关于中考数学必学提分方法2021
关于初中数学特别差怎么补基础2021
关于初中数学特别差怎么补基础2021双基的全面复习，不是知识的简单重复，而是对知识进行条理化、系统化的过程，下面是小偏整理的关于初中数学特别差怎么补基础2021，感谢您的每一次阅读。
关于初中数学特别差怎么补基础2021吃透考纲把握动向在复习中，很重要的一点是要有针对性，提高效率，避免做无用功。
在对基本的知识点融会贯通的基础上，认真研究考纲，不仅要明确考试的内容，更要对考纲对知识点的要求了然于心。
平时多关注近年中考试题的变化及其相应的评价报告，多层次、多方位地了解中考信息，使复习有的放矢，事半功倍。
围绕课本注重基础从近几年的上海中考数学卷来看，都很重视基础知识，突出教材的考查功能。
试题至少有一半以上来源于教材，强调对通性通法的考查。
针对这一情况，提醒考生，在剩下的不多的复习时间里，必须注意回归课本，围绕课本回忆和梳理知识点，对典型问题进行分析、解构、熟悉。
只有透彻理解课本例题、习题所涵盖的知识重点和解题方法，才能以不变应万变。
针对专题攻克板块复习中，应加强各知识板块的综合。
对于重点知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。
例如，函数是整个中学数学中非常重要的部分，可以以它为主干，与不等式、方程、相似形等结合起来，进行综合复习。
规范训练提高效率学生常常把计算错误简单地归结为粗心，其实不然，这有可能是基础不牢固，也有可能是技巧不熟练。
建议考生，在复习阶段要注重培养自己在解题中的运算能力，每次练习做到熟练、准确、简捷、迅速。
经验表明，每次作业、考试后建立的错题本，是学生检查和总结自身薄弱环节的有效方式。
在复习阶段，考生需要的就是一些行之有效的方法，帮助他们更合理有效地利用时间，集中精力，提高效率。
有计划才有主动从一个学生的计划上就可以体现出你能抓住的是西瓜还是芝麻，这是对学生条理性的检验。
有了一个量身定制、有的放矢的复习计划，才真正抓住了主动权。
注重双基强化课本正如前面提到的，近几年的中考上海数学试卷体现了全面考察基础知识、重点知识，注重通性通法的特点。
2021年九年级中考数学一轮复习提分专练—图形变化类：找规律(解析版)
2021年九年级中考数学一轮复习提分专练—图形变化类：找规律（三）1．如图所示，一张桌子可以摆放6张椅子，两张桌子拼在一起则可以摆放10张椅子．（1）按此方式摆放下去的话，4张桌子拼在一起可以摆放张椅子．（2）n张桌子拼在一起可以摆放张椅子．（3）如果按以上方式每5张桌子拼成一起形成一张长桌子，则100张桌子可以摆放多少张椅子？2．下列是小朋友用火柴棒拼出的一组图形：仔细观察，找出规律，解答下列各题：（1）第四个图中共有根火柴棒，第六个图中共有根火柴棒；（2）按照这样的规律，第n个图形中共有根火柴棒（用含n的代数式表示）；（3）按照这样的规律，第20个图形中共有多少根火柴棒？3．用棋子摆成如图所示的图案，请完成下面的问题：（1）按图示规律填写表：（2）第n个图案的棋子数是多少？图形编号①②③④⑤…棋子个数（3）求第100个图案共需多少个棋子？4．如图是由一些火柴棒搭成的图形：（1）搭第①个图形需要根火柴棒，搭第②个图形需要根火柴棒，搭第③个图形需要根火柴棒；（2）按照这样的规律继续搭下去，搭第n个图形需要根火柴棒．5．【阅读】邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作…依此类推，若第n次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为n阶方形．如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形．【探索】（1）如图3，邻边长分别为2和3的长方形是阶方形．（2）已知长方形的邻边长分别为1和a（a＞1），且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a的值．【拓展】（3）若长方形的邻边长分别为a和b（a＜b），且满足a＝4r，b＝5a+r，则这个长方形是阶方形．6．观察下列点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤的后面的横线上分别写出相应的等式；①1＝12②1+3＝22③1+3+5＝32④⑤．（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．（3）利用以上的规律回答下面的问题：小明将1元的硬币以上面的方式排成正方形，但排完后还剩14个硬币，如果外围再增加一层硬币，则还差3个硬币，请你想一想小明究竟有个硬币．7．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接． （1）若把2张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （3）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？8．用棋子摆出下列一组图形，请观察图形，根据你发现的规律解答下列问题：（1）填写下表： 图形编号 1 2 3 4 5 6 图形中棋子的枚数69（2）第n 个图形中共有 枚棋子；（3）照这样的方式摆下去，第100个图形中棋子数是多少枚？9．如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究并解答下列问题．。
专题20 母子形相似模型-2021年中考数学解题方法归纳提升(解析版)
专题20 母子形相似模型一、单选题1．古希腊数学家发现“黄金三角形”很美．顶角为36︒的等腰三角形，称为“黄金三角形”．如图所示，ABC中，AB AC =，36A ∠=︒，其中10.6182BC AC =≈，又称为黄金比率，是著名的数学常数．作ABC ∠的平分线，交AC 于1C ，得到黄金三角形1BCC ；作11//C B BC 交AB 于1B ，121//B C BC 交AC 于2C ，得到黄金三角形112B C C △；作22//C B BC 交AB 于2B ，231//B C BC 交AC 于3C ，得到黄金三角形233B C C △；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形．若BC 的长为1，那么56C C 的长为（ ）A 2B ．9-C ．4-D 【答案】B【分析】 黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°．它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，从而利用相似三角形的性质得出规律，即可得到答案．【详解】解：∵AB AC =，36A ∠=︒，72,ABC ACB ∴∠=∠=︒1BC 平分ABC ∠，1136,CBC ABC A ∴∠=∠=︒=∠ 1172,BCC BC C ∠=∠=︒111,BC AC BC ∴===172,ACB BCC ∠=∠=︒1ABC BCC ∴∽，设1CC x =，则1,AB AC x ==+ 则1AB BC BC CC =， 11,1x x+∴= 210,x x ∴+-=∵12x -±=， 又0x >，∵x =．经检验：12x =符合题意，1CC ∴= 同理：11112,AB C B C C ∽11//,B C BC11,AB C ABC ∴∽1112BCC B C C ∴∽，∵121111112C C B C AC BC BC CC BC AC AC AC =====，∵2121322C C ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭，同理：3232C C ==⎝⎭，……，)62561292C C ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比相等，同时考查了二次根式的乘方运算；解题时要注意方程思想的应用．2．如图，∵ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，F 是AD 、BE 的交点，CE=2AE ，BF=EF ，EN∵BC 交AD 于N ，若BD=2，则CD 长度为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【分析】根据平行线的性质得到相等的角，再结合BF=EF 先证明∵NEF∵∵DBF ，即可得到NE=BD=2，再证明∵ANE∵∵ADC ，根据相似三角形的对应边成比例求解．【详解】解：∵NE∵BC ，∵∵NEF=∵DBF ，∵ENF=∵BDF ，又∵BF=EF ，∵∵NEF∵∵DBF ，∵NE=BD=2．∵NE∵BC ，∵∵ANE∵∵ADC ，∵NE AE CD AC=， ∵CE=2AE ，∵13NE AE CD AC ==， ∵CD=6．故答案选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合思想的应用．二、解答题3．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：∵MFC ∵∵MCA ；（2）求证∵ACF ∵∵ABE ；（3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【分析】 （1）由正方形的性质得45ACD AFG ∠=∠=︒，进而根据对顶角的性质得CFM ACM ∠=∠，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF AC AE AB=，再证明其夹角相等，便可证明ACF ABE ∽△△； （3）由已知条件求得正方形ABCD 的边长，进而由勾股定理求得AM 的长度，再由MFC MCA △∽△，求得FM ，进而求得正方形AEFG 的对角线长，便可求得其边长．【详解】解：（1）四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，45ACD AFG ∴∠=∠=︒，CFM AFG ∠=∠，CFM ACM ∴∠=∠，CMF AMC ∠=∠，MFC MCA ∴△∽△；（2）四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，AC ∴=，同理可得AF =，∴AF AC AE AB= 45EAF BAC ∠=∠=︒，CAF BAE ∴∠=∠，ACF ABE ∴△∽△；（3）1DM =，2CM =，123AD CD ∴==+=，AM ∴=MFC MCA △∽△， ∴CM FMAM CM =2FM =，FM ∴=，AF AM FM ∴=-=，∴AG即正方形AEFG ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质．4．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将∵BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC=2BA，求∵CBE的度数；（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∵ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=12AD时，求ABBC的值．