定积分的几何应用举例

第5节 定积分的几何应用举例（考点）

定积分的应用就是要用定积分计算某个量A ：

()b

a A f x dx =⎰

可见，量A 分布在区间[,]a b 上。在实际应用时，要求我们把[,]a b 和

()f x 找出来。

[,]x a b ∀∈，考虑

()()x

a A x f t dt =⎰

()A x 是A 在[,]a x 上的分布。

让x 有增量x ∆使[,]x x a b +∆∈。

()()()A dA dx f x dx dx ∆=+=+

A ∆是A 在[][](),,x x x x x x +∆+∆或上的分布。

因此，用积分计算量A 的步骤如下： （1） 找到A 的分布区间[,]a b ；

（2） ,[,]x x dx a b ∀+∈，把A 在[][](),,x x dx x dx x ++或上的分布

量A ∆计算成如下式子

()()A f x dx dx ∆=+即()dA f x dx =

（3）算出定积分

()b

a A f x dx =⎰

以上步骤称为定积分应用的微元法。

5.1 平面图形的面积 5.1.1．直角坐标系中

连续曲线(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形的面积A 。

A 分布在[,]a b 区间上；,[,]x x dx a b ∀+∈，在区间[,]x x dx +部分的面积()()()A f x g x dx dx ∆=-+；所以

()()b

a A f x g x dx =-⎰

当()0,()0f x g x ≥≡时

()b

a A f x dx =⎰

【例5.1】 求由曲线e x y ，e x y 以及直线1x 围成的图形面积．

解、面积A 分布在[0,1]区间上；,[0,1]x x dx ∀+∈，

在区间[,]x x dx +部分的面积()()x x A e e dx dx -∆=-+；所以

()1

1

1

2x x x x A e e dx e e e e ---⎡⎤=-=+=+-⎣⎦

⎰ 【例5.2】 求由曲线2

y x ，

20x y 所围成图形的面积A ． 解1

积；

,x x ∀图5.1

y =

2

()A dx ∆=+；当14x <<时，在区间[,]x x dx +部分的面

积)

2()A x dx dx ∆=

++。表达式不一致，要用1x =把图形割

成两块计算。

)

1

4

331

42

2

2

1201

01442119,2233

326

A x A x dx x x x ⎡⎤⎡⎤====+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰

124199

362

A A A =+=+=

解2、如果用y 作自变量，面积A 分布在[1,2]-区间上。

,[1,2]y y dy ∀+∈-，在区间[,]y y dy +部分的面积

()22()A y y dx dx ∆=+-+。所以

()2

2

223111

181********

33232A y y dy y y y --⎡⎤=+-=+-=+--+-=⎢⎥⎣⎦⎰

（从此例要学会：（1）当边界表达式不一致时，要作适当分割；（2）自变量选得好可使计算简单。）

【例5.3】 求椭圆22

2

2

1y x a

b 所围成的图形的面积．

解、由对称性，14A A =，其中1A 为第一象限内的部分的面积。1A 分布在[0,]a 区间上；,[0,]x x dx a ∀+∈，在区间[,]x x dx +

部分的面积

1()A dx ∆=+。所以

sin 2222

10

01cos 211cos sin 22244

x

t a

a

t A ab tdt ab dt ab t t ab π

ππ

π

=+⎡⎤====+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰

⎰ 14A A ab π==

（这个结果与中学所学一致。我们这里是用定积分做出来的，而中

学是没有证明的估计。） 5.1.2．极坐标系中 5.1.2.1．极坐标

在平面中取定一条有长度单位的射线O ρ，称为极坐标轴。

给了平面上一点M ，我们有数组(,)θρ，其中0,OM ρθ=≥是

θρ是由M点确定的。反过来，如果给了数OM与Oρ的夹角。(,)

组

(,)θρ，按上面规则，(,)θρ确定了一点M 。因此，(,)θρ可

以用作M 点的坐标，称为M 点的极坐标。

把直角坐标平面的Ox 作极坐标轴，则极坐标与直角坐标的关系如下

cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨

=⎩ 5.1.2．极坐标系中的面积计算

求曲线(),,()ρρθθαθβαβ===<所围图形的面积A 。 用θ作自变量，面积A 分布在[,]αβ区间上；,[,]d θθθαβ∀+∈，在

区间[,]d θθθ+部分的面积21

()()2A d d ρθθθ∆=+。所以

21()2A d β

α

ρθθ=⎰

如何求曲线1212(),(),,(,()())ρρθρρθθαθβαβρθρθ====<≤所围图形的面积A ？

有时候用极坐标计算面积比较简单。