考点14 导数与函数的极值、最值
高考数学(理)函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题(解析版)
函数与导数14 导数及其应用 恒成立及存在性问题一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。
考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述： 一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(x f 的定义域；【考点讲解】（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点； （3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立． 二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>； 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>； 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>； 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥【真题分析】在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】 由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案 】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立， 令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-+=()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x ≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==. 故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„． 由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，【模拟考场】'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a-->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e≤<． 【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=， 当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<， 当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点， 结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A 4. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围 【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由()'2320fx x x =--> 得1x >或()1,+∞（2上递减，在区间[]1,2上递增，又，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可.【答案】（1，()1,+∞ 2）7m >5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x '=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+==≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=， 所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <)a n k n --≤)n k -<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ， 所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得k =设()h x =22ln )1)((12x ag x x x a x h '=-+--+=，其中(n )l g x x -=． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0， 所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ， 解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a .（3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>， 当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln xa x>-有解，令212()ln x h x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<， ∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >． 9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f > 恒成立，求m 的取值范围.【解析 】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
第三节 导数与函数的极值、最值
第三节导数与函数的极值、最值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的极值与导数(1)函数的极小值:若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值①都小, f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧②f'(x)<0,右侧③f'(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值④都大, f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧⑤f'(x)>0,右侧⑥f'(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值.▶提醒f'(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的⑦极值;(ii)将函数y=f(x)的各极值与⑧端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)对可导函数f(x),x0为极值点是f'(x0)=0的充分不必要条件.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.()(4)闭区间上的连续函数必有最值.()(5)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值.()(6)设函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在区间(a,b)内不单调.()答案(1)√(2)✕(3)√(4)√(5)✕(6)√2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点答案C3.函数f(x)=x 44-x33的极值点为()A.0B.1C.0或1D.-1答案B4.函数y=xe x的最小值是()A.-1B.-eC.-1e D.不存在 答案 C5.函数f(x)=xln x 的极值点是x= . 答案 1e6.设函数f(x)=ln x+ax 2-32x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为 . 答案 ln 2-2解析 函数f(x)=ln x+ax 2-32x,所以f '(x)=1x +2ax-32,x=1是函数f(x)的极大值点,则f'(1)=11+2a-32=0,所以a=14, 所以f(x)=ln x+14x 2-32x,所以f '(x)=1x +12x-32,令f '(x)=0,解得x=1或x=2,当x=2时, f(x)的极小值为ln 2-2.利用导数解决函数的极值问题命题方向一 导函数与原函数的关系典例1 设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)答案 D解析 由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f '(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此时f '(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f '(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f '(x)>0,函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.命题方向二 已知函数求极值(点)典例2 (1)f(x)=12x+cos x 在(0,π)上的极小值为( ) A.512π-√32B.512π-12C.π12-√32D.π12-12(2)已知函数f(x)=2(x+1)e x +ax 2+4ax-2(a<0),讨论f(x)极值点的个数. 答案 (1)A解析 (1)因为f(x)=12x+cos x,x ∈(0,π),所以f '(x)=12-sin x,令f '(x)=12-sin x=0,得x=π6或x=5π6,所以当x ∈(0,π6)时,f '(x)=12-sin x>0, f(x)=12x+cos x 单调递增;当x ∈(π6,5π6)时, f '(x)=12-sin x<0, f(x)=12x+cos x 单调递减;当x ∈(5π6,π)时, f '(x)=12-sin x>0, f(x)=12x+cos x 单调递增,所以当x=5π6时,f(x)取极小值,且极小值为f (5π6)=12×5π6+cos5π6=5π12-√32.故选A.(2)∵f(x)=2(x+1)e x +ax 2+4ax-2,a<0,x ∈(-∞,+∞). ∴f '(x)=2(x+2)(e x +a),令f '(x)=0,得x 1=-2,x 2=ln(-a). 当ln(-a)<-2,即-e -2<a<0时,若x ∈(-∞,ln(-a)),则f '(x)>0, f(x)单调递增; 若x ∈(ln(-a),-2),则f '(x)<0, f(x)单调递减; 若x ∈(-2,+∞),则f '(x)>0, f(x)单调递增, 所以f(x)有两个极值点:ln(-a),-2.当ln(-a)=-2,即a=-e -2时, f '(x)≥0, f(x)单调递增, f(x)无极值点.当ln(-a)>-2,即a<-e -2时,若x ∈(-∞,-2),则f '(x)>0, f(x)单调递增; 若x ∈(-2,ln(-a)),则f '(x)<0, f(x)单调递减; 若x ∈(ln(-a),+∞),则f '(x)>0, f(x)单调递增, 所以f(x)有两个极值点:-2,ln(-a).故当a=-e -2时, f(x)无极值点;当a ∈(-∞,-e -2)∪(-e -2,0)时, f(x)有两个极值点.命题方向三 已知极值(点)的情况,求参数的值(范围)典例3 (1)若x=1是函数f(x)=13x 3+(a+1)x 2-(a 2+a-3)x 的极值点,则a 的值为( ) A.-2B.3C.-2或3D.-3或2(2)若函数f(x)=e xx +a(x-ln x)在(12,2)内有两个不同的极值点,求实数a 的取值范围. 答案 (1)B解析 (1)f(x)=13x 3+(a+1)x 2-(a 2+a-3)x,所以f '(x)=x 2+2(a+1)x-(a 2+a-3),由题意可知f '(1)=0,所以f '(1)=1+2(a+1)-(a 2+a-3)=0,解得a=3或a=-2,当a=3时, f '(x)=x 2+8x-9=(x+9)(x-1),当x>1或x<-9时, f '(x)>0,函数单调递增;当-9<x<1时, f '(x)<0,函数单调递减,显然x=1是函数f(x)的极值点;当a=-2时, f '(x)=x 2-2x+1=(x-1)2≥0,所以函数是R 上的单调递增函数,没有极值,不符合题意,舍去,故选B.