大学医用高等数学习题
医用高等数学答案
9 . 求下列函数的极限 x3 - 1 2 ( 1 ) xlim = lim ( x + x + 1 ) = 1; → - 1 x - 1 x→ - 1 x2 - 1 ( x + 1 ) ( x - 1) x+ 1 2 ( 2 ) lim = lim = lim = ; 2 x→1 2 x - x - 1 x→ 1 ( 2 x + 1) ( x - 1 ) x→ 1 2 x + 1 3 ( 3 ) lim x→ ∞ x -1 = lim 3 x - x - 1 x→ ∞
2
定 义域为 [ 2 k π, ( 2 k + 1 )π] ( k = 0 , ± 1 ,
1 ≤ x ≤1 e
定义域为
1 ,1 e
.
- 1 ≤ x≤ 1
定义域为 [ - 1 , 1 ] .
4 . 写出 y 关于 x 的复合函数 ( 1 ) y = lg u, u = t an ( x + 1 ) . 解 y = lg [ tan ( x + 1 ) ] . ( 2) y = u , u = 解 y = ( x2 + 1 ) 2 . ( 3 ) y = u + sin u, u = 1 - v, v = x3 . 解 y = 1 - x + sin ( 1 - x ) .
2
x+1
= lim x→ 3
3 (3 - x) ( x - 9 ) ( x + 13 + 2
2
x ƻ 2
2
x + 1)
= -
1 ; 16 1 1 1 1+ 2 + x x
x→ + ∞
医学高等数学习题解答
第一章 函数、极限与连续习题题解P27一、判断题题解1. 正确..设hx =fx +f x ; 则h x = f x +fx = hx ..故为偶函数..2. 错..y =2ln x 的定义域0;+ ; y =ln x 2的定义域 ;0∪0;+ ..定义域不同..3. 错..+∞=→201limxx ..故无界.. 4. 错..在x 0点极限存在不一定连续.. 5. 错..01lim =-+∞→xx 逐渐增大.. 6. 正确..设A x f x x =→)(lim 0;当x 无限趋向于x 0;并在x 0的邻域内;有εε+<<-A x f A )(..7. 正确..反证法：设Fx =fx +gx 在x 0处连续;则gx =Fx fx ;在x 0处Fx ;fx 均连续;从而gx 在x =x 0处也连续;与已知条件矛盾..8. 正确..是复合函数的连续性定理..二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x C3. 01sinlim 0=→xx x A4. 0cos 1sinlim0=→xx x x B 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--B 6. 3092<⇒>-x x D7. 画出图形后知：最大值是3;最小值是 10.. A8. 设1)(4--=x x x f ;则13)2(,1)1(=-=f f ;)(x f 连续;由介质定理可知.. D三、填空题题解1. 210≤-≤x 31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数;关于原点对称.. 3. 31=ω;πωπ62==T .. 4. y x -=;可以写成x y -=..5. 设6t x =;1,1→→t x ;3211lim 11lim 21321=+++=--→→t t t t t t t 6. 2arctan π≤x 有界;01lim=∞→xx ;故极限为0.. 7. 42)2sin(2lim )2sin(4lim222=--+=--→→x x x x x x x 8. c x c x c x x b ax x ++-=+--=++)1())(1(22)1(,+-==c a c b ;而5)(lim 1=+-→c x x ;得c =6; 从而b =6;a= 7..9. 1sin sin 1010)sin 1(lim )sin 1(lim --⋅-→→=-=-e x x xxx x xx10. 52522cos 15sin 522sin lim 5sin 2cos 2sin lim 5sin 2tan lim000=⋅⋅⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x x x11. 设u =e x 1;1ln 1)1ln(1lim )1ln(lim 100==+=+→→eu u u uu u 12. 由0=x 处连续定义;1lim )(lim 0===+-+→→xx x e a x a ;得：a =1..四、解答题题解 1. 求定义域1 ⎩⎨⎧≥-≥⇒⎩⎨⎧≥-≥0)1(000x x x x x x ; 定义域为),1[+∞和x=0 2 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0251512x x ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-5564x x 定义域为]5,4[-3 设圆柱底半径为r ;高为h ;则v= r 2h ; 2r v h π=;则罐头筒的全面积⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r v r rh r S 22222πππ;其定义域为0;+ ..4 经过一天细菌数为)1(0001r N r N N N +=+=;经过两天细菌数为201112)1()1(r N r N r N N N +=+=+=;故经过x 天的细菌数为xr N N )1(0+=;其定义域为0;+ ..2. 12)(+-=x x x f ;41222)2(-=+---=-f ;)1( 12)(-≠+++-+=+b a b a b a b a f .. 3. ue y =;xt t v v u 1,sin ,3===.. 4. 证明：)1()()1ln(ln )1(ln )]1([++=++=+=+x f x f x x x x x x f ..5. 令x +1=t ; 则x=t 1..⎩⎨⎧≤<-≤≤-=⎩⎨⎧≤-<-≤-≤-==+32 , )1(221 , )1(211 , )1(2110 , )1()()1(22t t t t t t t t t f x f ;所以：⎩⎨⎧≤<-≤≤-=32 , )1(221 , )1()(2x x x x x f ..6. 求函数的极限1 原式=343/113112/11211lim 11=----++→∞n n n ..2 原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→1113121211lim n n n =1111lim =⎪⎭⎫⎝⎛+-→∞n n .. 3 原式=3211)1(3lim x x x x -++-→=112lim )1)(1()2)(1(lim 2121=+++=++-+-→→x x xx x x x x x x .. 4 原式=31323322lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n nn ..5 原式=20sin 2sin 2limx x x x →=4sin 22sin 4lim 0=⋅⋅→x xx x x ..P289常见三角公式提示6 原式=x x x x x arctan arcsin lim 210⋅→;令t x =arcsin ;则x t =sin ;1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x 令t x =arctan ;则x t =tan ;1cos sin lim tan lim arctan lim000=⋅==→→→t t t t t x x t t x ;原式=21.. 7 原式=()3tan 3122tan 31lim ⋅→+xx x=()3tan 31202tan 31lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x = e 3.. 8 原式=122121221lim -⋅+→∞⎪⎭⎫⎝⎛++x x x =22121221lim ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→x x x 11221lim -→∞⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x = e 2..9 原式=)1sin 1(2sin 2sin lim 20++→x x x xx x =11sin 112sin 2sin lim220=++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x x x x x ..10 令a x t -=;则t a x +=;原式=a t a t e te e =-→)1(lim0填空题11.. 7. 221233sin 21a a a S =⋅=π;242233sin 2221a a a S =⋅⋅=π;26223233sin 2221a a a S =⋅⋅=π; ; 2211233sin 2221a a a S n n n n =⋅⋅=--π; ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n a S 414141322 =)(3341141141322∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛-n a a n8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量1 0cos 1sin lim0=+→x xx ;为无穷小量..2 01arctan lim 2=+→∞x x x ;为无穷小量..3 0sin lim =⋅-∞→x e xx ;为无穷小量..4 ∞=+→xx x sin 1lim0;为无穷大量..9. 