北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2：
1 .写出四阶行列式中
11121314212223243132333441
42
43
44
a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项
解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()
()
13241τ-11233244a a a a 或()
()
13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项
为11233244a a a a 和11233442a a a a
2. 用行列式的定义证明111213141521
22232425
31
3241425152
000000000
a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：
（1）
0100002
;000
1000
n n -（2）001002
00
1000
n n
-；
解：（1）
0100
02
000
1000
n n -=()
()
23411n τ-123n ⨯⨯⨯
⨯=()
1
1!n n --
（2）
00100
2001000
n n
-=()
()()()
12211n n n τ---123n ⨯⨯⨯
⨯=()
()()
122
1!n n n ---
4.设n 阶行列式：A=
11
11
n
n nn
a a a a ，B=111112122122212
12n n n n n n n n nn
a a
b a b a b
a a
b a b a b a -----，其中0b ≠，试
证明：A=B 。 证明：
B=
111112122122212
12n n n n n n n n nn
a a
b a b a b
a a
b a b a b a -----=
()
(
)
[]12
121212
12121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！
=
()(
)
[]12
121212
1212
1()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！
=
()(
)
[]12
121212
(1)(2)()
12
1n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+
-∈-∑
！
=
()(
)
[]12
1212
121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑
！
=A
命题得证。
5.证明：如下2007阶行列式不等于0：
D=
22
22
33332007
2007
2007
2007
1
220062007232007200834200820082007200820082008； 证明：最后一行元素，除去2007
2007是奇数以外，其余都是偶数，故含2007
2008
的因式也都
是偶数。若最后一行取2007
2007
，则倒数第二行只有取2006
2007
才有可能最后乘积为奇数，
以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。
习题1.3
1求下列行列式的值：
(1)
3111
131111311113
; (2)
0111
101111011110
; （3.）A=
+c 23243236310+6b 3a b c d a
a b
a b c
a b d
a a
b a b
c a b c
d a a b a b c a c d
++++++++++++++++，
解：
(1)
3111
131111311113
3423
12
λλλλλλ-+-+-+−−−→
31112200022
22
---4332
21
c c c c c c +++−−−→
6321020000200002
=48
；
(2)
0111101111011110
3423
12
λλλλλλ-+-+-+−−−→
011111
0001100
1
1
---4332
21
c c c c c c +++−−−→
332101
0000100
1
---=3-;
（3.）.A=
+c 23243236310+6b 3a b c d a
a b
a b c
a b d
a a
b a b
c a b c
d a a b a b c a c d
++++++++++++++++，
+c 23243236310+6b 3a b c d a
a b
a b c
a b d a a b a b c a b c d
a a
b a b
c a c
d ++++++++++++++++==
023*********+63a c d a
a
a b c
a b c d a a a b c
a b c d
a a a
b
c a b c
d +++++++++++++++
=324326310+63a b c d a b
a b c
a b c d
a b a b c a b c d a b a b c a b c d
++++++++++++++0023243236310+63a
d a
a
a b
a b c d a a a b
a b c d
a a a
b a b
c d
+++++++++++
0000+=2432232432310+6336310+63a c d a a
a
c
a b c d a
a
a b
a b c a a c a b c d a a a b a b c a a c a b c d a a a b a b c
++++++++++++++++00000000+
=+=
23223432224323633610+633310+63a
d a a a
a
a b
d a
a
a
a b c a
a
b
