9．（江苏模拟）已知一次函数y 1＝kx ＋m 与二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c （b 为整数）的图象交于A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）两点，二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c 和二次函数y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值的差为l ．（1）求y 1、y 2、y 3的解析式；（2）若y 1与y 3的图象交于C 、D 两点，求CD 的长；（3）P 是y 轴上一点，过点P 任意作一射线分别交y 2、y 3的图象于M 、N ，过点M 作直线y ＝－1的垂线，垂足为G ，过点N 作直线y ＝－3的垂线，垂足为H ．是否存在这样的点P ，使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立，若存在，求出P 点的坐标，并探究PMPN是否为定值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）代入y 1＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧(2－2 2)k ＋m ＝3－22( 2＋2 2)k ＋m ＝3＋22解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝1 ∴y 1＝x ＋1将A 、B 两点的坐标代入y 2＝2ax2＋2bx ＋c ，整理得：8a ＋2b ＝1易得y 2＝2ax2＋2bx ＋c 的最小值为c －b 22a，y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值为c －1－b 24a由题意，|c －b 22a－(c －1－b 24a)|＝1，即|1－b24a|＝1又8a ＋2b ＝1，得|1－2b21－2b|＝1∴1－2b21－2b＝1，解得b ＝0或1－2b 21－2b＝－1，整理得b2＋2b －1＝0，此方程无整数解∴b ＝0，代入8a ＋2b ＝1，得a ＝18∴y 2＝14x 2＋c令x ＋1＝14x2＋c ，得x2－4x ＋4c －4＝0 ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4c －4∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2 )2－4x 1x 2＝[2＋2 2－( 2－22)]2＝32∴4 2－4( 4c －4)＝32，∴c ＝0∴y 2＝14x2，y 3＝1 8x2－1 （2）令x ＋1＝18x2－1，得x2－8x －16＝0 ∴x 3＋x 4＝8，x 3x 4＝－16∴(x 3－x 4)2＝(x 3＋x 4 )2－4x 3x 4＝82－4×(－16)＝128 ∴| x 3－x 4|＝82∴| CD |＝2×82＝16 （3）设P （0，t ），M （x ，y ）则PM 2＝x2＋(t －y)2＝x 2＋t 2－2t y ＋y2MG 2＝(y ＋1)2＝y2＋2y ＋1∵y ＝14x2，∴x2＝4y ∴PM 2＝4y ＋t 2－2t y ＋y2＝y2＋2y ＋1∴2y －2t y ＋t2－1＝0，即2y (1－t)＋(t2－1)＝0要使2y (1－t )＋(t2－1)＝0对任意y 恒成立则1－t ＝0且t2－1＝0，∴t ＝1∴当点P 的坐标为（0，1）时，PM ＝MG 恒成立此时PN 2＝x2＋(1－y)2＝x 2＋1－2y ＋y2NH 2＝(y ＋3)2＝y2＋6y ＋9∵y ＝18x2－1，∴x2＝8y ＋8 ∴PN 2＝8y ＋8＋1－2y ＋y2＝y2＋6y ＋9∴PN 2＝NH 2，即PN ＝NH 故存在点P （0，1），使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立设直线y ＝－1、y ＝－3分别与y 轴交于E 、F ，连接PG 、PH ∵MG 、NH 分别是直线y ＝－1、y ＝－3的垂线 ∴MG ∥NH ，∴∠PMG ＝∠PNH∵PM ＝MG ，PN ＝NH ，∴∠MPG ＝∠MGP ，∠NPH ＝∠NHP ∴∠MPG ＝∠NPH ，∴P 、G 、H 三点在同一直线上∴PMPN＝PGPH＝PEPF，又PE ＝1＋1＝2，PF ＝1＋3＝4 ∴PMPN＝24＝1 2 ，即PMPN 为定值1210．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x 轴交于A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点Q 在直线y ＝kx ＋1上移动，O 为原点，当m ＝4时，直线y ＝kx ＋1上只存在一个点Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线y ＝kx ＋1的解析式． 解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m)2－4a1 318x 2－1∵AC ⊥BC ，由抛物线对称性知△ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB ＝(m ＋2)－(m －2)＝4∴C （m ，－2），∴－4a ＝－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2(x －m)2－2（2）当m ＝4时，B （6，0），设直线y ＝kx ＋1与x 轴交于H （t ，0），与y 轴交于E （0，1） 并设OB 中点为G ，以OB 为直径作⊙G当直线与⊙G 切于点Q 时，只存在一个点Q 使得∠OQB ＝设HO ＝t ，∵HQ 是⊙G 的切线，∴∠GQH ＝90°＝∠EOH 又∠QHG ＝∠OHE ，∴△QHG ∽△OHE∴QGQH＝OEOH而QG ＝3，OE ＝1，∴QH ＝3OH ＝－3t 在Rt △中，QH 2＋QG 2＝HG 2∴(－3t)2＋32＝(3－t)2，解得t ＝0（舍去）或t ＝－3 4∴H （－34，0），把H （－3 4，0）代入y ＝kx ＋1，得－3 4k ＋1＝0，∴k ＝4 3∴所求直线为y ＝43x ＋111．