(2)由题意, f '(x)=(x -1)(e x +ax)x 2,因为f(x)在(12,2)内有两个不同的极值点,所以f '(x)=0在(12,2)内有两个不同的解,由于x=1是f '(x)=0的一个解,所以e x +ax=0在(12,2)上只有一个不为1的解,则a=-e xx ,即函数y=a 与y=-e xx 的图象在(12,2)上只有一个交点,且交点的横坐标不为1,令h(x)=-e xx ,求导得h'(x)=e x (1-x)x 2,则12<x<1时,h'(x)>0;1<x<2时,h'(x)<0,故h(x)=-e xx 在(12,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,且h(x)<0在(12,2)上恒成立,h (12)=-2√e ,h(2)=-e 22,h(2)<h (12),故当h(2)<a ≤h (12),即-e 22<a ≤-2√e 时,y=a 的图象与y=-e xx 的图象在(12,2)上只有一个交点.当a=h(1)时,y=a 的图象与y=-e xx 的图象在(12,2)上只有一个交点,但不符合题意,需舍去.故-e 22<a ≤-2√e 时,函数f(x)在(12,2)内有两个不同的极值点.规律总结函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤:①确定函数的定义域;②求导数f '(x);③解方程f '(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f '(x)在f '(x)=0的根x 0左右两侧的值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领:①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性. 1-1 已知函数f(x)=ln x-12x 2,则f(x)( )A.有极小值,无极大值B.无极小值,有极大值C.既有极小值,又有极大值D.既无极小值,又无极大值 答案 B 由题意可得f '(x)=1x -x=1-x 2x(x>0),当x>1时, f '(x)<0,当0<x<1时, f '(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值,故选B.1-2 已知函数f(x)=sin x-a2x 2,若f(x)在[0,π2]上有唯一极大值点,求实数a 的取值范围. 解析 已知f '(x)=cos x-ax,当a ≤0时, f '(x)≥0,∴f(x)在[0,π2]上单调递增,此时f(x)在[0,π2]上不存在极值点.当a>0时, f ″(x)=-sin x-a<0,∴f '(x)在[0,π2]上单调递减,又f '(0)=1>0, f '(π2)=-π2a<0,故存在唯一x 0∈(0,π2)使得x ∈(0,x 0)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,x ∈(x 0,π2)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.此时,x 0是函数f(x)的唯一极大值点,综上可得a>0.利用导数解决函数的最值问题典例4 (1)函数f(x)=e xx -3在[2,4]上的最大值为( ) A.e 2B.e 36 C.e 413 D.2e 2(2)已知函数f(x)=e x -ax 2-bx-1,其中a,b ∈R,设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.答案 (1)A解析 (1)因为f(x)=e xx 2-3,所以f '(x)=e x (x 2-2x -3)(x 2-3)2=e x (x+1)(x -3)(x 2-3)2,令f '(x)=0,由2≤x ≤4,得x=3. 当2<x<3时, f '(x)<0; 当3<x<4时, f '(x)>0.因此,函数y=f(x)在x=3处取得极小值,也是最小值,在x=2和x=4处取得极大值, 因为f(4)=e 413=e 213·e 2<e 2=f(2),因此, f(x)max =f(2)=e 2,故选A. (2)因为f(x)=e x -ax 2-bx-1, 所以f '(x)=e x -2ax-b, 令g(x)=e x -2ax-b, 所以g'(x)=e x -2a.当x ∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a].当a ≤12时,g'(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增. 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0),g(0)=1-b; 当a ≥e 2时,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减, 因此g(x)在[0,1]上的最小值为g(1),g(1)=e-2a-b; 当12<a<e 2时,令g'(x)=0得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在[0,ln(2a)]上单调递减,在(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 综上所述,当a ≤12时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当12<a<e 2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 当a ≥e 2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b. 规律总结求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a,b]不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f '(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.2-1 已知函数f(x)=e xx +a 在(0,+∞)上的最小值为2e,则实数a 的值为 .答案 e解析 ∵f(x)=e xx +a,∴f '(x)=e x (x -1)x 2,令f '(x)>0,解得x>1,令f '(x)<0,解得0<x<1,故f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故f(x)min =f(1)=e+a=2e,解得a=e. 2-2 已知函数f(x)=x+2cos x,x ∈[0,π2], 求f(x)的最大值.