第13讲 勒让德多项式

P2
(x)

1 2
(3x2
1)
可设
2x2 1 C0P0 (x) C1P1(x) C2P2 (x)
考虑到勒让德函数的奇偶性，显然 C1 0
2x2
1
C0

C2
1 2
(3x2
1)
由 x2 , x0 项的系数，显然得出
C2

4 3
,
C0


1 3
故有
cos(2
)


1 3
P0
(1)l
(2l)! 22l (l !)2

l
1 1
( x
1)l
(x
1)l
1 1

l
1 1
(
x

1)l
1
(
x

1)l
1
dx

(1)l (2l)! (1) l 1 (x 1)l1(x 1)l1dx
22l (l !) 2
l 1 1
容易看出已积出部分以 x 1 为零点．
其中系数为
Cn

2n 1 2
π 0
f (cos )Pn (cos )sind
（2.8）
2. 勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
例2.1 将函数 f (x) x3 按勒让德多项式形式展开.
【解】 根据 （2.5）设 x3 C0P0 (x) C1P1(x) C2P2 (x) C3P3(x)
为
[l]
Pl (x)

2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
（1.7）
式中
[
l] 2

l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1,2, )
上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为 l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．

f (x) CnPn (x) n0
（2.5）
其中系数
Cn

2n 1 2
1
1 f (x)Pn (x)dx
(2.6)
在实际应用中,经常要作代换 x cos ,此时勒让德方程的解为
Pn (cos ) ，这时有

f (cos ) CnPn (cos )
(2.7)
n0
得到关于 的常微分方程
1
sin
d
d

sin

d
d


l(l
1)
m2
sin2


0
称为 l 阶连带勒l让德方程.
（1.3）
令 x cos 和 y(x) (x)
把自变数从 换为 x ，则方程（1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)L 531
因此， (2n)! (2n)!!(2n 1)!!
(2) 勒让德多项式的微分表示
Pl (x)

1 dl 2l l ! dxl
(x2
1)l
（1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
(2.4)
下面给出公式（2.2），及其模(2.4)的证明
【证明】 （1）正交性
勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有
d dx
[(1

x2
)Pl(
x)]

l(l

1)Pl
(x)

0
d dx
[(1

x2
)Pn
(
x)]

n(n

1)Pn
(
x)

0
两式相减，并在[-1,1] 区间上对x积分，得
1
1{Pn
C3

4, 5
C2 0,
式（1.7）即为勒让德多项式的级数表示．
注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 (x) 1
P1(x) x cos
P2 (x)

1 2
(3x2
1)

1 4
(3cos 2
1)
P3 (x)

1 2
(5x3
3x)

1 8
(5cos 3

3cos
)
P4
下面证明表达式(1.10)和（1.7）是相同的．
【证明】 (略）
6.2 勒让德多项式的性质
1 勒让德多项式的性质 (1) 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
第六章 勒让德多项式
6.1 勒让德方程及其解的表示 1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 r2
(r2 r
u ) r
1
r2 sin


(sin
u )

1
r2 sin 2
2u
2
0
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
考虑到 Pn (x) (1)n Pn (x) ，由(2.6)显然有 C0 C2 0
C1

3 2
1 1
x3 P1 ( x)dx

3 2
1 x3 xdx 3
1
5
7
C3 2
1 1
x3P3
(x)dx

7 2
1 x3 1 (5x3-3x)dx 2
1 2
(x)

1 8
(35x4

30x2

3)

1 64
(35 cos
4

20
cos
2

9)
P5
(x)

1 8
(63x5

70
x3

15x)

1 128
(63cos
5

35
cos
3

30
cos
)
P6
(x)

1 16
(231x6

315x4
105x 2

5)
1 512
(231cos
6
126 cos
5
所以
x3

3 5 P1 ( x)

2 5 P3 ( x)
例2.2 将函数 cos2 (0 π) 展开为勒让德多项式
Pn (cos ) 形式
【解】 用直接展开法
令 cos x ，则由 cos 2 2cos2 1 2x2 1
我们知道： P0 (x) 1,
P1(x) x,
4
105 cos
2

50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
如 l 为 2n 1 （即为奇数）时，则 P2n1(x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1 (0) 0
（１.8）
是三次多项式（注意 f (x) 既非奇函数，也非偶函数），
设它表示为
3
2x3 3x 4 CnPn (x) n0

C0
1
C1

x

C2

1 2
(3x2
1)

C3

1 2
(5x3

3x)

(C0

1 2
C2
)

