北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
线性代数北大版习题一答案
线性代数北大版习题一答案
《线性代数北大版习题一答案》
在学习线性代数的过程中，习题是检验自己是否真正掌握知识的重要方式之一。
而北大版线性代数习题一则是一个很好的练习材料。
通过解答这些习题，不仅
可以加深对线性代数知识的理解，还可以提高解决问题的能力和思维逻辑。
习题一主要涵盖了线性代数的基本概念和基本运算，包括向量的线性相关性、
矩阵的运算、线性方程组的解法等内容。
这些内容是线性代数学习的基础，也
是以后学习更深层次的线性代数知识的基础。
因此，通过解答习题一，可以夯
实基础，为以后的学习打下坚实的基础。
在解答习题一的过程中，我们不仅要熟练掌握线性代数的相关知识，还要学会
灵活运用这些知识解决问题。
这就需要我们不断思考、分析问题，找出解题的
方法和步骤。
通过解答这些习题，我们可以提高自己的问题解决能力和逻辑思
维能力，培养自己的数学思维。
除此之外，解答习题一还可以帮助我们发现自己对线性代数知识的理解是否准
确和深刻。
通过检查答案，我们可以及时发现自己的不足之处，及时进行补充
和纠正，从而不断完善自己的知识体系。
总之，解答线性代数北大版习题一不仅可以加深对线性代数知识的理解，还可
以提高解决问题的能力和思维逻辑，帮助我们夯实基础，为以后的学习打下坚
实的基础。
因此，我强烈建议大家在学习线性代数的过程中，认真对待习题一，尽心尽力地解答每一个问题，相信一定会有所收获。
线性代数第一章习题答案
线性代数第一章习题答案第一章：行列式答案第一节A 类题1 –42 3333c b a abc ---3 404 1 第二节A 类题 1 .(1) 7 (2) 4 (3)11 (4) (1)2n n -2.(1) i=8,j=3 (2) i=6,j=8B 类题1. (1)2n n -2. (1)n n -3.(1)2n n T --第三节A 类题1 （1）-3 （ 2）4433211244322311a a a a a a a a -- （3）45x （4）!)1(n n -2 （1）1123344255112335425414233142551423354251152331425 41523344251;;;;;a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---（2）5244312513a a a a a ；5441322513a a a a a ；5142342513a a a a a （3）负号“—” 3 0==b a 4 -2第五节A 类题1 （1）0 （2）-312（3）22x y （4）[]1(1)()n a n b a b -+-- (5) 2--n n a a(6) ∏∑==???? ?-ni i ni i a a a 1101 (7) 12 ()2'6x x F =3 δ33-=-ihgf e dc b aB 类题1把第n-1列的-1倍加到第n 列，第n-2列的-1倍加到第n-1列，----第一列的-1倍加到第二列，直接化为三角形行列式n 22)n 1-n 1+-）（（）（2. ()∏∑==-??? ??+ni i ni i a x a x 113. 12122111)2(2122112121110)2(2--≥--=--+--≥-∑n n j ji n n c c i r r D .第六节A 类题1（1）1（2）44a b -（3）()()()()a b c b a c a c b ++---（4）按第一列展开()n n n y x 11+-+2 34M ，()61122112=-=+M A3．0B 类题1 31234()a a a a x x ++++2 按第n 行展开，即可，n n n n n n x x a x a x a x a a ++++++----11222213 ∏≥≥≥++-11121j i n j j i i n n n na b a b a a a第七节A 类题1()313,4,32;2=-==++=c b a c bx ax x f 2满足01113111121111=-=ba a D 的4)1+=a b （ 3 利用范德蒙德行列式计算，解是 4 -6 4 -1B 类题111112222333344440a b c d a b c d a b c d a b c d =章节测试题一选择题1D 2D 3A 4C 5c 二填空121D D D --= 2 –5 3 –3 4 2d 5 ()()n n n a a 1211--三计算1-∑=ni i n a a a a 10112()()()121+---n x x x3、将前n 列加到最后一列，再按最后一列展开得 n n n a a a n D 211)1)(1(-+=+.4 122123112154314321321------=n n n n n n n n nn D n =12212311215431432111112)1(-----+n n n n n nn n n n（各列加到第一列提取公因子=12212311215431432111112)1(-----+n n n n n nn n n n（从第n 行开始减去他的前一行）= 111111111111131111200012)1(nn n n n n n n -----+（按第一列展开）11111111111111112)1( nn n n n n ----+=21)1(12)1(+---n n n n n 四．解方程组（每题10分，共20分）1. 1,1,1;2,2,2,021531211113211321==-====-=≠=-=x x DDx D D D D2.21λ=或。
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解 ，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况， 并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
在此添加您的文本16字
详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的 理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说 明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用 矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的 关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其 定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第 二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元 素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
