2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形加强练五三角函数解三角形含解析
2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》(含答案)
2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》(含答案)1.已知△ABC中，b=3,c=4,C=2B，求cosB的值。
2.已知△ABC中，b=2，求角B的值；若△ABC的面积为S，求S。
3.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+csinA=b+c，求A；若a=2，b+c=3，求b，c。
4.已知△ABC中，B=150°，a=c=2，求△ABC的面积；若sinA+sinC=1，求C。
5.已知△ABC中，b=3，c=4，求角A；若a=5，求△ABC的面积。
6.已知△ABC中，ab+a^2=c^2，证明：△ABC是直角三角形；若△ABC的面积为S，求角C的大小。
7.已知锐角△ABC中，b=2，c=3，求角C的大小；若a=4，求△ABC的面积。
8.已知△ABC中，b+c=5，且△ABC的面积为S，求角A的大小；若a=3，求S；若a=4，求角B的大小。
9.已知△ABC中，sinA=3/5，求∠B的大小；若a=4，求b+c的范围；若S=6，求a的值。
10.已知△ABC中，cosB=1/2，求角B的大小；求cosA+cosB+cosC的取值范围。
11.已知△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，求A；若BC=3，求△XXX周长的最大值。
12.已知△ABC中，c=2，ccosAcosB=asinCcosB－ccosC，求角B的大小；若S=16，求△ABC的周长的取值范围。
13.已知△ABC中，a=3，b=4，满足cosAcosB=1/4，求角A 的值；若S=5，求c的值。
14.已知△ABC中，a=8，ccosAcosB=2asinCcosB－ccosC，求tanB的值；若S=16，求b的值。
已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3(acos C-b)=asin C，求角A。
解：（1）根据正弦定理和已知条件，可得sin A = sin (π - B - C) = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C = sin B cos C + √(1 - sin^2 B) sin C将sin B = a/2c代入上式，得sin A = a/2c cos C + √(1 - a^2/4c^2) sin C又因为3(acos C - b) = asin C，可得3a/2c cos C - 3b = √(1 - a^2/4c^2) a将a/b = cosp，代入上式，得3p cos C - 3 = √(1 - p^2) 2sin C将sin C = √(1 - cos^2 C)代入上式，整理可得9p^2 - 4) cos^2 C - 18p cos C + 9 = 0解得cos C = 3/2p或cos C = 1/3.因为b ≥ a，所以p ≤ 1/2，故cos C = 3/2p。
备战2021年高考数学之三角函数与解三角形(解析版)
十年高考真题（2011-2020）与模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin （θ+α）＝﹣1时， d max ＝1√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3． 故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12， 则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6， 故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2. 故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，故答案为：π2．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：23． 故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，故答案为：−798．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性， 则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ．【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14) ∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ． 【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15，由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55， 根据正弦定理得：asinA =bsinB ，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17； 条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74.13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：c sinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0，得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ）=√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）．∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0， 所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下： x（0，x 0）x 0（x 0，π2）g′（x）+﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则“sinA=cosB”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以“sinA=cosB”是“△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D【解析】 ∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6， ∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32.【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，所以f(x)=√32sinωx−12cosωx−cosωx=√32sinωx−32cosωx=√3(12sinωx−√32cosωx)=√3(sinωx−π3)由题设知f(π6)=0，所以ωπ6−π3=kπ，k∈Z.故ω=6k+2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x−π3)所以g(x)=√3sin(x+π4−π3)=√3sin(x−π12).因为x∈[−π4,3π4]，所以x−π12∈[−π3,2π3]，当x−π12=−π3，即x=−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积． 【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ，即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sinA sin C =75. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13．（1）求sinC 的值；（2）求ΔABC 的面积．【答案】（1）√63；（2）√2 【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理bsinB =csinC得√32√23=3sinC，∴sinC=√63．（2）由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得12=a2+9−2×3a×(−13)，∴a2+2a−3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD >BC ，则BC =1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13． (1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24 【解析】(1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1 =cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1 =1+132+2×19−1=−19； (2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24． 即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24． 26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值． 从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77． 【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ， 所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217． 因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217． ②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77． 