chapter2(3) 高阶导数 隐函数的求导法则
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高数课件25隐函数求导法则
隐函数的特点
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
隐函数的求导法则笔记
隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。
隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。
在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。
本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。
隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。
假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。
首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。
然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。
最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。
3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。
在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。
4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。
通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。
5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。
总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。
通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。
第6周：导数的运算法则2、隐函数的导数、高阶导数
例：若 f (x)存在，求函数 f (arc sin 1) 的导数。 x
练习：已知 f (x) 可导，求 y f (ex )e f (x) 的导数。 答案： y e f (x)[ex f (ex ) f (ex ) f (x)] 例：若z y2，y f (x) ，求 dz .
dx 1.y (1 x)5 2.y cos2 x
3.y ln sin 2x
x
4.y e 2 cos 3x
5.y (ex ex )2
6.y x2 1 x2
7. y x a2 x2 a2 arcsin x , (a 0)
2
2
a
注：1.分清复合关系，由外向里，逐层求导，不 漏层，不重复； 2.求导过程中，分清是哪个函数对哪个变量求导。
为由此参数方程所确定的函数。
例：
x y
2t t2
可确定 y x2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dy
定理：若
x y
(t) (t)
，则 dy
dx
dt dx
yt . xt
dt
dy
x
定理：若
y
(t) (t)
，则
dy dx
dt dx
1.y
5y xy
y2 yey 1
2.切线：y 3 (x 3)
2
2
法线：y x
y
y x2 y2 x
y
|
(
3,3
)
1
22
y
|
x
3
23高阶导数与隐函数的导数-精选文档
一般地 , 类似可证:
( n ) n ) (sin x ) sin( x 2
( n ) (cos x ) cos( x n ) 2
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二、高阶导数的运算法则
u (x )及 v v (x ) 都有 n 阶导数 , 则 设函数 u
) ( n ) ( n ) 1 .( u v )(n u v
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y ,
或
y ( 4 ) , , y(n)
d y d y , , 4 d x d xn
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d3 y , 3 d x
4
n
2 n (n) 求 y a a x a x a x , y . 例1. 设 01 2 n
2 . (C u )(n) Cu(n) (C为常数)
3 .( uv )
(n )
n ( n 1 ) (n2) u v u v n u v 2! n ( n 1 ) ( n k 1 ) (nk) (k) u v k !
( n)
(n 1 )
A ( x 2 ) 原式
B ( x 1 ) 原式
1 1 y x 2 x 1
1
1 1 y ( 1 )n ! n 1 n 1 ( x 2 ) ( x 1 )
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sin x ,求 y ( n ) . 例4. 设 y
解:
) sin( x y cos x 2
y cos( x ) sin( x ) 2 2 2
( n ) n ) (sin x ) sin( x 2
( n ) (cos x ) cos( x n ) 2
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二、高阶导数的运算法则
u (x )及 v v (x ) 都有 n 阶导数 , 则 设函数 u
) ( n ) ( n ) 1 .( u v )(n u v
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y ,
或
y ( 4 ) , , y(n)
d y d y , , 4 d x d xn
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d3 y , 3 d x
4
n
2 n (n) 求 y a a x a x a x , y . 例1. 设 01 2 n
2 . (C u )(n) Cu(n) (C为常数)
3 .( uv )
(n )
n ( n 1 ) (n2) u v u v n u v 2! n ( n 1 ) ( n k 1 ) (nk) (k) u v k !
