=∞
=--=
2)1()(n n
n
n
n n
x x x f =∑∞
=--0
]2)1(1[n n n n x , 2
1
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x . ……………… 7分 6. 解: 1-*=A A A 111)()(--*-=-∴A A B A A E BA ……………… 2分
A A
B A A A A 1
1
11
)(----= …………… 3分
ABA = ……… 4分 ? 1))((--=A E A B ………………………5分
1
200320132-???
?
? ??------= …………… 6分
=????
???
? ?
?----210
043210
87432
1 ………………… 7分 7. 解: 514635241362,,,,,ββββββββββββ++++++=+C B
516354132,,,,,βββββββββ+++=+514352136,,,,,βββββββββ+++…… 2分 563412165432,,,,,,,,,,ββββββββββββ+=
+543216145236,,,,,,,,,,ββββββββββββ+ ……………………………… 5分 8-=…………………………………………………………………………………………… 7分 8. 解: {}121
)()()(1,1=====B A P B P BA P P ηξ …………………………… 2分
{}4
1
)()()(1,1=-==-==AB P B P A B P P ηξ …………………………3分
{
}12
1
)()|()()()()(1,1=-=-===-=AB P A B P AB P AB P A P A B P P ηξ …… 4分
{}12
7
)(1)(1,1=?-==-=-=B A P A B P P ηξ ……………………… 5分 12
11
}1,1{}1,1{}1,1{}12{=-==+-=-=+=-==≤+ηξηξηξηξP P P P … 7分
9. 解: 3
100
)(,10)(==i i D E ξξ …………………………………………………… 2分
)3
1001001000
11003
10010010
100(
)1100(?->
??-=>ξξP P
)33
100001000
(
1≤--=ξP ……………………………………… 5分
042.0)3(12112
3
2≈Φ-=-
≈-
∞
-?
dt e t π
……………………… 7分
四、应用题
1. 解 如图所示,αβθ-=,
θtan =αβαβtan tan 1tan tan +-=
2601610x
x x +-=6042+x x . ………… 3分 上式两边对x 求导:
)
60()60(4d d sec 222
+-=x x x θθ, …………………………… 5分 令
0d d =x
θ
得惟一驻点152=x . …………………… 6分 由问题的实际意义知θ必有最大值,故152=x 就是θ的最大值点,即球员在离底线152米处可获得最大
射门张角15
15
arctan
. ………………………… 8分 2. 解: ????
??
?
?
?---==-10111011000010112)(1n n T n A αβ ……………………………3分 ∴ 00421=++?=x x x x A n
…………………………………………5分
?通解:3,2,10100100100113
21=∈????
??
?
??+??????? ??-+??????? ??-i R
k k k k i ………………8分
3. 解: 2
2
))4(()4()4()(ηξηξηξγa E a D a E E +++=+= ………… 2分
),4cov(2)()4(ηξηξa a D D ++=+(4+22
)a ……………… 5分
2
134080a a ++= …………………………………………… 6分 ∴ 当13
20
-=a 时,)(γE 达到最小 …………………………………… 8分 五、证明题
1. 证 令x x f x F -=)()(, ……………………………………………… 1分 x x F x )(lim
-∞→=x
x
x f x --∞→)(lim =01<-, ………………………… 2分
∴ 由极限保号性知,0a F . ……………………… 4 分 同理,由x
x F x )
(lim
+∞→=01<-得,0>?b ,使得0)(
由于)(x F 在],[b a 上连续,0)()(
ξξ=)(f . …………………………………………………… 8分
2.证: 1)(≥?≠A r o A ……………………………………………… 1分 ?0=Ax 的基础解系中含的向量的个数n n A r n <-≤-=1)(…… 3分 由B 的每一个列向量是0=Ax 的解n A r n B r <-≤?)()( …………5分 B ?中列向量组是线性相关的,0=∴B …………………………7分
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
高等数学2(高起专)
平顶山学院 补考 课程：高等数学2(高起专)总时长：120分钟 1. (判断题) 是阶微分方程. ( )(本题3.0分) A. 正确 B. 错误 答案: B 解析: 无 2. (判断题) 非零向量满足. ( )(本题 3.0分) A. 正确 B. 错误 答案: A 解析: 无 3. (判断题) 若二元函数的两个偏导数都存在并且连续, 则二元函数一定可微. ( )(本题3.0分) A. 正确 B. 错误 答案: A 解析: 无
4. (判断题) 若,则收敛. ( )(本题3.0分) A. 正确 B. 错误 答案: B 解析: 无 5. (判断题) 若级数和都发散,则级数也发散. ( )(本题3.0分) A. 正确 B. 错误 答案: B 解析: 无 6. (填空题) 设是非零向量的方向角, 则___.(本题3.0分) 答案: (1) 1; 得分点:未设置 解析: 无 7. (填空题) 设非零向量满足,向量的位置关系是___.(本题3.0分) 答案: (1) 平行; 得分点:未设置 解析: 无 8. (填空题) 函数的定义域为___.(本题3.0分)
答案: (1) ; 得分点:未设置 解析: 无 9. (填空题) ___.(本题3.0分) 答案: (1) 2; 得分点:未设置 解析: 无 10. (填空题) 函数在点处的全微分___.(本题3.0分) 答案: (1) ; 得分点:未设置 解析: 无 11. (填空题) 设函数, 则___.(本题3.0分) 答案: (1) ; 得分点:未设置 解析: 无 12. (填空题) 交换二次积分顺序,___.(本题3.0分) 答案: (1) ;
高等数学教案
普洱市职业教育中心 教师备课本 科目：《高等数学》班级：_________________任课教师：周文德 日期：_________________