比较下列无穷小量的阶3111lim31=--→x x x ;1)1(211lim 21=--→x x x ;当x 1时;1 x 与1 x 3是同阶无穷小..1 x 与)1(212x -是等阶无穷小.. 10. 当x 0时;x 2是无穷小量;当x 时;x 2是无穷大量；当x ±1时;321x x -是无穷小量;当x 0时;321x x -是无穷大量；当x + 时;e x 是无穷小量;当x 时;e x 是无穷大量..11. 16319)112()132()1()3(22=-=+⋅-+⋅=-=∆f f y .. 12. 1sin lim 0=-→x x x ;b b x x x =⎪⎭⎫⎝⎛++→1sin lim 0; b =1;2)0(+=a f =1; a= 113. []22111121)1(1lim lim e x xx x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-→-→;2 , )1()(lim 21=⇒=∴=→k e e f x f k x 14. 设2)(-=xe xf ;01)0(<-=f ;02)2(2>-=e f ;由介质定理推论知：在0;2上至少存在一点x 0使得0)(0=x f ;即02=-x e ..15. 设x b x a x f -+=sin )(;它在0;a +b 上连续;且0)0(>=b f ;0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f ;若0)(=+b a f ;则a+b 就是方程0)(=x f 的根..若0)(<+b a f ;由介质定理推论知：至少存在一点 0; a+b ; 使得0)(=ξf ;即 是0)(=x f 的根..综上所述;方程b x a x +=sin 至少且个正根;并且它不超过a+b ..16. 1312630126)0(0=+=e w g ；22630126lim 32max =+=-+∞→t t ew g ；3t e 3230126226-+= 530ln 23≈=t 周.. 17. 设)()()(x g x f x F -=;则Fx 在a;b 上连续;0)()()(>-=a g a f a F ;0)()()(<-=b g b f b F ;由介质定理推论知：至少存在一点 a; b ; 使得0)(=ξF ..即)()(0)()(ξξξξg f g f =⇒=-..所以)(x f y =与)(x g y =在a;b 内至少有一个交点..第二章 一元函数微分学习题题解P66一、判断题题解1. 正确..设y =fx ; 则00)lim (lim lim lim 0000=⋅'=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆y x x y x x y y x x x x .. 2. 正确..反证法..假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导;则g 故命题成立..3. 错..极值点也可能发生一阶导数不存在的点上..4. 错..如图..5. 错..拐点也可能发生二阶导数不存在的点上..6. 错..不满足拉格朗日中值的结论..7. 错..设x x f =)(; xx g 1)(=;则：1)()()(=⋅=x g x f x F ; 显然)(x f 在0=x 点的导数为1;)(x g 在0=x 点的导数不存在;而)(x F 在0=x 点的导数为0..是可导的..8. 错..设3x y =和3x y =;显然它们在 ;+ 上是单调增函数;但在0=x 点3x y =的导数为0;3x y =的导数不存在..二、选择题题解1. 设切点坐标为),(00y x ;则切线的斜率020x y k x x ='==;切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得20021x y =+;又有200x y =;解方程组⎩⎨⎧==+2020021x y x y 得：10=y ;10±=x ;切线方程为：12-±=x y ..A 2. 可导一定连续..C 3. 连续但不可导..C 4. 因为),(),(12b a x x ⊆∈ξ..B5. 321, x y x y ==;在x=0处导数不存在;但y 1在x=0处切线不存在;y 2在x=0处切线存在..D ..6. ,1sin lim 0)0sin(lim)0(00=∆∆=∆-∆+='→∆→∆-x x xx f x x 10)0(lim )0(0=∆-∆+='→∆+x x f x 可导..C7. x x e e f 5)(=;xx e e f 55)(='..B8. 01sin lim 001sin)0(lim020=∆∆=∆-∆+∆+→∆→∆xx x x x x x ..B三、填空题题解1. 11)(2-='x x x f ;3211)2(21)2(2=---=-'f ..2. x x x cot csc )(csc ⋅-='3. y y x y xy y x xy x x '+='+⋅⇒'+='1)()cos()(])[sin(; )cos(11)cos(xy x xy y y --='..4. xdx x e e d x x 2cos )(2sin sin 22⋅⋅=..5. )3)(2(63666)(2-+=--='x x x x x f ;当32<<-x 时;0)(<'x f ;单调调减小.. 6. )](ln )([ln 21ln x g x f y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'='⋅)()()()(211x g x g x f x f y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'⋅=')()()()()(2)(x g x g x f x f x g x f y .. 7. 3235)(x x x f -=;()25313235)(33132-=-='-x xx x x f ;当52=x 时;)(x f 由减变增;取得极小值.. 8.x e dx dy+=1;xe dxdy dy dx +==111.. 四、解答题题解1. g t g g t g t g t S t t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--=∆⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-∆+='→∆→∆102110lim 2110)1(21)1(10lim)1(020 2. 1xx x x x x ∆=∆-∆+∆+→∆→∆1sinlim 001sin)0(lim00不存在;)(x f 在0=x 不可导.. 2 01sin lim 001sin)0(lim020=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⋅∆=∆-∆+∆+→∆→∆x x x x x x x ;)(x f 在0=x 可导;且0)0(='f ..3. ∞=∆=∆-∆+-→∆→∆αα1001lim 0)0(limx xx x x 不可导..4. 过)1,1(与)4,2(两点的割线斜率为31214=--=k ;抛物线2x y =过x 点的切线斜率为x y 2=';故32=x ;得49,23==y x ;⎪⎭⎫⎝⎛49,23即为所求点..5. 过),(00y x 点作抛物线2x y =的切线;设切点为),(2x x ;应满足x x x y x 202=--方程;若方程有两个不等的实根x ;则说明过),(00y x 点可作抛物线的两条切线..整理方程得：02002=+-y x x x ;当044020>-=∆y x 时;方程有两个不等的实根..也就是要满足200x y <即可..6. 求下列函数的导数.. 1 a a nxa x y x n xnln )(1+='+='-2 xx x y 11)5ln (+='++=' 3 1sin cos sin )cos sin (1+-+='++='-x x x x nx x x x x y n n n4 23222422211tan 2cos 111tan 2sec )arctan tan (xx x x x x x x x x x x x x y ++-=++-='+=' 5 xxx x x x y 22sin ln 2cos )ln 2sin 21(+⋅='⋅=' 6 2)1(sec tan sec )1()1ln(1sec x x x x x n x x y +-+='⎪⎭⎫⎝⎛+++=' 7. 求下列函数的导数.. 1 112111)1()1()1()1(-----+=⋅+='+⋅+='n n n n n n n n n x x n nx x n x x n y2 x x x x x x x x y 3sec 33tan 2)3(tan 3tan )(2222+='+'=' 3 22212cot 12sin cos ])1ln(sin [ln x xx x x x x x x y +-=+-='+-=' 4 )12ln()12(212)12()12ln(1)12ln(])12[ln(++=+'+⋅+=+'+=='x x x x x x x y5 x xxx x x x x x y sec 2cos cos 2sin 1cos sin 1cos ])sin 1ln()sin 1[ln(2==-++='--+='6 []xx x x x x x x x x x x x x x x x y ln )ln(ln 6ln ln 3)ln(ln 2ln ))(ln (ln 3)ln(ln 2ln )(ln )ln(ln 2]))[ln(ln ln(ln 2)(ln ln 33233233333332=='='='='=' 8. ktkte kn e n t n 00][)(='=';k en e kn t n t n ktkt=='00)()(.. 