等差数列的概念与简单表示

2．2 等差数列第1课时等差数列的概念与简单表示1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)[基础·初探]教材整理1等差数列的含义阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．()(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()(5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.()【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列．(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．(5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝x1＋x22＝－3.故该说法正确．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．1．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d.2．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________.【解析】∵a1＝4，d＝－2，∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.【答案】6－2n2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________．【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.【答案】 46[小组合作型]n n p ，q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？ (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明a n ＋1－a n 为一个常数即可． 【自主解答】 (1)欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0时，数列{a n }是等差数列． (2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， 所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数， 所以{a n ＋1－a n }是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． [再练一题]1．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2 ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n . ∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，n 1n N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．【精彩点拨】 将x 1，x 4，x 5用p ，q 表示出来，由x 1，x 4，x 5成等差数列，即2x 4＝x 1＋x 5列出关于p ，q 的方程组求解．【自主解答】 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，② 由①②得q ＝1，p ＝1.三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n}为等差数列，可证2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)．[再练一题]2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________.【解析】由m和2n的等差中项为4，则m＋2n＝8，又由2m和n的等差中项为5，则2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6，∴m与n的等差中项为m＋n2＝62＝3.【答案】 3[探究共研型]探究1安装第一盏后，往后每隔50米安装一盏，试问安装第5盏路灯时距离第一盏路灯有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？【提示】设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第一盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第一盏路灯的距离记为a n，则a1，a2，…，a n，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，…a n＝a1＋(n－1)d＝50n－50，所以，第5盏路灯距离第一盏路灯200米， 第n 盏路灯距离第一盏路灯(50n －50)米．探究2 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？【提示】 设第一届的年份为a 1，第二届的年份为a 2，…，第n 届的年份为a n ，则a 1，a 2，…，a n ，…构成一个以a 1＝1 896为首项，以d ＝4为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1 896＋4(n －1)＝4n ＋1 892，即a n ＝4n ＋1 892，由a n ＝2 016，知4n ＋1 892＝2 016，所以n ＝31.故2016年举行的奥运会为第31届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．探究3 在等差数列{a n }中，能用a 1，d 两个基本量表示a n ，那么能否用{a n }中任意一项a m 和d 表示a n?【提示】 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，① a m ＝a 1＋(m －1)d ，②两式相减可得：a n －a m ＝(n －m )d ， 则a n ＝a m ＋(n －m )d .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ； (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．【精彩点拨】 设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．【自主解答】 (1)∵a 4＝7，a 10＝25， 则⎩⎨⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， ∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ， 即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎨⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．[再练一题]3．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 【解】 由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为 a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1. 由题意知，－401＝－4n －1， 得n ＝100，即－401是这个数列的第100项.1．数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列【解析】∵a n－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，＋1∴{a n}是公差为2的等差数列．【答案】 A2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为() A．a n＝2n－5 B．a n＝2n－3C．a n＝2n－1 D．a n＝2n＋1【解析】∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0，∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.【答案】 B3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．【解析】设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a 7＝3. 【答案】 34．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________. 【解析】 由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y ，① y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10，② 由①②解得x ＝4，y ＝7. 【答案】 4,75．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. 【解】 (1)由题意，知 ⎩⎨⎧a 1＋(5－1)d ＝－1，a 1＋(8－1)d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)由题意，知⎩⎨⎧a 1＋a 1＋(6－1)d ＝12，a 1＋(4－1)d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.。