第九章第五节函数展开成幂级数
函数的幂级数展开及一致收敛问题
一、函数的幂级数展开1、若f(x)能展开成幂级数，则展开的形式只能是：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=2、f(x)展开成幂级数要求f(x)在x0点附近任意阶可导3、f(x)在x0处任意阶可导，所得到的幂级数未必就是f(x)，如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(2/1x x e x f x4、若f(x)在x0附近具有n+1阶导数，则有n 阶Tailor 公式：10)1(000)()()!1()( ,)(!)()(++=-+=+-=∑n n n n nni i x x n fR R x x n x fx f ξ注：（1）推导上述公式（2）上述公式当n=0时，就是拉格朗日中值定理（3）公式表明：可导的函数f(x)可以用一个多项式来近似表示，其误差为|Rn| （4）若f(x)任意阶可导，Tailor 公式还可以一直写下去，得到的级数称为泰劳级数（总有Rn ）5、泰劳定理：任意阶可导的函数nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=的充要条件是0→n R证明：（充分性）由泰劳定理，有n n R x S x f +=)()(令n →∞，有0)(!)(lim )(lim )(000)(+-=+=∑∞=∞→∞→nn n n n n n x x n x fR x S x f(必要性) 由n n R x S x f +=)()(，即)()(x S x f R n n -=若)(lim )(!)()(000)(x S x x n x fx f n n nn n ∞→∞==-=∑，则nn n n n n n x x n x fx S x f R )(!)()(lim )(lim 000)(-=-=∑∞=∞→∞→注：（1）本定理表明给出了f(x)能展成幂级数的充要条件有两个： (i)可导 (ii)余项无穷小（2）当x0=0时，所得的级数称为马克劳林级数（更常用） （3）本定理也给出了将f(x)展开幂级数的方法： (i) 求f (n)(x) （若某个不存在，则终止） (ii) 写出幂级数(iii) 求出幂级数的收敛区间 (iv) 在收敛区间内，验证Rn →0(v) 写出完整的等式（在收敛区间内成立！！） 举例: （1）e x （P219图）（2）sin x（3）(1+x )a （余项为0不好验证！！）另一验证方法：(i) 求出绝对收敛域f(x)=“二项式级数” （-1，1）(ii) 求f ’(x)(iii) 两端同乘(1+x)，并整理次序（因绝对收敛），其中，利用!)1()1(!)()1()!1()1()1(n n m m m n n m m n n m m +--=--+-+--(iv) 令g(x)=f(x)/(1+x)m ，验证g(0)=1，g ’(x)=0 (v) 进而证明f(x)=(1+x)m展成幂级数的间接展开法：举例：1、变量代换法2、恒等式（函数关系法）3、导数、积分关系法展成一般幂级数的方法：举例：1、将sinx 展成(x-π/4)的幂级数 2、将1/x 展成(x-1)的幂级数二、幂级数展开的应用1、近似计算： P224例1~52、Euler 公式：（1）nn zzn e∑∞==!1（2）yi y y n i y n iy n en n n n n n nn iysin cos )!12()1()!2()1()(!1120200+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+∞=∞=∞=∑∑∑（3）2sin ,2cosixixixixe ex e e x ---=+=（4）)sin (cos y i x e e e e x iy x iy x +==+4、将e xcos x 展成x 的幂级数： 解：因为nnn xi xi xx i n e ex e⎪⎭⎫⎝⎛+===∑∞=++)4sin4(cos2!1ReRe Re cos 0)4sin4(cos2)1(ππππ()!4c o s24s i n 4c o s 2!Re!)1(Re2/0n xn n i n n xxn i nn n nnn n πππππ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=三、函数的一致收敛性例1 级数⎩⎨⎧=∈=+-++-+-+=-1,1)1,0[,0)()()()(1232x x xxx xx xx x f n n。
幂级数展开式步骤
幂级数展开式步骤
幂级数展开式的步骤可以归纳如下：
1. 确定展开中心：确定幂级数的展开中心，通常选择一个容易计算的值，例如0或者某个特定的数。
2. 写出幂级数的通项公式：假设需要展开的函数为f(x)，则幂级数的通项公式可以表示为形如a_n*(x-c)^n的形式，其中
a_n为系数，n为幂次，c为展开中心。
3. 计算每一项的系数：根据所给函数f(x)和展开中心c，计算得到每一项的系数a_n。
可以通过求导、积分或者其他方法来计算系数。
4. 将通项公式写成累加形式：将每一项的通项公式写成累加形式，即将每一项的系数与幂次相乘，并将所有项进行求和。
5. 确定展开的范围：确定展开的范围，通常为使得幂级数能够收敛的范围。
需要注意的是，幂级数展开式是一种近似表示，其精确度取决于所选择的展开中心和截断的项数。
当展开中心与需要展开的函数在展开范围内足够接近时，幂级数展开可以通过有限项来近似表示原函数。