（湖南娄底）已知二次函数y ＝x2－(m2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1 x 2＝12． （1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）由已知得：x 1＋x 2＝m2－2，x 1x 2＝－2m∵1 x 1 ＋ 1 x2 ＝ 12 ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝ 1 2 ，∴ m2－2 －2m ＝1 2解得m ＝1，或m ＝－2当m ＝1时，y ＝x2＋x －2，得A （－2，0），B （1，0）当m ＝－2时，y ＝x2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去∴这个二次函数的解析式为y ＝x2＋x －2 （2）由（1）得A （－2，0），B （1，0），C （0，－2）假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC 根据平移知识可得P （－1，2）经验证P （－1，2）在直线y ＝x ＋3上 故在直线y ＝x ＋3上存在一点P （－1，2），使四边形P ACB 为平行四边形12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．O xy（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值．解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点令y＝0，得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1综上所述：k的取值范围为k≤2（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1（*）将（*）代入(k－1)x12＋2kx2＋(k＋2)＝4x1x2中得：2k(x1＋x2)＝4x1x2又∵x1＋x2＝2kk－1，x1x2＝k＋2k－1∴2k·2kk－1＝4·k＋2k－1，解得：k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）∴所求k值为－1②∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－12)2＋32且－1≤x≤1由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝12时，y最大＝32∴y的最大值为3，最小值为－313．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：（1）解方程x2－2x－3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2＋(m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y＝mx2＋(m－3)x－3（m为常数）．①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．解：（1）由x2－2x －3＝0，得(x ＋1)(x －3)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3（2）方法一：由mx 2＋(m －3)x －3＝0得( x ＋1)(mx －3)＝0∵m ≠0，∴x 1＝－1，x 2＝3m方法2：由公式法：x 1,2＝3－m ±(m －3)2＋12m2m ＝ 3－m ±(m ＋3)22m ＝3－m ±|m ＋3|2m∴x 1＝－1，x 2＝3m（3）①1° 当m ＝0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝－3x －3令y ＝0，得x ＝－1，令x ＝0，得y ＝－3 ∴直线y ＝－3x －3过定点A （－1，0），C （0，－3）2° 当m ≠0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝(x ＋1)(mx －3)∴抛物线y ＝(x ＋1)(mx －3)恒过两定点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0）②当m ＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0） 观察图象可知，当△ABC 为直角三角形时，有△AOC ∽△COB ∴AOCO＝COBO，∴|OC |2＝|OA |·|OB | ∴32＝1×|OB |，∴OB ＝9，即B （9，0）∴当0＜3m＜9，即m ＞13时，△ABC 为锐角三角形 观察图象可知，当0＜m ＜13时，B 点在（9，0）的右侧，∠ACB ＞当m ＜0且m ≠－3时，点B 在x 轴的负半轴上，B 与A 不重合 ∴△ABC 中∠ABC ＞90º或∠BAC ＞90º，∴△ABC 为钝角三角形 ∴当0＜m ＜13或m ＜0且m ≠－3时，△ABC 为钝角三角形14．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx2＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1． （1）求证：n ＋4m ＝0； （2）求m 、n 的值；（3）当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．解：（1）将2代入顶点横坐标得：－n2m＝2，∴n ＋4m ＝0 （2）∵已知二次函数图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），且由（1）知n ＝－4m ∴x 1＋x 2＝－nm＝－－4mm＝4，x 1x 2＝pm∵x 1＜0＜x 2，∴在Rt △ACO 中，tan ∠CAO ＝OCOA＝OC－x 1在Rt △CBO 中，tan ∠CBO ＝OCOB＝OCx 2∵tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1，∴OC－x 1－OCx 2＝1 ∵x 1＜0＜x 2，∴OC ＝|p |≠0∴1x 1＋1 x 2＝－1 OC ＝－ 1 |p | ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝－1|p |∴4pm＝－1 |p |，∴p ＝－4m |p | ①当p ＞0时，m ＝－14，此时n ＝1 ②当p ＜0时，m ＝14，此时n ＝－1 （3）当p ＞0时，二次函数的表达式为：y ＝－14x 2＋x ＋p ∵二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x2＋x ＋py ＝x ＋3仅有一个解∴一元二次方程x ＋3＝－14x2＋x ＋p 即－1 4x2＋p －3＝0有两个相等根 ∴△＝02－4×(－14)×(p －3)＝0，解得：p ＝3 此时二次函数的表达式为：y ＝－14x2＋x ＋3＝－1 4(x －2)2＋4 ∵a ＝－14＜0，∴y 有最大值415．