解析 ∵f(x)=x+2cos x,x ∈[0,π2], ∴f '(x)=1-2sin x,x ∈[0,π2], 令f '(x)=0,又x ∈[0,π2],则x=π6, 当x ∈[0,π6]时, f '(x)≥0, 当x ∈[π6,π2]时, f '(x)≤0,所以当x=π6时, f(x)取极大值,也是最大值, 最大值为π6+√3.利用导数解决实际生活中的优化问题典例5 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意知200πrh+160πr2=12000π,(300-4r2),所以h=15r从而V(r)=πr2h=π(300r-4r3).5因为r>0,h>0,所以r<5√3,故函数V(r)的定义域为(0,5√3).(300r-4r3),(2)因为V(r)=π5所以V'(r)=π(300-12r2).5令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5√3)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5√3)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.规律总结1.利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤2.利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.3-1 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路分别为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米.以l 2,l 1所在的直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C 符合函数y=a x +b(其中a,b 为常数)模型.(1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于点P,P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y=ax +b ,得{a25+b =40,a400+b=2.5,解得{a =1 000,b =0.(2)①由(1)知,y=1 000x 2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为(t,1 000t ),设公路l 分别交x 轴,y 轴于A,B 两点,如图所示,又y '=-2 000x 3,则直线l 的方程为y-1 000t 2=-2 000t 3(x-t), 由此得A (3t 2,0),B (0,3 000t 2). 故f(t)=√(3t 2)2+(3 000t )2=32 √t 2+4×106t 4,t ∈[5,20].②令g(t)=t 2+4×106t ,t ∈[5,20], 则g'(t)=2t-16×106t 5.令g'(t)=0,解得t=10√2.当t ∈[5,10√2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t ∈(10√2,20]时,g'(t)>0,g(t)是增函数.所以当t=10√2时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min =300,此时f(t)min =15√3.故当t=10√2时,公路l 的长度最短,最短长度为15√3千米.A 组 基础题组1.函数f(x)=13x 3-4x+4的极大值为( ) A.283 B.6 C.263 D.7 答案 A f '(x)=x 2-4=(x+2)(x-2),令f '(x)=0,得x=-2或x=2,则f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)的极大值为f(-2)=283.2.函数y=x e x 在[0,2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2C.0D.2√e 答案 A 易知y'=1-x e x ,令y'>0,得0≤x<1,令y'<0,得1<x ≤2,所以函数y=x e x 在[0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=x e x 在[0,2]上的最大值是1e ,故选A.3.已知函数f(x)=e x -x,x>0,下列结论正确的是( )A.函数f(x)有极小值B.函数f(x)有极大值C.函数f(x)有一个零点D.函数f(x)没有零点答案 D 因为f(x)=e x -x,所以f '(x)=e x -1,又x>0,所以f '(x)=e x -1>0,即函数f(x)=e x -x 在(0,+∞)上单调递增,且f(x)min >f(0)=1>0,故函数f(x)无极值,且函数无零点.故选D.4.已知函数f(x)=2ln x+ax 2-3x 在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为( )A.2B.-52C.3+ln 2D.-2+2ln 2答案 B 由题意得, f '(x)=2x +2ax-3,∴f '(2)=4a-2=0,解得a=12,∴f(x)=2ln x+12x 2-3x,f'(x)=2x +x-3=(x -1)(x -2)x ,令f '(x)>0,得x ∈(0,1)或x ∈(2,+∞),令f '(x)<0,得x ∈(1,2),∴f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴f(x)的极大值为f(1), f(1)=12-3=-52.故选B.5.若函数f(x)=e x -ax-a 2在R 上有小于0的极值点,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)答案 B 由f(x)=e x -ax-a 2得f '(x)=e x -a,因为f(x)=e x -ax-a 2在R 上有小于0的极值点,所以e x -a=0有小于0的根,则0<a<1,所以选择B.6.函数f(x)=lnx x 在区间(0,3)上的最大值为( ) A.1e B.1 C.2 D.e答案 A f '(x)=1-lnx x 2,令f '(x)=0,得x=e,当0<x<e 时,f '(x)>0;当e<x<3时,f '(x)<0,则f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,3)上单调递减.故x=e 为极大值点,又在区间(0,3)上有唯一极大值点,故为最大值点,所以最大值f(e)=1e ,故选A. 7.