9. 求下列函数的导数.. 1 x x y ln sin ln =;x x x x y y sin ln cos 1+='⋅;⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x y x sin ln cos sin2 []x x x y 2sin ln )3ln()1ln(2ln 21ln -++++=;⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++='⋅x x x x y y 2sin 2cos 23111211;3 xx y =ln ;x x y ln ln ln =;1ln ln )(ln +='x y y ;)1(ln ln +='x y yy ;)1(ln ln +='x y y y ;)1(ln +⋅='x x e y x x x 4 x x y arctan ln ln =;211arctan arctan ln x x x x y y +⋅+='; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++='x x x x x y x arctan )1()ln(arctan )(arctan 2 10. 求下列函数的n 阶导数..1 x y 5=;5ln 5xy =';5ln 52x y ='';…;5ln 5)(nx n y =2bx a y cos =;⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-='2cos sin πbx ab bx ab y ;⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''22cos 2sin 22πππbx ab bx ab y ;()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-='''23cos sin 33ππbx ab bx ab y ;…;⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos )(πn bx ab y nn3 x y ln =;11-=='x xy ;2--=''x y ;32-='''x y ;…;n n n x n y ---⋅-=)!1()1(1)( 11. 求下列隐函数的导数..1 0)3(33='-+x axy y x ;0)(33322='+-'+y x y a y y x ;22yax ayx y --=' 2 同填空题3..y y x y xy y x xy x x '+='+⋅⇒'+='1)()cos()(])[sin(; )cos(11)cos(xy x xy y y --='..3 x x xyy xe y )(cos )('='+ y y y x y xe e y xyxy'⋅-='+++'sin )( xyxye x y e xy y 2sin 1)1(+++-='4 1)(1)(])[arctan(2='++'+⇒'='+y xy y x y x y xy x x 222211y x x y x y y +++-=' 12. 求下列函数的微分.. 1 xdx e x d e ed dy x x xcos )(sin )(sin sin sin ===2 xx xx x x xedx e ex d e e e d e d dy 42422222121)2()(1)()(arcsin -=-=-==3 dx x x x x x d x x x x d dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=++=+=2111)arccos cos()arccos ()arccos cos()]arccos [sin( 4 dx xe dx x ex d eed dy xxxx2arctan 22arctan 2arctan 2arctan 21212)arctan 2()(+=+=== 13. 求5、31sin 近似值..1 设xx f =)(;则xx f 21)(=';取84.42.220==x ;16.0=∆x ;则2.284.4)(0==x f ;227.084.421)(0=='x f ;故236.216.0227.02.2)()()(5000=⨯+=∆'+≈∆+=x x f x f x x f2设xx f sin )(=;则xx f cos )(=';取6300π== x ;1801π==∆ x ;则2130sin )(0== x f ;2330cos )(0==' x f ;故515.01802321)()()(31sin 000=⨯+=∆'+≈∆+=πx x f x f x x f 14. 证明下列不等式..1 设x x x f tan )(-=;则0tan sec 1)(22≤-=-='x x x f ;)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上单调递减..当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时;)0()(f x f >;即x x tan >;当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时;)0()(f x f <;即x x tan <;当0=x 时;)0()(f x f =;即x x tan =;综上所述;当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时;x x tan ≤..2 设)1ln(111)1ln(1)(x xx x x x f +++-=+-+=;当0>x 时;0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='x x x x x f ;有)0()(f x f <;即)1ln(1x x x +<+；设)1ln()(x x x f +-=;当0>x 时;01111)(>+=+-='xxx x f ;有)0()(f x f >;即)1ln(x x +>；综上所述;当0>x 时;有x x xx<+<+)1ln(1.. 3 设x e x f x--=1)(;则1)(-='xe xf ;当0>x 时;0)(>'x f ;有)0()(f x f >;即01>--x e x；当0<x 时;0)(<'x f ;有)0()(f x f >;即01>--x e x；综上所述)0( 1≠+>x x e x ..15. 求下列函数的极限..1 )2ln(cos )5ln(cos lim 0x x x →=xx x xx 2cos 2sin 25cos 5sin 5lim 0--→=x x x x x x x 5cos 2cos 2sin 255sin 25lim 250⋅⋅⋅→=4252 p q x qpx x xx x -→→++=ln lim ln lim 00=pq x px x q --→-+10ln lim =p q x x p x q q --→--+220)(ln )1(lim =…=pn n q x x p x n q q q --→-+--+)(ln )1()1(lim 0 =0 分子和分母分别求n 阶导数;使n >q 3 xx xx x xx x eexln sin lim ln sin 0sin 00lim lim +→++==→→=10=ex x x x x x sin 1ln lim ln sin lim 00++→→==xx x x 20sin cos 1lim -+→=xx x x cos sin lim 20+→=0sin cos cos sin 2lim 0=-+→x x x x x x 4 xx xx x xx x eex--→-→→==1ln lim1ln 11111lim lim =)1(11lim 1-⋅→x x e=1-e5 x xx x x x ex x sin ln101022lim sin lim →→=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin lnlimx x xx e →=xx x x x x x x e 2sin cos sin lim 20-⋅→=x x xx x x e sin 2sin cos lim20-→=6611ee=-x x x x x x sin 2sin cos lim20-→ =x x x x x x x x x cos 2sin 4cos sin cos lim 20+--→=x x x x x cos 2sin 4sin lim 0+-→=)sin (cos 2cos 4cos lim 0x x x x x x -+-→=61- 6 xx xx x xx x eex ln cot ln limln cot ln 0ln 10lim )(cot lim +→++==→→=1cos sinlim0--=+→e exx x x16. 证明下列不等式..1 令x x x f -=sin )(;因为f x cos x 1 0 x 0; 所以当x 0时fx ↘; fx f 0 0 sin x x ；令gx 6/sin 3x x x +-; 则：g x 2/1cos 2x x +-;g x sin x x ; g x = cos x 1 0 x 0; 有g x ↗ g x g 0 0 g x ↘; g x g 0 0 gx ↗ gx g 0 0 sin x x x 3/6..综上所述： x sin x x x 3/62 令pp x x x f )1()(-+=; fx 在0;1连续且f 0 f 1 1;f x p x p 1 1 x p 1 ;令f x 0得x =1/2为驻点..f x pp 1 x p 2 1 x p 2 0;有极小值121212121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛p pp f ;1)(211≤≤∴-x f p 1)1(211≤-+≤⇒-pp p x x17. 