THANK YOU
感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照 一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过 程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算 总结词：矩阵的秩 总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通 过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。
线性代数第一章题库及解答
第一章会计算反序数，掌握行列式的性质，会计算行列式，掌握克莱姆法则 第22页2.计算下列各行列式. （1）|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 （2）307220583 =|307−2201303| =2⋅（−1）2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164.（3）|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30（4）|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|111101230013014|=|1111012300130001|=1 （5）5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 （6）|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8（第一行乘-1加到下面各行）4、k 取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解？（系数行列式不等于0） （1）{3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4第25页4、（1）|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 （将第一行加到第二行后，第二行和第四行元素对应相等） （2）方法一：|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二：|1201135001561234|=|1201015−10156033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21（3）a b b bb a b b b b a bb b b a=|a +3bbb b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3 （4）x yyxx x y y yx x y+++ =|2x +2y y x 2x +2y x +y y 2x +2yx x +y |=|2(x +y)y x0x y −x 0x −y y | =2(x +y )|x y −x x −y y|=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3) 或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x yxx y+++++++11(22)1(22)010y x y x x y x yy x y xy x xx yx yy=++=+-+-2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-单项选择题（1） 关于行列式，下列命题错误的是（B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开（2） 关于行列式，下列命题正确的是（A ）. A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对（3）下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解 （4）排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6（5）212431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A. 2143-- B ．2143- C ．4125--D ．4125- 2.填空题.（1）|1−221|= 5（2）|123045006|=1×4×6=24（3）若52k 74356=，则k =_7_________.（4）212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.（5）若a c 3b d =，则2a 2c2b 2d -=--12，a 2c b 2d --=--6，2a 2cb d=---6. （6）已知k341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中，确定下列各项的符号.a13a24a31a42t（3412）=2+2=4 所以a13a24a31a42的符号是正号.a34a23a41a12将行标按自然顺序排列a12a23a34a41t（2341）=1+1+1=3 所以a34a23a41a12的符号是负号.。
高等代数北大编-第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数(北大版)第1章习题参考答案
第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析
WORD 格式可编辑第一章 多项式0时，代入2)可得q2pm1. 用 g(x)除 f (x), 求商q(x)与余式r(x):1) f (x) x 3 3x * 22x 1, g(x) 3x 2x 2) f(x) x 4 2x5,g(x) x 211)由带余除法，可得q(x)亍討(X)26 x92同理可得q(x) x x 1, r(x) 5x 7。