函数f(x)=√3x+2cos x 在区间[0,π2]上的最大值是( )A.π6+√3B.π3+1 C.√3π3+1 D.√3π6+1 答案 C f '(x)=√3-2sin x,令f '(x)=0,得x=π3,当x ∈[0,π3)时, f '(x)>0,当x ∈(π3,π2]时,f '(x)<0,故f(x)=√3x+2cos x 在区间[0,π3)上是增函数,在区间(π3,π2]上是减函数,所以当x=π3时, f(x)取最大值,且此时f(x)=√3π3+1,所以最大值为√3π3+1,故选C.8.若函数f(x)=kx-e x 在(1,+∞)上存在最值,则实数k 的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(-∞,-e]C.(2e,+∞)D.(-∞,-2e]答案 A 由题可得f '(x)=k-e x ,当k ≤0时, f '(x)=k-e x <0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,不存在最值;当k>0时,令f '(x)=k-e x =0,可得x=ln k,易得函数f(x)在(-∞,ln k)上单调递增,在(ln k,+∞)上单调递减,若函数f(x)=kx-e x 在(1,+∞)上存在最值,则ln k>1,即k>e,所以实数k 的取值范围是(e,+∞),故选A.9.已知a>0且a ≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值答案 C f '(x)=2(x-a)ln x+(x-a)2·1x =(x-a)·(2lnx +x -a x ),令g(x)=2ln x+x -ax ,易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,当x →0时,g(x)→-∞;当x →+∞时,g(x)→+∞,所以g(x)=2ln x+x -ax 在(0,+∞)上有且仅有一个零点,设该零点为x 0,因为a ≠1,则x 0≠a,所以导函数f '(x)有两个不同零点,因此函数既有极大值,又有极小值,选C.10.已知函数f(x)=ax-ln x,当x ∈(0,e](e 为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a 的值为 .答案 e 2解析 f '(x)=a-1x ,x ∈(0,e],当a ≤1e 时,f '(x)≤0, f(x)在(0,e]上是减函数, f(x)最小值=f(x)极小值=f(e)=ae-1=3,a=4e (舍去).当a>1e ,0<x<1a 时, f '(x)<0, f(x)递减,当a>1e ,1a <x ≤e 时, f '(x)>0, f(x)递增.∴f(x)最小值=f(x)极小值=f (1a )=1-ln 1a =3,∴a=e 2,符合题意.11.已知f(x)=xe x -ax 2-x,若f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,求f(x)的极小值. 解析 因为f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,所以f '(-1)=0.因为f '(x)=(x+1)e x -2ax-1,所以2a-1=0,a=12.所以f '(x)=(x+1)e x -x-1=(x+1)(e x -1),所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0), f(0)=0.12.已知函数f(x)=x -1x -ln x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1e ,e]上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数). 解析 (1)f(x)=x -1x -ln x=1-1x -ln x,f(x)的定义域为(0,+∞). ∴f '(x)=1x -1x =1-xx ,由f '(x)>0,得0<x<1,由f '(x)<0,得x>1, ∴f(x)=1-1x -ln x 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)由(1)得f(x)在[1e ,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,∴f(x)在[1e ,e]上的最大值为f(1), f(1)=1-1-ln 1=0.又f (1e )=1-e-ln 1e =2-e, f(e)=1-1e -ln e=-1e ,且f (1e )<f(e),∴f(x)在[1e ,e]上的最小值为2-e.∴f(x)在[1e ,e]上的最大值为0,最小值为2-e.13.已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.解析 (1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f '(x)=e x (cos x-sin x)-1,则f '(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x (cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x (cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x ∈[0,π2]时,h'(x)≤0,所以h(x)在区间[0,π2]上单调递减.所以对任意x ∈[0,π2],有h(x)≤h(0)=0,即f '(x)≤0.所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减.因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1,最小值为f (π2)=-π2.B 组 提升题组1.已知函数f(x)=axln x-12x 2+a 有且只有一个极值点,则实数a 构成的集合是( )A.{a|a>0且a ≠1}B.{a|a>0}C.{a|a<0或a=1}D.{a|a<0} 答案 D 由题意,求得函数f(x)的导数f '(x)=a(1+ln x)-x,令f '(x)=0,即a(1+ln x)-x=0,则a=x 1+lnx (x >0,且x ≠1e ).设g(x)=x 1+lnx (x >0,且x ≠1e ),得g'(x)=lnx(1+lnx)2.当g'(x)>0时,得x>1;当g'(x)<0时,得0<x<1e 或1e <x<1,所以函数g(x)在区间(0,1e )和(1e ,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.