因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ， 即sin∠ADB =2√77． 27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22， 因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22， 所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2. （2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55， 由b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=(√2)2+(√10)2−2×√2×√10×(−√55)=16， 解得b ＝4，由b sinB =c sinC ，解得sinC =√22， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，sin(A +B)=sinC =√22. 选择③依题意，A 为锐角，由sinA =√1010，得cosA =√1−sin 2A =3√1010， 在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，cosA =3√1010， 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，得(√2)2=b 2+(√10)2−2×√10×3√1010b ， 解得b ＝2或b ＝4，（1）当b ＝2时，S =12bcsinA =12×2×√10×√1010=1.当b ＝4时，S =12bcsinA =12×4×√10×√1010=2. （2）由a =√2，c =√10，sinA =√1010，a sinA =c sinC ，得sinC =√22， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，sin(A +B)=sinC =√22. 28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x .(I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.【答案】(I)0；(II)①ω1=1,ω2=2时f(x)min =−√2+1，T =π；②ω1=1,ω2=1时f(x)min =−1，T =2π.【解析】(I)f(0)=2cos 20+sin0=2；(II)①ω1=1,ω2=2，由题意得f(x)=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=√2sin(2x+π4)+1，∴T=π，∵x∈[−π2,π6]，∴2x+π4∈[−3π4,7π12]，故−√22≤sin(2x+π4)≤1，所以当x=−π2时，f(x)取最小值−1.②ω1=1,ω2=1，f(x)=2cos2x+sinx=−2sin2x+sinx+2，∵x∈[−π2,π6]，令sinx=t，∴t∈[−1,12],f(t)=−2t2+t+2，∴当t=−1时，函数取得最小值为f(−1)=−1.∵f(x)=2cos2x+sinx，∴f(x+2π)=2cos2(x+2π)+sin(x+2π)=2cos2x+sinx，∴T=2π29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）△ABC同时满足①，③，④．理由见解析；（Ⅱ）6√3．【解析】（Ⅰ）△ABC同时满足①，③，④．理由如下：若△ABC同时满足①，②．因为cosB=−23<−12，且B∈(0,π)，所以B>23π．所以A+B>π，矛盾．所以△ABC只能同时满足③，④．所以a>b，所以A>B，故△ABC不满足②．故△ABC满足①，③，④．（Ⅱ）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以72=32+c2−2×3×c×12．解得c=8，或c=−5（舍）．所以△ABC的面积S=12bcsinA=6√3．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3②a=13③c=15④sinC=13（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）△ABC同时满足①，②，③，理由见解析.（2）30√3【解析】（1）△ABC同时满足①，②，③.理由如下：若△ABC同时满足①，④，则在锐角△ABC中，sinC=13<12，所以0<C<π6又因为A=π3，所以π3<A+C<π2所以B>π2，这与△ABC是锐角三角形矛盾，所以△ABC不能同时满足①，④，所以△ABC同时满足②，③.因为c>a所以C>A若满足④.则A<C<π6，则B>π2，这与△ABC是锐角三角形矛盾.故△ABC不满足④.故△ABC满足①，②，③.（2）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以132=b2+152−2×b×15×12.解得b=8或b=7.当b=7时，cosC=72+132−1522×7×13<0所以C为钝角，与题意不符合，所以b=8.所以△ABC的面积S=12bcsinA=30√3.。
2021届高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形(含答案解析)
第 1 页 共 18 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断：
①若12()1,()1f x f x ==-，且12min πx x -=，则2ω=；
②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移
6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣
； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，判断正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．（2020届百校联考高考考前冲刺）已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且10sin m α=
，则sin 2α=( ) A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 3．（2020届百校联考高考考前冲刺）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b
⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图象是( ) A ． B ．。
2022版高考数学一轮复习第5章第6讲正弦定理余弦定理及解三角形训练含解析
第五章第6讲[A 级 基础达标]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若a ＝3b ，A ＝120°，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A2．(2019年某某模拟)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝2b sin A ，则a ＝( )A ．2B ．22 C ．1 D ．2 2【答案】B3．(2019年某某模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π 【答案】C4．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋C2＝b sin A ，则角B ＝( )A ．π6或5π6B ．π3或2π3C ．π6D ．π3【答案】D5．a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若a 2＋b 2＝2 021c 2，则2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝( )A ．1 010B ．2 019C ．2 020D ．2 021【答案】C 【解析】由a 2＋b 2＝2 021c 2，得a 2＋b 2－c 2＝2 020c 2，即2 020c 2＝2ab cos C ，得cos C ＝1 010c 2ab .所以2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ·sin (A ＋B )cos A cos B ＝2sin A sin B cos C sin 2C ＝2ab cos Cc 2＝2ab ·1 010c 2ab c 2＝2 020.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.【答案】30° 【解析】将sin C ＝23sin B 利用正弦定理化简得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，可得a 2＝7b 2，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32.因为A为三角形的内角，所以A ＝30°.7．(2019年某某期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D ＝________.【答案】277【解析】因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB＝32AC ．由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，S 四边形ABCD ＝S △ACD＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D －332cos D ＝9＋274sin(D ＋φ)＋1383，其中tan φ＝－32.当φ＋D ＝π2时，S 四边形ABCD 最大，此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277. 8．(2019年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ．又因为b ＝6，a ＝2c ，B＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，所以c ＝23，a ＝43，故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3. 9．已知△ABC 中，sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ． (1)求角A 的大小；(2)若AB ＝2AC ，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，AD ＝2＋2，求AB ． 解：(1)由sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ， 得sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋22sin C ， 即cos A sin C ＝22sin C ． 因为0＜C ＜π，所以cos A ＝22，解得A ＝π4. (2)如图，设AC ＝t ，则AB ＝2t .在AB 上取一点E ，使得BE ＝2EA ，连接DE ，则DE ∥AC ． 在△ADE 中，∠AED ＝π－∠BAC ＝3π4，AE ＝13AB ＝2t 3，ED ＝23AC ＝2t 3.由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2·AE ·DE cos ∠AED ， 即2＋2＝4t 29＋4t 29－2×2t 3×2t 3×⎝⎛⎭⎫－22，解得t ＝32.所以AB ＝2t ＝3.10．(2020年某某模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2c ＝a ＋2b cos A ．(1)求角B ；(2)若a ＋c ＝5，b ＝3，求△ABC 的面积． 解：(1)由题知2sin C ＝sin A ＋2sin B cos A ，则2sin ()A ＋B ＝sin A ＋2sin B cos A ， 则2sin A cos B ＝sin A ．在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，则B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋c 2－ac ＝()a ＋c 2－3ac . 又a ＋c ＝5，所以ac ＝163.所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝433.[B 级 能力提升]11．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝6，A ＝π6，若该三角形有两解，则a 的取值X 围是( )A ．(3,6)B ．(0,3)C ．(32，6)D ．(32，＋∞)【答案】A 【解析】因为在△ABC 中，b ＝6，A ＝π6，所以由正弦定理得sin B ＝b ·sin Aa ＝6×12a ＝3a .因为A ＝π6，所以0＜B ＜5π6.要使三角形有两解，则π6＜B ＜5π6，且B ≠π2，即12＜sinB ＜1，所以12＜3a＜1，解得3＜a ＜6.12．(2020年抚州模拟)平面内不共线的三点O ，A ，B 满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，若|OC →|＝32，则∠AOB ＝( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】C 【解析】延长OC 到D ，使得CD ＝OC ＝32，连接AD ，BD ，则四边形OADB 为平行四边形．所以OD ＝ 3.所以cos ∠OBD ＝12＋22－(3)22×1×2＝12.所以∠OBD ＝π3.所以∠AOB ＝π－∠OBD ＝π－π3＝2π3.13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 【答案】27【解析】由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°， 所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角． 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.14．(一题两空)(2020年梅河口模拟)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知2a －3b cos B ＝3c cos C ，则C ＝________，a 2＋c 2－b 2ac的取值X 围是________．【答案】π6 (－3，0)∪(0,2) 【解析】因为2a －3b cos B ＝3c cos C ，所以(2a －3b )cos C ＝3c cos B (cos B cos C ≠0)，所以(2sin A －3sin B )cos C ＝3sin C cos B ，即2sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ．又sin A ＞0，所以cos C ＝32，则C ＝π6.因为cos B ≠0，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，5π6.而a 2＋c 2－b 2ac ＝2cos B ，故a 2＋c 2－b 2ac∈(－3，0)∪(0,2)．15．(2020年池州月考)设函数f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1． (1)求f (x )的单调增区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1 ＝cos 2x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝cos 2x －12cos 2x ＋32sin 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫2×A 2＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1． 因为A 是锐角，所以A ＋π6＝π2，得A ＝π3.因为a ＝1，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . 所以bc ≤1，当且仅当b ＝c 时取等号， 则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×1×32＝34，即△ABC 面积的最大值为34. [C 级 创新突破]16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ．圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】由正弦定理可知sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sinA ⇔a 2c ＋4c ＝4ac .因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ac ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，得a ＝BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ，所以S △OBC ＝12BC ·O D ．又S △OBC ＝33，BC ＝2，所以OD ＝33.在Rt △BOD中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝ 3.又0°＜∠BOD ＜180°，所以∠BOD ＝60°，所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°.因为O 在△ABC 内部，所以∠A ＝12∠BOC ＝60°.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，得4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc .又b ＋c ＝4，所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2，所以△ABC 为等边三角形．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆的半径是1，且满足2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sinB ．(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，所以sin A ＝a 2，sin B ＝b 2，sin C ＝c2.又2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，所以2⎝⎛⎭⎫a 24－c 24＝(2a －b )·b 2，即a 2＋b 2－c 2＝2ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)因为C ＝π4，所以A ＋B ＝3π4，即B ＝3π4－A ．因为a sin A ＝bsin B ＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2sin A sin B sin π4＝2sin A sin B ＝2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A＝sin A cos A ＋sin 2A ＝12sin 2A ＋12 (1－cos 2A )＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2A －22cos 2A ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12. 当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，△ABC 的面积取得最大值22＋12.。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数-教师版