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝2x 和函数y 2＝－x ＋6，不论x 取何值，y 0都取y 1与y 2二者之中的较小值．（1）求y 0关于x 的函数关系式；（2）现有二次函数y ＝x2－8x ＋c ，若函数y 0和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围； （3）在（2）的结论下，若函数y 0和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．解：（1）y 0＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x＜2）－x ＋6（x≥2）（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）（2）∵对于函数y 0，y 0随x 的增大而减小，∴y 0＝－x ＋6（x≥2）又∵函数y ＝x2－8x ＋c 的对称轴为直线x ＝4，且a ＝1＞0 ∴当x ＜4时，y 随x 的增大而减小 ∴2＜x＜4（3）①若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内则x2－8x ＋c ＝－x ＋6，即x2－7x ＋(c －6)＝0∴△＝(－7)2－4(c －6)＝73－4c ＝0，得c ＝734此时x 1＝x 2＝72，符合2＜x＜4∴c ＝734②若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个在2＜x＜4范围外则△＝73－4c ＞0，得c＜734方法一：∵对于函数y 0，当x ＝2时，y 0＝4；当x ＝4时y 0＝2 又∵当2＜x＜4时，y 随x 的增大而减小若y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6在2＜x＜4内有一个交点 则当x ＝2时y ＞y 0；当x ＝4时y ＜y 0 即当x ＝2时y ≥4；当x ＝4时y ≤2也即⎩⎪⎨⎪⎧4－16＋c ＞416－32＋c ＜2 解得16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜18 综上所述，c 的取值范围是：c ＝734或16＜c＜18 方法二：由函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6的一个交点在2＜x＜4范围内，另一个交点在2＜x＜4范围外 可得：⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7＋73－4c 2 ＜47－ 73－4c 2 ＜2 或⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7－73－4c 2＜47＋73－4c2＞4解第一个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＜16c ＞18 即无解解第二个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＞16c ＜18即16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜1816．（甘肃兰州）若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理． 如果设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x 1，0），B （x 2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为： AB ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－b a )2－4c a＝b2－4aca2＝b2－4ac|a |． 参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求b2－4ac 的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac 的值； （3）当a ＝c ＝1，且∠ACB ＝90°时，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？解：（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB 于D ，则AB ＝2CD∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac∵a＞0，∴AB ＝b2－4ac|a |＝b2－4aca又∵CD ＝|4ac －b2|＝b2－4ac，∴b2－4ac＝2×b2－4ac－即(±22)2－4(1＋m)＝12，∴m ＝－2∴抛物线y ＝x2＋bx ＋1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB 的度数由90°变为60°。
2012全国各地中考数学压轴题精选(21-30)解析版
2012年各地中考数学压轴题精选21~30_解析版【21.2012上海】24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；在△CAG与△OCA中，，∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，∴t=6．【22. 2012广东】22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．考点：二次函数综合题。
2012年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析
4a 2b c 3, 得 c 3, 9a 3b c 0.
解得 b 2,
a 1, c 3.