【答案】（1）15°；（2）（3）3 5【分析】（1）由折叠的性质得出BC=BF，∵FBE=∵EBC，根据直角三角形的性质得出∵AFB=30°，可求出答案；（2）证明∵FAB∵∵EDF，由相似三角形的性质得出AF ABDE DF=，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出AF，即可求出BC的长；（3）过点N作NG∵BF于点G，证明∵NFG∵∵BFA，1 2NG FG NFAB FA BF===，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵∵C=90°，∵将∵BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∵BC=BF，∵FBE=∵EBC，∵C=∵BFE=90°，∵BC=2AB，∵BF=2AB，∵∵AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∵AD//BC，∵∵AFB=∵CBF=30°，∵∵CBE=12∵FBC=15°；（2）∵将∵BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∵∵BFE=∵C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∵A=∵D=90°，∵∵AFB+∵DFE=90°，∵DEF+∵DFE=90°，∵∵AFB=∵DEF，∵∵FAB∵∵EDF，∵AF AB DE DF=，∵AF•DF=AB•DE，∵AF•DF=10，AB=5，∵DE=2，∵CE=DC-DE=5-2=3，∵EF=3，∵DF==∵AF==∵BC=AD=AF+DF=+=（3）过点N作NG∵BF于点G，∵NF=12AD∵NF=12 BF，∵∵NFG=∵AFB，∵NGF=∵BAF=90°，∵∵NFG∵∵BFA，∵12 NG FG NFAB FA BF===，设AN=x，∵BN平分∵ABF，AN∵AB，NG∵BF，∵AN=NG=x，AB=BG=2x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∵(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43 x，∵BF=BG+GF=410233x x x+=．∵231053AB AB xBC BF x===．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．5．已知正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，点F在边CD上，且CF BE=，AE和BF交于点G．（1）如图，求证：∵AE BF=∵AE BF⊥（2）连接CG并延长交AB于点H，∵若点E 为BC 的中点（如图），求BH 的长．∵若点E 在BC 边上滑动（不与点,B C 重合），当CG 取得最小值时，求BE 的长．【答案】（1）∵证明见解析；∵证明见解析；（2）∵43；∵2 【分析】（1）∵由正方形的性质得出AB=BC=4，∵ABC=∵BCD=90°，由SAS 证明∵ABE∵∵BCF ，即可得出结论；∵由∵得：∵ABE∵∵BCF ，得出∵BAE=∵CBF ，证出∵AGB=90°，即可得出结论；（2）∵由直角三角形的性质得出CF=BE=12BC=2，由勾股定理得出1）得：AE∵BF ，则∵BGE=∵ABE=90°，证明∵BEG∵∵AEB ，得出12GE BE BG AB ==，设GE=x ，则BG=2x ，在Rt∵BEG 中，由勾股定理得出方程，解方程得出=BH BG CF FG =，即可得出BH 的长； ∵由（1）得：∵AGB=90°，得出点G 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为M ，当C 、G 、M 在同一直线上时，CG 为最小值，求出GM=12AB=BM=2，由平行线得出CF BM CG GM==1，证出CF=CG=BE ，设CF=CG=BE=a ，则CM=a+2，在Rt∵BCM 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）证明：∵∵四边形ABCD 是正方形，∵AB=BC=4，∵ABC=∵BCD=90°，在∵ABE 和∵BCF 中，AB BC ABC BCD BE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵ABE∵∵BCF （SAS ），∵AE=BF ；∵由∵得：∵ABE∵∵BCF，∵∵BAE=∵CBF，∵∵CBF+∵ABF=90°，∵∵BAE+∵ABF=90°，∵∵AGB=90°，∵AE∵BF；（2）解：∵如图2所示：∵E为BC的中点，∵CF=BE=12BC=2，∵BF=22254=2+，由（1）得：AE∵BF，∵∵BGE=∵ABE=90°，∵∵BEG=∵AEB，∵∵BEG∵∵AEB，∵12 GE BEBG AB==，设GE=x，则BG=2x，在Rt∵BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，解得：x=25，∵BG=2×25=455，∵AB∵CD，∵BH BGCF FG=，即2BH=解得：BH=43；∵由（1）得：∵AGB=90°，∵点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：∵AE∵BF，∵∵AGB=90°，∵GM=12AB=BM=2，∵AB∵CD，∵CF BMCG GM==1，∵CF=CG，∵CF=BE，∵CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt∵BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=25-2，即当CG取得最小值时，BE的长为25-2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．6．如图，已知双曲线()0k y x x=>经过Rt OAB ∆斜边的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若OBC ∆的面积为3，求k 的值．【答案】2k =【分析】过点D 做DE x ⊥轴,可得12OED OCA S S k ∆∆==，再根据OAB OED ∆∆∽可得2OAB S k ∆=，最后根据2213OBC OAB OCA S S k S k ∆∆∆===－－即可求得k 的值． 【详解】解：过点D 做DE x ⊥轴，垂足为E ，∵Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，∵DE AB ∥∵D 为Rt OAB ∆斜边OB 的中点，∵DE 为Rt OAB ∆的中位线∵OAB OED ∆∆∽且12OD OB =∵双曲线的解析式是k y x=∵12OED OCA S S k ∆∆==，2OAB S k ∆= 2213OBC OAB OCA S S k S k ∆∆∆===－－ 解得2k =【点睛】 主要考查了反比例函数k y x =中k 的几何意义，相似三角形的性质和判定.过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为1||2k 是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．7．已知，如图，∵ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC 长．【答案】（1）∵BAD ∵∵BCA ，理由见详解；（2）163 【分析】（1）由题意易得1=2BD AB AB BC =，然后由∵B 是公共角，问题可证； （2）由（1）可得1=2AD AC ，再由AD +AC =8可求解． 【详解】解：（1）∵BAD∵∵BCA ，理由如下：AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴121,=242BD AB AB BC ==， ∴1=2BD AB AB BC =， 又∵B=∵B ，∴∵BAD∵∵BCA ；（2）由（1）得：1=2AD AC ，即2AC AD =，AD +AC =8， ∴28AD AD +=，解得：83AD =， ∴163AC =． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在∵ABC 中，∵ACB =90°，AB =10， AC =8，CD 是边AB 的中线．动点P 从点C 出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD -DB 向终点B 运动．过点P 作PQ ∵AC 于点Q ，以PQ 为边作矩形PQMN ，使点C 、N 始终在PQ 的异侧，且23PN PQ =．设矩形PQMN 与∵ACD 重叠部分图形的面积是S ，点P 的运动时间为()t s （t>0）．（1）当点P 在边CD 上时，用含t 的代数式表示PQ 的长．（2）当点N 落在边AD 上时，求t 的值．（3）当点P 在CD 上时，求S 与t 之间的函数关系式．（4）连结DQ ，当直线DQ 将矩形PQMN 分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t 的值．【答案】（1）3PQ t =；（2）45t =；（3）2246056346024125t t s t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（4）14或23或43或74 【分析】（1）证明∵ABC∵∵CPQ ，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）如图2，当点N 落在边AD 上时，根据AM+MQ+CQ=8，构建方程即可解决问题．（3）分三种情形：∵如图1中，当0＜t≤45时，重叠部分是矩形PQMN ．∵如图3-1，当45＜t≤1时，重叠部分是五边形PQMKJ，根据S=S矩形PQMN-S∵NKJ，求解即可．∵如图3-2中，当1＜t≤2时，重叠部分是五边形KQMJD，根据S=S∵ADC-S∵CQK-S∵AMJ，求解即可．（4）分四种情形：∵如图4-1中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．∵如图4-2中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．∵如图4-3中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．∵如图4-4中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．【详解】解：（1）如图1中，在∵ABC中，∵∵ACB=90°，AB=10，AC=8，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．∵BC=6．∵CD是边AB的中线，∵CD=AD=5．∵∵ACD=∵CAD．∵∵CQP=∵ACB，∵∵ABC∵∵CPQ．∵PQ CP BC AB=，∵5 610 PQ t=∵PQ=3t．（2）如图2，当点N落在边AD上时，∵AM+MQ+CQ=8∵4t+2t+4t=8．解得t=45．（3）如图1中，当0＜t≤45时，重叠部分是矩形PQMN，S=6t2．如图3-1，当45＜t≤1时，重叠部分是五边形PQMKJ，S=S矩形PQMN-S∵NKJ=6t2-12×34（10t-8）（10t-8）=-632t2+60t-24．如图3-2中，当1＜t≤2时，重叠部分是五边形KQMJD，S=S∵ADC-S∵CQK-S∵AMJ=12-12•（6-3t）（8-4t）-12×2t×2t×3 4=-152t2+24t-12，综上所述，2246056346024125t tst t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<≤⎪⎪⎝⎭⎩．（4）∵如图4-1中，设DQ交MN于J，当MJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．作DK∵AC于K．∵PQ=MN=3t，MJ=2JM，∵MJ=MQ=2t，∵∵DQK=45°，∵DK∵BC，AD=DB，∵AK=KC，∵DK=KQ=12BC=3，∵CQ=1，∵4t=1，∵t=14．∵如图4-2中，设DQ交PN于J，当PJ=2JN时，直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分．∵PJ∵CQ ， ∵PJ DP CQ DC =，∵455345t t t -=， ∵t=23∵如图4-3中，设DQ 交PN 于J ，当PJ=2JN 时，直线DQ 将矩形PQMN 分成面积比为1：2的两部分．∵PJ∵AQ ，∵PJ DP AQ AD=， ∵55 5443t t t-= ， ∵t=43∵如图4-4中，设DQ 交MN 于J ，当MJ=2JN 时，直线DQ 将矩形PQMN 分成面积比为1：2的两部分．