1) 2 x mx 1| x 3px q , 2)2 ..4 2x mx 1 | x px q 。
解 1) 由假设, 所得余式为 0, 即(p 所以当 p 1 2 m 时有x 2 mxq m 0m(2 p m 2) 0 2) m, p,q 适合什么条件时，有 2. 1 |xq 1 p2，于是当m 21 m2 )x (q m) 0,pxm 0时，代入(2)可得综上所诉，当时，皆有x 2mx 1|x 4 px 2 q 。
1) f(x)2x 5 5x 3 8x, g(x) x3 ; 2) f (x) x 3 x 2x, g(x) x 12i 。
1)q(x) 2x 4 6x 3 1 13x 239x 109r(x) 327q(x ))x 22ix(52i)or(x) 9 8i求g(x)除f (x)的商q(x)与余式:解 2) 把f (x)表示成x X o 的方幕和，即表成3.4.C o C|(X X o ) C 2(X X o )2... C n (X X 。
)" L 的形式:51) f (X ) X , X o 1 ； 2)f (X ) x 4 2X 2 3,X o 2 ；3) 43f (X ) X 2ix (1i)x 23X 7 i,X o i o解 1)由综合除法，可得 f(x)1 5(X 1) 10(x21) 10(x 1)3 5(X 1)4 (X 1)5 ； 2) 由综合除法，可得 X 42X 2 3 11 24(X 2) 22(X 2)2 8(X2)3 (X 2)4 ;3) 由综合除法，可得X 42ix 3(1 i)x 2 3X (7i)(7 5i) 5(X i) ( 1 i)(x i)2 2i(x i)3 (X i)4。
线性代数第一章答案12
1. 计算下列行列式 3 4 （1） 3 5 4 2 15 8 7 2 5 1 2 （2） 1 7 2 6 7 12 6 7 cosα sinα （3） cosα cosα sinα sinα cosα 1 0 1 （4） 1 2 0 1 3 2 1 2 2 0 0 1 1 1 3 — 1 4 2 1 1 0 0 2 0 1 3 1 0
19 sinα cos α sin α 1
0 2 4 （5） 0 6 0 0 2 6 1 6 0 4
3 2 1 3 2 2 4 0
3
0
1 0
0 3
0
2 —2
24 0 0 0 0 0 24 a b c （6） b c a acb bac cba c c a b a 2.当实数a，b 为何值时，行列式 b 1 a 解： b 1 所以当a b a 0 b 0 0 ＝a 1 0 0 0 a b 1 b a 0 b a 0 b
y x+ y x y x
x+ y x y x+ y −y −x
= 2( x + y ) 1 x + y
0 x− y
= 2( x + y )
x− y
= 2( x + y )[(− x 2 ) + y ( x − y )]
= 2( x + y )(− x 2 + xy − y 2 ) = −2( x 3 + y 3 )
4 1 2 3
c1 + 2c2 (−100)
1 2 （4） 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2
解： （化为上三角形矩阵）
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 r2 − r1 , r3 − r1 r4 − r1
大一线性代数答案详解
大一线性代数答案详解第一章：向量与线性方程组1.1 向量与线性组合在线性代数中，向量是一种常见的数学工具，它可以用来表示一维或多维空间中的点、方向或力等物理量。
一个向量可以用一组有序数（分量）来表示，比如二维空间中的向量可以表示为 (x, y)。
线性组合是指将两个或多个向量按一定比例相加所得到的新向量。
1.2 向量空间和线性方程组向量空间是指一个非空集合，其中的元素（向量）满足一些特定的运算规则，比如加法和数乘。
线性方程组是由若干线性方程组成的方程组，在研究向量空间时经常遇到。
线性方程组可以用矩阵形式表示，例如：Ax = b其中 A 是一个m×n 的矩阵，x 和 b 是n×1 的列向量，即未知数和常数向量。
1.3 高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的基本方法。
它通过对方程组中的方程进行一系列的行变换，化简方程组，最终得到一种形式，使得方程组的解容易求解。
高斯消元法的具体步骤如下：1) 将方程组写成增广矩阵的形式；2) 选取一个主元（一般选取第一个非零元素）；3) 通过消元操作，将主元所在列的其他元素化为零；4) 重复步骤2和3，直到得到矩阵的上三角形式；5) 通过回代求解方程组的解。
第二章：矩阵与行列式2.1 矩阵与矩阵运算矩阵是由 m 行 n 列的数构成的矩形阵列，形如：[a11, a12, ..., a1n][a21, a22, ..., a2n][... , ..., ..., ...][am1, am2, ..., amn]矩阵之间可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是指对应元素相加，而矩阵的乘法是指第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素相乘后求和。
2.2 行列式及其性质行列式是一个数，它用于表示一个矩阵的性质。
一个 n 阶方阵的行列式可以用下面的公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + ... + a1n·A1n其中 aij 是矩阵 A 的元素，Aij 是 aij 对应的代数余子式。
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提示
c2 2b2 a2
3a2
c3
a1
2b3 a3 18 ，则 a2
3a3
a3
b1 c1
b2 c2 的
b3 c3
A.3
B.－3 C. 6
D.－6
11.若
2x ky kx 2y
c1 c2
(c1 c2 0)
有唯一解，则k满足( D
).
A.k=0
B.k=－2或k=2
C.k≠－2或k≠2 D.k≠－2且k≠2
( A ).
A.10d B.15d C.－10d D.－15d
D1 第一列乘３加到第二列，乘４加到第三列
a1 2a2 5a3
a1 a2 a3
D1 b1 2b2 5b3 1 (2) 5 b1 b2 b3 10d
c1 2c2 5c3
c1 c2 c3
c1
10. 若 2b1 a1
3a1
值为 ( A ).
1234
8.若 5
0
6 0
7 x
8 3
0，则x=
12 5
.