确定下列函数的单调区间..1 x x y 63-=;定义域 ;+ ;)2(36322-=-='x x y ;令0='y ;解得2±=x ;增减性如下表：2 x x y sin +=;定义域 ;+ ;0cos 1≥+='x y ;令0='y ;解得 ,2,1,0,)12(±±=+=k k x π;均是孤立驻点;故在 ;+ 单调递增..3 7123223+--=x x x y ;定义域 ;+ ;12662--='x x y=)1)(2(3+-x x ;令0='y ;解得2,1-=x ;增减性如右表： 18. 求下列函数的极值..1 )1ln(x x y +-=;定义域 1;+ ;x y +-='111=xx +1;令0='y ;解得=x 表：2 x x y ln =;定义域0;+ ;xx x y 12ln +='=x x 22ln +;令0='y ;解得2-=e x ;极值见如右表：3 x x y 1+=;定义域 ;0∪0;+ ;211x y -=';32xy ='';令0='y ;解得1±=x ;02)1(<-=-''y 有极大值2)1(-=-y ;02)1(>=''y 有极小值2)1(=y ..19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值.. 1 x x f 45)(-=是 1;1上的连续函数;0452)(<--='xx f 减函数且无驻点;但有一个不可导点145>=x ;它不在 1;1上;故3)1(max =-f ;1)1(min =f .. 223)(2+-=x x x f 是 10;10上的连续函数;此函数可用分段函数表示⎩⎨⎧+-≤≤+--=其它, 2321 , )23()(22x x x x x x f ;⎩⎨⎧><-<<+-='21 , 3221 , 32)(2x x x x x x f 或;令)(='x f ;得：23=x ;0)2()1(==f f ;41)23(=f ;132)10(=-f ;72)10(=f ;比较得：132max =f ;0min =f ..3 22)(-=x x f 是 5;5上的连续函数;此函数可用分段函数表示⎩⎨⎧≥<=--2 , 22 , 2)(22x x x f x x ;分段点为2=x ;1)2(=f ;⎩⎨⎧><-='--2, ln222 , ln22)(22x x x f x x ;无驻点..72)5(=-f ;32)5(=f ;比较得：128max =f ;1min =f .. 20. 23bx ax y +=;bx ax y 232+=';b ax y 26+='';因为1;3为曲线的拐点;所以有⎩⎨⎧=⋅+⋅=+31102623b a b a ;解之得：23-=a ;29=b ..21.112+-=x x y ;222)1(12+++-='x x x y ;322)1()14)(1(2++-+=''x x x x y ;令=''y ;解得11-=x ;323,2±=x ;11-=y ;4313,2±-=y ;可验证⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----431,32,431,32),1,1(是曲线的三个拐点..下面论证此三点在一条直线上..只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可..4133433132143112121=--=+-+--=--=x x y y k ;4133433132143113132=++=++++-=--=x x y y k ;21k k =得证.. 22. )1(0b w w be w kt+=+-;ktbeb w w -++=1)1(0两端对t 求导数：0)(='+-+'--w e w ke b w ktkt 20)1()1(1kt ktktkt be e b bkw be w bke w ----++=+=' 23．设t dR R R 2.002.00+=+=;2222)2.002.0(r t r R v -+=-=;2min /)08.0008.0(2.0)2.002.0(2cm t t dtdv+=⨯+=.. 24. 1求出现浓度最大值的时刻：)(122)(18.0t te et C ---=;)18.0(122)(18.0t t e e t C --+-=';令0)(='t C ;解得唯一驻点82.018.0ln -=t ..)18.0(122)(18.02t t e et C ---='';)18.0(122)82.018.0ln (82.018.0ln 82.018.0ln 18.02---⨯--=-''ee C=)18.0(12218.0ln 415018.0ln 4192ee-=)18.018.018.0(12241504192-⨯=0)18.018.0(12241504191<-有极大值..也为最大值..2求出现浓度变化率最小值的时刻：令0)(=''t C ;解得唯一驻点41.018.0ln -=t .. )18.0(122)(18.03t te et C --+-=''';)18.0(122)41.018.0ln (41.018.0ln 41.018.0ln 18.03---⨯-+-=-'''eeC =)18.0(12218.0ln 4118318.0ln 41100ee-=)18.018.018.0(1224118341100⨯-=0)18.018.0(1224114141100>-有极小值..也为最小值..25. 求w '何时达最大值..)66.1()5.341ln(ln -=--t k w w )66.1(15.341t k e w -+=…①;k w ww w ='⋅---'⋅5.34111 )5.341(5.3412w w k w -='…②;()()w w k w w w kw '-='⋅-'=''25.3415.34125.3415.341;令0=''w ;得：25.341,0=='w w .. 由0='w 0)5.341(=-w w ;而0≠w w =341.5;由①得0)66.1(=-t k e 无解..由25.341=w 1)66.1(=-t k e;得：66.1=t 是唯一驻点..[]w w w w k w ''⋅-'-''='''2)(25.3415.3412; 当66.1=t 时;25.341=w ;k w 45.341=';0=''w ;0<'''w 有极大值..也为最大值..26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点1 )0(222>+=a x a a y ;定义域 ;+ ;2222)(2x a x a y +-=';322222)()3(2x a a x a y +-='';令0=''y ;得3a x ±=;43=y ;列表讨论.. 2 x x y sin +=;定义域 ;+ ;x y cos 1+=';x y sin -='';令0=''y ;得πk x =;),2,1,0( ±±=k ;当()ππk k x 2,)12(-∈时;0>''y ;曲线是凹的..当()ππ)12(,2+∈k k x 时;0<''y ;曲线是凸的..拐点为：()ππk k ,..27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线;并画出它们的大致图形.. 12xe y -=;定义域;+ ;是偶函数;lim 2=-→∞x x e ;有水平渐进线0=y ;22x xe y --=';)12()]2([22222-=-+-=''---x e x xe e y x x x2 x x y -+=11ln;定义域 1;1;)()(x f x f -=-是奇函数;∞=-+-→x x x 11ln lim 1;∞=-++-→xxx 11ln lim 1有垂直渐进线1±=x ;212x y -='无驻点;但当1±=x 时导数在..22)1(4x xy -='';令0=''y ;得0=x ..3 x x y 63-=;定义域 ;+ ;是奇函数;无渐进线..632-='x y ;x y 6='';令0='y ;得驻点2±=x ;令0=''y ;得0=x ;列表讨论..0)0(=f ;0)6(=±f ;22)2( =±f4 2x x e e y -+=;定义域 ;+ ;是偶函数;无渐进线..2x x e e y --=';2xx e e y -+='';令0='y ;得驻点0=x ;而>''y ;列表讨论..5 x x y arctan +=;定义域 ;+ ;是奇函数;lim ==∞→x y a x xx=[]2)arctan (lim π±=-+∞→x x x x ;有两条渐进线：2π±=x y ..'y 无驻点;22)1(2x xy +-='';令0=''y ;得0=x62211arccosx x y +-=;定义域 ;+ ;是偶数;π=-=+-∞→)1arccos(11arccos lim 22x x x ;有一条水平渐进线y= ;x x x y )1(22+='=⎪⎩⎪⎨⎧>+<+-0 , 120 , 1222x x x x ;⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<+=''0 , )1(40 , )1(42222x x x x x x y =0)1(42<+-x x ;01arccos )0(==f ;20arccos )1(π==±f ..28. 已知不在同一直线上的三点),(11y x A 、),(22y x B 和),(33y x C ；试用i i y x ,表示 ABC 的面积..解：由P55例42知：直线b kx y +=到),(00y x 的距离为：2001kb kx y d +--=..