同法可证MQ=MJ=2t，∵∵AQD=45°，由∵可知CQ=1，∵8-4t=1，∵t=74，综上所述，满足条件的t的值为14，23，43，74．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根标杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过标杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，标杆顶端离地面2.4m，小明到标杆的距离DF=2m，标杆到塔底的距离DB=30m，求这座古塔的高度．【答案】14.3m【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH∵AB可知，BH=DG=EF=1.5m，再小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∵AB可得出∵EGC∵∵EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．【详解】解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH∵AB，∵BH=DG=EF=1.5m ，EG=DF ，GH=DB ，∵小明眼睛离地面1．5m ，竹杆顶端离地面2．4m ，∵CG=CD -EF=2．3-1．5=0．8m ，∵CD∵AB ，∵∵EGC ～∵EHA∵DF=2m DB=30m ， ∵EG EH ＝CG AH ，即2302+= 0.8AH，解得：AH=12．8m ， ∵AB=AH+BH=12．8+1．5=14．3m ，答：古塔的高度是14．3m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解题的关键．10．如图，PA ，PB 为O 的两条切线，A ，B 为切点，BO 的延长线交O 于点D ，交PA 的延长线于点C ，连接OP ，AD ．（1）求证：//AD OP ；（2）若2AP AC =，求tan OPB ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）tan 5OPB ∠=． 【分析】（1）如图，作辅助线，证明∵APO=∵BPO 得OP AB ⊥，再由BD 为O 的直径可得AB∵AD ，从而可得结论；（2）设AC a =，则2AP a =，由勾股定理得OA =C CAO BP ∽△△可求出a =从而通过解直角三角形可得结论．【详解】（1）证明：连接AB 交OP 于点E ，∵PA ，PB 为O 的两条切线，∵AP BP =，BPO APO ∠=∠，∵OP AB ⊥．∵BD 为O 的直径，∵90DAB OEA ∠=︒=∠，∵//OP AD ．（2）∵2AP AC =，∵设AC a =，则2AP a =．∵//OP AD ， ∵12CD AC DO AP ==．不妨设1CD =，则22OD CD ==．在Rt AOC △中，OA ==∵AP ，BP 为O 的切线，∵90OAC OBP ∠=∠=︒．∵C CAO BP ∽△△， ∵OA BP AC BC=．25a =，解得a =．∵2tan25OB OPB BP a ∠====． 【点睛】 此题考查了切线的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理与判定定理是解答此题的关键．11．如图，AB 是O 的直径，AD BD 、是O 的弦，BC 是O 的切线，切点为B ，//OC AD ，BA CD 、的延长线相交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若O 的半径为4，3ED AE =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）=1AE ．【分析】（1）连接OD ，由题意易证∵CDO∵∵CBO ，然后根据三角形全等的性质可求证；（2）由题意易得∵EDA∵∵EBD ，然后根据相似三角形的性质及3ED AE =可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：AD∵OC ，∴∵DAO=∵COB ，∵ADO=∵COD ， 又OA=OD ，∴∵DAO=∵ADO ，∴∵COD=∵COB ，OD=OB ，OC=OC ，∴∵CDO∵∵CBO ，∴∵CDO=∵CBO ，BC 是O 的切线，∴∵CBO=∵CDO=90°，点D 在O 上，∴CD 是O 的切线；（2）由（1）图可得：∵ADO+∵EDA=90°，∵ODB=∵DBO ，AB 是O 的直径，∴∵ADB=90°，即∵ADO+∵ODB=90°，∴∵EDA=∵ODB=∵DBO ，又∵E=∵E ，∴∵EDA∵∵EBD ，∴2ED AE EB =⋅， O 的半径为4，3ED AE =，∴AB=8，EB=AE+8，∴()298AE AE AE =⋅+，解得：=1AE ．【点睛】 本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线定理及判定定理是解题的关键．12．如图，ABC 中，,,AB AC AB AC =⊥点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE =⋅；（2）求AFC ∠的大小；（3）若1DF =，求ABF 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）135︒；（3）2．【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得AEF BEA ~，再根据相似三角形的性质即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得45ACB ∠=︒，再根据相似三角形的判定可得CEF BEC ~，然后根据相似三角形的性质可得45CFE BCE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得；（3）设2AB AC a ==，从而可得AB =，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得,55FA a BF a ==，从而可得BF BC BD BE =，然后根据相似三角形的判定与性质可得BD DF BE EC =，从而可求出a 的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得．【详解】（1）,AF BE AB AC ⊥⊥，90AFE BAE ∴∠=∠=︒，在AEF 和BEA △中，AFE BAE AEF BEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF BEA ∴~，AE FE BE AE∴=， 2AE FE BE ∴=⋅； （2）,AB AC AB AC =⊥，ABC ∴是等腰直角三角形，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，由（1）可知，AE FE BE AE=， AE BE FE AE∴=， 点E 是AC 的中点，AE CE ∴=，CE BE FE CE∴=， 在CEF △和BEC △中，CE BE FE CE CEF BEC⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，CEF BEC ∴~，45CFE BCE ∴∠=∠=︒，又AF BE ⊥，90AFE ∴∠=︒，9045135AFE CFE AFC ∠=∴∠+∠=︒+︒=︒；（3）设2(0)AB AC a a ==>， ABC 是等腰直角三角形，BC ∴==，点D E 、分别是BC AC 、的中点，,AE CE a BD CD ∴====，在Rt ABE △中，BE ==，BC BE ∴==， 由（1）知，AEF BEA ~，AE FA BE AB∴=2FA a =，解得FA=，在Rt ABF中，5BF a==，BF BCBD BE∴===，在BDF和BEC△中，BF BCBD BEDBF EBC⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BDF BEC∴~，BD DFBE EC∴=DFa=，解得5DF a=，又1DF =，15a=，解得a=FA BF∴====则ABF的面积为11222FA BF⋅==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．13．如图，在ABC∆中，CD AB⊥于D，BE AC⊥于E，试说明：（1）ABE ACD（2）AD BC DE AC ⋅=⋅【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可；（2）首先根据相似三角形的性质得出AE AB AD AC=，进而证明∵ADE ∵∵ACB ，最后根据相似三角形的性质即可证明．【详解】解：（1）∵CD ∵AB 于D ，BE ∵AC 于E ，∵∵AEB =∵ADC =90°，在∵ABE 和∵ACD 中 90ADC AEB A A∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ∵∵ABE ∵∵ACD ；（2）∵∵ABE ∵∵ACD ， ∵AE AB AD AC=． 在∵ADE 和∵ACB 中，AE AB AD AC A A⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩ ∵∵ADE ∵∵ACB ∵AD DE AC BC= ∵AD ·BC =DE ·AC ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF∵DE交射线BA于点F，过点E作MN∵BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据正方形的性质以及EF∵DE，证明∵DME∵∵ENF即可；（2）根据勾股定理计算出DF，根据平行线的性质得到DC DGAF FG，计算出DG，FG的值，利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值，最后证明∵DGE∵∵AGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且MN∵BC，∵四边形ANMD是矩形，∵BAC=45°，∵∵ANM=∵DMN=90°，EN=AN=DM，∵∵DEM+∵EDM=90°，∵EF∵DE，∵∵DEM+∵FEN=90°，∵∵EDM=∵FEN，∵在∵DME与∵ENF中∵DME=∵ENF=90°，DM=EN，∵EDM=∵FEN，∵∵DME∵∵ENF（ASA），∵EF＝DE；（2）∵四边形ABCD是正方形，∵AB∵DC，∵DAB=90°，∵DF==∵DC DGAF FG=，即42=，解得：DG=3，∵FG=DF-，又∵DE=EF，EF∵DE，∵∵DEF是等腰直角三角形，∵∵EDF=45°，DE=EF=sin45DF︒==∵∵GAF=∵GDE=45°，又∵∵DGE=∵AGF，∵∵DGE∵∵AGF，∵DE GEAF GF=3=，解得：3GE=，∵3GE=．【点睛】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明∵DME∵∵ENF，第（2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程．15．如图，在∵ABC中，D为BC边上的一点，且AC=CD＝4，BD＝2，求证：∵ACD∵∵BCA．【答案】证明见解析．【分析】根据AC=CD＝4，BD＝2，可得AC CDBC AC=，根据∵C =∵C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=CD ＝4，BD ＝2∵AC BC ==CD AC == ∵AC CD BC AC = ∵∵C =∵C∵∵ACD ∵∵BCA ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．16．