0045
1234 5 6 7 8 1 2x 3
0 0 x 3 5 64 5 0045
三、计算题
2 3 11 5
4 1 1 2
1.计算行列式 D1
1 2
1 1
5 3
2 4
和 D2
3 2
1 3
2 5 .
41
11 3 4
1 2 11
10
A. 零元素最多为 n 1 个，即必有一行元全为零。
C. 列等和行列式，把各行加到第一行，则第一 行全为零。
D.反例
0 1
1 1
0
0001
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习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。
故所有因式都为0.原命题得证.。
3.求下列行列式的值：（1）0100002;0001000n n -（2）001002001000n n-；解：（1）0100020001000n n -=()()23411n τ-123n ⨯⨯⨯⨯=()11!n n --（2）001002001000n n-=()()()()12211n n n τ---123n ⨯⨯⨯⨯=()()()1221!n n n ---4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a ，B=11111212212221212n n n n n n n n nna ab a b a ba ab a b a b a -----，其中0b ≠，试证明：A=B 。
证明：B=11111212212221212n n n n n n n n nna ab a b a ba ab a b a b a -----=()()[]1212121212121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！=()()[]1212121212121()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！=()()[]12121212(1)(2)()121n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+-∈-∑！=()()[]121212121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑！=A命题得证。
5.证明：如下2007阶行列式不等于0：D=2222333320072007200720071220062007232007200834200820082007200820082008； 证明：最后一行元素，除去20072007是奇数以外，其余都是偶数，故含20072008的因式也都是偶数。
若最后一行取20072007，则倒数第二行只有取20062007才有可能最后乘积为奇数，以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。
故原命题得证。
习题1.31求下列行列式的值：(1)3111131111311113; (2)0111101111011110; （3.）A=+c 23243236310+6b 3a b c d aa ba b ca b da ab a bc a b cd a a b a b c a c d++++++++++++++++，解：(1)3111131111311113342312λλλλλλ-+-+-+−−−→3111220002222---433221c c c c c c +++−−−→6321020000200002=48；(2)0111101111011110342312λλλλλλ-+-+-+−−−→011111000110011---433221c c c c c c +++−−−→33210100001001---=3-;（3.）.A=+c 23243236310+6b 3a b c d aa ba b ca b da ab a bc a b cd a a b a b c a c d++++++++++++++++，+c 23243236310+6b 3a b c d aa ba b ca b d a a b a b c a b c da ab a bc a cd ++++++++++++++++==023*********+63a c d aaa b ca b c d a a a b ca b c da a abc a b cd +++++++++++++++=324326310+63a b c d a ba b ca b c da b a b c a b c d a b a b c a b c d++++++++++++++0023243236310+63ad aaa ba b c d a a a ba b c da a ab a bc d+++++++++++0000+=2432232432310+6336310+63a c d a aaca b c d aaa ba b c a a c a b c d a a a b a b c a a c a b c d a a a b a b c++++++++++++++++00000000+=+=23223432224323633610+633310+63ad a a aaa bd aaaa b c aaba b c a a a b d a a a a b ca ab a b ca a ab da a a abc a ab a b c+++++++++++++000000000000+=23432322342333610+63633610366a a a a aaaa b aaac aaaa aaab a a a a ba a a c a a a aa a ab a a a a b a a a ca a a aa a a b++=+2432431+622+350000000001111000026262343432340555361036103610a a a aa a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a aa aa aaa a aλλλλλλ-+−−−−→−−−−→=—4131065a a a a a ⨯⨯⨯=2.求下列n 阶行列式的值：（1）()()212122212231112n n n n n n n n n n n n ++++-+-+；（2）3222232222322223；（3）123103120123n n n ------；（4）1231131211231n x n x n x +++ 解：（1）n D =()()212122212231112n n n n n n n n n n n n ++++-+-+； （1） 若n=1;则n D =1； （2） 若n=2;则n D =1234=2-;（3） 若3n ≥，则n D =()()212122212231112n n n n n n n n n n n n ++++-+-+2312λλλλ-+-+−−−→()()2121112n n n nnnn n n n n n -+-+=0； 综上：n D =112203n n n =⎧⎪-=⎨⎪≥⎩（2）32222322223222231iiλλ--+−−−−−−−→其中，i 先后取n,n-1,2322211000110011---1i i c c -+−−−−−−→i 依次取n,n-12()()3212222201000100001n n +--⨯=2n+1； （3）12310312123n n n ------1n,n-1,2ii λλ+−−−−−→依次取123223232n n n n⨯=n!