那么;直线AB 的方程为：)(112121x x x x y y y y ---=- 1221121212x x yx y x x x x y y y --+--=;AB 两点间的距离为：212212)()(y y x x -+-; ABC的面积=2332122121)()(21kb kx y y y x x +--⋅-+- =212121221123121232122121)()(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---⋅---⋅-+-x x y y x x y x y x x x x y y y y y x x=12212212122112312123212212)()()()()()()(21x x y y x x x x y x y x x y y x x y y y x x --+-------⋅-+-=)()()(212112312123y x y x x y y x x y -----=)()(21133221133221x y x y x y y x y x y x ++-++ 29. 椭圆)(12222b a by a x >=+的切线与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点;1求AB 之间的最小距离；2求三角形 OAB的最小面积..解：椭圆方程：12222=+b y a x …①如图..设切点坐标为),(00y x ;则y a x b y 22-='…②;此点切线斜率为：0202y a x b k -=;切线方程为：)(002020x x y a x b y y --=-..令0=y ;02022022********x a x b y a x b x b y a x x =+=+=;坐标)0,(02x a A .. 令0=x ;0202202202022020y b y a y a x b y a x b y y =+=+=;坐标),0(02y b B ..1 204204222y b x a oB oA AB +=+=..可设2424y b x a l +=;令0223434='⋅-+-='x x y y b x a l ;将②代入得：0223434=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+y a x b y b x a 2332x a b y =;代入①得驻点：b a a x +±=3;b a b y +±=3.. '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''--4263422xy a b x a l =()x y xy y a b x a '⋅-+---542644426=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+---y a x b xy y a b x a 22542644426 =0426622242644>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---y x a b y a b x a 有极小值..23434)()()(b a b a b b a a ba b b b a a a l +=+++=+++=;故AB 之间的最小距离是b a +..(2) 可设面积12222)(2121-=⋅⋅=xy b a y b x a S ;)()(21222y x y xy b a S '+-='-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--y a x b x y xy b a 22222)(21; 令0='S ;得：2222x a b y =;代入①得驻点：2a x =;2by =三角形边长取值应大于零..'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''---1222322121y x b a y b S =()y y x y x b a y y b '---'------2213224222123=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------y a x b y x y x b a y a x b y b 22221322224222123=34322524223xy b y x b a y a x b -+ 343225242222222232,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛''b a b b a b a b a a b b a S =a b a b ab 246-+=026>+a b ab 有极小值.. ab b a b a b a S =⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛2222,222;故三角形的最小面积为a b .. 第三章 一元函数积分学习题题解P108一、判断题题解1. 错..是原函数的全体;记作⎰+C dx x f )(..2. 错..)(x f 的任意两个原函数之差为常数..3. 错..是C x F +)(..4. 正确..5. 错..被积函数在x =0处无界..6. 正确..x y sin =';00='=x y7. 正确..被积函数是奇函数;积分区间对称.. 8. 正确..二、选择题题解1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数;积分区间对称;定积分为零..或⎰-11dx x x =⎰⎰+--12012dx x dx x=130 133131x x +--=[]0)01(31)1(031=-+---..A2.⎰+∞∞-+dx x 211=⎰∞-+0 211dx x +⎰+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0arctan x =πππ=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--0220..A 3. 正确的是C .. 4.dx x f aa⎰-- )(xu dudx -=-=====令du u f aa⎰-- )(=dx x f aa⎰- )(..D5. 令u ax b =-;du adx =-;du u f a dx ax b f ⎰⎰-=-)(1)(=C u F a +-)(1=C ax b F a+--)(1..B 6. 令xe x F -=)(;则xe xf --=)(;dx xe dx x xf x ⎰⎰--=)(=()⎰-x e xd =⎰---dx e xe x x =C x e x++-)1(..D7.dt t x⎰+141u du u xut udu dt 21122⎰+========令=du u ux ⎰+1 121; ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=x x +121..D 或⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x xx x +=+12121128. ⎰'''dx x f x f )()(=⎰'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='⎰22)(21)(21;2)(x e x f -=;22)(x xe x f --=' []C x f +'∴2)(21 =()C xe x +--22221=C e x x +-2222..B三、填空题题解 1. ⎰+dx x x )1ln(2=⎰++)1()1ln(2122x d x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-++⎰222212)1()1ln()1(21x xdx x x x =[]⎰-++xdx x x 2)1ln()1(2122 =[]C x x x +-++222)1ln()1(21..2. dx kx ⎰-ππ 2sin =dx kx ⎰--ππ 22cos 1=ππ2sin 2121-⎪⎭⎫⎝⎛-kx k x = ..3.⎰xdx arctan =⎰+-⋅dx x x x x 21arctan =C x x x ++-⋅)1ln(21arctan 2.. 4. dx lx kx ⎰-ππ sin sin =[]dx x l k x l k ⎰---+-ππ )cos()cos(21=ππ)sin(1)sin(121-⎪⎭⎫⎝⎛---++-x l k l k x l k l k = 0..5. dx ee xx ⎰-+1=dx e e x x ⎰+12=⎰+2)(1x x e de =C e x+arctan .. 6. ⎰+10 2cos x tdt dxd =)1()1cos(22'+⋅+x x =)1cos(22+x x .. 7. ⎰xdx 2sin =C x +-2cos 21..8. 这是积分上限函数;由定理3知：)()(x f x Φ=';xxe y ='∴..四、解答题题解1. 分别对三个函数求导数;结果皆为x2;所以它们是同一函数的原函数.. 2. 1 错..C x F +)(是不定积分.. 2 错..⎰dx x f )(是)(x f 所有原函数..3 正确..设C x F =)(是)(x f 的一个原函数;则)(0)(x f x F =='..4 正确..因为积分变量不同;造成被积函数不同..5 正确..因为1-≠n 时;C x n dx x n n++=+⎰111.. 3. 