( n)
(n 1 )
A ( x 2 ) 原式
B ( x 1 ) 原式
1 1 y x 2 x 1
1
1 1 y ( 1 )n ! n 1 n 1 ( x 2 ) ( x 1 )
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sin x ,求 y ( n ) . 例4. 设 y
解:
) sin( x y cos x 2
y cos( x ) sin( x ) 2 2 2
隐函数;高阶导数
➢§3-4隐函数、由参数方程所 确定的函数导数 高阶导数
一、隐函数的导数
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值 时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方 程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作 y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数, 对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一 个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我 们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
ln
M2
ln
N1
ln
N2
解： ln y 1 lnx 1 lnx 3 ln5 x ln7 x
2
1 y 1 ( 1 1 1 1 )
y 2 x 1 x 3 5 x 7 x
ln
ax b
a axb
y 1 (x 1)(x 3) ( 1 1 1 1 ) 2 (5 x)(7 x) x 1 x 3 5 x 7 x
设给定参数方程 x (t), y (t) 通过参数t确定了
具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到 的y=f(x)比 较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并 设上面函数
x (t), y (t) 都可导,由它构成的复合函数.我们
应用复合函数及反函数的求导公式,得到
yx
dy dt
y
x
y y(sin x ln x cosx) xcosx (sin x ln x cosx)
x
x
xcosx1(cos x x sin x ln x)
例4 求 y (x 1)(x 3) 的导数
一、隐函数的导数
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值 时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方 程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作 y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数, 对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一 个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我 们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
ln
M2
ln
N1
ln
N2
解： ln y 1 lnx 1 lnx 3 ln5 x ln7 x
2
1 y 1 ( 1 1 1 1 )
y 2 x 1 x 3 5 x 7 x
ln
ax b
a axb
y 1 (x 1)(x 3) ( 1 1 1 1 ) 2 (5 x)(7 x) x 1 x 3 5 x 7 x
设给定参数方程 x (t), y (t) 通过参数t确定了
具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到 的y=f(x)比 较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并 设上面函数
x (t), y (t) 都可导,由它构成的复合函数.我们
应用复合函数及反函数的求导公式,得到
yx
dy dt
y
x
y y(sin x ln x cosx) xcosx (sin x ln x cosx)
x
x
xcosx1(cos x x sin x ln x)
例4 求 y (x 1)(x 3) 的导数
隐函数的求导法则取对数求导法
两边关于 x 求导：
y 2 1 y 3x
1 2x
1 x 1 x2
3cos x sin x
整理得
y 3
x2
1 x 1 x2
sin 3
x
2 1 2x 3x 1 x 1 x2
3cot x
例5
求 y xsin x 的导数.
幂指函数
解
运用取对数求导法
ln y ln xsin x sin x ln x
高等数学之——
3.4 隐函数和高阶求导法则
第三章 导数与微分
第四节 隐函数和高阶求导法则
一.隐函数的求导法 二.取对数求导法 三.参数方程求导法 四.高阶导数
例如 y sin 2x, y ex x2
特点在于：
可以表示成等式左边是只含因变量，而右边等式
只含自变量。即解析式中明显地可以用一个变量
两边关于 x 求导：
y y
cos
x
ln
x
sin x
x
故
y xsin x ( cos x ln x sin x )
x
练
判断： y x x 的导数为 y x x (ln x 1).
A.
B.
ln y ln f (x)
注意：y 是 x 的函数.
然后, 对方程两边关于 x 求导：
y (ln f (x)) y
y y (ln f (x))
二.取对数求导法
适用范围：
取对数求导法常用来求一些
复杂的根式、乘除式、幂指函数
等的导数.
例3
设 y 3 x(3x 1) , x (1 ,2) 求 y. 复杂的根式
解 方程两边关于 x 求导：
6y y 3x2 2x
高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数
复杂函数 求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求 在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数
23高阶导数与隐函数的导数
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
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作业 P70 2, 3, 5(3)(4) P71 8(2)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设 y eax, 求 y ( n ) .
解: yaeax, ya2eax, ya3eax,,
y(n) aneax 特别有: (ex)(n) ex 例3. 设 yl(n 1x),求 y ( n ) .
y 1 1 x
y
(1
1 x
)
2
解:
y 1 , 1 x
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x4
y1 (x1)(x2) 1111
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
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第三节 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设 y eax, 求 y ( n ) .
解: yaeax, ya2eax, ya3eax,,
y(n) aneax 特别有: (ex)(n) ex 例3. 设 yl(n 1x),求 y ( n ) .
y 1 1 x
y
(1
1 x
)
2
解:
y 1 , 1 x
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x4
y1 (x1)(x2) 1111
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
D2_3隐函高阶
d y . 4 dx
4
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 n n d y d f ( x) 函数f ( x )的n阶导数, 记作 f ( n ) ( x ), y ( n ) , 或 . n n dx dx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
x
dy dx
2014-8-26
x0
e y y xe
x
x0 y0
＝1
微积分--隐函数的导数 高阶导数
3
三、高阶导数
如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
记作
d y d f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
微积分--隐函数的导数 高阶导数 4
2
2
2014-8-26
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx
三阶导数的导数称为四阶导数, f ( 4 ) ( x ), y ( 4 ) ,
3.3 隐函数的导数 高阶导数 一、隐函数的导数 定义: 由方程F ( x, y) 0所确定的函数y y( x)称为隐函数.
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 方程两边直接对自变量求导(用复合函数求导法则)
2014-8-26
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设 s f (t), 则瞬时速度为 v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间 t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定义: 若y f ( x)的导数 y f ( x)在x处可导,这个导数
叫做 y f ( x)的二阶导数.