所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3．顶点 E 的坐标为(1，4)．
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华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·6
（3）如图 3，图 4，在△ACD 中，由 A(2，3)、 C(2，1)、D(3，0)， 得∠ACD＝135°， CD＝ 2 ，CA＝2． 由 A(2，3)、E(1，4)，知 AE＝ 2 ，AE 与抛物线的对称轴的夹角为 45°． 因此要使得△AEF 与△ACD 相似，只有点 F 在点 E 的上方时，∠AEF＝ 135°． ①如图 3，当
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2012 年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析
例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例 10 例 11 例 12 例 13 例 14 例 15 例 16 例 17 例 18 例 19 例 20 例 21 例 22 例 23 例 24 例 25 2012 年上海市宝山区中考模拟第 24 题 2012 年上海市宝山区中考模拟第 25 题 2012 年上海市奉贤区中考模拟第 25 题 2012 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 2012 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 2012 年上海市黄浦区中考模拟第 25 题 2012 年上海市金山区中考模拟第 24 题 2012 年上海市金山区中考模拟第 25 题 2012 年上海市静安区中考模拟第 24 题 2012 年上海市静安区中考模拟第 25 题 2012 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 2012 年上海市闵行区中考模拟第 25 题 2012 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题 2012 年上海市浦东新区中考模拟第 25 题 2012 年上海市普陀区中考模拟第 24 题 2012 年上海市普陀区中考模拟第 25 题 2012 年上海市松江区中考模拟第 24 题 2012 年上海市松江区中考模拟第 25 题 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 2012 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 2012 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 2012 年上海市闸北区中考模拟第 24 题 2012 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 2012 年上海市长宁区中考模拟第 24 题 2012 年上海市长宁区中考模拟第 25 题 /2 /4 /6 /8 / 10 / 12 / 14 / 16 / 18 / 20 / 22 / 24 / 26 / 28 / 30 / 32 / 34 / 36 / 38 / 40 / 42 / 44 / 46 / 48 / 50
2012年中考压轴题 函数问题
2012年中考数学压轴题专题：函数问题91. （2012山东菏泽10分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？【答案】解：（1）画图如下：由图可猜想y 与x 是一次函数关系，设这个一次函数为(0)y kx b k =+≠，∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）两点，∴5002040030k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10700k b =-⎧⎨=⎩。
∴函数关系式是10700y x =-+。
经验证，其它各点也在10700y x =-+上。
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得：22W (10)(10700)10800700010(40)+9000x x x x x =--+=-+-=--，∴当40x =时，W 有最大值9000。
（3）对于函数2W 10(40)+9000x =--，当35x ≤时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。
【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值和增减性。
【分析】（1）利用表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再取任意两点用待定系数法得出y 与x 的函数关系式，求出即可。
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W (10)(10700)x x =--+，从而利用二次函数最值求法得出即可。
2012年中考数学压轴题1(含答案)
1、如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 1、解：（1）抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，09a a ∴=+= ∴二次函数的解析式为：2y x x =++ （2）D为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N，则DN =，3660AN AD DAO =∴==∴∠=，°OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴=②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求AH 55(s)OP DH t ∴===③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分 （3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则3PE =113633(62)222BCPQS t t ∴=⨯⨯⨯-⨯23363328t ⎫-⎪⎝⎭当32t =时，BCPQ S 6338∴此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=， 22223393344PQ PE QE ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值2、解.(1)点A 的坐标为（4，8） 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b得0=64a+8b得a=-12,b=4解∴抛物线的解析式为：y=－12x2+4x …………………3分 （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE=PE AP =BC AB ,即PE AP =48 ∴PE=12AP=12t ．PB=8-t ．（第4题）∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：－12（4+12t ）2+4(4+12t ）=－18t2+8. ∴EG=－18t2+8-(8-t) =－18t2+t.∵-18＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2.②共有三个时刻.t1=163， t2=4013，t3= ．3、如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．3、（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．∴8448OE EF =-==，．（3）①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =．Rt Rt AFH AMC △∽△， ∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．4、如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化．例1 (2016·济南) 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是A B 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）【分析】 由点Q 从点N 出发，沿折线NDDCCE 向点E 运动，确定出点Q 分别在ND ，DC ，CE 运动时对应的t 的取值范围，再根据t 所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．【自主解答】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4．第15题图 A BCDM N Q∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．