求下列不定积分 1dx x ⎰-)31(2=C xx +-32 dx x x⎰+)2(2=C x x ++3312ln 2 3 dx x x ⎰+1=dx x x ⎰-+)(2121=C x x ++-+++-+121121121121=C x x ++2123232 4dx x x ⎰-)3(=dx x x ⎰-)32123=C x x ++23252525 dx x x ⎰+221=dx x x ⎰+-+22111=dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111=C x x +-arctan 6 dx x x ⎰-221=dx x x ⎰--+22111=dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛--1112=C x x x +--+11ln 21 7dx x ⎰2sin 2=dx x ⎰-2cos 1=C x x +-)sin (21 8dx x ⎰2cot =dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin 12=C x x +--cot 9 dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-211=()dx x x ⎰--4321=dx x x ⎰--)(4543=C x x ++-414747410 dx e e xx ⎰+-112=dx e x ⎰-)1(=C x e x +- 11dx x x x⎰+sin cos 2cos =dx x x ⎰-)sin (cos =C x x ++cos sin 12dx x x ⎰+)1(122=dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22111=C x x +--arctan 1 13dx x x ⎰22sin cos 1=dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin 1cos 1=C x x +-cot tan 14dx xx ⎰-+4211=dx x⎰-211=C x +arcsin15dx x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++cos 21sin 1=C x x x ++-sin 21cos 4. 求下列不定积分1 dx x ⎰-25)2(=)2()2(25x d x ---⎰=C x +--27)2(722⎰-2)21(x dx =⎰---2)21()21(21x x d =C x +-)21(213⎰-232x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛2231323x x d =C x +23arcsin 314 ⎰-x dx cos 1=⎰2sin 22x dx =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛2sin 22x x d =C x +-2cot5dx a x⎰3=)3(313x d a x ⎰=C a ax+3ln 31 6 dx x x x ⎰+--3122=⎰+-+-3)3(22x x x x d =C x x ++-3ln 2 7 dx e e xx ⎰--+)(2=C e e x x +----221 8 dx a x ⎰-)5sin 5(sin =C a x x +⋅--5sin 5cos 519dx x x⎰-21=⎰---221)1(21x x d =C x +--2110 dx x x ⎰+⋅3321=)1()1(313313x d x ++⎰=C x ++343)1(4111 dxx x⎰+44=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰222221141x d x =C x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛2arctan 412 12dx x x ⎰+)1(1=()⎰+212xxd =C x +arctan 213dx xe x ⎰-2=)(2122x d e x --⎰-=C e x +--22114dx xx ⎰3cos sin =)(cos cos 23x d x ⎰--=C x +-21cos2=C x+cos 215dx x x ⎰⋅42cot sin 1=())(cot cot 41x d x ⎰--=()C x +-43cot 34 16dx x x ⎰+21arctan =)(arctan arctan x d x ⎰=C x +2)(arctan 2117 dx e e x x ⎰-+1=dx e e x x ⎰+12=⎰+2)(1x x e de =C e x+arctan 填空题5 18 dx xxx ⎰-+-11ln 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎰x x d x x 11ln 11ln 21=C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+211ln 41 19dx x x ⎰+-)3)(1(1=dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--311141=()C x x ++--3ln 1ln 41=C x x ++-31ln 4120dx x x ⎰++)2)(1(122=dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+211122=C x x +-2arctan 21arctan 21dx x x ⎰sin 3sin =()dx x x ⎰--2cos 4cos 21=C x x +⎪⎭⎫⎝⎛--2sin 214sin 4121=C x x +-4sin 812sin 41 22 dx x ⎰4sin =dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-222cos 1=()d x x x ⎰+-2cos 2cos 21412=C x x x ++-4sin 3212sin 418323dx x ⎰5cos =x d x sin )sin 1(22⎰-=x d x x sin )sin sin 21(42⎰+-=C x x x ++-53sin 51sin 32sin 24 dx x ⎰3tan =dx x x ⎰-)1(sec tan 2=dx x x d x ⎰⎰-tan tan tan =C x x ++cos ln tan 21225 dx x e x⎰21=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰x d e x 11=C e x +-126 ()dx xx 1ln 2⋅⎰=()()x d x ln ln 2⎰=()C x +3ln 31 27dx x e x ⎰cos sin =x d e xsin sin ⎰=C e x +sin 28dx x ⎰-2941=dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-32132141=C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++--32ln 3132ln 3141=C x x +-+3232ln 121 29⎰-221)(arcsin x x dx=⎰2)(arcsin )(arcsin x x d =C x +-arcsin 130⎰+-222x x dx=⎰+--1)1()1(2x x d =C x +-)1arctan(31 dx e e x x ⎰++221)1(=dx e e e x x x ⎰+++22121=dx e e x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)(121=C e x x++arctan 2 32 dx x x x ⎰--+32722=dx x x x x x ⎰--++--32102)32(22=dx x x x x ⎰--+-+3212)22(2=⎰⎰--------+2222)1(2)1(1232)32(x x d x x x x d x =C x x x x x +---+⨯⋅---+)1(2)1(2ln 2211232ln 2=C x x x x x +-+---+31ln332ln 2 5. 求下列不定积分1 dx x x ⎰-⋅321ux du dx =--======1令du u u ⎰⋅--312)1(=du u u u ⎰+--)2(373431=C u u u +-+-31037341037643=C x x x +---+--3103734)1(103)1(76)1(43。
医用高等数学(第三版)习题解答
医用高等数学（第三版）习题解答习题一1( 求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x，2)(x,1)x,,2x,1的定义域为。
(,,,,2],[1,，,)(2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4。
的定义域为[2,4]x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x，2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。
(,,,,2),(1,，,)ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
[,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0,2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x,xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。