《高等数学》（上册第一分册） 一元函数微积分 柳重堪主编 1.函数 2.极限与连续 3.导数与微分 4.导数的应用 5.不定积分 6.定积分及其应用 ?初等数学与高等数学的根本区别 用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。 ?关于数学应用的评价 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。 ——华罗庚“数学处于人类智能的中心领域” ——冯.诺依曼“数学是调节理论和实践、思想和经验之间的差异的工具。它建起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学”。 ——希尔伯特
第1章函数本章教学内容: 1.1 实数 1.2 函数 1.3 初等函数 1.4 建立函数关系举例
【课题】1.1 实数 1.2 函数 【教学目标】 （1）理解区间的概念，学会用区间表示不等式的解集； （2）理解函数的概念，学会求函数值和定义域； （3）了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）． 【教学重点】 函数的概念及其性质 【教学难点】 函数的概念及其性质 【教学设计】 （1）本次课内容旨在复习中专数学内容，温故知新，以自主学习为主； （2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华； （3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时(90分钟) 【教学过程】 1.1实数 一、实数 ?创设情景兴趣导入 人们在幼童时期就学会了数东西，那就是自然数的一种应用，此后，在记账时为了表示收入和支出，需要用到正数和负数；在标明商品价格、测量物体长度和重量时要用到小数或分数；边长为1米的正方形，由勾股定理知其对角线的长为2米，这就导致无理数。 数的概念的逐步拓展，一方面是出于实践的需要，另一方面也完善了关于数的理论。 ?实数包括有理数和无理数两大类。 1)有理数是能表示为两个整数相除的形式的数，或者等价地，有理数就是有限小 数或无限循环小数。
《高等数学》教案
《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念
1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]
高等数学(一)高起专
高等数学（一）高起专 一、选择 BDDDA 二、判断 √×√×× 三、填空 1、1； 2、20 1dx x +； 3、2； 4、32y x =-； 5、充分性条件. 四、解答题 1、利用洛必达法则，有 0000111111lim ()lim lim lim 1(1)122 x x x x x x x x x x e x e x e x e xe e x ++++→→→→----====--+-+. 2、因为1x →时分子趋于零，而极限存在，故必有分母的极限也趋于零，即有 31 lim(2)020x x ax b a b →++=?++=， 于是2b a =--，代回原极限，得 3321111111lim lim lim 2222(1)4 x x x x x x ax b x ax a x x a →→→--===+++--++-. 最后两式左边的极限可以算出为16a -，它应该等于14 ，便解得2a =，代入前一表达式，知2,4a b ==-. 3、因为函数在点1x =处连续，故有 411lim ()lim 2(1)(2)x x x ax b f x x x →→++==-+。 由于上述极限存在，而分母的极限为零，必有 41 lim()0,10x x ax b a b →++=?++=， 代回原极限式，有 432111144lim lim 22(1)(2)23 3 x x x ax a x x x a a a a x x x →→+--++++++==?=?=-++， 从而得到2,3a b ==-。 4、因为 2 1sin cos ()(1sin )x x x f x x -+'= -， 故得 ()1.f ππ'=-。 5、先求函数()f x 。令 2t x t =?=， 则有
高等数学教案
高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学教案
教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C );
中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案
《高等数学》课程复习资料 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim x x x x →∞-=______。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a ______，=b ______。 6.函数?????≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =______。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y ______。 8.2)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。 9.函数) 1ln(4222 y x y x z ---=的定义域为______。 10.已知2 2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。 11.设2 2),(y x x xy y x f ++ =，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。 12.设2 3 sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则 t z d d ＝______。 13. =?? dx x f d d dx d )(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =? -1 3)(，则=)7(f ______。 15.若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ， 其中,:2 22a y x D ≤+则f(x,y)=______。
(完整word版)同济大学高等数学教学大纲
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的 关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷 小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点 的概念，并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
高等数学(1)(高起专)
