两个矩阵相似 特征多项式
相似矩阵
k 2
( 1) ( 1) , ( ) k n
, ( 1)
由此方便地计算矩阵A 的多项式 ( A) .
§3
相似矩阵
定义:对n阶矩阵A,寻求相似变换矩阵P ,使 P-1AP=Λ 为对角阵,这就称为把方阵A对角化. 定理 n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对 角阵相似
§3
相似矩阵
1
推论 若n阶矩阵A与对角阵
n
2
相似,则λ 1 ,λ
2
,…,λ n即是A的n个特征值.
§3
相似矩阵
说明:若有可逆矩阵P ,使P-1AP=Λ为对角阵,则 Ak Pk P1, ( A) P () P1
而对于对角矩阵Λ ,有
相似矩阵
定理 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而 A与B的特征值相同. 证明
因A与B相似,即有可逆阵P, 使得P 1 AP B. 故 B E P 1 AP P 1 E P P 1 A E P P 1 A E P A E .
§3
相似矩阵
总结 1.相似矩阵. 2.相似矩阵的相关定理. 3.利用相似矩阵将矩阵对角化.
§3
相似矩阵
主要内容：
一、相似矩阵与相似变换的定义
二、相似矩阵的相关定理 三、利用相似变换将矩阵对角化
§3
相似矩阵
P-1AP=B ,
定义:设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P ,使
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.
如何判断矩阵的等价_相似_合同？
如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A 与B 等价:A 可以经一系列初等变换得B ⇔PAQ B =⇔()()r A r B =(,A B 同型,,P Q 可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A 与B 相似:1P AP B -=,P 可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果,A B 相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知,A B 相似.(3)A 与B 合同(仅限于对称矩阵):T C AC B =(C 可逆)⇔A 与B 的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可. 注:,A B 合同→←,A B 等价 ,A B 相似→←,A B 等价,例1011,0101A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价但不相似 在,A B 实对称的前提下,,A B 相似→←,A B 合同.【例1】 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, 哪些合同?111110100000000,001,000,011000000000011A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【解】先看等价：()1,()2,()1,()1r A r B r C r D ====，故,,A C D 等价.再看相似：()()()1,()2,r A r C r D r B ====排除B ，考虑,,A C D ，,A C 的特征值为1,0,0，D 的特征值为2,0,0，从而排除D 仅仅考虑,A C ，A 的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，A 相似于对角阵100000000C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而,A C 相似.最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑,C D ，C 的特征值为1,0,0，D 的特征值为2,0,0，C 的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D 的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，,C D 合同.【例2】 判断111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,300000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否等价，相似,合同,?【解】()()1r A r B ==，二者等价；A 为对称阵一定相似于对角阵300000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；从而A 一定合同于对角阵B .。
相似矩阵的基本知识点
相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。
定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。
我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。
相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。
2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。
传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。
这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。
但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。
由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。