a b c a a a b d a a a a b c
a a
b a b c
a a a
b d
a a a a
b
c a a
b a b c
+++++++++++++
000000000000+
=
23432322342333610+63633610366a a a a a
a
a
a b a
a
a
c a
a
a
a a
a
a
b a a a a b
a a a c a a a a
a a a
b a a a a b a a a c
a a a a
a a a b
++
=+
24
32431
+62
2
+3
5
000
000
00011
1100002
6
26234343
23405
55
361036103610a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
a
a a a
λλλλλλ-+−−−−→−−−−→=
—
413
1065
a a a a a ⨯⨯⨯=
2.求下列n 阶行列式的值：
（1）
()()
2
1
212221
22
31112
n n n n n n n n n n n n ++++
-+-+；（2）32222322
2232222
3
；（3）
123103120
123
n n n ------；（4）12311312112
3
1n x n x n x +++ 解：（1）n D =
()()
2
1212221
22
31112
n n n n n n n n n n n n ++++-+-+； （1） 若n=1;则n D =1； （2） 若n=2;则n D =1234
=2-;
（3） 若3n ≥，则
n D =
()()2
1
212221
22
31112
n n n n n n n n n n n n ++++-+-+2312
λλλ
λ-+-+−−−→
()()2
1
21112
n n n n
n
n
n n n n n n -+-+=0； 综上：n D =112
2
03
n n n =⎧⎪
-=⎨⎪≥⎩
（2）
322223222232222
3
1i
i
λλ--+−−−−−−−→
其中，i 先后取n,n-1,2
3
2
22110001100
11
---
1
i i c c -+−−−−−−→
i 依次取n,n-12
()()
32122222
010
001
0000
1
n n +--⨯=2n+1； （3）
1
2
3103
12
12
3
n n n ------1n,n-1,2
i
i λλ+−−−−−→
依次取12
3223
23
2n n n n
⨯=n!； （4）
1
2
3
11312112
3
1
n x n x n x +++123n
i
i ic c -+−−−−−→
依次取、
、1
11121
1
x x x n ---+=()()()121x x x n ---+；
习题1.4
1. 计算下列行列式：
（1）0
000
00
000
x
a b c
y d
c z f g h k u
l v
；（2）2112
12
212
22
12
1+x 11n n
n n n
x x x x x x x x x x x x x x ++；
（3）
765432978943
749700
536100
005600
006800
；（4）
00010
000
0000001000n n
a a a a a ⨯
解：（1）
00000000x a b c
y d c z f g h k u l v 2424
c c λλ↔↔−−−→
00000000000
x
b a
c g u k h l z
c
f y
v
1212
c c λλ↔↔−−−→
000000000
00
u
g
k h
l x b a c
z c f y v
=xyzuv; （2）
D=
2112
12
212
22
12
1+x 11n n
n n n
x x x x x x x x x x x x x x ++=
2112
2
212
12
1+x 0101n n x x x x x x x x x ++
2112
12
212
221
2
1+x 1n n
n n n
x x x x x x x x x x x x x x +=
()
2
112
12
21
222
11
12
1
1+x 111n n n
n
n n n x x x x x x x x x x x x x x +---+-++2n
x
21
12
12
212
21
2
1+x 11x x x x x x x x x +=
2112
11
2
21
221
2
1112
1
1+x 11n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -----+++2n x =
2
112
122
21
222
2
21
22
2
1+x 11n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -----+++2n-1x +2n x ==1+
22
12x x ++
+2n x ;
(
21
12
12
2
12
21
2
1+x 11
x x x x x x x x x +i 12n 1
n i
i x
λλ--+−−−−−−→
依次取、、1
2
3
1
1
1
1
x x x =1)
（3）
765432978943
749700536100
005600
006800
=()()()56347632
5
6974316874005300+++-=
()
()()
3+4+1+2567432-168
5343
=
566874325343
=4;
（4）
000100
00
0000
0000100
0n n
a a a
a a ⨯=n
a
+
()()()
23
1121n n n a τ---=()2
2
1n a
a
--;
2.试用拉普拉斯定理计算：A=12342
22212
3
4
1
11001
23000111100x x x x x x x x ； 解：