专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数练基础1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=（）A ．12B ．12-C．5D．5-【答案】D 【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos 5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（）A ．1010B ．1010-C ．31010-D ．【答案】C 【解析】由三角函数的定义即可求得cos α的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cos α∴==．故选：C ．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1rad≈57.30°，所以－2rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90 小于180 的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；对于②：锐角是大于0 小于90 的角，小于90 的角也可能是负角.故②错误；对于③：359- 显然是第一象限角.故③错误；对于④：135 是第二象限角，361 是第一象限角，但是135361< .故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈ ，所以5557.3=286.5rad ≈⨯ ，是第四象限角.故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A ．55厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：因为扇形的半径2r =，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=，故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y .【详解】由三角函数的定义可得sin 3α==，故y =故答案为：.10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】12-【解析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝，∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-.练提升1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（）A．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C．,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得13(,)22P '-.故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答.【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（）A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=,所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60 的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（）A ．2B ．4C ．2πD ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，过点O 作OD CD ⊥，在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=，又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4.故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（）A ．2236B ．2236+C ．2616D ．2616+【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α.【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角)∵α为锐角，∴5336πππα<+<，∴sin(03πα+>22sin()sin sin()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎣⎦221132332326⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan(4πα+=（）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【答案】B 【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可．【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan(41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-.故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A．6-B．6C．6+D．6-【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则63x =±，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍.【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角，根据题意角β终边交单位圆于3,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2113x +=，则63x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以332sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若63x =-，则36sin ,cos 33ββ==-所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.故选：C9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解.【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒，因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈，所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈．故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示. QRT是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =. QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==. QRT与 QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .36π+【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积.【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为3sin 2QO QPO PQ ∠==，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(3)(231)3dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.36π.练真题1．（全国高考真题）已知角的终边经过点(−4,3)，则cos =（）A．45B．35C．−35D．−45【答案】D 【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cos ==−45.故选D.2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D.方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点1 ， ，2 ， ，且cos2=23，则−=A．15D．1【答案】B【解析】由s s 三点共线，从而得到=2，因为cos2=2cos 21=2⋅2−1=23，解得2=15，即=5所以−=−2=B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
解三角形中解的个数问题知识点与练习(解析版)-2021年高考数学必考知识专练(解三角形)
1 专题5：解三角形中解的个数问题知识点与练习（解析版） 解三角形个数问题
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○1若A 为锐角时:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)
( b a ) ,( b a bsinA
)
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解
A b a
已知边a,b 和∠A
有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA
a<CH=bsinA
○2若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b
a
一、单选题
1．在
ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且3a =
，
b =，
45B ∠=︒，则A ∠等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．135°
【答案】C
【分析】
利用正弦定理求得sin A ，根据大边对大角确定A 的范围，得到A 的值.
