递推法证明不等式
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点5数列单调性的判断方法(五)——递推法
专题1 数列的单调性微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法12n n nn x x x ++++；112n b ⎛⎫− ⎪⎭⎝，若在k b 与m b m ++−n a (,m n ∈N参考答案：()1122941n a a −−⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅⋅+由10a >可得若21a a >，即，解得10a <<即当10a <<，此时数列k由③知∑是递增数列．21c c >>>>，11024， 是单调递增；当10n ≥时3n n++，由此利用错位相减法能求出）问得到m =)N n *∈时，12212333n n nn nnx x x +++++=+++，① 1133n n n n+−+++，② 211111()1111133(11333332313n n n n n n n ++⎡⎤−⎢⎥⎣⎦+++−=−=−−． m ，n ，使T 11m +=+112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭从而求得n t 的最大值，项,然后对{2k k +++=，当9k =时的情况即可求得是等比数列，且各项均为正数，所以112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭11142n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭112n ⎫⎛⎫⎛−⎪⎪⎭⎝⎭⎝224848n n n +=+233λ<<，2k k +++=9922−=+， 2019=m b ++，设m b m ++−212222m mm b m ++=++++， 22222m m +++，则2311212222m m T −=++++21111111112222222m m m m m m T ++=+++−=−−=2222222m m mm mb m m m ++++−=+−−=−，22mm+−，N *m ∈， 2122222m m ++++=−−+77922S =−21n b −+++112n ⎛ −+−⎝121n +单调递减，23=−，显然b,a ()3,⎫+∞⎪⎪⎭②，②－①即得()3,⎫+∞⎪⎪⎭考查数列的单调性的判定和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平(8n n b ++=256125125()2()()940n n b b b b b b b b b b n n ++−++=+++−++++=−+9,15940,6n n n n +≤≤+≥；）由题知12111(1)(1)(1)222n nA a a a =−−−， 21n +，则111()21(1)(1)(1)22ng n n a a =+−−−， (21)2(22)2n n n n ++3(1)g =都成立，则3a >.。
题目8递推不等式求数列极限问题
初看题目的结论，我们很容易反应出一个思路---单调有界数列必有极限。
因为除此之外，我们也没有其他方法来处理。
可是看看这个题目的条件，给的并不是递推式，而是一个递推不等式。
这该如何处理。
我们先不妨把这个题分解成两步来做。
第一步先证明其是有界的，题目已经告诉这个数列是正值的，所以每一项都大于0！然后根据不等式lnxn<1-1/xn+1<1可以得出xn<e，所以这个数列也是有上界的。
至此，有界这一部分也成功做出来了，这也是比较容易的一部分！下面来处理比较难的，单调性的处理！首先不得不说，这道题目给的递推不等式，不能再使用递推式的那种方法来证，但是思想方法不变！观察下条件的结构一个是对数函数lnx，另一个是反比例函数1/x，从解方程的角度来看，这算是一个超越方程了，一般是无法解出来具体值的。
况且我们也没必要求出具体值。
我们不妨先将xn与xn+1的式子分别在不等号两端。
这个时候，我们希望能够出现另一个不等式如果能实现这个目标的话，那么我们的单调性也就出来了。
于是，我们考虑构造辅助函数f(x)=lnx+1/x-1然后研究其单调性以及极值。
然后得到以下的解法！（下一页）不得不说，这是一道很好的题目，不但打破了传统的递推式数列，也让我们了解到了，如何将题目的条件分析更能清晰化思路。
总的说来，这道题仅仅考察了一个很简单的知识点—单调有界函数必有极限。
可是考察的数学思想却很深入，题目难度不小，因为平常训练相对较少，往往都是根据递推式而求极限。
简单的知识点与纯粹的数学思想，构造成了这道美妙的题目！此外，如果大家对于一个不等式很熟悉的话，那么对做这道题也是很有帮助的！1-1/(x+1)<ln(x+1)<x.注意到左边的那个不等号，是不是和题目的条件很相似啊！所以我说，平时记住一些小结论，对于解题也会有意想不到的作用！下面看道类似的题目。
证明数列不等式的若干方法
２０ ０ ２年 第 １ 期
ｌ ７
证 明 数 列 不 等 式 的 若 干 方 法
王 延 文
（ 天津师范大学教务 处 ，０ ０ ４ ３０ ７）
数 列 是 中学 Байду номын сангаас 学 中 的一 个 重 要 课题 ， 也
是数学竞赛的热点 内容之一． 中， 其 有关数歹 Ｕ 不等 式 的证 明 问题 ， 需 要 证 明 不 等 式 的基 既 本思 路 和 方 法 ， 要 结 合 数 列 本 身 的 结 构 和 又 特点 ， 着较 强 的技 巧 性 ． 文拟 结 合 具 体实 有 本 例， 分析 证 明数 列 不 等式 的若 干方 法 ．
ｋ＋ １ ０ ．ｋ＋ １ １
。 ＋丁 了