()()()()()()12121+2+1+32
341
342
22
2221234224134
2
2221234
11100123001
111
1
111
11
011111+-1121300x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=-⨯⨯()
()()
()()()()()12233
443324231412
23
4
011
11
102230x x x x x x x x x x x x x x ++++-⨯=------⎡⎤⎣⎦ 2. 利用范德蒙行列式计算：
（1）
()
()
()
()
1
1
11111
1
1
n
n
n
n n n a
a a n a a a n a a a n ---------；（2）
11
11111111222222
11111111
n
n n n n n n n n n n n
n n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++，
（0,i a ≠1,2,
,1i n =+）
解：（1）
()
()
()
()
1
1
1
111111n
n
n n n n a a a n a a a n a a a n ---------i 1
n-12
i i λλ-↔−−−−−−→依次取n 、、
()
n-1
1-()
()
1
1
1
1
1
11n n n a a a n a
a a n
------−−−→
同理()
()()()()
n-121
1
111
11n n
n
n
a a a n
a a a n +-+
+-----=
()
()()
12
11
1n n n i j j i -+≥>≥--∏
2）
11
11111111222222
11111111
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++=
()
n
121n a a a +2
1111112
22
222223333
332
1
111
111
1
1
1n
n
n
n
n n n n n n b b b a a a b b b a a a b b b a a a b
b b a a a ++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=()
n
12
1n a a a +n 11j i i j i j b b a a +≥>≥⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭∏=()n 11
i
j
i j i j b a
a b +≥>≥-∏
习题1.5
1. 用克莱姆法则解下列方程：
（1）1234124
2341234258
369
2254760
x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨
-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解：
D=
2
151130602121
4
7
6
-----24
λλ-+−−−→2
1511306021
2
7
712
-----=()(
)()
34231+++-2121
7716
---+
()
()()
34242225
17121
+++--+()
()()
34341221
171213
+++----=27；
同理：x D =91，y D =108-，z D =27-，
w D =27;∴1x =x D D =3;2x =y D D =4-;3x =z D D =1-；4w D x D
==1;
总复习题一
1.计算行列式D=
2111 4211 2011029998 1212
-
-
-
；
2.计算行列式D=
246427327 1014543443 342721621
-
；
3.计算行列式D=1111 1111 1111 1111
x
x
y
y
+
-
+
-
；
4.计算行列式D=
1111 1111 1111
1111
x
x
x
x
--
-+-
--
+--
；
5.计算行列式D=1333 3233
3
333 333n
；
6.计算行列式A=
11121 21222
12
n
n
n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++ +++ ++
+
；
7.计算行列式
D=
()
100
120
123
1
2
1
n
n
-
-
--
-
；
8证明D=123
1111
111
111111
1
1
1n
a a a a
++++；
9.证明：
2cos 10001
2cos 100012cos 000002cos 10
1
2cos x x x x x
=
sin(1)sin n x
x
+
10.试证明
()()()()()()()()
()
111212122212n n n n nn a t a t a t a t a t a t d dt
a t a t a t =
()
()()()
()
()
()()()
111121221
1j n n
j n j n nj nn d
a t a t a t dt d
a t a t
a t dt
d
a t
a t a
t
dt
=∑
11.一个n 阶行列式n D 的元素满足，则称为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零。 12计算由杨辉三角规律给出的n 阶横列式
D=
11111
1233
136141
解：1、
D=
2
111421120110299981
2
1
2
---=331
124
c c i
i c c ++−−−−−→−−−→依次取、、42
1263
103399133
1
1
---
34
λλ-+−−−→42126
3
1
033991
00100
--=()4+3
422
1100630331
--=1800-
2.