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
函数的幂级数展开式
1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展 成 开 麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得， 归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
将函数ln(1+x)展开成幂级数的方法
将函数ln(1+x)展开成幂级数的方法现在，让我们来讨论如何将函数ln(1+x)展开成幂级数。
首先，我们来看看ln(1+x)是什么意思？ln(1+x)是以自然对数e为底的对数，其中1+x是参数，返回的值是ln(1+x)的值。
接下来，我们来看看如何将函数ln(1+x)展开成幂级数。
首先，我们要先明确的是，ln(1+x)的展开式是无穷级数，其格式如下：ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xn/n其中，n表示指数，x 表示参数，上式中的分母表示指数，而分子表示幂次。
接下来，我们来看看如何计算ln(1+x)的展开式，首先，我们要计算出n次幂的值，即xn，其计算公式为：
xn=x×x×x×…×x其中，x表示参数，n表示指数。
最后，我们要计算出ln(1+x)的展开式，首先，我们要计算出n次幂的值，即xn，其计算公式为：
ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xn/n其中，n表示指数，x表示参数，上式中的分母表示指数，而分子表示幂次。
以上就是关于如何将函数ln(1+x)展开成幂级数的介绍，总的来说，计算ln(1+x)的展开式需要通过计算n次幂的值，即xn，然后按照上述公式求出上式的值。
最后，我们可以得到ln(1+x)的展开式，从而实现我们的目的。
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
函数的幂级数展开式的应用
常用方法: 常用方法 1.若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数,则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决; 2.若不是交错级数 则放大余项中的各项 使之成 若不是交错级数,则放大余项中的各项 若不是交错级数 则放大余项中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 从而求出其和. 为等比级数或其它易求和的级数 从而求出其和 例1 计算 的近似值 使其误差不超过 −5. e , 10 解
1 2 1 n ∵ e = 1 + x + x + ⋯ + x + ⋯, 2! n!
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余项: 余项
rn +1 1 1 1 1 = + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
−5
欲使 rn + 1 ≤ 10
即 n ⋅ n! ≥ 10 5 ,
1 ≤ 10 − 5 , ,只要 n ⋅ n!
而 8 ⋅ 8! = 322560 > 10 5 ,
1 1 1 ∴e ≈ 1+ 1+ + +⋯+ ≈ 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x ≈ x − 计算sin90的近似值 , 3! . 并估计误差 π 1 π 3 π 0 解
函数能展开成幂级数的条件(一)
函数能展开成幂级数的条件(一)函数能展开成幂级数的条件•在多项式上的连续性如果函数在某一点的定义域内有n阶连续导数，则该函数在该点处的泰勒级数收敛，并且收敛到该函数的值。
即该函数在该点处可展开成幂级数。
•在整个区间上足够光滑如果函数在某一区间上有无穷阶导数，则该函数在该区间上可展开成幂级数。
•柯西-阿达玛公式如果函数在其收敛半径内是解析的，则该函数可展开成幂级数。
•该函数在其收敛半径上是一致收敛的如果函数在其收敛半径上是一致收敛的，则该函数可展开成幂级数。
•拐点如果函数在某一点有拐点，则该点处的函数不能展开成幂级数。
•收敛半径若幂级数在x=a处收敛，则收敛半径为|a|。
因此，函数能否展开成幂级数不仅取决于函数自身的性质，还与展开点的位置有关。
小结函数能否展开成幂级数有一定的条件，需要函数在展开点及其周围区域内足够光滑。
同时也需要注意展开点的位置对于收敛半径等参数的影响。
这些条件和注意事项可以在实际使用中加以考虑，以更好地应用幂级数展开。
•事例例如函数f(x)=e−1x2，在x=0处不可展开成幂级数，因为其在x=0处有拐点，不满足展开条件。
又如f(x)=ln(1+x)，在x=−1处无法展开成幂级数，因为其展开点在其收敛半径上，不满足一致收敛的条件。
•应用幂级数展开在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理中，可以利用幂级数展开对于复杂的物理现象进行近似计算。
在工程中，可以通过幂级数展开得到准确的函数逼近，并利用其对于复杂的模型进行快速而准确的计算。
结语以上对于函数能展开成幂级数的条件做出了简单的介绍，希望能对于读者有所帮助。
在实际应用中，需要综合考虑多方面因素，以确保幂级数展开的准确性和稳定性。