【详解】
3a =，b =，45B ∠=︒，
由正弦定理得3sin 2
asinB A b ===,。
2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos（α∓β）＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝错误!。
2.有关公式的逆用、变形等(1）tan α±tan β＝tan(α±β）(1∓tan αtan β）。
（2)tan αtan β＝1－错误!＝错误!－1.3。
式子f(α）＝a sin α＋b cos α（a，b为常数),可以化为f（α)＝错误! sin（α＋φ）错误!或f(α）＝错误!·cos（α－φ）错误!.特别地，sin α±cos α＝错误!sin错误!.［常用结论与易错提醒]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2）变名：尽可能减少函数名称;（3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等。
2。
运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1"的各种变通.如tan错误!＝1，sin2α＋cos2α＝1等。
3。
在(0，π)范围内，sin α＝错误!所对应的角α不是唯一的.4。
在三角求值时,常需要确定角的范围.诊断自测1。
判断下列说法的正误.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的。
(）（2)存在实数α,β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立。
(）（3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同。
（）(4）公式tan（α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β），且对任意角α，β都成立。
()解析（4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.答案(1）√（2)√（3）√（4）×2.（2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝（）A.－2－错误!B.－2＋错误!C.2－错误!D。
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析第一册
第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。
(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。
A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。
(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。
A 。
—920B 。
920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。
∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。
∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。
故选B 。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。
A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。
4。
（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。
A 。
12B 。
-12 C.-√32 D 。
-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。
5。
（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。
A.—13 B 。
±13C 。
—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数教师用书-人教版
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数1.1任意角训练含解析新人教A版必修第一册
任意角A级——基础过关练1．－215°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B 【解析】由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．(2021年白银高一期中)下列选项中叙述正确的是( )A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．锐角一定是第一象限的角C．小于90°的角一定是锐角D．终边相同的角一定相等【答案】B 【解析】A中，当三角形的内角为90°时，不是象限角，A错误．B中，锐角的范围是(0°，90°)，是第一象限角，B正确．C中，0°＜90°，但0°不是锐角，C 错误．D中，终边相同的角不一定相等，比如45°和360°＋45°的终边相同，但两个角不相等，D错误．故选B．3．(2021年杭州模拟)下列说法：①第二象限的角必大于第一象限的角；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限．则( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】D 【解析】①第二象限的角不一定大于第一象限的角，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，故①错误；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故②错误．故选D．4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C 【解析】可以给α赋一特殊值，如－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．(多选)下列四个选项中正确的有( )A．－75°角是第四象限角B．225°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－315°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD．6．已知α为第三象限角，则α2是__________________，2α是____________________________．【答案】第二或第四象限角第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴的角．7．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】因为5α＝α＋k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z.