； （4）1231131211231n x n x n x +++123nii ic c -+−−−−−→依次取、、1111211x x x n ---+=()()()121x x x n ---+；习题1.41. 计算下列行列式：（1）000000000xa b cy dc z f g h k ul v；（2）21121221222121+x 11n nn n nx x x x x x x x x x x x x x ++；（3）765432978943749700536100005600006800；（4）000100000000001000n na a a a a ⨯解：（1）00000000x a b cy d c z f g h k u l v 2424c c λλ↔↔−−−→00000000000xb ac g u k h l zcf yv1212c c λλ↔↔−−−→00000000000ugk hl x b a cz c f y v=xyzuv; （2）D=21121221222121+x 11n nn n nx x x x x x x x x x x x x x ++=21122212121+x 0101n n x x x x x x x x x ++21121221222121+x 1n nn n nx x x x x x x x x x x x x x +=()21121221222111211+x 111n n nnn n n x x x x x x x x x x x x x x +---+-++2nx2112122122121+x 11x x x x x x x x x +=2112112212212111211+x 11n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -----+++2n x =2112122212222212221+x 11n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -----+++2n-1x +2n x ==1+2212x x +++2n x ;(2112122122121+x 11x x x x x x x x x +i 12n 1n ii xλλ--+−−−−−−→依次取、、1231111x x x =1)（3）765432978943749700536100005600006800=()()()5634763256974316874005300+++-=()()()3+4+1+2567432-1685343=566874325343=4;（4）00010000000000001000n na a aa a ⨯=na+()()()231121n n n a τ---=()221n aa--;2.试用拉普拉斯定理计算：A=12342222123411100123000111100x x x x x x x x ； 解：()()()()()()12121+2+1+323413422222212342241342222123411100123001111111111011111+-1121300x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=-⨯⨯()()()()()()()()1223344332423141223401111102230x x x x x x x x x x x x x x ++++-⨯=------⎡⎤⎣⎦ 2. 利用范德蒙行列式计算：（1）()()()()111111111nnnn n n aa a n a a a n a a a n ---------；（2）111111111122222211111111nn n n n n n n n n n nn n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++，（0,i a ≠1,2,,1i n =+）解：（1）()()()()111111111nnn n n n a a a n a a a n a a a n ---------i 1n-12i i λλ-↔−−−−−−→依次取n 、、()n-11-()()1111111n n n a a a n aa a n------−−−→同理()()()()()n-121111111n nnna a a na a a n +-++-----=()()()12111n n n i j j i -+≥>≥--∏2）111111111122222211111111n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++=()n121n a a a +21111112222222233333321111111111nnnnn n n n n n b b b a a a b b b a a a b b b a a a bb b a a a ++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()n121n a a a +n 11j i i j i j b b a a +≥>≥⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∏=()n 11iji j i j b aa b +≥>≥-∏习题1.51. 用克莱姆法则解下列方程：（1）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解：D=2151130602121476-----24λλ-+−−−→2151130602127712-----=()()()34231+++-21217716---+()()()3424222517121+++--+()()()34341221171213+++----=27；同理：x D =91，y D =108-，z D =27-，w D =27;∴1x =x D D =3;2x =y D D =4-;3x =z D D =1-；4w D x D==1;总复习题一1.计算行列式D=2111 4211 2011029998 1212---；2.计算行列式D=246427327 1014543443 342721621-；3.计算行列式D=1111 1111 1111 1111xxyy+-+-；4.计算行列式D=1111 1111 11111111xxxx---+---+--；5.计算行列式D=1333 32333333 333n；6.计算行列式A=11121 2122212nnn n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++ +++ +++；7.计算行列式D=()100120123121nn-----；8证明D=1231111111111111111na a a a++++；9.证明：2cos 100012cos 100012cos 000002cos 1012cos x x x x x=sin(1)sin n xx+10.试证明()()()()()()()()()111212122212n n n n nn a t a t a t a t a t a t d dta t a t a t =()()()()()()()()()1111212211j n nj n j n nj nn da t a t a t dt da t a ta t dtda ta t atdt=∑11.一个n 阶行列式n D 的元素满足，则称为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零。