因为函数f(x)=axln x-12x 2+a 有且只有一个极值点,所以直线y=a 与函数g(x)=x 1+lnx (x >0,且x ≠1e )的图象有一个交点,所以a<0或a=1.当a=1时, f '(x)=(1+ln x)-x<0恒成立,所以y=f(x)无极值,所以{a|a<0}.故选D.2.(2019广西南宁模拟)已知函数f(x)=ln x-x-1,g(x)=xf(x)+12x 2+2x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)在区间(m,m+1)(m ∈Z)内存在唯一的极值点,求m 的值. 解析 (1)由已知得x>0, f '(x)=1x -1=1-x x .由f '(x)>0,得0<x<1,由f '(x)<0,得x>1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)g(x)=xf(x)+12x 2+2x=x(ln x-x-1)+12x 2+2x=xln x-12x 2+x,则g'(x)=ln x+1-x+1=ln x-x+2=f(x)+3.由(1)可知,函数g'(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 又g'(1e 2)=-2-1e 2+2=-1e 2<0,g'(1)=1>0,所以g'(x)在(0,1)上有且只有一个零点,记为x 1. 又在(0,x 1)上,g'(x)<0,g(x)在(0,x 1)上单调递减;在(x 1,1)上,g'(x)>0,g(x)在(x 1,1)上单调递增.所以x 1为极值点,此时m=0.又g'(3)=ln 3-1>0,g'(4)=2ln 2-2<0,所以g'(x)在(3,4)上有且只有一个零点,记为x 2.所以在(3,x 2)上,g'(x)>0,g(x)在(3,x 2)上单调递增;在(x 2,4)上,g'(x)<0,g(x)在(x 2,4)上单调递减.所以x 2为极值点,此时m=3.综上所述,m=0或m=3.3.已知函数f(x)=ax 2-(a+2)x+ln x,其中a ∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=1时, f(x)=x 2-3x+ln x(x>0),所以f '(x)=2x-3+1x =2x 2-3x+1x , 所以f '(1)=0.又f(1)=-2,所以切线方程为y=-2.(2)函数f(x)=ax 2-(a+2)x+ln x 的定义域为(0,+∞),f '(x)=2ax-(a+2)+1x =2ax 2-(a+2)x+1x=(2x -1)(ax -1)x , 令f '(x)=0,解得x=12或x=1a . 当0<1a ≤1,即a ≥1时, f(x)在[1,e]上单调递增.所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=-2,符合题意;当1<1a <e,即1e <a<1时, f(x)在[1,1a ]上单调递减,在[1a ,e]上单调递增, 所以f(x)在[1,e]上的最小值为f (1a )<f(1)=-2,不符合题意; 当1a ≥e,即0<a ≤1e 时, f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)<f(1)=-2,不符合题意.综上,实数a 的取值范围是[1,+∞).。
高中数学第一轮复习专题基础复习第14节极值与最值专题专项练习
第14节 极值与最值考点1 极值与最值1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的所有实数根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正）（注意数形结合分析），则()f x 在这个根处取得极大（小）值． 2．最值的判断法则函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．间隔最值定理 导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<< （1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．考点一 极值与最值【例1】（2020•平邑县期中）已知函数)(x f 的定义域为R 且导函数为)(x f '，如图是函数)(x f x y '⋅=的图 象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数)(x f 的减区间是)02(，-，)2(∞+，B ．函数)(x f 的减区间是)2(--∞，，)2(∞+，C ．2-=x 是函数的极小值点D ．2=x 是函数的极小值点【例2】（2019•运城期末）函数2()ln f x x x =-的极值点是 ．【例3】（2020•运城期末）函数1()sin sin33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值是 ．【例4】(2020•天津) 已知函数)(ln )(3R k x k x x f ∈+=，)(x f '为)(x f 的导函数． (1) 当6=k 时，(ⅰ)求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程； (ⅰ)求函数xx f x f x g 9)()()(+'-=的单调区间和极值；【例5】（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解题总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【训练1】（2021·湖南月考）若1=x 是函数x a a x a x x f )3()1(31)(223-+-++=的极值点，则a 为（ ）A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或2【训练2】（2020•吉林月考）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为( )A ．B ．C ．D ．【训练3】（2021•广东期末）函数2()2x f x x e -=⋅的极大值为 ．【训练4】（2021•河东期末）若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是 ．【训练5】（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．