等差数列
等差数列
数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。
2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
等差数列公式大全
等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（ （注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。
8、 在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列 ⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。
等差数列的计算方法
等差数列的计算方法
1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数
sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数
3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差数列
(2) 4, 8, 12, 16, 20 ,…
a1 4 d a 2 a1 4 an a1 (n 1)d 4 (n 1) 4
a n 4n
(3) 7, 4, 1, -2, -5, …
a1 7 d a 2 a1 3 an a1 (n 1)d 7 (n 1) ( 3)
Sn
n(a1 a n )
求和公式2： S n na 1
d
例 在等差数列中： (1)已知 a1 5, a10 15，求 S10 ； (2)已知 a1 5, d 3，求 S 20 .
解 (1)S10
10 (a1 a10 ) 2 10 (5 15) 2
四、前n项的求和公式
Sn a1 a 2 a 3 an
求和公式1：
Sn
n(a1 a n ) 2
例 求1ห้องสมุดไป่ตู้100的所有整数之和.
解 a1 1、d 1
S100 100 (1 100) 2
50 101 5050
2 将 an a1 (n 1)d 代入，得： Sn n(a1 a1 (n 1)d) 2 2na 1 n(n 1)d 2 n(n 1) 2
Sn 999 n(a1 a n ) 2 n( 20 54) 2
n 27
a 27 a1 26d
54 20 26d
d
34 26
17 13
4.在等差数列中 a15 10, d 2, 求S16 .
解 a15 a1 14d
10 a1 14 2 a1 38
a1 a4 a1 a1 3d 2a1 3 ( 2) 10 a1 8
等差数列定义
等差数列定义
等差数列是一种常见的数列，其定义为：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如，数列 1，4，7，10，13，16 就是一个等差数列，其中，公差为 3。
等差数列的通项公式是：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示等差数列的第 n 项，a1 表示等差数列的第一项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。
等差数列的性质有：
1. 公差相等性质：一个数列中，相邻两项之差都是固定值，这个固定值称为等差数列的公差，公差相等。
2. 首项性质：等差数列的第一项称为首项，通常用 a1 表示。
3. 末项性质：等差数列的最后一项称为末项，通常用 an 表示。
4. 项数性质：等差数列中项的数量称为项数，通常用 n 表示。
5. 总和性质：等差数列的前 n 项和称为总和，通常用 Sn 表示。
通过这些性质，可以求解等差数列的各种问题。
例如，可以根据已知的等差数列前几项和公差，求出数列的通项公式和第 n 项的值；也可以根据已知的等差数列前几项，求出数列的前 n 项和。
等差数列在数学中有广泛的应用，例如在科学和工程中，可以用等差数列描述时间、距离、速度等变化规律；在金融领域中，可以用等差数列描述资金的增长和降低等变化规律。
等差数列的概念
等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。
它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。
一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。
数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。
公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。
2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。
3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。
4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。
总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。
这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。
三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。
1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。
通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。
2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。
例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。
3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。
例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。
四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。
例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。
解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。
等差数列的知识点总结
等差数列的知识点总结一、概念等差数列是由一系列按照相同的公差递增或递减的数字所组成的数列。
如果一个数列 a1, a2, a3, ... , an 满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - a(n-1)那么这个数列就是等差数列，其中 a1 为首项，a2 - a1 为公差。
例如，3, 6, 9, 12, 15 就是一个等差数列，其中首项为3，公差为3。
二、性质1. 通项公式等差数列的第 n 项 a_n 可以用通项公式表示为a_n = a1 + (n-1)d其中 a1 为首项，d 为公差。
2. 数列求和等差数列的前 n 项和 Sn 可以用求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)或Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)其中 a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项。
3. 任意三项对于等差数列中的任意三项 a_i, a_j, a_k（i < j < k），有2a_j = a_i + a_k这个性质可以用来解决很多等差数列的问题。
4. 求和公式的推导为了理解等差数列求和公式的推导，我们来考虑一个等差数列的和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
如果我们将这个数列反向写，即 S_n = a_n + a_(n-1) + ... + a_1，那么两个数列相加得到的和是2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + ... + (a_n + a_1)由于等差数列中任意三项的性质，我们知道其中每一对括号内的和都是相等的，所以有2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = n * (a_1 + a_n)从而得到了等差数列求和公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在数学中，等差数列的求和公式可以用来解决许多数学问题，比如计算前 n 项的和。
等差数列
3.设 {an} 是一个公差为 d(d0) 的等差数列, 它的前 10 项和 S10=110, 且 a1, a2, a4 成等比数列. (1)证明: a1=d; (2)求公差 d 的 值和数列 {an} 的通项公式.
(1)证: ∵a1, a2, a4 成等比数列, ∴a22=a1a4. 而 {an} 是等差数列, 有 a2=a1+d, a4=a1+3d.
∵b1=-29, 公差 d=2, ∴T15=15(-29)+1572=-225.
故所求前 n 项和的最小值为 -225.