又因为180°<α<360°，所以α＝270°.8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．【答案】－75°或285°【解析】如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或k＝1，得α＝－75°或α＝285°.9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．B级——能力提升练10．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A 【解析】因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．11．与－468°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}【答案】B 【解析】因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z.故选B．12．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．【答案】{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z} 【解析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．13．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．【答案】一或三【解析】由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．C 级——探究创新练14．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、N 之间的关系为( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅【答案】B 【解析】对集合M ：x ＝(2k ±1)·45°，k ∈Z ，即为45°的奇数倍；对于集合P ：x ＝(k ±2)·45°，k ∈Z ，即为45°的整数倍．所以M N .故选B ．15．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角α的集合，并指出2α，α2分别是第几象限的角．解：由题意可知k ·360°＋135°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z ， 所以k ·720°＋270°＜2α＜k ·720°＋300°，k ∈Z ，是第四象限角，k ·180°＋67.5°＜α2＜k ·180°＋75°，k ∈Z ，是第一或第三象限的角．。
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加强练(五）三角函数、解三角形一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角α的终边经过点(m，错误!）,若α＝错误!，则m的值为（)A。
27 B。
127C。
9 D.错误!解析由正切函数的定义可得tan 错误!＝错误!，即m错误!－错误!＝错误!，则m－错误!＝错误!,所以m＝(3错误!）－6＝3－3＝错误!，故选B。
答案B2.（2019·镇海中学模拟)若y＝f(x）·sin x是周期为π的奇函数，则f（x)可以是（）A。
sin x B。
cos x C。
sin 2x D。
cos 2x解析因为函数sin x cos x＝错误!sin 2x是周期为π的奇函数,所以可知f(x）＝cos x，故选B。
答案B3.已知sin α＋cos α＝13，则sin2错误!＝()A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析对sin α＋cos α＝错误!平方得1＋sin 2α＝错误!，∴sin 2α＝－错误!，∴sin2错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
答案B4。
在△ABC中,若sin A＝错误!，cos B＝错误!，则cos C的值是() A。
错误!B。
错误!C。
错误!或错误!D。
以上都不对解析cos B＝错误!>0，∴B为锐角，sin B＝错误!,又sin A＝错误!〈sin B,由正弦定理得0<A<B<错误!,cos A＝错误!,cos C＝cos错误!＝－cos（A ＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
答案B5。
（2020·浙江十校联盟适考）将函数f(x）＝错误!sin 2x－2cos2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变),再向右平移错误!个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（) A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析将函数f（x）＝3sin 2x－2cos2x＝错误!sin 2x－cos 2x－1＝2sin错误!－1的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝2sin错误!－1的图象，再向右平移错误!个单位长度得到函数g（x)＝2sin错误!－1＝2sin错误!－1的图象，令错误!x－错误!＝kπ,k∈Z 得x＝错误!＋错误!，k∈Z,则函数g(x）＝2sin错误!－1的一个对称中心为错误!,故选D。
答案D6.（2019·浙江三校三联)函数y＝sin(πx＋φ）(φ＞0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝(）A.错误!B。
错误!C.10 D。
8解析过点P作x轴的垂线,垂足为点C，则易得CP＝1，AC＝错误! T＝错误!×错误!＝错误!,BC＝错误!T＝错误!，则tan∠APC＝错误!，tan∠BPC＝32，则tan∠APB＝tan(∠APC＋∠BPC）＝错误!＝8,故选D.答案D7.（2019·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－错误!，则错误!＝(）A。
6 B.5C。
4 D。
3解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C,∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2。
由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝错误!＝错误!＝－错误!，∴错误!＝6.故选A.答案A8.（2020·台州期末评估）已知函数y＝sin x＋a cos x，x∈错误!的最小值为a，则实数a的取值范围是（)A。
[0，错误!] B。