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且AE BD ⊥垂足为点,2F DAE BAE ∠=∠．()1:BE DF =_ ．()2若四边形EFDC 的面积为22，求BEF 的面积．【答案】（1）1:3（2）2【分析】 （1）由题意根据已知条件得到∵DAE=60°，∵BAE=30°，由直角三角形的性质可得BD=2AB ，AB=2BF ，以此即可求解；（2）根据题意通过证明∵BEF∵∵BDC ，可得21(12)BEF BCD S EF SCD==，进行分析即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∵DAE=2∵BAE ，∵∵DAE=60°，∵BAE=30°，又∵AE∵BD ，∵BAD=90°，∵BD=2AB ，AB=2BF ，∵BD=4BF ，∵DF=3BF ，∵BF ：DF=1：3，故答案为：1：3；（2）∵∵BAE=30°∵∵AEB=60°，∵AE∵BD ，∵∵DBC=30°，∵BFE=∵BCD=90°∵122CD BD BF BF ===，，∵EF =， ∵∵FBE=∵CBD ，∵BFE=∵DCB ，∵∵BEF∵∵BDC ， ∵21(12)BEF BCD SEF S CD ==， ∵四边形EFDC 的面积为22，∵12S ∵BEF =S ∵BCD =S ∵BEF +S 四边形EFDC ，∵S ∵BEF =2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质与矩形的性质以及直角三角形的性质，利用相似三角形的判定定理证明∵BEF∵∵BDC 是解答本题的关键．17．如图，抛物线215:324L y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD BD +的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线215:324L y x x =--向右平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．【答案】（1）直线AB 的解析式为334y x =-，抛物线顶点坐标为5121,432⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）当134x =时，PD BD +的最大值为16932； 1357,432P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）21133242y x x =-+． 【分析】 （1）先根据函数关系式求出A 、B 两点的坐标，设直线AB 的解析式为y kx b =+，利用待定系数法求出AB 的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点D 作DE y ⊥轴于E ，则//DE OA ．求得AB=5，设点P 的坐标为2155,34244x x x x ⎛⎫⎛⎫--<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则点D 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ED=x ，证明BDE BAO ∽，由相似三角形的性质求出54BD x =，用含x 的式子表示PD ，配方求得最大值，即可求得点P 的坐标；（3）设平移后抛物线L '的解析式21121()232y x m =--，将L′的解析式和直线AB 联立，得到关于x 的方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则12,x x 是方程2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两根，得到12324x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，点A 为MN 的中点，128x x +=，可求得m 的值，即可求得L′的函数解析式．【详解】（1）在215324y x x =--中， 令0y =，则2153024x x --=，解得123,42x x =-=， ∵(4,0)A ．令0x =，则3y =-，∵()0,3B -．设直线AB 的解析式为y kx b =+，则403k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∵直线AB 的解析式为334y x =-． 2215151213242432y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∵抛物线顶点坐标为5121,432⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）如图，过点D 作DE y ⊥轴于E ，则//DE OA ．∵4,3OA OB ==，∵5AB ===，设点P 的坐标为2155,34244x x x x ⎛⎫⎛⎫--<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则点D 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵ED x =．∵//DE OA ， ∵BDE BAO ∽， ∵BD ED BA OA=， ∵54BD x =， ∵54BD x =．而2231513324242PD x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵22215113113169224242432PD BD x x x x x x ⎛⎫+=-++=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵102-<，544x <<，由二次函数的性质可知： 当134x =时，PD BD +的最大值为16932． 2235313513573344444432x x ⎛⎫--=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭， ∵1357,432P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）设平移后抛物线L '的解析式21121()232y x m =--， 联立23341121()232y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， ∵2311213()4232x x m -=--，整理，得：2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,M x y N x y ，则12,x x 是方程2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两根， ∵12324x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． 而A 为MN 的中点，∵128x x +=， ∵3284m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：134m =． ∵抛物线L '的解析式2211312111332432242y x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．18．已知：如图，在ABC 中，D 是AC 上一点，联结BD ，且∵ABD =∵ACB∵∵1∵求证：∵ABD∵∵ACB ；∵2∵若AD=5，AB= 7，求AC 的长.【答案】(1)见详解；（2）495 【详解】（1）证明：∵∵A=∵A,∵ABD =∵ACB,∵∵ABD∵∵ACB.（2）解: ∵∵ABD∵∵ACB ， ∵AB AD AC AB=，∵757AC =， ∵495AC = 19．如图，在Rt∵ABC 中，∵C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与∵ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）32；（2）当32t =时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215． 【分析】根据勾股定理求得AB=5cm ．（1）分∵AMP∵∵ABC 和∵APM∵∵ABC 两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值． （2）如图，过点P 作PH∵BC 于点H ，构造平行线PH∵AC ，由平行线分线段成比例求得以t 表示的PH 的值；然后根据“S=S ∵ABC ﹣S ∵BPH ”列出S 与t 的关系式()24321S=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S 的最小值．【详解】解：∵如图，在Rt∵ABC 中，∵C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．∵根据勾股定理，得AB 5cm =．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与∵ABC 相似，分两种情况： ∵当∵AMP∵∵ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =； ∵当∵APM∵∵ABC 时，AM AP AC AB =，即45245t t --=，解得t=0（不合题意，舍去）．综上所述，当32t =时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与∵ABC 相似． （2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．如图，过点P 作PH∵BC 于点H ．则PH∵AC ，∵PH BP AC BA=， 即245PH t =． ∵85t PH =． ∵ABC BPN S S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅ ()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭． ∵405>， ∵S 有最小值． 当32t =时，S 最小值=215． 答：当32t =时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215． 20．如图，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，OA ＝OB ，点C 的坐标为（﹣1，0），OA ：OC ＝3：1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，顶点为D ．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若直线y ＝13x +n 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ． ∵当n ＝﹣1时，求∵BAF ﹣∵BAD 的值；∵若直线EF 上有点H ，使∵AHC ＝90°，求n 的取值范围．【答案】（1）a =-1，b=2，c=3；（2）∵∵BAF ﹣∵BAD ＝45°；∵n的取值范围n． 【分析】（1）根据已知条件得到点A 、B 、C 的坐标，代入抛物线y ＝ax 2+bx +c 中即可求解；（2）∵根据已知条件求得点F 、点D 坐标，进而求得AB 、BD 、AD 的长，由勾股定理可知ABD △为直角三角形，然后证明∵OAF ∵∵BAD ，即∵OAF ＝∵BAD ，根据等角转换即可求解；∵根据已知条件直线EF 上有点H ，使∵AHC ＝90°，则以AC 为直径的圆∵G 与直线EF 有公共点，当直线EF 在x 下方与∵G 相切时，∵EGK ∵∵EFO ，即GK EG FO EF=，设E （﹣3n ，0），F （0，n ），n ＜0，根据相似比可求出n 的值，当直线EF 在x 下方与∵G 相切时，∵EGK ∵∵EFO ，同理可得n 的值，综上即可得到n 的取值范围．