D=246
427327
1014543443342721621
-=()11
1+-246
543443721621
+()12
10144431427
342621
+--+
()
13
10145431327
342721
+--=246()()()()50043600214004370021++-++⎡⎤⎣⎦
()4271014621342443-⨯+⨯+()3271014721342543⨯+⨯=246⨯17800+()()1014721427100427721100---⎡⎤⎣⎦+342()()543427100427543100---⎡⎤⎣⎦=
4378800-29811600-3967200=-29400000
3、D=1111111111111
1
1
1x
x y y
+-+-=
4123
i
i c c -+−−−−−→
依次取、、x 001001001
1x
y
y
y
y y
--=
x 001001
0011x y y y y -+
x 000000000
x y
y
y
y y
--1234
i
i λλ-+−−−−−→
依次取、、x 00100000
x x x y x y
y
y ----++2
2
x y
34
+λλ-−−−→x
00100
00y
00
x x x y y
---+2
2
x y =2
2
x y
4、
D=
1111111111111
1
1
1
x x x x ---+---+--+1i i
i c c +−−−−−→依次取1、2、3
00
10
10
100
1
x x x
x
x
x x ----1321i i
i λλ+-+−−−−−→
依次取、、x 10
001
x x x --=()
()314
42
1x -⨯-= 4
x
5、
D=1333323333
3
3333n
312456n
i
i c c -+−−−−−−→
依次取、、、、2
313
3133
3
n --
-=
3
2
1
1
3
n ---=6()3n -!
6.计算行列式A=
111212122212
n
n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++
A=1112121
22
212
n n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++；
1）若n=1,则A=11a b +； 2）若n=2,则A=
()()1112
21122122
a b a b a a b b a b a b ++=--++；
3）若n ≥3,则A=
1112112231212221223212
12
23
n n n n n n n n
n n
a b a b a b b b b b a b a b a b a b b b b b a b a b a b a b b b b b a b +++--++++
--+=
+++--+=0
∴()()1121121
203a b n A a a b b n n +=⎧⎪
=--=⎨⎪≥⎩
7.计算行列式
D=
()100120123
12
1n n
-----2312
λλλλ-
+-+−−−→
=
()
10002000312
1n n
----
-=()
1+1
1n +-()20031
2
1n n
-----=
()
1+n 1
1+-()
1+n 1
1+-2⨯⨯
()31
2
1n n
-----=
()(
)
321n +-()12
61n n
--⨯
---=
()
()+3(+4)
2
13!!n n n -=()
(1)
2
13!!n n n --
8证明
D=123
1111
111111111
1
1
1n
a a a a +++
+=12
111n
n i i a a
a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∑,
12n a a a 0≠；
D=123
111
1111111111
1
1
1n
a a a a +++
+=
+1
i n-1n-221
i i λλ-+−−−−−−−→
依次取、、、、11
2
2
3
2
11
1+a 111
1
n n n n
a a a a a a a a ------
-i -1
n n-12
i i λλ+−−−−−−→
依次取、、、n 1
n 2
n n-1
n
1111+a 00a a 0a a a a --
-=12n-1111
100
00
a
0a a ---+
n 1
n 2
n
n-1n
111a 00
a a 0
a a a a ---=()
()
1+n
1
12111n n a a a ----+
n
a
1
2
n-1111100
11
a 1
a a ---11
1
n
i i i a c c
---+−−−−−−→依次取2、3、、n =12
1n a a a -+
n
a 11
11
2
1
1
2
n-1
11110000
0a 0
n a a a a a ----+++
+---=121n a a a -+
n a ()
11n
+-（11
11211n a a a ----+++
+）()
n-1
1-12
1n a a a -=12
111n
n i i a a a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∑ 9.证明：
2cos 10001
2cos 100012cos 000002cos 10
1
2cos x x x x
x
=
sin(1)sin n x
x
+;
n D =
2cos 100012cos 1000
12cos 00
0002cos 10
1
2cos n n
x x x x x
⨯=
2cosx
()()
112cos 100012cos 1000
12cos 00
0002cos 10
1
2cos n n x x x x x -
--
()()
22110002cos 1
012cos 1
12cos n n x x x -
-=2cosx 1n D --2n D -
下面用归纳假设法证明：1）：当n=1时，1D =2cos x =sin 2sin x
x
；
当n=2时，2D =
2cos 11
2cos x x
=2
2cos x +cos2x =
sin 3sin x
x
；
（sin 3sin x x =sin 2cos cos 2sin sin x x x x
x
+=22cos x +cos2x ）
当n=3时，3D =
2cos 1012cos 10
1
2cos x
x x
=3
8cos x 4cos x -=
sin 4sin x
x
(同理可证) 又3D =2cos x 2D 1D -=3
8cos x 4cos x -=
sin 4sin x
x
；
2）：假设，当n=k ()3k ≥时，有k D =sin(k 1)sin x x +；1k D -=sin sin kx