(C1

3 2
C3 )x

3 2
C2 x2

5 2
C3 x3
比较同次幂即得到
成立．
（2）模 （利用分部积分法证明）
根据
Nl2
1
1[Pl
(
x)]2
dx
为了分部积分的方便，把上式的 Pl (x)用微分表示给出，则有
Nl2

22l
1 (l !)2
1 dl (x2 1)l 1 dxl
d dl1(x2 1)l
dx

dxl 1

dx


1 22l (l!)2
(
x)
d dx
[(1

x
2
)Pl(
x)]

Pl
(
x)
d dx
[(1

x
2
)Pn(
x)]}dx
1
[n(n 1) l(l 1)] 1Pl (x)Pn (x)dx
因为上面等式左边的积分值为
(1 x2 )[Pn (x)Pl(x) Pl (x)Pn(x)] |11 0
1
所以当 n l 时，必然有 1Pl (x)Pn (x)dx 0
dl (x2 1)l

dxl

dl1(x2 1)l dxl 1
1 1

1 22l (l!)2
1 dl1(x2 1)l 1 dxl1

d dx
dl (x2 1)l

dxl
dx
注意到 (x2 1)l (x 1)l (x 1)l 以 x 1 为 l 级零点，
l 2n （即为偶数）时．，则 P2n (x) 含有常数项，即
（１.7）中 k l 2 n 的那一项，所以
P2n (0)

(1)n
(2n)! 2n n!2n n!

(1)n
(2n 1)!! (2n)!!
（１.9）
式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)L 6 4 2
(2) 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
l 为奇数时 Pl (x) 为奇函数
(3) 勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
f (x) 为奇函数，则展开式（2.5）系数 C2n 0
若需展开的函数 f (x) 为偶函数，则展开式（2.5）系数
C2n1 0 n 0,1, 2,3,
例2.3 以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把 f (x) 2x3 3x 4 展开为广义傅里叶级数．
【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上， f (x)
r2 d2R 2r dR l(l 1)R 0
dr 2
dr
和球谐函数方程
（1.1）
1
sin



sin
Y



1
sin2
2Y
2
l(l
1)Y

0
（１.2）
(1.2)式的解 Y ( ,) 与半径 r 无关，故称为球谐函数
或简称为球函数．
球谐函数方程进一步分离变量，令 Y ( ,) ( )()
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
(1.6)
百度文库
dx
dx
2 勒让德多项式的表示
(1) 勒让德多项式的级数表示
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x)
(1
x2 )
d2 y dx2

2x
dy dx

l(l
1)

m2 1 x2

y

0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d

sin
d
d


l(l
1)

0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx

N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l

1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx

2 2l 1
(l 0,1,2,L )
至此，分部积分的结果是使(x 1) 的幂次降低一次， (x 1) 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．
继续分部积分（计l 次），即得
Nl2
(1)l
(2l)! 22l (l !)2
(1)l
l l 1L l 1 l 2
1 2l
1 (x 1)0 (x 1)2l dx
故其 (l 1) 阶导数 dl1(x2 1)l
dxl 1
必然以 x 1为一级零点，从而上式已积出部分的值为零
Nl2

(1)1 22l (l!)2
1 dl1(x2 1)l dl1(x2 1)l dx
1 dxl1
dxl 1
再进行 l 次分部积分，即得
Nl2

(1)l 22l (l !)2
1

1 22l

1 (x 2l 1
1)2l 1
1 1

2 2l 1
故勒让德多项式的模为
2 Nl 2l 1
(l 0,1,2, )
且有
1
1 Pl
(x)Pl
(x)dx

2 2l 1
(4) 广义傅里叶级数
定理2.1 在区间 [-1,1]上的任一连续函数 f (x),
可展开为勒让德多项式的级数
(
x)

4 3
P2
(
x)


1 3
P0
(cos
)

4 3
P2
(cos
)
下面我们给出一般性结论：
结论1：设 k 为正整数，可以证明：
x2k C2k P2k (x) C2k 2P2k 2 (x) C0P0 (x) x2k 1 C2k P 1 2k 1 (x) C2k P 3 2k 3 (x) C1P1 (x) 结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数
1 (x2 1)l d2l (x2 1)l dx
1
dx2l
(x2 1)l 是 2l 次多项式，其 2l 阶导数也就是最高幂项
x 2l 的 2l 阶导数为 (2l)! ．故
Nl2

(1)l
(2l)! 22l (l !)2
1 (x 1)l (x 1)l dx
1
再对上式分部积分一次
Nl2