【详解】（1）∵点C 的坐标为（﹣1，0），OA ：OC ＝3：1，∵A （（3，0），∵OA ＝OB ，∵B （0，3），把A 、B 、C 三点都代入二次函数的解析式得，93030a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩，解得，123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）∵n＝﹣1，∵y＝13x+n＝13x﹣1，∵F（0，﹣1）∵OF＝1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∵D（1，4），∵A（3，0），B（0，3），∵OA＝3，AB＝BD，AD＝∵BD2+AB2＝AD2，∵∵ABD＝∵AOF＝90°，∵2OFBD==，2OABA==，∵OF OABD BA=，∵∵OAF∵∵BAD，∵∵OAF＝∵BAD，∵OA＝OB＝3，∵AOB＝90°，∵∵OAB＝45°，∵∵BAF﹣∵BAD＝∵OAB+∵OAF﹣∵BAD＝45°；∵直线EF上有点H，使∵AHC＝90°，则以AC为直径的圆∵G与直线EF有公共点，如图，当直线EF在x下方与∵G相切时，则∵EGK∵∵EFO，∵GK EG FO EF=，∵A（3，0），C（﹣1，0），∵GK＝12AC＝2，G（1，0），∵直线y＝13x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．∵E（﹣3n，0），F（0，n），n＜0，∵OF＝﹣n，EF＝，∵2n=-，解得，n＝13+-或0（舍）；经检验，n＝如图，当直线EF在x下方与∵G相切时，则∵EGK∵∵EFO，∵GK EG OF EF=，∵A（3，0），C（﹣1，0），∵GK＝12AC＝2，G（1，0），∵直线y＝13x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．∵E（-3n，0），F（0，n），n>0，∵OF＝n，EF n，2n=，解得，n或0（舍）；经检验，n＝13是该方程的根，∵若直线EF上有点H，使∵AHC＝90°，则n的取值范围n．【点睛】本题主要考查了二次函数与图形的综合应用，涉及求二次函数解析式、相似三角形的性质与判定、图形运动问题等，根据题意找到相似三角形并灵活运用相似比是解题关键．21．如图，点A在线段EB上，且EA＝12AB，以AB直径作∵O，过点E作射线EM交∵O于D、C两点，且AD CD=．过点B作BF∵EM，垂足为点F．（1）求证：CD•CB＝2CF•EA；（2）求tan∵CBF的值．【答案】（1）见解析；（2）tan∵CBF．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理，由AB为直径得到∵ADB＝90°，再根据题意即可证明∵ABD∵∵CBF，根据相似三角形的性质即可得出AD•CB＝CF•AB，最后根据等量代换即可得证；（2）连接OD，过O作OH∵CD于点H，设∵O的半径为r，CD＝x，则CH＝DH＝12x，根据AD CD=易证∵EOD∵∵EBC，根据相似三角形的性质得出OD EO EDBC EB EC==，再根据题意及等量代换即可求得ED＝2CD＝2x，根据勾股定理可表示出OH，根据BF∵EM得出平行，即可HF、CF，再根据勾股定理求得BF，最后根据an∵CBF＝CFBF代入即可得出答案．【详解】（1）连接BD，如图1，∵AB是∵O的直径，∵∵ADB＝90°，∵BF∵EM，∵∵BFC＝90°，∵∵ADB＝∵CFB＝90°，∵∵BCF＝∵BAD，∵∵ABD∵∵CBF，∵AD AB CF CB=，∵AD•CB＝CF•AB，∵AD＝CD，AE＝12 AB，∵CD•CB＝CF•2AE，即CD•CB＝2CF•EA；（2）连接OD ，过O 作OH ∵CD 于点H ，设∵O 的半径为r ，CD ＝x ，如图2，则CH ＝DH ＝12x ， ∵AD CD =，∵∵AOD ＝∵ABC ，∵OD ∵BC ，∵∵EOD ∵∵EBC ， ∵OD EO ED BC EB EC==， ∵EA ＝12AB ＝OA ＝OB ＝r ， ∵23EO EB =， ∵23OD ED BC EC ==， ∵BC ＝3322OD r =， ED ＝23EC ， ∵ED ＝2CD ＝2x ，∵OH == ∵BF ∵EM ，∵OH ∵BF ， ∵2EH EO HF OB==， ∵HF ＝12EH ＝1152224x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵CF ＝HF ﹣CH ＝34x ，∵BF ==， ∵EF 2+BF 2＝EB 2， ∵()222239349416x x r x r ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵r 2＝2x 2，∵BF==， ∵tan∵CBF＝343x CF BF ==．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、求角的正切，添加合适的辅助线是解题的关键．三、填空题22．如图，正方形ABCD 中，BC=2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点F 为DM 中点，点E 为DC 上的动点．当∵DFE=45°时，则DE= _____ ．【答案】56． 【分析】 如图，连接EF ．首先求出DM 、DF 的长，证明DEF DPC ∽∆∆，可得DF DE DC DP =，即求出DE ． 【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，2AB BC CD DA ∴====，90DAB ∠=︒，45DCP ∠=︒，∵点M 是边AB 的中点，1AM BM ∴==，在Rt ADM ∆中，DM =//AM CD ， ∴12AM MP DC PD ==， ∵2DP PM =，23DP DM ∴==， ∵点F 为DM 中点，∵12DF DM == ∵45DCP DFE ∠=∠=︒，CDP FDE ∠=∠∵CDP FDE ∵DP DC DE DF=即有5265322DP DF DE DC ===． 故答案是：56． 【点睛】 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．23．如图，在边长为4正方形ABCD 中，以AB 为腰向正方形内部作等腰ABE △，点G 在CD 上，且3CG DC =．连接BG 并延长，与AE 交于点F ，与AD 延长线交于点H ．连接DE 交BH 于点K ．若2·AE BF BH =，则CDE S =△____．【答案】165【分析】作EM AB ⊥于M ，EM 交CD 于N ，根据勾股定理可得BG ，再由相似三角形的性质可得BH ，继而判定BAF BHA ∽△△，并求得BF 的长，由全等三角形的性质可得ME ，利用线段的和差求得EN ，进而由三角形面积公式即可求解．【详解】作EM AB ⊥于M ，EM 交CD 于N ，如图，则EN CD ⊥，∵3CG DG =，∵1DG =，3CG =，在Rt BCG中，5BG ==，∵//DG AB ，∵HDG HAB ∽△△． ∵HG DG HB AB =即514HB HB -=解得203HB = ∵2·AE BF BH =，而AB AE =，∵2·AB BF BH =，即::AB BF BH AB =，而ABF HBA ∠=∠，∵BAF BHA ∽△△．∵90BFA BAH ∠=∠=︒，∵BF∵AE ． ∵224122053AB BF BH===， ∵∵BME ＝EFB ，∵MBE ＝∵FEB ，BE ＝EB ，∵∵BME∵∵EFB （AAS ）， ∵125ME BF ==，∵128455EN =-=， ∵18164255CDE S ∆=⨯⨯=． 故答案为：165． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题．24．如图，在ABC 中，45ABC ∠=︒，AB =AD AE =，DAE 90∠=︒，CE =，则CD 的长为______．【答案】5【分析】在CD 上取点F ，使DEF ADB ∠∠=，证明ADB DEF ∽，求解4DF =，再证明CEF CDE ∽，利用相似三角形的性质求解CF 即可得到答案.【详解】解：在CD 上取点F ，使DEF ADB ∠∠=，AD AE =，DAE 90∠=︒，=DE ∴==，ABC 45∠=︒，ADE 45∠=︒，且ADC ADE EDC=ABD BAD ∠∠∠=+∠+∠，BAD EDC ∠∠∴=，BDA DEF ∠∠=，ADB ∴∵DEF ，DF DEAB AD∴==45,EFD ABD ∠=∠=︒AB 2=DF 4∴=，又45CDE C AED ∠∠∠=︒=+，45,EFD CEF C ∠=∠+∠=︒CEF CDE ∠∠∴=，,C C ∠=∠CEF ∴∵CDE ，CE DC CF CE ∴=，又DF 4,CE ==CF = CF 1∴=或CF 5(=舍去)，经检验：1CF =符合题意，CD CF 45∴=+=．故答案为：5．本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.25．如图D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE∵BC ，∵ABC 的内角平分线AQ 交DE 于点P ，过点P 作直线交AB 、AC 于R 、S ，若23,9AS AR AC AB BC ===，则DE=________．。
(2021年整理)中考数学知识点总结(推荐完整)
中考数学知识点总结(完整版)(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学知识点总结(完整版)(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征. 2、无理数：初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1。
101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
2021中考数学解题技巧 初三考生高分必备
初三考生在数学答题时要做到会的不丢分，难的得高分。
下面小编为大家整理推荐一些高分解题技巧，仅供参考。
中考数学选择题答题技巧中考数学选择题和填空题都是必考的题目，也是考察初三学生对数学的基础知识理解和应用，所以中考数学这一部分的试题是不应该丢分的。
其中填空题的占比比较大，同时也是初三考生得分的主要来源。
但是随着最近几年的中考数学命题改革，一些地区在填空题和选择题上面推出了比较新颖的题目和题型，那么对于初三学生的基础知识的掌握和解题技巧能力都要有所提高。
要梳理数学知识和掌握中考数学的考纲，填空题和选择题都是具有考查性质明确和覆盖面广的特点。
拿到数学试卷不要埋头答题有的初三考生在拿到中考数学试卷后，就开始马不停蹄的写答案，中国知识教育网小编建议大家刚刚拿到试卷的时候，考生正处于紧张的情绪里，这个时候应该做的就是从头到尾的浏览一下数学试卷，了解这套中考数学试卷的难易程度，对于那些自己不能马上给出答案的题目，可以有一个了解。
这样在遇到前面遇到难题的时候，可以先放弃做后面简单的题型。
中考数学答题要一快一慢初三考生在答中考数学试卷时，要遵循一快一慢的原则。
就是中考数学审题时要慢，答题时要快。
因为题目就是所有信息的来源，如果初三学生一目十行是没有办法从中分辨正确的信息，所以在答中考数学试题时审题的速度要慢，在看清题意之后才开始作答。
在答中考数学试题时一定要简单规范，这是为了后面的数学题留有充足的时间，同时也能够让批卷老师更加清晰和直观的看到你的解题答案。
对于中考数学最后的大题，是采取分段给分的方式，所以初三学生在确保不丢分的情况下，要尽量的多争取一些分数。
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2021年广东省中考数学试卷分析及2022年中考备考策略
2021年的广东省中考数学试卷分析及2022年中考该科备考策略一、全卷概况此试卷4页，共25小题，试卷满分120分，考试时间90分,。
试卷分五大板块：选择题、填空题、解答题（一）、解答题（二）、解答题（三）。
