《等差数列》教案

等差数列（一）

学习目标：

1．明确等差数列的定义，探索并掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；

3．通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学方法：探究、交流、实验、观察、分析

内容分析：

本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)

教学过程：

一、复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式法、递推公式法、图象法和前n 项和公式……这些方法从不同的角度反映了数列的特点。现在我们先看下面这些问题：

1．回忆数列的概念，数列有哪几种表示方法？

2.（1）小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只有 yes 、no 、you 、me 、he 5个，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…

问：多少天后他的单词量达到3000？

（2）小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…

问：多少天后她那3000个单词全部忘光？

从上面两例中，我们分别得到两个数列：

① 5，15，25，35，…

② 3000，2995，2990，2985，…

观察以上两个数列，看看它们有什么共同特征？

3.根据以上两个数列，每人能举出2个与其特征相同的数列吗？

4.什么是等差数列？这样理解等差数列？其中的关键字词是什么？

5.以上两个数列存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？

6.怎样推导等差数列的通项公式？

学生讨论、分析以上几个问题

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于_ 10_ ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -5 ；

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（PS.每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）

注意：

⑴．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d ,若0=d 则该数列为常数列

⑵．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求;

(3)．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +

，则此数列是等差数列，d 为公差

那么对于以上两组等差数列，它们的首相分别是5和3000，公差分别是10和-10。

2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：

d a a =-12即：d a a +=12

d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=

d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列① 5，15，25，35，…；5n 1010)1(5+=⨯-+=n a n （n ≥1）

数列② 3000，2995，2990，2985，…； n n a n 23005)5()1(3000-=-⨯-+=（n ≥1） 数列③ ;154535251 ，，，，， 5

51)1(51n n a n =⨯-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=

即：d m a a m )1(1--=

则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--

即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=

n

m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由35285,81-=-=-==d a

n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a

⑵由4)5(9,51-=---=-=d a

得数列通项公式为：)1(45---=n a n

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20

解法一：∵105=a ，3112=a ，则

⎩⎨⎧=+=+311110

411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=32

1d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n

5519120=+=d a a

解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a

∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n