D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。
222221,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。
,,,,13333，，,0,x,,13,0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定2k,,x,(2k，1),,kf(sinx)D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。
,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。
0,lnx，1,1220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。
f(x),1,x,1312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。
医用高等数学习题指导答案
医用高等数学习题指导答案医用高等数学习题指导答案在医学领域中，数学作为一门重要的工具学科，被广泛运用于各种医学研究和临床实践中。
医用高等数学作为医学生的必修课程之一，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
然而，由于数学知识的抽象性和复杂性，许多医学生在学习过程中会遇到困难。
因此，本文将为医用高等数学习题提供一些指导答案，帮助医学生更好地理解和掌握数学知识。
一、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x的导函数f'(x)。
解：首先，我们需要使用求导法则来求解该题目。
根据求导法则，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，其导函数为f'(x) = anx^(n-1)。
因此，对于本题目中的函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，我们可以得到其导函数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 3。
2. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导函数f'(x)。
解：对于三角函数的求导，我们需要使用三角函数的导数公式。
根据导数公式，sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。
因此，对于本题目中的函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以得到其导函数为f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、积分与定积分1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x的不定积分F(x)。
解：不定积分是求函数的原函数，即求导的逆运算。
根据不定积分的求解方法，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，其不定积分为F(x) = (a/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
因此，对于本题目中的函数f(x) = 3x^2+ 2x，我们可以得到其不定积分为F(x) = x^3 + x^2 + C。
2. 求函数f(x) = e^x的定积分∫[0,1]f(x)dx。
医用高数精选习题(含答案)4~5
高等数学第4-5章作业一、计算下列各积分1. 计算⎰xdx x cos 22.）＞1(112x dx x x⎰- 3、dx x b x a ⎰+2222cos sin 1, a,b 不全为零的非负常数4. 计算⎰π⋅20sin 2cos dx x x . 5. 计算 ⎰+edx x x 12)ln 1(1. 6. 计算dx xx x e ⎰+122ln 7. 计算 dx x x ⎰+π02cos 1sin 8. 计算 dx x x x ⎰-++1123211sin 9. 设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=011011)(x e x xx f x，求⎰-20)d 1(x x f10. 计算 ⎰102d arctan x x x 11.⎰+1022d )1ln(x x x12. 计算⎰102d )(arcsin x x 13. 计算x e x x d 132⎰14. 计算dx x x ⎰++3011 15. 计算⎰-2ln 01dx e x二、应用1. 求由曲线e x e x x y ===,/1,ln 和x 轴所围成图形的面积。
2.过点)0,1(-作曲线x y =的切线，求此切线与曲线x x y ,=轴所围成的图形面积。
3. 求由曲线x e y =和该曲线的经过原点的切线以及y 轴所围成图形的面积，及该图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积4. 设曲线xy 3=和直线4=+y x 围成一平面图形D, 求D 的面积及D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积5. 抛物线方程为 24x x y -=1）问抛物线上哪一点处的切线平行x 轴，并写出切线方程。
2）求抛物线与切线及y 轴所围成平面图形的面积。
3）求该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积。
四、选择题1．设函数)(x f 的一个原函数为2x ，则=')(x f （ ）A ．2B ．x 2C ．33xD ．124x2．设)(x f 一个原函数为,2x 则⎰='dx x f )(（ ）A ．x 2B ．33x C ．C x +2 D ．C x +333．⎰=x xd cos cos （ ） A ．C x +sin B ．C x +2cos 21 C ．C x +cos D ．C x+2cos 214．='⎰dx x f d)(（ ）A ．)(x fB ．C x f +)( C ．dx x f )('D ．)(x f '5．不定积分=⎰x xxd ln 2（ ） A ．C x +2ln 2 B ．C x +3ln 21 C ．C x +3ln 3 D ．C x +3ln 316．=+⎰)1(d x x x （ ）A ．C x +arctan2 B ．C x +arctan C ．C x +arctan 21D ．C x arc +cot 27．若c x F dx x f +=⎰)()(，则dx e f e x x )(--⎰=（ ）A ．c e F x+)( B ．c e F x+--)( C ．c e F x+-)( D ．c xe F x +-)( 8．设)(x f 有原函数x x ln ，则⎰=x x xf d )(（ ）A ．C x x ++)ln 4121(2B ．C x x ++)ln 2141(2 C ．C x x +-)ln 2141(2 D ．C x x +-)ln 4121(2 9．⎰=+x exd 11（ ） A ．C e e x x ++-)1ln( B ．C e x x ++-)1ln( C ．C e x ++)1ln( D ．以上答案都不正确10．若⎩⎨⎧<≥=0,0,)(x e x x x f x ，则⎰-=21d )(x x f （ ）A ．e +3B ．e -3C ．e13+ D ．e 13-11．=⎰ba x x xd arctan d d （ ） A ．x arctan B ．211x+ C ．a b arctan arctan - D ．0 12．=-+⎰-22235]4)([sin dx x x （ ）A ．π2B ．πC ．π3D ．π4 13．=-⎰x x d 231（ ）A ．0B ．1C ．2D ．π 14．=+-⎰202d 44x x x （ ）A ．0B ．1C ．2D ．π 15．下列广义积分收敛的是（ ）A ．⎰∞+1d 1x xB ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+1d x x16．广义积分=⎰+∞+011dx x （ ） A ．不存在 B ．1- C ．1 D ．0 17．下列( )是广义积分 A ．⎰e xx x 1ln d B ．⎰--113d )1(x x C ．⎰212d 1x x D ．⎰21d xe x1． A 2． C 3． B 4． C 5． D6． A 7． B 8． B 9． B 10．D 11．D 12．A 13．B 14． C 15． C 16． A 17． A。
医用高等数学题库
医用高等数学题库第一章函数与极限1．设，求，并作出函数的图形。
2．设，，求，并作出这两个函数的图形。
3．设，求。
4．试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）（2）5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）（2）6．设。
试求下列复合函数，并指出x的取值范围。
7．已知对一切实数x均有，且f(x)为单调增函数，试证：8．计算下列极限：（1）（2）（3）9．（1）设，求常数a，b。
（2）已知，求a，b。
10．计算下列极限：（1）（2）（x为不等于零的常数）（3）（4）（5）（k为正整数）11．计算下列极限：（1）（2）（3）（4）（k为常数）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）12．当时，无穷小1-x和（1）（2）是否同阶？是否等价？13．证明：当时，有（1）（2）14．利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）（n，m为正整数）（2）15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在：（1）（2）16．讨论下列函数的连续性：（1）的连续性（2）在x=0处的连续性17．设函数在[0，2a]上连续，,试证方程在[0，a]内至少存在一个实根。