x
成立
则当n=k+1时。有
1k D +=
()()
112cos 10001
2cos 100012cos 000002cos 10
1
2cos k k x x x x x +
+==2cos x k D 1k D --=
2cos x
()sin k+1sin x x sin k sin x x
-
=[]
2cos sin(1)sin(1)cos cos(1)sin sin x k x k x x k x x x +-+-+=sin(1)cos cos(1)sin sin k x x k x x x
+++=()sin 2sin k x
x +；满足。则原命题得证。
10.试证明
()()
()()()()()()
()
111212122212n n n n nn a t a t a t a t a t a t d dt
a t a t a t =()
()()()
()
()
()()()
111121221
1j n n
j n j n nj nn d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt
=∑
10.证明：
()()()()()()()()
()
111212122212n n n n nn a t a t a t a t a t a t d dt
a t a t a t =
d dt ()()
()()()12
12121n n s s
s s s s n a t a t a t τ-∑
=
()
()
()()()1212121[]n n s s s s s s n d
a t a t a t dt
τ-∑+()
()
()()()1212121[
]n n s s s s s s n d
a t a t a t dt
τ-∑++
()
()
()()
()12
12121[]n n s s s s s s n d
a t a t a t dt
τ-∑=()()()()()
()
()()()11112122n1j n j n nj nn d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt
+()()()()
()
()
()()()
11112122n1j n j n nj nn d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt
+
+
()()()()
()
()()
()
()11112122n1j n j n nj nn d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt
=()()()()()
()
()()()
111121221
1j n n j n j n nj nn d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt d
a t a t a t dt
=∑
11.一个n 阶行列式n D 的元素满足ij ji a a =-，则称为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零。
证明：设D=
111212122212
n n n n nn
a a a a a a a a a 为反对称行列式，（其中n 为奇数）。则必有
D=
()
()
1212121n n s s s s s s n
a a a τ-∑=()(
)
12
12121()()
()n n s s s s s ns a a a τ----∑
=
()(
)
()
1212
1211n n s s s n
s s ns a a a τ--∑
=-()
()
121212
1n n s s s s s s n a a a τ-∑⇒D=D -。即D=0。
12计算由杨辉三角规律给出的n 阶横列式
D=
1
11
11
12
3
3
136141
解：令
n D
=
1
1111
12
3
3
13614
1
=
12112
00230123
012123
10123
2
03
20
12221
2
2
2
2n n n n n n n n n n n
n n n n n
n n n n n n c c
c c
c c c
c
c c c
c c c
c
c
c
c
c
λλλλλλ---++
-+-++--+--+++-+-−−−−→
线性代数课后习题答案第一章 行列式
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
线性代数第一章(答案)
第一章 行列式 一 填空题 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！ 2.行列式 1 2 n λλλ= (1) 2 12(1) n n n λλλ-- 3. 行列式11121314222324 333444 00 a a a a a a a a a a 的值11223344 a a a a 4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则 A = 1122nn a a a 解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10 6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10 7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34 8.在函数x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中,3x 的系数为 -2
解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项. 9. 行 列 式x x x x x 2213212 113215 含 4x 的项 410x 解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =???=. 10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变 11. =5 6789012011400 10 3 0200 1000 120 . 解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式 12.行列式c c b b a a ------1111111的值是 1 。 解c c b b a a ------1111111= 10 11111a b b c c ----=101 111a b c c --=1010101a b c =1
线性代数课后习题答案