记为:
y 或
f
( x)
或
d2y dx2
或
d
2 f(x dx2
2
22
(cosu)(n) cos u n (u)n .
2
y(n)
1 2
cos
2
x
n
2
2n
2n1 cos 2x n .
2
三.隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
x
2
cos
x
2
2
cos
x
2
2
f
(
x)
sin
x
2
2
cos
x
3
2
f
(
n)
(
x
)
cos
x
n
2
.
即
cos
x ( n)
cos
x
n
2
.
同理
sin x(n)
sin x
n
2
.
ex4.设 y f (ln x), 且f (u)可导, 求 y.
Solution.
y f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x
y
1 x2
f (ln x)
1 x
f (ln x)
1 x
1 x2
[
f (ln x)
f (ln x)]
ex 5.由 dx dy
1 y
,
求
d2x dy2
.
Solution.
d2x dy2
d dy
1 y
d 1 dx dx y dy
1 y2yFra bibliotek1 y
y y3
二. 高阶导数的运算法则 定理1：如果u=u(x), v=v(x)都在点x处具有n阶导数, 则
Solution. 设 u cos x, v x2,则
u( k )
cos
x
k
2
(k 1,2,,20)
v 2x,v 2,v(k) 0 (k 3,4,,20)
y(20) u(20)v C210u(19)v C220u(18)v
cos
x
20
2
x
2
20cos
x
19
2
2
x
20 19 2
(
2 x
3 1)4
(1)3
321 ( x 1)4
1 x
(n)
1
(1)n
(x
n! 1)n1
.
同理
1 x
(n) 3
(1)n
(x
n! 3)n1
.
y(n)
(
1)
n
n!
(
x
1 1)n1
(x
1 3)n1
.
ex8.设 y sin2 x, 求 y(n) .
Solution. y 1 cos 2x 1 1 cos 2x,
(1)u v(n) u(n) v(n)
(2)uv(n) u(n)v Cn1u(n1)v Cn2u(n2)v
Cnku(nk )v(k ) uv(n)
(3)Cu(n) Cu(n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
ex6.设 y x2 cos x, 求 y(20) .
f
(4)
(
x),
y(4)
,
d4y dx4
.
y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做n阶导数.
f
(
n)
(
x
),
y(
n)
,
dn dx
y
n
.
称二阶、三阶…n阶导数为高阶导数.
注意：
(1)相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高 阶导数得先求出各低阶导数.
y a x ln2 a,, y(n) ax lnn a.
注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结 果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
ex3.设 f ( x) cos x, 求 f (n) ( x).
Solution.
f
(
x)
sin
x
cos
x
2
f
(
x)
sin
cos
x
18
2
2
x2 cos x 40x sin x 380cos x.
注意：求高阶导数的方法可归纳为三种
方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论.
方法2: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
方法3(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
f (n)( x) n(n 1)(n 2)2 1 n!, f (n1)( x) 0, 对于一切k 1, f (nk) ( x) 0 若 y a0 xn a1xn1 a2 xn2 an , 则 y(n) a0 n!
ex2.设 y ax , 求 y(n) . Solution. y a x ln a,
ex7.设
y
x2 5 x2 2x
,求 3
y(n) .
Solution. y 1 1 1 , x1 x3
1 x
1
(x
1 1)2
(1) (x
1 1)2
x
1
1
2( x 1) ( x 1)4
(x
2 1)3
(1)2
21 ( x 1)3
x
1
1
'''
2 3( x 1)2 ( x 1)6
Chapter 2(3)
2．1．9 高阶导数 2．1．10隐函数的求导法则
教学要求：
1. 了解高阶导数的概念, 会求简单函数的n阶导数; 2.会求隐函数所确定的函数的一阶、二阶导数
难点：两种的求导法则
一. 高阶导数的定义与记号
二.隐函数的求导法
一. 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
)
.
而且 f ( x) lim f ( x x) f ( x) .
x0
x
记号与求导过程:
d2y dx2
d dx
dy dx
d (dy ) dxdx
d2y dx2
.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
f
(
x),
y,
d3 dx
y
3
.
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为
(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导
数, 即
a( t )
dv dt
d2y dt 2
s( t ).
ex1.设f ( x) xn, 求各阶导函数. Solution.
f ( x) nxn1, f ( x) n(n 1)xn2, f ( x) n(n 1)(n 2)xn3, f (k) ( x) n(n 1)(n 2)(n k 1)xnk , f (n1)( x) n(n 1)(n 2)2x,
a(t) v(t) [ f (t)].