第一板块为选择题，共10小题，每小题3分，共30 分，占整张卷子分值的25％；第二板块为填空题，共7小题，每小题4分，共28分，占整张卷子分值的23.3％；第三板块为解答题（一），共3小题，每小题6分，共18分，占整张卷子分值的15％；第四板块为解答题（二），共3小题，每小题8分，共24分，占整张卷子的20％；第五板块为解答题（三），共2小题，每小题10分，共20分，占整张卷子的17％。
1.各版块权重分值分析第一板块选择题包括知识板块情况如下：“数与式”有5题15分；“方程与不等式”0题0分；“函数”有2题6分；“图形的性质”有2题6分；“统计与概率”1题3分。
第二板块填空题包括知识板块情况如下：“数与式”有1题4分；“方程与不等式”2题8分；“函数”有1题4分；“图形的性质”有3题12分；“统计与概率”0题0分。
第三板块解答题（一）包括知识板块情况如下：“数与式”有0题0分；“方程与不等式”1题6分；“函数”有0题0分；“图形的性质”有1题6分；“统计与概率”1题6分。
第四板块解答题（二）包括知识板块情况如下：“数与式”有0题0分；“方程与不等式”0题0分；“函数”有2题16分；“图形的性质”有1题8分；“统计与概率”0题0分。
第五板块解答题（三）包括知识板块情况如下：“数与式”有0题0分；“方程与不等式”0题0分；“函数”有0.5题5分；“图形的性质”有1.5题15分；“统计与概率”0题0分。
2.各版块的所属知识点分析通过数据统计结果可得：2021年的广东省中考数学试卷整体稳中求变，结构与往年基本保持一致，题目数量、考点设置、分值安排基本没有变化，难度较去年有所上升。
第一板块选择题：以考试基础知识为主，其中“数与式”为考试重点，“方程与不等式”在选择题中没出现，另外选择题第9、10题都是考察二次函数的问题，学生们可以多注意该知识点。
2021年九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题：《圆的提高题》(二)
九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题《圆的提高题》（二）1．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于E，＝．（1）求证：∠BDC＝2∠ADB；（2）若直径BM交AC于点N，AD﹣BN＝2，BC＝8，求⊙O的半径．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）当⊙O半径为1时，①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；②直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．5．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，AC，BE为⊙O上位于AB异侧的两条弦，连接BC，CE，延长AB到点D，使得∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当AC＝CE时，①求证：BC2＝BEBD；②若BD＝3BE，AC＝2，求⊙O的半径r．8．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．10．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案1．解：∵∠A＝600，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60，∵AC＝4，∴OA＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×22＝﹣；（3）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，由（2）知∠AOB＝60°，∴∠AOH＝30°，∴∠FOP＝60°．Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，∴OP＝1．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FG＝HP＝﹣1．②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FH＝2﹣．综上所述，点F到直线AB的距离是﹣1或2﹣．2．（1）证明：如图1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，∵＝．∴DG⊥BC，BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠DEF＝90°，∵∠CPF＝90°，∴∠DEF＝∠CPF，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠EDF＝∠ACB＝∠ADB＝∠CDG，∴∠BDC＝2∠ADB；（2）解：如图2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，BG，由（1）知：∠ADB＝∠BDG＝∠CDG，∴＝，∴∠CBG＝∠BCA，∴BG∥AC，∴∠ONF＝∠OBG，∠OFN＝∠OGB，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴∠ONF＝∠OFN，∴OF＝ON，∵AC⊥BD，∠ADB＝∠FDB，∴∠DAE＝∠AFD，∴AB＝DF，同理得：CF＝CG，∴AD﹣BN，＝DF﹣BN＝OD+OF﹣（OB﹣ON）＝OF+ON＝2，∴OF＝ON＝1，∵CF＝CG，CP⊥FG，∴FP＝PG，设FP＝a，则OB＝OG＝2a+1，FP＝a+1，∵DG⊥BC，且BC＝8，∴BP＝BC＝4，Rt△OBP中，OB2＝OP2+BP2，∴（2a+1）2＝（a+1）2+42，3a2+2a﹣16＝0，（a﹣2）（3a+8）＝0，∴a1＝2，a2＝﹣（舍），∴⊙O的半径OG＝2a+1＝5．3．解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为：P2，P3．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y＝x+b经过点E时，b＝1．当直线y＝x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，由题意B（0，b），A（﹣b，0），∴OB＝b，OA＝b，AB＝＝b，∵OK＝2，ABOK＝OAOB，∴b×2＝bb，解得b＝2，观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的取值范围为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，∵m＞0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E（m，m），∴OM＝m，EM＝，∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM＝＝，∴∠EOM＝30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON＝∠EOM＝30°，∴∠TOD＝30°，∴OT＝2DT＝4，∴T（0，4），当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．4．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．5．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，又∵点M是弧AC的中点，∴＝，∴+＝+，即：＝，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．6．证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，ACBC＝ABCP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．7．①∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝∠CAB+∠BCE，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CAE＝∠BCD+∠BCE＝∠DCE，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠DCE，∴CD∥AE，∴∠BAE＝∠D，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠D，∵∠CAB和∠CEB是所对的圆周角，∴∠CEB＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CEB＝∠BCD，∵∠BAE＝∠D，∴△BCE∽△BDC，∴，∴BC2＝BEBD；②如图2，连接OC，AE，设BE＝x（x＞0），∵BD＝3BE，∴BD＝3x，由①知，BC2＝BEB，∴BC＝x，由①知，△BCE∽△BDC，∴，∵CE＝AC＝2，∴，∴CD＝2，在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝r+3x，根据勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，∴r2+（2）2＝（r+3x）2，∴3x2+2rx﹣4＝0（Ⅰ），在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴22+（x）2＝（2r）2，∴3x2﹣4r2+4＝0（Ⅱ），（Ⅰ）+（Ⅱ）得，6x2+2rx﹣4r2＝0，∴3x2+rx﹣2r2＝0，∴（3x﹣2r）（x+r）＝0，∵r＞0，x＞0，∴x+r＞0，∴3x﹣2r＝0，∴x＝r，将x＝r代入（Ⅱ）得，3×（r）2﹣4r2+4＝0，∴r＝（舍去负值），即⊙O的半径r为．8．证明：（1）连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵DE∥OA，∴∠OED＝∠BOA，∠EDO＝∠AOD，又∵OD＝OE＝OB，∴∠OED＝∠ODE，在△ABO和△ADO中，∵OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠C＝30°，∠ODC＝90°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OD＝OE，∴△ODE是正三角形，∴OD＝OE＝DE＝OB，在Rt△ABO中，∠AOB＝60°，AB＝3，∴OB＝＝＝，∴DE＝．9．证明：（1）如图，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝45°，∴∠BOC＝2∠DAC＝90°，∴OC⊥BD，又∵CG∥BD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切线；（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝×＝，∵CG是⊙O的切线；∴∠DCG＝∠DAC＝∠BAC，∠ACG＝∠ABC，又∵∠CDG＝∠ABC，∴△ABC∽△CDG，∴＝，即＝，∴DG＝，由∠ACG＝∠ABC，∠BAC＝∠DAC可得△ABC∽△ACG，∴＝，即＝，解得，AC＝4．10．解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。
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AC 2
如解图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，
∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝ AB2 AD2
52
5 2
2
5 2
3.