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???? ???---d c b a 100 11 0011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案.doc
《线性代数》 (工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵 A 为 4 阶方阵，且 | A| =5，则 | A* | =__125____，| 2A| =__80___， | A1 |= 1/5 bx ay 0 、若方程组cx az b 有唯一解，则 abc≠ 2 cy bz a 3 、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式0 . x1 x2 x3 0 4 、当 a 为 1 or 2 时，方程组x1 2x2 ax3 0 有非零解. x1 4x2 a2 x3 0 3 1 2 5 、设 D 2 3 1 , 则2 A11 A21 4 A31 .0 01 4 二、单项选择题 a 11 a 12 a 13 4a11 2a11 3a12 a 13 1．设 D a 21 a 22 a 23 1, 则D 4a21 2a21 3a22 a 23 （ B ）a 31 a 32 a 33 4a31 2a31 3a32 a 33 （A)0 ；（B)―12 ；（C）12 ；（D）1 kx ky z 0 （ A ．设齐次线性方程组2x z 0 有非零解，则k = ）2 kx 2 y z 0 （A）2 （B）0 （C）-1 （D）- 2 2 0 8 3．设 A= 3 1 5 ，则代数余子式A 12 ( B ) 2 9 7 (A) 31 (B) 31 (C) 0 (D) 11 4．已知四阶行列式 D中第三列元素依次为 -1 ，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4 ，则 D= ( A ) （ A） -15 （B） 15 （C） 0 （D） 1 三、计算行列式 1
高教线性代数第一章 多项式——课后习题答案
第一章 多项式 1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(2 2 3 +-=---=x x x g x x x x f ； 2） 2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1）由带余除法，可得9 2926)(,9731)(--=-= x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2 +-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3 2 |1， 2）q px x mx x ++++2 4 2 |1。 解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2 =-+++m q x m p ， 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+3 2|1。 2）类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。 综上所诉，当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时，皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式： 1）5 3 ()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）3 2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1） 432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成
线性代数课后作业参考答案
第一章作业参考答案 1-1. 求以下排列的逆序数： （1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10 （2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1) 2(1)2 n n n n -⨯=- 1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a 解：()12(234516)4,•3126454t t t t ==== 128t t t =+=为偶数，故该项带正号。 1-3. 用行列式的定义计算： （1） 0004 0043 0432 4321 （3） 01 2 3 100010001x x x a a a x a ---+ 解：（1） 1241231240 0040 043(1)(1)444425604324 3 21 t q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3） 1320 1 2 3 1 00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+ 233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++ 1-4. 计算下列行列式： （1） 1111111111111111--- （3） 120 03 40000130051 - （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a =
北大版_线性代数第一章部分课后答案详细讲解
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数课后习题答案全)习题详解
第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.
解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数． 由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题
《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题 基础课程教学资料 第1章矩阵 习题一 (B) 1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为： A =?? n a a a 00000021, 任何对角矩阵B 设为 n b b b 000 0021 ，则AB=?? n n b a b a b a 000 002 211，而BA =??