(A) [2019年春季] 姓名 学号 学习中心 专业 年级 考试时间 高等数学(1)(高起专)阶段性作业1 总分： 100 分 得分： 6 分 一、单选题 1. 若函数 ，则 。(6分) (A) 0 (B) (C) 1 (D) 不存在参考答案：D 您的回答：D 正确 2. 下列变量中，是无穷小量的为 。(6分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：D 3. 当 时，2x+x 2sin 是x 的 。(6分) (A) 等价无穷小 (B) 同阶但不等价的无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小参考答案：B 4. f(x)在x 0处左:右极限存在并相等是f(x)在x 0处连续的 。(5分) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 前三者均不对参考答案：B 5. 设函数 在 处可导， ，则当 时，必有 。(6分) (A) 是 的等价无穷小； (B) 是 的高阶无穷小； (C) 是比 高阶的无穷小； (D) 是 的同阶无穷小； 参考答案：C 6. 函数y= (a>0,a≠1)是 。(6分) (A) 奇 函数 (B) 非奇非偶函数 (C) 偶 函数 (D) 奇偶性取决于a 的取值参考答案：C 7. 下列函数中,奇函数是 。(5分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：B 8. = 。(5分) (B) (C) 3 (D) 1 参考答案：B 9. 下列极限正确的是 。(5分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：A 10. 当 时,下列哪个是 的高阶无穷小? 。(5分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：B 11. 设f(x)= 则x=1为f(x)的 参考答案：C 跳跃间断点 。(5分)
高等数学电子教案
第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。
§4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版
一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21.
高等数学(1)(高起专)阶段性作业1
单选题 1. 若函数，则_____(6分) (A) :0 (B) : (C) :1 (D) : 不存在 参考答案：D 2. 下列变量中，是无穷小量的为_____(6分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：D 3. 当时，2x+x2sin是x的_____(6分) (A) : 等价无穷小 (B) : 同阶但不等价的无穷小 (C) : 高阶无穷小 (D) : 低阶无穷小 参考答案：B 4. f(x)在x0处左:右极限存在并相等是f(x)在x0处连续的_____(5分) (A) : 充分条件 (B) : 必要条件 (C) : 充分必要条件 (D) : 前三者均不对 参考答案：B 5. 设函数在处可导，，则当时，必有_______(6分) (A) : 是的等价无穷小； (B) :是的高阶无穷小；
(C) : 是比高阶的无穷小； (D) : 是的同阶无穷小； 参考答案：C 6. 函数y=(a>0,a≠1)是_______(6分) (A) : 奇函数 (B) : 非奇非偶函数 (C) : 偶函数 (D) : 奇偶性取决于a的取值 参考答案：C 7. 下列函数中,奇函数是_______(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 8. =_______(5分) (A) : (B) : (C) :3 (D) : 1 参考答案：B 9. 下列极限正确的是_______(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：A 10. 当时,下列哪个是的高阶无穷小? _______(5分)
(A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 11. 设f(x)= 则x=1为f(x)的_______(5分) (A) : 连续点 (B) : 无穷间断点 (C) : 跳跃间断点 (D) : 可去间断点 参考答案：C 12. 设f(x)=, 则=_______(5分) (A) :1 (B) : 2 (C) :-1 (D) : 不存在 参考答案：A 13. 设，则当时_______(5分) (A) : 是的高阶无穷小 (B) : 是的低阶无穷小 (C) : 是的等价无穷小 (D) : 与是同阶但非等价无穷小 参考答案：D 14. ）＝_______(5分) (A) :0 (B) : 1 (C) : 不存在 (D) : 2 参考答案：B
高等数学(上册)-第一章教案
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
高等数学(高起专)第1阶段测试题
江南大学现代远程教育2013年上半年第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专第一章至第二章（总分100分）时间：90分钟 __________学习中心（教学点）批次：层次： 专业：学号：身份证号： 姓名：得分： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y=的定义域是(a ). (a) (2,6) -(b) (2,6](c)[2,6)(d)[2,6] - 2. 设 1 2 f x x = + （），则(()) f f x=( d ) (a) 52 2 x x + + (b) 2 5 x+ (c) 2 x+(d) 2 52 x x + + 3. 1 lim(19)x x x → -= (c) (a) e(b) 9(c) 9 e-(d) ∞ 4. 2 2 lim sin(4) x x x → = ( d) (a) 1 2 (b) 1 3 (c) 1(d) 1 4 5. 在0 x→时, 1cos x -是关于x的( c ) (a) 低阶无穷小量(b) 等价无穷小量(c) 高阶无穷小量(d) 同阶但不等价无穷小量
二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设(5)3f x x =-, 则 ()f x =_____ 35x -______. 7. 函数()f x = 的定义域是_____12x -<<___ 8. 若(31)1f x x +=+, 则()f x =_____ 233x +_____ . 9. 3sin [2(3)] lim (3)x x x →-++=___2__. 10. 设34,0, ()5,0,12tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=____1___. 11. 24lim (1)x x x +→∞- =___4e -__. 12. 32332lim 325x x x x x x →∞+--+=___1 3__. 三.解答题(满分52分) 13. 求 47lim ( )48 x x x x →∞--. 解：1(48)484471lim ( )lim (1)4848x x x x x x x e x x --→∞→∞-=+ =-- 14. 求 02 lim sin 3x x →. 解：002 21lim ( )lim sin 36x x x x →→== 15. 求 32sin lim 254co s x x x x x →∞+-+-. 解：3 2sin 132sin 1lim lim 5 4co s 254co s 2 2x x x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==+-+-