第2题解图
AB＝DB ABE＝DBC ， BE＝BC
∴△ABE≌△DBC(SAS)． ∴∠EAB＝∠CDB. ∴∠AHD＝∠ABD＝60°；
(2)如解图，过B作AH、DC的垂线，
垂足分别为点M、N.
∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE＝S△DBC.
即 1 AE·BM＝ 1 CD·BN.
22ຫໍສະໝຸດ 又∵AE＝CD，结论 等)
模型应用 1. 如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于
点H. (1)求证：∠AHD＝60°； (2)连接HB，求证：HB平分∠AHC.
第1题图
证明：(1)∵∠ABE＝∠ABD-∠EBD， ∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC. 在△ABE和△DBC中，
连接BD、CE，∠EAC＝∠DAB.
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)求证：△BAD∽△CAE； (3)已知BC＝4，AC＝3，AE＝32 .将△AED绕点A旋转， 当点E落在线段CD上时，求BD的长．
第2题图
(1)证明：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠EAD， ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴△ABC∽△ADE；
微专题系列二
微专题 手拉手模型
(2016、2015、2014年23题， 2011年22题)
模型一 共顶点两等腰三角形，旋转后产生全等三角形
(2016、2015、2014年23题)
2021年中考必考数学知识点归纳
中考数学知识点总结第一章 实数考点一、实数概念及分类 （3分）1、实数分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽数，如32,7等；（2）有特定意义数，如圆周率π，或化简后具有π数，如3π+8等； （3）有特定构造数，如0.…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它相反数时一对数（只有符号不同两个数叫做互为相反数，零相反数是零），从数轴上看，互为相反数两个数所相应点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一种数绝对值就是表达这个数点与原点距离，|a|≥0。
零绝对值时它自身，也可当作它相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数不不大于零，负数不大于零，正数不不大于一切负数，两个负数，绝对值大反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于自身数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一种数平方等于a ，那么这个数就叫做a 平方根（或二次方跟）。
一种数有两个平方根，她们互为相反数；零平方根是零；负数没有平方根。
正数a 平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 正平方根叫做a 算术平方根，记作“a ”。
正数和零算术平方根都只有一种，零算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一种数立方等于a ，那么这个数就叫做a 立方根（或a 三次方根）。
一种正数有一种正立方根；一种负数有一种负立方根；零立方根是零。
注意：33a a -=-，这阐明三次根号内负号可以移到根号外面。
2021年中考数学复习—几何综合扇形面积含答案
2021年中考数学复习提分—几何综合扇形面积1．在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形＝，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝lR．接着老师让同学们解决两个问题：问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．（1）请你解答问题Ⅰ；（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S扇形＝lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝（l1+l2）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．2．如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E．（1）求证：△COE∽△ABC；（2）若AB＝2，AD＝，求图中阴影部分的面积．3．如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积（其中л≈3，≈1.7）．4．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA＝．求：（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积．5．如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接AD、BC、OC，且OC＝5．（1）若，求CD的长；（2）若∠OCD＝4∠BCD，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．6．某机械厂有大量直角三角形铁板余料，已知∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠B＝30°现将这种三角形余料进行加工裁剪成扇形（如图甲）和半圆形（如图乙、丙）的零件垫片，图甲中D为切点，图乙中C、D为切点，图丙中D、E为切点．（1）分别求出三种情形下零件垫片的面积；（2）哪种裁剪方式可使余料再利用最好．7．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中的圆心依次按A，B，C循环．如果AB＝1，求：（1）曲线CDEF的长l；（2）图中阴影部分的面积S．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝3，动点P在AB上运动，以点P为圆心，PA 为半径画⊙P交AC于点Q．（1）比较AP，AQ的大小，并证明你的结论；（2）当⊙P与BC相切时，求AP的长，并求此时弓形AQ的面积．9．如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CB为半径作，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x2﹣2（+1）x+4＝0的两根，其中CD ＜CE．连接DE交⊙O于点F．（1）求DF的长；（2）求S阴影FCE +S阴影DBC10．如图甲，已知在⊙O中，AB＝，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30度．（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径；（3）如图乙，若将“∠A＝30°”改为“∠A＝22.5°”，其余条件不变，以半径OB、OD 的中点M、N为顶点作矩形MNGH，顶点G、H在⊙O的劣弧上，GH交OC于点E．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）参考答案1．解：（1）弧长公式l＝，弧长为4π，圆心角为120°，则可得R＝6，S＝lR＝12π．扇形（2）设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l＝，得，所以图中扇形面积为：＝＝＝＝．故猜想正确．2．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，又∵BC∥OD，∴OE⊥AC，即：∠OEC＝∠BCA＝90°．（2分）又∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCE，（3分）∴△COE∽△ABC；（4分）（2）解：过点B作BF⊥OC，垂足为F．∵AD与⊙O相切，∴∠OAD＝90°，在Rt△OAD中，∵OA＝1，AD＝，∴tan∠D＝，∴∠D＝30°，（5分）又∵∠BAC+∠EAD＝∠D+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠D＝30°，∠BOC＝60°，（6分）∴S△OBC＝•OC•BF＝×1×1×sin60°＝，（7分）∴S阴＝S扇OCB﹣S△OBC＝．（8分）3．解：（1）∵AD∥BC，∠ADC＝120°，∴∠BCD＝60°（2分）又∵AC平分∠BCD，∴∠DAC＝∠ACB＝∠DCA＝30度．（4分）∴，∠B＝60度．∴∠BAC＝90°，（6分）∴BC是圆的直径，BC＝2AB．（7分）∵四边形ABCD的周长为10cm，∴AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm．∴此圆的半径为2cm．（8分）（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．（9分）在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，∴OE＝OA•cos30°＝cm．∴S△AOD＝＝（cm2）．（10分）∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△OAD＝﹣＝﹣≈0.3（cm2）．