n n a b a b a b 000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。再证充分性，设 A =?? nn n n n n b b b b b b b b b 2 1 222 21 11211 ，与B 可交换，则由AB=BA ，得： nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2 21 1222 22111122111= nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2 1 2222 221 21112111 1，比较对应元素，得 0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。
又j i a a ≠，)(j i ≠，所以 0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。 2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T 均为对称矩阵. 证明：(T AA )T =(A T )T A T =AA T ， 所以，T AA 为对称矩阵。 (A A T )T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。 3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设 A =?? nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。 由于O A =2 ，故 A 2=AA T = nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211
线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）⎥⎥⎥⎥ ⎦⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢71 10 025********* 4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26 52321121314 1 2； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214214 34327c c c c --0 10014 2310202110 21 4---=3 4)1(1431022 11014+-⨯---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 2605 232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1111111 11---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100110011001---21ar r +d c b a ab 1001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+
2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分
北大版线性代数答案
北大版线性代数答案 【篇一：北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题（每题2分，共36分） 1.（教材1.1）行列式 a.13 b.11 c.10 （c ）。 d.1 （ a）。 c.0d. 2.（教材1.1）行列式a. b. 3.（教材1.2）行列式（ b）。 a.40 b.-40 c.0 d.1 4.（教材1.3）下列对行列式做的变换中，（ a）会改变行列式的值。 a.将行列式的某一行乘以3 b.对行列式取转置 c.将行列式的某一行加到另外一行 d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.（教材1.3）行列式（b ）。 (提示：参考教材p32例1.3.3) a.2/9 b.4/9 c.8/9 d.0 有唯一解，那么（d）。 6.（教材1.4）若线性方程组 a.2/3 b.1 c.-2/3 d.1/3 【篇二：线性代数期末考试试卷+答案合集】 txt>一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1 1. 若0 ?352 1 x?0，则??__________。 ?2 ?1 ??x1?x2?x3?0? 2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足。 ?x?x?x?0 23?1 3．已知矩阵a，b，c?(cij)s?n，满足ac?cb，则a与b分别是阶 矩阵。
?a11 ? 4．矩阵a??a21 ?a?31a12?? a22?的行向量组线性。 a32?? 2 5．n阶方阵a满足a?3a?e?0，则a?1? 1. 若行列式d中每个元素都大于零，则d?0。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） ?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1， a2，?，as线性相关。3. 向量组a1，a2， （） ?0 ?1 4. a?? ?0??0100?000??，则a?1?a。（） ?001? 010? 5. 若?为可逆矩阵a的特征值，则a?1的特征值为?。 () 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) t 1. 设a为n阶矩阵，且a?2，则aa?（）。 ① 2 n ② 2 n?1 ③ 2 n?1 ④ 4 ?，?s（3 ? s ? n）线性无关的充要条件是（）2. n维向量 组 ?1，?2，。 ?，?s中任意两个向量都线性无关① ?1，?2， ?，?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示② ?1，?2， ?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示③ ?1，?2，?，?s中不含零向量④ ?1，?2， 3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数第一章 行列式(答案)
黄色为有问题的题目，红色为看过的单元 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 行列式的定义 一．选择题 1．假设行列式x 52231 5 2 1- = 0，那么=x [ c ] 〔A 〕2 〔B 〕2- 〔C 〕3 〔D 〕3- 2．线性方程组⎩⎨ ⎧=+=+4733 221 21x x x x ，那么方程组的解),(21x x = [ c ] 〔A 〕〔13，5〕 〔B 〕〔13-，5〕 〔C 〕〔13，5-〕 〔D 〕〔5,13--〕 3．方程09 3 142 112 =x x 根的个数是 [ C ] 〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 4．以下构成六阶行列式展开式的各项中，取“+〞的有 [ AD ] 〔A 〕665144322315a a a a a a 〔B 〕655344322611a a a a a a 〔C 〕346542165321a a a a a a 〔D 〕266544133251a a a a a a 5．假设55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，那么l k ,的值及该项的符号为[ B ] 〔A 〕3,2==l k ，符号为正； 〔B 〕3,2==l k ，符号为负； 〔C 〕2,3==l k ，该项为零； 〔D 〕2,3==l k ，符号为负 6．以下n 〔n >2〕阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B ) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个 二、填空题 1．行列式 1 22 1--k k 0≠的充分必要条件是 k ≠3,且k ≠-1 2．排列36715284的逆序数是 13 3．排列397461t s r 为奇排列，那么r st= 258,582,825