例 ５ 设数 列 ｛ ， 满 足 ａ ａ， ｝ ＋１ ∈Ｎ） 求证 ： （ ．
１， ａ １＝ ａ… ＋
＝ （ 去≤ ＋）１ 了－ ）导１１ ０ ８＋ ．
问题 得证 ． ４ 利 用 放 缩 法
≥２丽 （
“
一１ ． ）
例 ７ 已知数 列 ｛ ｝ 足 ａ ａ 满 ＝１ ａ ＝ ，
，
．
３ ５ｎ
维普资讯
１ ８
中 等 数 学
．
１ ＞０且 ５ｆｌ ７ Ｃ＿ ＞ ，
于是 ，
关于 口 的递推关系 ， 然后证明结论
口 ＋ ＝
ｉ ＋∑ （ ＋
＝０
：
∑ ＋ １一 ｋ ２
＝１
＝ 一 ：
，
或 以＝ ∑ （ 一 。 以＋ ） 等．
例 ３ 定 义数 列 ｛ ｝ 以 如下 ：
１
以 ｌ＝ —
，
２ 以 ＝（ ｋ一３ 以 一 ． ｋ女 ２ ） 女。（ ≥２ ）
数学不等式题解题技巧和突破方法
数学不等式题解题技巧和突破方法数学不等式题在高中数学中占有重要地位，也是考试中常见的题型之一。
解不等式题需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧和突破方法。
1. 分类讨论法不等式题中常常需要对不同情况进行分类讨论，以找到合适的解题方法。
例如，当不等式中存在绝对值时，可以将其分为正数和负数两种情况进行讨论。
又如，当不等式中有分式时，可以根据分子分母的正负性进行分类讨论。
通过分类讨论，可以将复杂的不等式转化为简单的情况进行求解。
2. 套路法解不等式题时，有一些常见的套路可以帮助我们快速解题。
例如，对于形如a^2 - b^2 > 0的不等式，可以将其因式分解为(a+b)(a-b)>0，并根据乘积为正的性质得到解集。
又如，对于形如a^2 + b^2 > 0的不等式，可以直接得到解集为全体实数。
掌握这些套路可以极大地提高解题效率。
3. 变量替换法有时候，通过合适的变量替换可以简化不等式的形式，从而更容易求解。
例如，当不等式中存在平方根时，可以通过令变量等于平方根的形式，将其转化为简单的二次不等式。
又如，当不等式中存在分式时，可以通过变量替换将其转化为一次不等式。
变量替换的关键是找到合适的变量，使得不等式的形式更简单。
4. 递推法有些不等式题目可以通过递推的方式求解。
递推法的关键是找到递推关系式，通过递推关系式将问题化简为简单的情况。
例如，对于形如a^n - b^n > 0的不等式，可以通过递推关系式(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))>0得到解集。
递推法可以帮助我们快速求解复杂的不等式题目。
5. 反证法有些不等式题目可以通过反证法求解。
反证法的关键是假设不等式不成立，然后推导出矛盾的结论。
通过反证法可以排除一些不可能的情况，从而找到合适的解集。
例如，对于形如a^2 + b^2 >= 2ab的不等式，可以假设a^2 + b^2 < 2ab，然后推导出矛盾的结论，从而得出a^2 + b^2 >= 2ab的结论。
递推不等式证明极限
递推不等式证明极限在数学中，递推不等式是一种通过递推的方式证明极限的常见方法。
递推不等式的基本思想是从一个基本不等式开始，然后利用递推关系不断推导出更强的不等式，最终证明所求极限。
这种方法通常用于证明一些复杂的极限问题，特别是涉及到递归或递推关系的情况。
首先，我们先来了解一下递推不等式的基本原理。
设有一个递推序列 {an}，如果我们能够证明一个基本不等式an ≤ f(an-1) 对所有的n都成立，同时满足lim(n→∞) f(an-1) = L，那么我们就可以利用递推关系不断推导出更强的不等式 an ≤ f(f(⋯f(L)⋯))，最终证明 lim(n→∞) an = L。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示递推不等式证明极限的过程。
考虑递推序列 {an}，其中an+1 = √(n+1+an) 且 a1 = 1。
我们的目标是证明 lim(n→∞) an= 2。
首先，我们可以通过递推关系得到一个基本不等式an ≤ √(n+1+an-1)。
接下来，我们尝试证明这个不等式对所有的n都成立。
假设对于某个n，an ≤ √(n+1+an-1)成立，我们来证明对于 n+1 也成立。
通过递推关系，我们有an+1 = √(n+2+an)。
由于an ≤ √(n+1+an-1)，所以√(n+2+an) ≤ √(n+2+√(n+1+an-1))。
将这个不等式代回an+1 = √(n+2+an)中，我们得到an+1 ≤ √(n+2+√(n+1+an-1))，即an+1 ≤ √(n+1+an)。
因此，基本不等式an ≤ √(n+1+an-1) 对所有的n成立。
接着，我们来证明 lim(n→∞) √(n+1+an-1) = 2。
考虑函数f(x) = √(n+1+x)，我们有 lim(n→∞) f(an-1) = lim(n→∞) √(n+1+an-1) = 2。
因此，我们可以利用递推关系不断推导出更强的不等式an ≤ f(f(⋯f(2)⋯))，最终证明 lim(n→∞) an = 2。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
04-不动点解决递推型数列不等式问题
“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。
尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。
一、 知识方法 1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。
对定义的理解： 代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根； 几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。