（12分）4．解：（1）∵PA是圆O的切线，切点是A．∴OA⊥PA．在Rt△APO中，tan∠POA＝，∴∠POA＝60°；3分（2）设AB与PO相交于点D，如图，∵点B与点A关于直线PO对称，∴AB⊥PO，且AB＝2AD，在Rt△ADO中，AD＝OA sin60°＝2，∴AB＝2AD＝4；4分（3）设阴影部分面积为s，则S＝S△OAP ﹣S扇形AOC，∵S△OAP ＝8，S扇形AOC＝，∴S＝8（）．3分5．解：（1）∵⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，∴CE＝DE设EB＝3x，则BC＝5x，∴CE＝4x，在直角三角形OCE中，OC2＝CE2+OE2，52＝（4x）2+（5﹣3x）2，解得x＝0或x＝1.2，∴CE＝4x＝4.8，∴CD＝2CE＝9.6；（2）∵AB⊥CD，∴∴∠COB＝2∠BCD∵∠OCD＝4∠BCD，∠OBC＝∠OCB，∠OCB+∠OBC+COB＝180°，∴∠BCD＝15°，∴∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝150°∴S＝＝．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠B＝30°∴AB＝10，BC＝5；①甲：连接CD，∵D为切点∴扇形的半径r＝CD∴10CD＝5×5即CD＝∴S＝CD2π＝π≈4.69πcm2；②乙：连接OD，∵C、D为切点∴扇形的半径r＝OD＝OC，且OD⊥AB∴△BOD∽△BAC∴OD：AC＝OB：AB即r：5＝（5﹣r）：10解得r＝∴S＝×π＝π≈4.17πcm2；③丙：连接OD，OE，∵D、E为切点∴扇形的半径r＝OD＝OE∴△AOD∽△ABC∴AD：AC＝OD：BC即（5﹣r）：5＝r：5解得r＝∴S＝πr2＝π≈5.02πcm2；（2）由（1）可知，这三种裁剪方式中，丙所裁得的扇形的面积最大，从材料的利用率方面来看丙的裁剪方式可使余料再利用最好．7．解：曲线CDEF是由三条弧连接而成的，它们分别以A，B，C为圆心；以1，2，3为半径；所对的圆心角均为180°﹣60°＝120°．∴．（5分）（2）．（5分）8．解：（1）AP＝AQ，证明如下：（1分）∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝3，∴∠A＝60°（2分）连接PQ，∴△PQA是等边三角形，即AP＝AQ；（3分）（2）当⊙P与BC相切时，如图，设切点为E，连接PE，则PE⊥BC，（4分）∴PE∥AC，∴∠EPB＝∠A＝60°，∴PB＝2PE＝2AP（5分）即AP＝6÷3＝2，（6分）S弧＝S扇形PQA﹣S三角形PQA＝＝．（8分）9．解：（1）连接CF，∵CD、CE的长为方程x2﹣2（+1）x+4＝0的两根；∴CE＝2，CD＝2；∵∠DCE＝90°，∴tan∠CDE＝＝；∴∠CDE＝60°；∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC＝90°；∴DF＝DC＝×2＝1．（2）连接OF，∵∠CDE＝60°，OD＝OF，∴△DOF是等边三角形；∴OD＝OF＝DF＝1；∴S△DOF ＝×1＝，S扇形FOC＝＝，S阴影FEC ＝S△ECD﹣S△DOF﹣S扇形FOC＝×2×2﹣﹣＝﹣，S阴影DBC ＝S扇形BCD﹣S半圆O＝﹣π×1＝π，∴S阴影＝S阴影FCE+S阴影DBC＝﹣+π，＝．10．解：（1）四边形OBCD是菱形．如图丙，∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD．∴BF＝FD，．∴∠BAD＝2∠BAC＝60°，∴∠BOD＝120°．∵BF＝AB＝2，在Rt△ABF中，AF＝＝＝＝6．在Rt△BOF中，∴OB2＝BF2+OF2．即．解得：OB＝4．∵OA＝OB＝4，∴OF＝AF﹣AO＝6﹣4＝2，∵AC＝2OA＝8，∴CF＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，∴CF＝OF，∵BF＝FD，AC⊥BD，∴四边形OBCD是菱形；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr．∵扇形OBD的弧长＝π•4＝π，∴，解得：r＝；（3）如图丁，连接OH．∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝45°，∵∠BOD＝∠BOC＝90°设半径OB＝r，由勾股定理则有化简得r2＝24（2﹣）∵M、N是OB、OD的中点，∵四边形MNGH是矩形，∴MN2＝GH2＝12（2﹣），EH2＝EG2＝MN2＝3（2﹣）．在Rt△HOE中，OE2＝OH2﹣HE2，即OE2＝r2﹣3（2﹣），解得：OE2＝21（2﹣），∴下矩形的面积＝（OE﹣OF）×MN＝，∵扇形OBD的面积＝，∴图中阴影部分的面积＝＝．。
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关于中考数学必学提分方法2021
中考，对初中毕业生来讲是一次相当重要的考试，对更多人来讲是一次重要的学习机会，下面是小偏整理的关于中考数学必学提分方法2021，感谢您的每一次阅读。
关于中考数学必学提分方法2021
注重基础、吃透教材。
基础知识和基本技能、技巧是考试的重要要求，再难的题目也无非是基础知识的综合或变式。
现在沈阳的中考数学试题的难、中、易比例为7：2：1，这意味着基础题在150分中约占105分，试题中20%的中等题和10%的拔高题也大多是比教材上的题目灵活一些而已，都是对教材的相关内容的变形或组合，是从基本要求出发加以拓宽。
数学书中的基本概念、公理、定理、推论尤为重要，它是解题的依据，同学们一定要记准、记牢。
要明晰哪些定理有逆定理，哪些没有，哪些是可以直接运用的定理，哪些是我们在平时的学习过程中自己总结出来的正确的结论，而应用这些结论解客观题非常的简单，但却不能直接运用于主观题，必须经过证明才行。
如：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半。
它的逆命题：直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度虽然是真命题但却不是定理，不能直接用于主观题。
注意细节，减少失误，突破三关。
审题关：审题要慢。
数学题中有许多细节问题，是同学们极易失分的地方，在一些条件中经常设置“陷阱”，稍不注意就会掉进去。
例如：在考查统计知识的题目中经常有补全图形的问题，需要注意题目要求补全的是什么统计图，是条形统计图，还是其他的统计图，题中给出的数据是否完整。
类似这样的问题需要同学们审题要仔细、找出题中的关键词，耐心地把题读完再解题。
计算关：计算要准。
计算往往是许多同学失分最多的地方，特别是在数学卷的最后一题里设置三个或四个问，而第一个小问题通常是
一个非常基础的问题。
如：给出抛物线上的三个点的坐标，求抛物线的表达式，如果在计算上出现失误，可能会导致全盘皆输，丢掉的是十几分。
这就不仅需要同学们的计算要认真，更要想办法避免这样的失误。
书写关：书写要规范。
越是简单的试题越要注意书写的规范，不能“跳步”，特别是一些细节的问题，如：判断一条直线是圆的切线时要交代垂直、半径之后才能得到切线。
这就需要同学们准确的把握定理的几何表达。
利用好错题。
现阶段应该把自己以前做过的典型错题再重新做一遍，要反思其错因：哪些是知识上掌握得不到位，哪些是解题方法不当，哪些是计算上的失误等。
现阶段各校都在做二轮复习，可以把易错题、相近题、多解题进行归纳、整理，在对比中强化记忆，减少因思维定式造成的失误。
注重方法而非答案
中考，对初中毕业生来讲是一次相当重要的考试，对更多人来讲是一次重要的学习机会，我们只有吸取他们的经验教训，才能少走弯路，取得更大进步。
另外尽管试题的难度在下降，但过去一些常见的问题依然存在，新的问题也在不断产生，因此，除了保留过去已经形成的一些好的学习方法外，还要根据当前考试的新动向，寻找一些新的方法。
认真学习，研究教材，研究考试，把握教学的要求，了解教学中的重点和学生学习中的难点，提高自身的业务素养。
另外也要根据当前教改的要求、学生的实际，研究教学方法，达到提高教学效率的目的。
要注重知识的发生发展过程，全面、准确的理解基本概念，切忌就事论事，然后通过大量的练习来“理解”、“掌握”概念，这种做法只能起到事倍功半的效果，不但“记不住”大量的数学概念，而且不会灵活地运用概念解决问题。
在平时的学习例题时，要注重分析解决问题的方法，纠正不研究的学习过程，只追求结果的错误学习方法;要注重数学思想方法的渗透，
废弃死记硬背的学习方式。
数学思想方法是数学的灵魂，数学的精髓，它是培养学生创新意识、实践能力的源泉，因此也是中考的重点。
在初中阶段要注意方程思想、函数思想、整体待换思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、换元法、配方法、待定系数法等数学思想方法，这样才能提高学生分析问题解决问题的能力。
估计今后几年试题的难度会象今年一样，有所下降，那么另一个问题就突现在每位数学教师面前——学生的粗心问题，如何克服学生的“粗心”问题，是每位数学教师所要考虑、解决的“大问题”。
对学生平时学习中反映出来的不仔细、一知半解、丢三落四等毛病，就应该严格要求，要帮助学生树立良好的学习习惯，避免不必要的失分。
另外也要加强学生的运算、估算能力，适当的运算能力是中考的重点，因此在掌握基本方法的前提下，要关注运算结果的正确性，以及运算的速度;要加强学生逻辑推理能力的培养，提高几何论证的能力。
教学成绩的高低，很大程度取决于“学习有困难学生”的多少，就目前中考的情况来看，只要学生愿意学习数学，中考数学过关是没有什么问题的，因此在平时的教学中，更要关注每位学生的“学”，要培养学生良好的学习态度，树立不怕苦的精神。
对学生平时的学习，教师要注重及时反馈，及时纠正，对学生学习中的困难，教师要关心帮助他们及时解决问题。
尽可能减少学习有困难学生的人数。