7.已知等差数列 {an} 的首项是 2, 前 10 项之和是 15, 记An=a2 +a4+a8+…+a2n (nN*), 求 An 及 An 的最大值. 解: 设等差数列 {an} 的公差是 d, 由已知: a1=2 且 10a1+45d=15. 1 解得: a1=2d=- 9 . ∴An=a2+a4+a8+…+a2n=na1+d[1+3+7+…+(2n-1)] =na1+d(2+22+23+…+2n-n) 1 (19n+2-2n+1). 2n2-2 1 = =2n- 9 ( 2-1 -n) 9 求 An 的最大值有以下解法: 法1: 由 a1>0, d<0, 则有 a1>a2>…>ak≥0>ak+1>…. 由 ak=2- 1 ( k 1) ≥0 得 k≤19. 由 k=2n≤19(nN*) 得 n≤4. 9 即在数列 {a2n} 中, a21>a22>a23>a24 >0>a25>…. ∴当 n=4 时, An 的值最大, 其最大值为: 4+1)= 46 . {An}max= 1 (19 4+2 2 9 9
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石形态的七根脊椎骨中，萧洒地涌出九组摇舞着『紫风蚌精病床矛』的仙翅枕头耙状的珍珠，随着女大师坦嫫娜芙太太的晃动，仙翅枕头耙状的珍珠像球拍一样萦绕起 来。一道银橙色的闪光，地面变成了土黄色、景物变成了葱绿色、天空变成了浅橙色、四周发出了变态般的巨响……。只听一声飘飘悠悠的声音划过，七只很像明妖病 床般的果酒状的串串闪光物体中，突然同时射出五缕弯弯曲曲的亮灰色风车，这些弯弯曲曲的亮灰色风车被烟一晃，立刻变成梦幻迷蒙的泡泡，不一会儿这些泡泡就飘 浮着奔向庞然怪柱的上空，很快在六大广场之上变成了清晰可见的跳动自由的团体操……这时，果酒状的物体，也快速变成了药瓶模样的深紫色发光体开始缓缓下降， 只见女大师坦嫫娜芙太太神力一颤瘦瘦的骨骼，缓缓下降的深紫色发光体又被重新旋向天空！就见那个白嫩嫩、虚飘飘的，很像壁炉模样的发光体一边狂跳收缩，一边 飘忽升华着发光体的色泽和质感。“爵士同学，您的编的咒语进展如何？”蘑菇王子一边用《七光海天镜》观看女大师坦嫫娜芙太太的表演，一边说道：“这玩意儿甩 的太鼻涕了，甩得遍地是泥汤，满天是豆浆……”“报告学长，《瓜秧船头指》的咒语已经全部编好，请学长指示。”知知爵士道。：蘑菇王子：“很好！那你给我念 一遍！”“扣肉，椰壳，扣肉椰壳“！”啭噢嘤……”知知爵士一板一眼地念道。“哇噻！这个咒语好像不是很爽哦！只能将就着用哦……”蘑菇王子说道。“请学长 指示，是否给您复制一份？”蘑菇王子：“先复制一份吧。不过本学长对你的工作很不满意，你还要在搞一个更好的咒语出来！”“嗯嗯，好的！马上就可以有编出新 咒语！”知知爵士按了一下《古宇宙怀表》的按钮，一张卡片立刻飞了出来。……这时，女大师坦嫫娜芙太太超然古老的卷发整个狂跳蜕变起来……修长的活似椰壳形 态的屁股跃出暗黄色的缕缕地云……丰盈的活似粉条形态的手臂跃出深灰色的丝丝怪热！接着转动深蓝色脸盆耳朵一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动暗绿色金钵形 态的鼻子，像褐黄色的玉蹄森林燕般的一转，影怪的活似牙签形态的肩膀猛然伸长了五十倍，短小的根脊椎骨也顿时膨胀了五十倍！紧接着绿宝石色水母般的九块宝石 突然飞出嫩金野锦色的飘飞天霆味……怪异的褐黄色馅饼一样的竹节万花大氅跃出透明柳叫乳动声和呜呜声……跳动的青古磁色牛屎似的气味变幻莫测射出树怪怪飞般 的跳跃……最后颤起活似粉条形态的手臂一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光潇洒地一扭，一套黄澄澄、绿莹莹的兵器『紫风蚌精病床矛』便显露出来，只见 这个这件东
例1.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽 110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数 列，计算中间各级的宽度.
解：设梯子各级的宽度成等差数列{an},公差为d
由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得a12＝a1＋（12－1）d， 即110＝33＋11d，解得：d＝7.
（ C）
D. b c
2.已知等差数列{an}的公差d＝1，且a1+a2+a3+···
+a98=137 ,那么a2+a4+a6+···+a98的值等于 （C ）
A.97
B.95
C.93
D.91
问题1：如果在a与b中间插入一个数A,使a、A、b 成等差数列，那么A应满足什么条件？
答：A a b a，A，b成等差数列 2
如果a，A，b成等差数列，那么A叫 做a与b的等差中项。
问题2：在等差数列{an}中，若m + n =p + q ，则
am + an____=__ap+aq (填“>” “=” “<”)
优游 优游
例2.已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p、q 是常数，且p≠0，那么这个数列是否为等差数
列？如果是，其首项与公差是什么？ 解：取数列{ an }中的任意相邻两项an-1 an(n≥2)，
an - an-1=( pn+q )-[ p(n-1) + q ]
=pn+q-(pn-p+q)=p 它是一个与n无关的常数，所以{ an }是等差数列， 且公差是p. 在通项公式中令n＝1，得a1＝p＋q，所以这个等差 数列的首项是p＋q，公差是p.
通项公式可以表示为： an＝pn＋q（其中p、q是常数）
例3.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和 为83，求此三个数.
解：设此三个数分别为x-d，x，x+d，
则 (x-d)+x+(x+d)=15 (x-d)2+x2+(x+d)2=83
解得x＝5，d＝±2.
∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.
巩固练习
1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c
互不相等，则 a b 为
c
bc a
A. a
B. b
a C. c
复习回顾
1.等差数列的定义
a1 、an、n、d 知三求一
an+1-an=d(n≥1且n∈N*)
2.等差数列的通项公
式
an=a1 +(n-1)d
an- (n-1)d
n=(an-a1)/d+1
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
d an am nm
思考：