2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。
二次递推：()2f x ax bx c =++一次分式递推：()ax bf x cx d+=+根式递推：()f x d =双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>> 等等。
3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。
第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。
第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()100n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。
第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1） 若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一 个度．
2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有 目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以 便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2
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分析:对 用数学归纳法。
当 时， ，故不等式成立。
设当 时不等式成立，即
我们的目标是证明：
和 的分母不一样，怎么把它们联系起来呢一个自然的想法是取 的倒数，然后尝试证明： 。因为 所以上式实为不等式 的加强。
证明（1）当 时
左边= 右边=
所以不等式成立。
（2）假设当 时，原不等式成立，即有
第二步：再证明原题，原不等式等价于
设 ，对 ，容易得道
于是，由数学归纳法知：
（*）
到此，还没有用到条件（递推式），应该考虑题目条件了，所以
另一方面，根据题设以及Cauchy不等式得到
所以， ，
对上式两部同除以 ，得到 ，所以，
从而原题得证.
评注：本题的证明过程主要在于抓住要证结论的结构特征，从而可以从构造函数入手，这是解决本题的关键所在.
关于这一点，读者简单演算便知，限于篇幅，不再赘述。
数学归纳法的实质即是递推法，递推法堪称数列不等式的“御用保镖”。
参考文献：
王向东，苏化明，王方汉。不等式的理论与方法（基础卷） 。哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2015.
历届中国数学奥林匹克试题集 .。哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2014.
证明二：
首先用数学归纳法证明
当 命题成立。
假设命题对
假设
（令
于是
由数学归纳法
原命题等价于：
（
设 ，则 为 中的下凸函数，对于
事实上，
所以，Jensen不等式可得：
即
另一方面，由题设及 不等式知道
所以 ，即
评注：在此题中命题人巧妙的将数列、数学归纳法、琴生不等式、柯西不等式、对勾函数等深刻、朴素的数学思想方法和重要的数学知识“生长点”自然有机的融合成一个协调的整体，犹如一位音乐大师指挥一支着名的管弦乐队，体现了数学创造力的本质应是一种卓越的数学结构组织能力。解此题的关键是：在对不等式结构调整后，第一步的放缩中猜测使用琴生不等式，将第一步放缩做的恰到好处。要想到这一步必需深刻理解琴生不等式的理论及应用价值：它是微积分研究曲线凹凸性的直接产物，是许多着名不等式之“根”，是许多着名不等式之“友”，也是证明诸多不等式问题的“有力武器”。这一步体现了对数学的深刻理解和良好的数学审美直觉猜测能力，用美学标准来鉴别和选择数学直觉，数学美的本质应是深刻——“满腹经纶”、简单——“低调随和”、包容——“乐于助人”。
评注2:在例3证明结论中令 ，则可等价变形出如下结论：
两边同时减去 ，有
于上式中再令 ， 可得
即
而此式即为 年高考陕西理科压轴题第 小题的实质部分：
设 是等比数列 的各项和，其中
证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 且
设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，各项和为 比较 与 的大小，并加以证明。
令
则
当 时
而
所以
所以
即
故当 时，原不等式成立。
综合（1）与（2）便知，原不等式成立。
评注1：此题解决的关键是由式子 结合题目分析构造式子 ，在直觉猜测的基础上证明该式大于 （因为当 时 充分接近 ，实际上，应有 ），进而为顺利实施归纳过渡做出了很好的铺垫，这一切需要有敏锐的代数直觉猜测力和构造能力。
递推法证明不等式
顺藤摸瓜，顺水推舟
——递推法证明数列不等式
众所周知，证明不等式的方法多种多样，技巧层出不穷，今天笔者试图给出一个较为巧妙
的好方法——递推法，此法在证明一些较为复杂的代数不等式时显得特别有效，请看
例1.（2012年第11届中国女子竞赛）设 为正整数， 为非负数，求证;
.
证明：因为 ，所以所以Fra bibliotek即结论获得证明。
例2.（2006中国数学奥林匹克）实数列 满足：
证明：
分析：从题目要证的结构看出，首先需要证明，对任意的 ，于是要分析函数 的性质，是否是单调的其次，需要构造一个函数 ，搞清楚这个函数的性质，是否是满足函数不等式的
证明一：分两步进行
第一步：先证明， .构造函数 ，因为 是单调下降的（这个很容易确定），而 ，于是， ， ，所以， .