定义: 若y f ( x)的导数 y f ( x)在x处可导,这个导数
叫做 y f ( x)的二阶导数.
记为:
y 或
f
( x)
或
d2y dx2
或
d
2 f(x dx2
2
22
(cosu)(n) cos u n (u)n .
2
y(n)
1 2
cos
2
x
n
2
2n
2n1 cos 2x n .
2
三.隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
x
2
cos
x
2
2
cos
x
2
2
f
(
x)
sin
x
2
2
cos
x
3
2
f
(
n)
(
x
)
cos
x
n
2
.
即
cos
x ( n)
cos
x
n
2
.
同理
sin x(n)
sin x
n
2
.
ex4.设 y f (ln x), 且f (u)可导, 求 y.
Solution.
y f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x
y
1 x2
f (ln x)
1 x
f (ln x)
1 x
1 x2
[
f (ln x)
f (ln x)]
ex 5.由 dx dy
1 y
,
求
d2x dy2
.
Solution.
d2x dy2
d dy
1 y
d 1 dx dx y dy
1 y2yFra bibliotek1 y
y y3
二. 高阶导数的运算法则 定理1：如果u=u(x), v=v(x)都在点x处具有n阶导数, 则
Solution. 设 u cos x, v x2,则
u( k )
cos
x
k
2
(k 1,2,,20)
v 2x,v 2,v(k) 0 (k 3,4,,20)
y(20) u(20)v C210u(19)v C220u(18)v
cos
x
20
2
x
2
20cos
x
19
2
2
x
20 19 2
(
2 x
3 1)4
(1)3
321 ( x 1)4
1 x
(n)
1
(1)n
(x
n! 1)n1
.
同理
1 x
(n) 3
(1)n
(x
n! 3)n1
.
y(n)
(
1)
n
n!
(
x
1 1)n1
(x
1 3)n1
.
ex8.设 y sin2 x, 求 y(n) .
Solution. y 1 cos 2x 1 1 cos 2x,
(1)u v(n) u(n) v(n)
(2)uv(n) u(n)v Cn1u(n1)v Cn2u(n2)v
Cnku(nk )v(k ) uv(n)
(3)Cu(n) Cu(n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
ex6.设 y x2 cos x, 求 y(20) .
f
(4)
(
x),
y(4)
,
d4y dx4
.
y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做n阶导数.
f
(
n)
(
x
),
y(
n)
,
dn dx
y
n
.
称二阶、三阶…n阶导数为高阶导数.
注意：
(1)相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高 阶导数得先求出各低阶导数.
y a x ln2 a,, y(n) ax lnn a.
注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结 果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
ex3.设 f ( x) cos x, 求 f (n) ( x).
Solution.
f
(
x)
sin
x
cos
x
2
f
(
x)
sin
cos
x
18
2
2
x2 cos x 40x sin x 380cos x.
注意：求高阶导数的方法可归纳为三种
方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论.
方法2: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
方法3(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
f (n)( x) n(n 1)(n 2)2 1 n!, f (n1)( x) 0, 对于一切k 1, f (nk) ( x) 0 若 y a0 xn a1xn1 a2 xn2 an , 则 y(n) a0 n!
ex2.设 y ax , 求 y(n) . Solution. y a x ln a,
ex7.设
y
x2 5 x2 2x
,求 3
y(n) .
Solution. y 1 1 1 , x1 x3
1 x
1
(x
1 1)2
(1) (x
1 1)2
x
1
1
2( x 1) ( x 1)4
(x
2 1)3
(1)2
21 ( x 1)3
x
1
1
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2 3( x 1)2 ( x 1)6
Chapter 2(3)
2．1．9 高阶导数 2．1．10隐函数的求导法则
教学要求：
1. 了解高阶导数的概念, 会求简单函数的n阶导数; 2.会求隐函数所确定的函数的一阶、二阶导数
难点：两种的求导法则
一. 高阶导数的定义与记号
二.隐函数的求导法
一. 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
)
.
而且 f ( x) lim f ( x x) f ( x) .
x0
x
记号与求导过程:
d2y dx2
d dx
dy dx
d (dy ) dxdx
d2y dx2
.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
f
(
x),
y,
d3 dx
y
3
.
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为
(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导
数, 即
a( t )
dv dt
d2y dt 2
s( t ).
ex1.设f ( x) xn, 求各阶导函数. Solution.
f ( x) nxn1, f ( x) n(n 1)xn2, f ( x) n(n 1)(n 2)xn3, f (k) ( x) n(n 1)(n 2)(n k 1)xnk , f (n1)( x) n(n 1)(n 2)2x,