高等数学B教案第八章
第八章空间解析几何与向量代数 教学目的： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平 行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。
§8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体 讲授内容： 一、向量概念 向量：既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则:
山大网络教育高起专—高等数学
高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1 lim sin n n n →∞ 1sin ≤n Θ 01lim =∞→n n ∴ 0sin 1 lim =∞→n n n 2 求0 lim x x x → Θ 1lim 0 -=- →x x x 1lim 0 =+ →x x x ∴0 lim x x x →不存在 3 求10 lim x x e → Θ ,lim 10+∞=+ →x x e 0lim 10=- →x x e ∴10 lim x x e →不存在 sin 4lim sin 5x x x x x →++ 原式=15sin 1sin 1lim 0=+ + →x x x x x 二 a 取什么值，0 ()0x e x f x a x x ?<=?+≥? 连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续 )ii 0x =时，(0)f a = (00)1f -= (00)f a += 所以1a =时(0)(0)1f f ±==， ()f x 在0x =处连续 综上所述，a=1时()f x 连续 三 计算下列各题
1 已知2sin ln y x x =? 求,y 解：x x x x y 1 sin 2ln cos 2?+=' 2 () ,()x f x y f e e y =?已知，求 解： ()()()()()()()()()() x f e f e f e e e x f e f e e f e y x x x x f x f x x f x x '+'='+'=' 2 3 x xe dx ?求 解： ??+==c e dx e dx xe x x x 2222 1212 四、若2 02tan()sec x y x x y tdt ---=?，求dy dx 解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数 2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --?-=-?- 2'2sec ()(1)2x y y -?-= '2 1 (1)sec () y x y -= - 所以' 2 2 1cos ()sin ()y x y x y =--=- 五 求y x =，2y x =和2 y x =所围平面图形的面积 解： 12 20 1 223(2)(2)121101231814123376 A x x dx x x dx x x x =-+-??=+- ???=+--+=?? 高等数学模拟卷 2 一 求下列极限 1 1 lim cos n n n →∞
高等数学教案
高等数学教案第 1 次课
教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集,
记为A B(读作A包含于B)或B A . 如果集合A与集合B互为子集, A B且B A, 则称集合A与集合B相等, 记作A B. 若A B且A B, 则称A是B的真子集, 记作A≠?B . 例如, N ≠?Z ≠? Q ≠? R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A B, 即 A B{x|x A或x B}. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A B, 即 A B{x|x A且x B}. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B{x|x A且x B}. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A, A B B A; (2)结合律(A B)C A(B C), (A B)C A(B C); (3)分配律(A B)C(A C)(B C),
高等数学上册教案设计
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \： }|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：
高等数学教案--函数
高等数学教案—函数 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 函数及其性质 一.函数的概念 1.函数的定义 定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量. 当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数 )(x f y =在点0x 处的函数值， 记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域. . 2. 函数的两要素 函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数. （1）对应规律 例1. 132(22-+=x x x f ） 就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为 10)(4)()(23-+=f 例2.设).2 (,1sin 1)(π f x x x f 求= 解 2 2sin 2)2(π πππ==f 例3.设).(,3)1(2x f x x x f 求-=+ 解：令x+1=t,则x=t-1,所以 45)1(3)1()(22+-=---=t t t t t f 所以 45)(2+-=x x x f （2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域 例4.的定义域求函数7 1 2arcsin 62-+--=x x x y