18．设函数在开区间（a，b）内连续，，试证：在开区间(a，b)内至少有一点c，使得（其中）。
第二章导数与微分1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：（1）（2）2．设存在，求3．设，问a，b为何值时，在x=0处可导？4．已知，求及，并问：是否存在？5．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
6．问当系数a为何值时，抛物线与曲线相切？7．求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲线在点处的切线方程和法线方程。
医用高等数学练习题2
一、一阶微分方程之可分离变量的微分方程求下列方程通解二、一阶微分方程之一阶线性微分方程一阶线性齐次方程一阶非线性齐次方程求下列方程通解三、一阶微分方程之伯努利方程四、二阶微分方程之可降阶的微分方程五、二阶微分方程之二阶常系数线性齐次方程六、二阶微分方程之二阶常系数线性非齐次方程将其代入上式，令等式两端x的同次幂的系数相等，得到以为未知数的联立方程组，最后确定这些系数，求出特解利用欧拉公式，，上述两个结论也可推广到高阶方程的情形.七、微分方程的应用（1）一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m ,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间。
（2）从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为m,体积为B,海水比重为，仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k ( k> 0 ) ,试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).八、齐次方程可化为齐次方程的方程九、二元函数的极限一十、二阶偏导数一十一、全微分一十二、多元复合函数求导的链式法则一十三、二元函数微分学在几何上的应用1、空间曲线的切线与法平面2、曲面的切平面与法线一十四、二元函数的极值一十五、二重积分的计算1、D为 X –型区域2、D为Y –型区域3、利用极坐标计算二重积分一十六、二重积分的应用3、转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J表示，单位为kg·m2。
对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
（3）求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常数μ）对于其直径边的转动惯量.一十七、三重积分的计算1、投影法2、截面法。
医用高等数学教材例题
医用高等数学教材例题在医学领域中，数学与统计学的应用日益广泛，从医疗设备的设计到疾病模型的建立，数学都扮演着重要的角色。
而医用高等数学教材中的例题是帮助医学生理解和应用数学概念的重要工具。
下面将介绍一些常见的医用高等数学教材例题，并通过解析说明其在医学中的应用。
1. 题目：求解微分方程已知某连续血糖监测仪测量的血糖浓度变化满足微分方程：\[ \frac{dC}{dt} = -k(C-C_0) \]其中，C表示血糖浓度，t表示时间，k为常数，C_0为初始血糖浓度。
解析：这是一个一阶线性微分方程，通过求解该微分方程，我们可以得到血糖浓度随时间的变化规律。
这对血糖控制及糖尿病患者的治疗具有指导意义。
2. 题目：概率统计与医学诊断某疾病的检测结果通过检验可以分为阴性（正常）和阳性（患病）。
已知该检测方法的灵敏度为98%，特异度为95%。
假设该疾病的发病率为0.2%，求以下概率：（1）一个人被诊断为阳性，真正患病的概率是多少？（2）一个人被诊断为阴性，但实际上患病的概率是多少？解析：这是一个涉及医学诊断中的概率统计问题。
通过概率统计的方法，我们可以评估出现阳性或阴性结果与实际患病情况之间的关系，从而提高医学诊断的准确性。
3. 题目：最小二乘法与医学影像处理某医学影像处理算法通过最小二乘法拟合出一条曲线，以辅助医生对疾病进行诊断。
已知医学影像数据点为{(x_i, y_i)}，曲线方程为y =a + bx，其中a和b为待定常数。
试求解最小二乘问题，拟合出最优曲线。
解析：最小二乘法是一种常用的数学工具，可以通过最小化残差平方和来寻找最优的拟合曲线。
在医学影像处理中，通过最小二乘法，我们可以获得最佳的拟合曲线来辅助医生对疾病进行诊断。
4. 题目：矩阵运算与医学图像处理某种医学图像处理方法使用了线性变换矩阵来对图像进行处理。
已知原始图像矩阵为X，处理后的图像矩阵为Y，线性变换矩阵为A。
试通过矩阵运算，求解Y的表达式。
医用高等数学教材习题答案
医用高等数学教材习题答案高等数学是医学专业中的一门重要课程，它为学生打下了坚实的数学基础，为日后的医学研究和临床实践奠定了基础。
然而，作为一门难度较大的学科，高等数学的习题解答一直是学生们头疼的问题。
因此，编写一本医用高等数学教材的习题答案是非常有必要的。
本教材的习题答案采用了以下格式：一、选择题1. A2. B3. C4. D5. A6. B7. C8. D9. A 10. B二、填空题1. 52. 93. 64. 35. 86. 27. 48. 79. 1 10. 10三、计算题1. 解：首先，根据给定条件，我们可以列出方程：2x + y = 10x - y = 2解这个方程组可以使用消元法。
我们将第二个方程乘以2，得到： 2x - 2y = 4然后将这个方程与第一个方程相加：2x + y + 2x - 2y = 10 + 4化简得：4x - y = 14再将这个方程与第一个方程相减：(2x + y) - (4x - y) = 10 - 14化简得：3x = -4解这个一元一次方程，得到：x = -4/3将 x 的值代入第二个方程，得到：y = 2 - (-4/3) = 14/3因此，方程的解为：x = -4/3，y =14/3。
2. 解：首先，我们要求解函数 f(x) 的导数。
根据链式规则：f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)因为 g'(x) = 2x 和 h(x) = sin(x)，所以我们有：f'(x) = 2sin(x) * cos(x)注意，这里我们使用了三角函数的导数公式。
然后，我们将 f'(x) 置为零并求解：2sin(x) * cos(x) = 0由于 sin(x) 和 cos(x) 不可能同时为零，所以我们得到两个解： sin(x) = 0 或 cos(x) = 0当 sin(x) = 0 时，x 的取值可以是 0，π，2π，...，即x = nπ，其中n 是整数。
医用高等数学练习题
你们的学委终于要有点作为了，干了整整两个晚上终于把高数前四章的整理完了。
算是给大家学习的一点参考吧，每一点下的题会是1道，5道或是9道，出题的时候我给自己这样规定是想给大家这样一个信念：高数不难，题目就这么几道。
所以我把这个文档取名159数学练习题。
出题时我也不知道重点在哪里，只是尽可能把我们所学的都囊括进去，题号上有*的是我觉得不太重要的。
瑕疵之处大家见谅。
一、平面1. 过三点（1，1，1），（1，-1，-1）和（2，1，-1）的平面2. 设平面与x,y,z 三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a ≠0，b ≠0，c ≠0），求此平面方程.3. 过点（1，0，3）与向量（2，-2，5）垂直的平面4. 经过点（1，0，1）且过直线 的平面5. 设P1（X1，Y1，Z1）是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求P1到平面的距离。
二、直线1. 过点（-3，2，1）且与平面2x -2y+5z=17垂直的直线2. 平行于直线 且过（5，6，0）的直线3. 过点（0，2，4）且过两平面x+3z -1=0和2x+y+z -6=0都平行的直线33020x z y z --=⎧⎨-=⎩4520310x z y z -+=⎧⎨++=⎩4. 过点（1，0，1）且与 垂直相交的直线5. 求直线 与直线 的公垂线方程三、极限1. 2.3. 4.5. 6.7. 8.9.四、导数及微分1.证明2.求 的导数3.求 的导数4. ,求5. ，求 32020x z y z --=⎧⎨-=⎩131:20x z L y --==21210x y L z +-==：3221lim 53x x x x →--+3232342lim 753x x x x x →∞+++-220()lim h x h x h→+-21lim sin x x x→∞1lim(1)(kxx k x→∞-为正整数）12301)1lim cos 1x x x →+--（()()sin tan lim11x x x →---2201cos(1)lim (13)x x e In x →---11cos0tan lim()xx x x-→()'cos sin x x =-2cos y x Inx x =()arctan x y e =5723=0y y x x +--0x dy dx =⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin cos cos sin x x x f x x x x+=-'2f π⎛⎫⎪⎝⎭6. ，求7.求 该参数方程所确定的函数的导数 8. 求9.近似计算*五、微分中值定理设 。