2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件
两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件上线性代数中，矩阵的相似性是一个重要的概念。
两个矩阵如果相似，它们具有相同的特征多项式、特征根和秩。
而在实际问题中，我们常常需要判定两个给定的矩阵是否相似，特别是对角化矩阵。
本文将从不可相似对角化矩阵相似的判定条件入手，详细探讨两个不可相似对角化矩阵相似的条件及相关定理。
1. 定义我们需要了解什么是矩阵的相似性以及对角化矩阵。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B为对角矩阵，即B 是对角矩阵，则称矩阵A与B相似，P为A到B的相似变换矩阵，B为A的相似标准型，A为B的相似矩阵。
对角化矩阵是指那些与某个对角矩阵相似的矩阵。
2. 矩阵的特征值与特征向量在研究矩阵的相似性时，我们首先需要了解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，它的特征值λ是满足方程det(A-λE) = 0的λ值，其中E为单位矩阵。
而对应于特征值λ的特征向量v是指满足方程(A-λE)v = 0的非零向量v。
3. 不可相似对角化矩阵接下来，我们需要了解不可相似对角化矩阵的概念。
如果一个矩阵A不与任何对角矩阵相似，则称A是不可对角化的。
不可对角化矩阵通常是指矩阵A的特征值个数小于n（n为A的阶数），或者A的特征值个数等于n，但A的特征值不是互相不同的。
4. 不可相似对角化矩阵相似的判定条件现在我们将讨论两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件。
假设A和B是n阶矩阵，它们的特征值分别为λ1, λ2, …, λn和μ1, μ2, …, μn。
那么A和B相似的充要条件是它们的特征值相同，即λ1=μ1,λ2=μ2, …, λn=μn。
证明如下：充分性：假设A与B的特征值相同，即λ1=μ1, λ2=μ2, …, λn=μn。
那么存在可逆矩阵P，使得P^-1AP = B。
由于A和B的特征值相同，对于A的每个特征值λi，都存在一个对应的特征向量vi，满足Avi =λivi。
P^-1APvi = Bvi = μivi，即APvi = μPvi。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，而相似性与对角化是矩阵理论中的两个关键概念。
本文将从相似性与对角化的概念入手，探讨它们的定义、性质以及在线性代数中的应用。
1. 相似矩阵的定义与性质相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵具有相同的特征值，但其特征向量的基和矩阵元素可能不同。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足A = PBP^(-1)，则可以称矩阵A和矩阵B是相似的。
相似矩阵的性质包括：1) 相似矩阵具有相同的特征值，即它们的特征多项式相同。
2) 相似矩阵的特征向量对应相同的特征值，但基可能不同。
3) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。
4) 相似矩阵具有相同的幂，即A^k与B^k相似。
2. 对角化的定义与性质对角化是线性代数中与相似性概念紧密相关的一个概念。
简而言之，对角化就是将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
具体来说，如果一个n阶矩阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得A = PDP^(-1)，则称矩阵A是可对角化的。
对角化的性质包括：1) 可对角化矩阵与其特征值和特征向量有关，特征向量构成的基是将矩阵对角化的基。
2) 可对角化矩阵具有简洁的形式，对角线上的元素是矩阵的特征值，其他元素都为0。
3) 可对角化矩阵的幂可以通过对特征值的幂进行对角化得到。
3. 相似与对角化的关系和应用相似的关系为矩阵的对角化提供了有力的理论基础。
具体而言，如果一个矩阵是可对角化的，那么它就必然与一个对角矩阵相似。
换句话说，对角化是相似的一种特殊情况。
相似与对角化的关系在线性代数中有广泛的应用，例如：1) 矩阵的相似性可以简化矩阵的计算，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂等等。
2) 对角化可以简化矩阵的求幂运算，从而方便计算高阶矩阵的幂。
3) 对角化可以帮助我们理解矩阵的性质，例如特征向量的重要性、矩阵的谱分解等。
总结：本文从相似性与对角化的定义和性质出发，对相似矩阵与对角化的关系与应用进行了讨论。
相似矩阵
B1 B2 X 1( A1 A2 )X ,
B1B2 X 1( A1A2 )X .
即， 性质5：
A1
A2 :
B1 B2 ,
A1 A2 : B1B2 .
② 若 B X 1AX , f ( x) P[x], 则
f (B) X 1 f ( A)X .
特别地， Bm X 1Am X .
性质 相似矩阵具有相同的特征多项式. 证:设 A : B, 则存在可逆矩阵X，使得
i E A X 0, i 1.2.L k
的一个基础解系（此即Ａ的属于i 的全部线性无关
的特征向量）.
3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则
Ａ有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n , 从而
矩阵A可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， T 1AT 是对角矩阵.
B X 1AX
于是， E B E X 1AX X 1EX X 1AX X 1( E A)X X 1 E A X E A
② 有相同特征多项式的矩阵未必相似.
如
A
1 0
0 1
,B
11 01
它们的特征多项式都是 ( 1)2，但A、B不相似.
• 性质2 相似矩阵的特征值相同。
的充分必要条件是Ａ有 n个线性无关的特征向量.