[－错误!,错误!]C.(－∞，错误!]D.错误!解析设y＝f（x）＝sin x＋a cos x，则f（0）＝a，又函数f（x）的最小正周期是2π，所以此函数在错误!的左端点处取到最小值，所以必有f(0）≤f错误!，即a≤错误!＋错误!a，解得a≤错误!，故选C.答案C9。
（2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x）＝sin｜x｜＋｜sin x｜有下述四个结论：①f（x)是偶函数；②f(x）在区间错误!单调递增;③f（x）在［－π，π]有4个零点；④f（x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是(）A.①②④B.②④C.①④D.①③解析f(－x)＝sin｜－x｜＋|sin(－x)|＝sin|x｜＋｜sin x|＝f(x),又f(x）的定义域为R，∴f（x）是偶函数，①正确;当x∈错误!时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数f（x）在错误!单调递减，②错误.如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确;∵y＝sin｜x|与y＝｜sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f（x）可以取到最大值2，故④正确.综上，正确结论的序号是①④。
故选C.答案C10.(2019·浙江名师预测卷四）若不等式(｜x－a|－b）×cos错误!≤0在x∈错误!上恒成立，则a＋b的最小值为()A。
错误!B。
1C.错误!D.2解析当x∈错误!时，πx－错误!∈错误!，cos错误!≥0，所以｜x－a｜－b≤0,则a－b≤x≤a＋b，所以a＋b≥错误!.故选A.答案A二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11。
(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________。
解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴错误!＝错误!。
又由正弦定理错误!＝错误!,故－cos B＝sin B，∴tan B＝－1。
又B∈（0,π），∴B＝错误!。
答案错误!12.（2020·嘉兴测试）已知函数f（x)＝sin错误!(ω＞0)的最小正周期是4π，则ω＝________，若f错误!＝错误!,则cos θ＝________。
解析函数f（x)＝sin错误!（ω＞0）的最小正周期是错误!＝4π，则ω＝错误!，f(x)＝sin错误!.若f错误!＝sin错误!＝cos 错误!＝错误!，则cos θ＝2cos2θ2－1＝－错误!。
答案12－错误!13.(2019·浙江“超级全能生”联考）如图，在△ABC中，AB＞AC，BC＝2错误!，A＝60°，△ABC的面积等于2错误!,则sin B＝________，角平分线AM的长为________。
解析由题意知错误!解得错误!所以sin B＝错误!＝错误!。
因为BC＞AC，所以B＝30°，C＝90°，在Rt△ACM中，AM＝错误!＝错误!。
答案错误!错误!14.(2020·宁波模拟)已知函数f（x）＝2sin(ωx＋φ）错误!图象的相邻两条对称轴之间的距离为错误!，将f（x）的图象向左平移错误!个单位长度后得到函数g(x）的图象。
若函数g(x)为偶函数,则φ的值为________，此时函数f（x)在区间错误!上的值域是________。
解析由已知有错误!＝错误!×错误!，则ω＝2，因此f（x）＝2sin(2x＋φ）向左平移错误!个单位长度，得g(x)＝2sin错误!＝2sin错误!，因为g(x)为偶函数,则2π3＋φ＝π2＋kπ,k∈Z，｜φ|＜错误!，故φ＝－错误!;由f(x)＝2sin错误!知,当x∈错误!时,u＝2x－错误!∈错误!，故f(x）＝2sin u∈（－1，2),即值域为(－1，2）.答案－错误!（－1,2)15.(2018·北京卷)设函数f（x)＝cos错误!(ω>0）.若f（x）≤f错误!对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.解析由于对任意的实数都有f（x）≤f错误!成立,故当x＝错误!时，函数f(x)有最大值,故f错误!＝1，错误!－错误!＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k ＋错误!（k∈Z），又ω〉0，∴ωmin＝错误!.答案错误!16。
已知3sin2x＋2sin2y＝2sin x，则sin2x＋sin2y的最大值为________,最小值为________。
解析3sin2x＋2sin2y＝2sin x⇒sin2y＝sin x－错误!sin2x⇒sin2x＋sin2y ＝sin x－错误!sin2x＝错误!－错误!(sin x－1）2,由于sin2y＝sin x－错误!sin2x≥0，由已知条件知sin x≥0，∴32sin x－1≤0⇒sin x∈错误!，故sin2x＋sin2y＝12－错误!(sin x－1）2∈错误!。
答案错误!017.在平面四边形ABCD中，A＝B＝C＝75°，BC＝2,则AB的取值范围是________.解析如图所示，延长BA与CD相交于点E,过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF〈AB<BE（利用CF向左平移即可).在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2,所以BF＝22＋22－2×2×2cos 30°＝错误!－错误!.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2,错误!＝错误!，所以BE＝错误!×错误!＝错误!＋错误!，所以错误!－错误!〈AB〈错误!＋错误!。
答案(错误!－错误!，错误!＋错误!）三、解答题(本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18。
(本小题满分14分)（2019·温州适应性考试）如图，在单位圆上,∠AOB＝α错误!，∠BOC＝错误!，且△AOC的面积为错误!.(1)求sin α的值；(2)求2cos错误!sin错误!的值。
解（1）S△AOC＝错误!sin错误!＝错误!，∴sin错误!＝错误!，∵错误!＜α＜错误!，∴π2＜α＋π3＜错误!，∴cos错误!＝－错误!，sin α＝sin错误!＝sin错误!cos 错误!－cos错误!sin 错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
（2)2cos错误!sin错误!＝2sin2错误!＝1－cos错误!＝错误!。
19。
(本小题满分15分)（2020·杭州四中仿真)已知函数f(x）＝cos2x＋2错误!sin x cos x－sin2x，x∈R.(1）求函数f(x)的单调递增区间；(2)求方程f（x）＝0在（0,π）内的所有解。
解（1)f(x)＝cos2x＋2错误!sin x cos x－sin2x＝错误!sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!。