∴sin ∠A＝DF AD ＝45，MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．∴S ＝12AP •AQ •sin ∠A ＝12(1＋t )(3＋t )×45＝25(t ＋2)2―25．当0≤t ≤2时，S随t 的增大而增大，且当t ＝2时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2．∴S ＝12AB •PE ＝12×5×2＝5．∵6＞5，∴选项D 正确．变式训练1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4，D 为AB 上的动点，DP ⊥AB 交折线A －C －B 于点P.设AD ＝x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是( )2．(2016·烟台)如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条相互垂直的直径，图1 DC B A E M N QP F 图2 A B C D E M N Q P F 图3 A B C D E (Q )M N F P点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB ＝y，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二二次函数的实际问题解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题．一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要．例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【自主解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a=﹣．变式训练3．(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润．4、（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．类型三二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合．例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．变式训练5．(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC 于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=﹣x+3∴y=3，∴C（0，3），令y=0代入y=﹣x+3∴x=4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），∴a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，∴顶点D的坐标为（1，）；（2）当DP∥BC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，∴m=﹣，∴y=﹣x+n，把D（1，）代入y=﹣x+n，∴n=，∴直线DP的解析式为y=﹣x+，∴联立，解得：x=3或x=1（舍去），∴把x=3代入y=﹣x+，y=，∴P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0≤t≤6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，∴解得，∴直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y=﹣x+3，∴y=t，∴M（4﹣t，t），∵MN∥x轴，∴N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2，t），∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴，∴MQ=t，当MN=MQ时，∴6﹣t=t，∴t=，此时QB=，符合题意，如图2，当∠QNM=90°时，∵QB=t，∴点Q的坐标为（4﹣t，0）∴令x=4﹣t代入y=x+3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9﹣t，∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴=，∴NQ=9﹣t，当NQ=MN时，∴9﹣t=3t﹣12，∴t=，∴此时QB=，符合题意如图3，当∠NQM=90°，过点Q作QE⊥MN于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=﹣x+3，∴x=4﹣，∴M（4﹣a，a），令y=a代入y=x+3，∴x=﹣2，∴N（﹣2，0），∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，当MN=2QE时，∴6﹣2a=2a，∴a=，∴MF=QE=，∵MF∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴=，∴BF=2，∴QB=QF+BF=+2=，∴t=，此情况符合题意，综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6．(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF =S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．。
2012年全国各地中考数学压轴题精选(解析版1--10)
2012年全新中考数学模拟试题四（时量：120分钟 满分：120分）一. 填空题（每小题3分，共24分） 102..-的倒数是。
2282.分解因式：。
x -=321.在函数中，自变量的取值范围是。
y x x =-41236.不等式组的解集是。
x x +≥<⎧⎨⎩5. 母线长为3cm 底面半径为1cm 的圆柱的侧面展开图的面积为_____________cm 2。
6. 如图所示，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，连结PC ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件_____________。
（只需填入一种情况）7. 如图所示，P 是⊙O 的弦AB 上的一点，AB ＝10cm ，AP ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径为_____________cm 。
8. 观察下列各式：111222233334222+=⨯+=⨯+=⨯ ……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来_____________。
二. 选择题（每题3分，共24分） 98212227021211211123230..()在实数，，，，…，，--π sin tan tan .604743022o o o ·，中无理数有（）-A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10131201222.如用换元法解方程，并设，那么原方程可x x x x y x x ---+==- 化为（ ） A y y B y y ..22320320-+=+-=C y yD y y ..22230230-+=+-=11. 受季节的影响，某种商品每件按原售价降价10%，又降价a 元，现每件售价为b 元，那么该商品每件的原售价为（ ） A a bB a b ..()+--+110%110%)(元元C b aD b a ..()----110%110%)(元元12. 在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝2cm ，则以AB 所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的表面积为（ ） A cm B cm ..172022ππC cmD cm ..213022ππ13. 已知点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且OP ＝4，则过点P 的所有弦中，弦长可能取到的整数值为（ ）A. 5，4，3B. 10，9，8，7，6，5，4，3C. 10，9，8，7，6D. 12，11，10，9，8，7，6 14. 下列说法错误的是（ ）A. 直线y ＝x 就是第一、三象限的角平分线 B y x.反比例函数的图象经过点（，）=212 C y x y x .函数中，随着的增大而减小=-310D y x x x .抛物线的对称轴是=-+=2211()1512102.sin tan 已知，则等于（）αβαβ-+-=+A. 105°B. 75°C. 60°D. 90° 16. 若两圆的圆心距等于7，半径分别是R 、r ，且R 、r 是关于x 的方程ax ax 2560-+=的两个根，则这两圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切 三. 解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）()172132226021.()cos 计算：-+⎛⎝ ⎫⎭⎪----o1822232.先将化简，然后自选一个合适的值，代入化简后的式x x xx xx --÷- 子求值。