推论 设A为n阶矩阵，若在数域 P中有n个不同特征值，
则 A 可对角化
特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中，
如果矩阵A的特征多项式没有重根，则A可对角化。
对角化的一般方法
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1,2 ,L ,k . 2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
1 0 1
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对⾓化概要介绍相似矩阵、对⾓化以及⼀⼤堆性质.相似矩阵的定义从⼀节中，我们了解到每⼀个可逆矩阵都是⼀个可变换基的矩阵，每⼀个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 B 是向量空间V的⼀组基，T是V上的⼀个线性变换，A=B[T]B, 则T的所有基表⽰的集合是{B1[I]B⋅B[T]B⋅B[I]B1:B1is a basis of V}={S−1AS:S∈M n(F)is invertible}这恰是所有与A的相似的矩阵的集合，说明了相似矩阵正好就是单个线性变换的不同的基表⽰. 于是研究相似性可以看成是研究线性变换固有的性质或者是它们所有的基表⽰共有的性质。
与任何等价关系类似，相似性将集合M n分划成不相交的等价类。
每个等价类是M n中⼀个给定矩阵（这个类的⼀个代表元）相似的所有矩阵组成之集合。
⼀个等价类中所有的矩阵是相似的，不同等价类中的矩阵是不相似的，关键的结论是处于⼀个相似类中的矩阵共同享有许多重要的性质。
相似矩阵的性质相似矩阵有相同的特征多项式 **证明**：计算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1}(\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基于此有个简单的推论，对相似性来说，有相同的特征值是⼀个必要但⾮充分的条件，⽐如01 00与0000有相同的特征值但不相似。
### 对⾓矩阵的相似性由于对⾓矩阵特别简单且有很好的性质，我们乐于知道何种矩阵与对⾓矩阵相似. **证明**：假设k<n, 且="" n="" 元向量=""x(1)="",=""⋯="",x(k)="" 是线性⽆关的，⼜对每个="" i="1,"⋯,=""k="" 有="" ax(i)="λi x(i)." 设="" λ="diag(λ1,"λk),=""s1=""x(1)=""⋯=""x(k)="",="" 并选取任意⼀个="" s2=""∈=""m n,="" 使得="" s=""s1s2="" 是⾮奇异的.="" 计算="" \\begin{align\*}="" s^{-1}as="" &="S^{-1}"=""ax(1)⋯ax(k)as_2="S^{-1}" \lambda\_1="" x^{(1)}&\cdots&\lambda\_k="" x^{(k)}&as\_2\end{bmatrix}="" \\\\="" s^{-1}="" &s^{-1}as\_2\end{bmatrix}=""e_1=""⋯λ_k=""e_k=""s−1as_2="" \lambda="" c="" 0="" d="" \end{bmatrix},\quad="" \end{bmatrix}="S^{-1}AS\_2" \\end{align\*}="" 反过来，如果="" s="" 是⾮奇异的，s−1as=""且我们给分划=""s1s2,="" 其中="" m_{n,k},=""那么=""s_1=""的列就是线性⽆关的，且=""=""as1as2="AS=S"s1λ=""s1c+s2=""d.=""于是，as_1="S_1\Lambda,"所以=""的每⼀列都是=""a=""的特征向量。
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。
令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
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我们要证明两个矩阵相似时，它们的特征多项式是相同的。
首先，我们需要了解矩阵相似和特征多项式的定义和性质。
假设我们有两个矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P 使得P^(-1)AP = B，那么我们说 A 和 B 是相似的。
特征多项式是用来描述矩阵特征值的函数，对于一个n×n 的矩阵 A，其特征多项式定义为f(λ) = det(λI - A)，其中 I 是单位矩阵。
现在，我们要证明如果 A 和 B 相似，那么它们的特征多项式相同。
第一步，由于 A 和 B 相似，存在一个可逆矩阵 P 使得 P^(-1)AP = B。
第二步，根据矩阵相似的性质，我们知道 A 和 B 的特征值是相同的。
第三步，根据特征多项式的定义，我们有f(λ) = det(λI - A) 和g(λ) = det(λI - B)。
第四步，由于 P^(-1)AP = B，我们有(λI - A)P = P(λI - B)。
第五步，由于 det 是线性函数，所以det((λI - A)P) = det(P(λI - B))。
第六步，根据第五步的结论和特征多项式的定义，我们可以得到f(λ) = g(λ)。
综上所述，如果两个矩阵相似，那么它们的特征多项式相同。