北大版-线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2： 1 •写出四阶行列式 中 含有因子（仆_3的项 解：由行列式的左义可知，第三行只能从勺2、幻4中选，第四行只能从中选，所以所有的组合只有（-1广即如他角2%或（-1）"网a H a23a34a42，即含有因子勺］“23的项 为一如吹32% 和a H a23a34a42 证明：第五行只有取心2整个因式才能有可能不为0,同理，第四行取心|、山2,第三行取①】、他2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0•以第五行为参考，含有你I的因式必含有0,同理，含有@2的因式也必含有故所有因式 都为0•原命题得证・。 3 •求下列行列式的值: 0 0 1 0… 2 ... …0 ...2 1 (1)■ ■ ■ ■ • • • • ■ ■ ；（2） • ■ •• •• • ■ • ■0 0 0…”一 1 〃一 1 …00 0 n0 0 •…0 0 …00 n 勺2«!3«15 «22“23“24如 “320 0 0 «420 0 0 °510 0 0 2 •用行列式的上义证明 解：（1）0 I 0・••0 4 ■ ■ ■ 2… • • • • ■ ■ ■ ♦• 0 ... ■ n-\ 110 0 0 =(_1)心 j 川1X2X3X-*-XH =(-l)n 1n\
”一1 证明: Z （-1严"％严匕少宀叫”护 7柯 S ( j 严"％叫 2 …Wk ...b'f $1$2・・％曲 E （T ）'T%d2 …％沪 Wi"叫 Z （T 严％% …讣 A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾 命题得证。 5•证明：如下2007阶行列式不等于0： 1 2 …2006 2007 22 32 …20072 2OO82 D= 33 • 43 • …20083 • • 20083 ■ • ■ 20072(xn ■ • 2OO82007 • • • • ... 2OO82007 ■ ■ 2OO8200 证明：最后一行元素，除去彳“了200 ?是奇数以外，其余都是偶数，故含20082呦的因式也 都 是偶数。若最后一行取20072°°7,则倒数第二行只有取2OO72006才有可能最后乘积为奇 数，以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得 证。 4.设n 阶行列式：A= «ii ■ ■ • •…(仏 • • • • • • ,B= 如 a 2\b • • a 22 ■ ■ 1 l-w (40) …呵丹, • • • • 5 …% • 5尸 ■ W 2 • • •・・ a nn n ,其中bHO,试 证明:A=Bo (2) =（_］）q （zx-2 卜・・2加） (—1)(—2) Ix2x3x---xz? =(-1) 2 “
线性代数第一章习题答案
习 题 1-1 1．计算下列二阶行列式： （1） x x 1 1； （2） α αα αsin cos cos sin -． 解 （1） () 111 12 -=-= x x x x ． （2） 1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-ααα α α α． 2．计算下列三阶行列式： （1）121223 1 12 --； （2）0 000 0d c b a ； （3）22 2 111 c b a c b a ； （4）c b a b a a c b a b a a c b a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++= 3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-． 3．证明下列等式： =33 3231 232221 13 1211a a a a a a a a a 33 32 2322 11a a a a a 33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 证明 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= )()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---= 33 32 232211 a a a a a =33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 4．用行列式解下列方程组： （1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1 2361 32321 321321x x x x x x x x x ． 解 （1）74334== D ，246351==D ，96 35 42==D ，
数值线性代数 北大版 答案全
数值线性代数习题解答 习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） ２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组 是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解]因，故为求解线性方程组 ，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下： 算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）
（2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为； （4）用回代法求解方程组：运算量为。 算法总运算量大约为： ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下 面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有 功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵， 都是上三角阵。因为A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等， 故此，它们都必是单位矩阵。即，从而 即A的LU分解是唯一的。 ６．设的定义如下 证明A有满足的三角分解。 [证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下 容易验证： ７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式 证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为