中考数学压轴题100题精41-60题及答案
中考数学压轴题100题精41-60题及答案2021年中考数学压轴题100题精选（41-60题）【041】某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y （单位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．来源:]y（千米） 150 100 50 ?1 0 1 23 4 5 6 7 8 x（小时）C两点的坐标分别为A(4，、【042】如图9，在矩形OABC中，已知A、0)C(0，2)，D 为OA的中点．设点P是?AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使?CPN?90°？若存在，请直接写出点P的坐标． yC(0，2) B PO A(4，0) x D图9【043】已知函数y1?x，y2?x2?bx?c，?，?为方程y1?y2?0的两个根，点M?1，T?在函数y2的图象上．（Ⅰ）若??，??131，求函数y2的解析式； 2（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为1时，求t的值； 12（Ⅲ）若0?????1，当0?t?1时，试确定T，?，?三者之间的大小关系，并说明理由．12x�C2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，2过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．【044】如图9，已知抛物线y=(1) 求直线l的函数解析式； (2) 求点D的坐标；(3) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图9【045】如图，已知直线y?1x?1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2y?12x?bx?c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，20)。
中考数学专题复习――压轴题(含答案)
中考数学专题复习――压轴题(含答案)中考数学专题复习――压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）2.2. 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，2)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在Rt△ABC中，A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．H QC4.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN 为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？P 图35、如图1，已知双曲线y=BD 图2B图1k(k0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试x解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k(k0)于P，Q两点，点P在第一x象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 47.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4―6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k= 1，求BE2 DG2的值．28.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t 0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满．．AB．．足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△B EF的面积为S，求S的取值范围.10.如图，抛物线L1:y x2 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x 轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.11 20XX年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸．已知标准纸的短边长为a．．．．（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B 处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是，AD，AB的长分别是，．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M 90，MN MQ 2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．4开a2开8开开图1D FA ED GBE 图2CBF 图3C13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD ＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．C A E F B14．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y （1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．k的图象上．x15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O(0，2秒时，动点P从点A出发以3相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；PQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D （2）当t 1时，如图1，将△O的坐标；（4）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．图117.如图16，在平面直角坐标系中，直线y x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2x c(a 0)经过A，B，C三点．3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(20XX年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C 的对应点为点D，抛物线y ax2 bx c过点A，E，D．（1）判断点E 是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19.(20XX年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y 与直线y32x 3与x轴交于点A，点B，433x b相交于点B，点C，直线y x b与y轴交于点E．44（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？20.(20XX年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB sin∠OAB=. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S QMN，△QNR的面积S QNR，求S QMN∶S QNR的值.21.(20XX年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x 轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2 (m 2)x n 1 0的两根:(1) 求m，n的值(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由`11 的值CMCNL`22.(20XX年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）223.(天津市20XX年)已知抛物线y 3ax2 2bx c，（Ⅰ）若a b 1，c 1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a b 1，且当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；x2 1时，（Ⅲ）若a b c 0，且x1 0时，对应的y1 0；对应的y2 0，试判断当0 x 1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(20XX年大庆市)如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .GAF①GAB② ECDC25. （20XX年上海市）已知AB 2，AD 4，DAB 90，AD∥BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．AC B B E C备用图图1326. （20XX年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设A管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （20XX年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．2图①P28. （20XX年江苏省南通市）已知双曲线yk1与直线y x相交于A、B两点.第一象限x4k上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y 上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过Nxk（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y 于点E，交BD于点C.x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA ＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29. （20XX年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）图1 图2 图3 图4压轴题答案c 31. 解：（1）由已知得：解得1 b c 0c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为y x 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S2111AO BO (BO DF) OF EF DF*****= 1 3 (3 4) 1 2 4 222==9（3）相似如图，222所以BD BE 20, DE 20即：BD BE DE,所以BDE是直角三角形222所以AOB DBE 90 ,且所以AOBAOBO,BDBE2DBE.2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，∴tan OAB233，10 8∴ OAB 60当点A在线段AB上时，∵ OAB 60 ，TA=TA，∴△ATA是等边三角形，且TP TA ，∴TP (10 t)sin60113(10 t)，A P AP AT (10 t)，222∴S S A TP1 A P TP (10 t)2，282 当A与B重合时，AT=AB= 4，sin60所以此时6 t 10.(2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA 与CB的交点)，当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2 t 6.(3)S存在最大值1当6 t 10时，S ○(10 t)2，8在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是23.2当2 t 6时，由图○1，重叠部分的面积S S○ A TP S A EB ∵△AEB的高是A Bsin60 ，∴S31(10 t)2 (10 t 4)2 822( t2 4t 28) (t 2)2 43 88当t=2时，S的值最大是4；3当0 t 2，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA与○CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ EFT FTP ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴S11EF OC 4 23 43 22综上所述，S的最大值是4，此时t的值是0 t 2. 3. 解：（1）A Rt ，AB 6，AC 8，BC 10．1点D为AB中点，BD AB 3．DHB A 90，B B．△BHD∽△BAC，*****12 AC 8 ．，DH *****05（2）QR∥AB，QRC A 90．C C，△RQC∽△ABC，RQQCy10 x，，*****3x 6．5即y关于x的函数关系式为：y （3）存在，分三种情况：①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM．1 2 90，C 2 90，1 C．H QC84QM4cos 1 cosC ，，105QP51 3x 6 425 ，x 18．*****②当PQ RQ时，HQCQ312x 6 ，55x 6．③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC 的中点，11CR CE AC 2．24QRBAtanC ，CRCA3x 6156 ，x ．2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．524. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴ △AMN ∽ △ABC．图1xAN∴ AM AN，即．43ABAC3∴ AN＝x．……………2分4∴ S=S MNP S AMN133x x x2．（0＜x＜4）……………3分2481MN．2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC．由（1）知△AMN ∽ △ABC．BQD 图2xMN∴ AM MN，即．45ABBCx，45∴ OD x．…………………5分8∴ MN过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ OD5x．8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA．∴ BM QM．BCAC55 x25x，AB BM MA 25x x 4．∴ BM*****96．4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． (7)分49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP．∴ x＝∴ AM AO 1．AM＝MB＝2．ABAP2故以下分两种情况讨论：3① 当0＜x≤2时，y SΔPMN x2．8∴ 当x＝2时，y最大3232 . ……………………………………8分82P② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵ 四边形AMPN是矩形，∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形．∴ FN＝BM＝4－x．∴ PF x 4 x 2x 4．又△PEF ∽ △ACB．图4PF S PEF∴ ．AB S ABC∴ S PEF232x 2 ．……………………………………………… 9分23392y S MNP S PEF＝x2 x 2 x2 6x 6．……………………10分8282929 8当2＜x＜4时，y x 6x 6 x 2．88 38时，满足2＜x＜4，y最大2．……………………11分38综上所述，当x 时，y值最大，最大值是2．…………………………12分3k5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）m∴ 当x(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ。
2012年全国各地中考数学压轴题专集--概率
2012年全国各地中考数学压轴题专集-----------------概率1．（浙江杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边 的长分别为5和7．（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n 个三角形，求n 的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．2．（山东济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A 、B 、C 、D ，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．（1）请用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p 、q 表示这两种正多边形的个数，x 、y 表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px ＋q y ＝360，求每种平面镶嵌中p 、q 的值．3．（山东潍坊）田忌赛马的故事为我们所熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取的牌不能放回．（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．4．（成都某校自主招生）有十张正面分别标有数字－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x 的不等式ax ＋b ＞0中的系数a ，如果该不等式有正整数解的概率为1 2，求b 的取值范围．5．（湖北黄冈）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x ，小强摸出的球标号为y ．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x ＞y 时小明获胜，否则小强获胜．①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由． 正三角形 A 正方形 B 正五边形 C 正六边形 D。