考点2 恒能分问题 1.恒成立与能成立问题恒成立：对定义域D 内的任意实数，方程或不等式都成立．能成立：定义域内存在某个或某些实数，使得方程或不等式能够成立，即存在性问题． 这里，我们将这两类问题按着变量是否统一作了一个分类： 统一变量的恒成立与能成立问题类型一 （1）()y f x =满足x D ∀∈，()f x m >恒成立，则在区间D 上min ()f x m >（2）()y f x =满足x D ∀∈，()f x m <恒成立，则在区间D 上max ()f x m <类型二 （3）()y f x =满足x D ∃∈，()f x m >能成立，则等价于在区间D 上max ()f x m >（4）()y f x =满足x D ∃∈，()f x m <能成立，则等价于在区间D 上min ()f x m <类型三 （5）()y f x =，()y g x =满足x D ∀∈，()()f x g x >恒成立，则在区间D 上min [()()]0f x g x ->（6）()y f x =，()y g x =满足x D ∃∈，()()f x g x >能成立，则在区间D 上max [()()]0f x g x ->类型四 不同变量的恒成立问题（7）()y f x =满足1x ∀，2x D ∈，12|()()|f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< （8）()y f x =，()y g x =满足1x D ∈，2x D ∈，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >； 类型五 不同变量的能成立问题（9）()y f x =，()y g x =满足1x ∃，2x D ∈，12()()f x g x >能成立，则在各自区间上max min ()()f x g x >； （10）()y f x =，()y g x =满足若1x D ∃∈，总2x D ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则在区间D 上两个函数值域交集不为∅；类型六 不同变量的恒能成立，即∀、∃共存问题（11）()y f x =，()y g x =满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈，使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；（12）()y f x =，()y g x =满足11x D ∃∈，总22x D ∀∈，使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上max max ()()f x g x >；（13）()y f x =，()y g x =满足若11x D ∀∈，总22x D ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则在区间D 上min minmax max ()()()()f x g x f x g x ≥⎧⎨≤⎩； 【例7】（2020•重庆模拟）若函数ax x xx f ++=2cos 222sin )(存在递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≥a B ．5≥aC ．1<aD ．5<a【例8】（2020•江西期中）已知函数)10(ln )6sin(2)(≠>-+=a a a x x a x f x ，π，对任意]10[21，，∈x x ，不等式12()()|2|f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2e B ．eC ．3D ．22.参变分离问题分离变量法构造函数解决恒成立问题在导函数为非一次函数或二次函数的题目中，涉及一些恒单调递增（递减）或者是极值分布的问题，可以通过分离变量法，构造成()a F x ≥，或者()a F x ≤的形势，再对()F x 求导，求出在这个区间的极值（最值）．【例9】（2020•安徽月考）若函数x b x x x f ln 4)(2++-=在区间)0(∞+，上是减函数，则实数b 的取值范 围是（ ） A ．]2(--∞， B ．)2(--∞，C ．)2(∞+-，D ．)2[∞+-，【例10】(2020•东阳期末)已知不等式022<+-kx e e x x 在)0[∞+，上无解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．)21[∞+，B ．)21[∞+-，C ．)21(∞+，D ．)21(，-∞【例11】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()-∞+∞，单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[1-，1]B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【解题总结】1．恒能问题要注意是单一变量还是双变量，也要清楚求不同函数的最大还是最小值．2．当恒能问题中的函数结构并不是很复杂时，此法应用较多．对题中给定的函数，直接求导，通过对参 数的分类讨论，确定函数的单调性从而得到极值点，从而求出参数取值范围，其关键是讨论单调性的过程，常用手段为因式分解法、求根公式法以及观察法；如果无法求出零点，可以利用零点存在定理讨论，进而研究原函数的单调性，此时，可能会涉及到隐零点．【训练1】（2020•咸阳模拟）已知函数)(ln 2)1()(R a x x x a x f ∈--=，x a x g -=)(，若至少存在一个]1[0e x ，∈，使)()(00x g x f >成立，则实数a 的范围为（ ）A ．)2[∞+，eB ．)0(∞+，C ．)0[∞+，D ．)2(∞+，e【训练2】（2020•天心月考）已知函数2)25(12ln )(2-++-=x m x xx f ，122)(1-⋅=+x x m x g ．若对任意的]121[21，，∈x x ，不等式)()(21x g x f <恒成立，则正数m 的取值范围是（ ）A ．)2ln 10(-，B ．)85ln 220(+，C ．)2(ln ∞+，D ．)4385(ln ∞++，【训练3】（2020•上饶期末）x x kx x f ln 21)(2-=在]0(e ，上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]2(e ，-∞B ．]1(，-∞C ．)1[∞+，D ．)2[∞+，e考点3 同构式的应用 1.同构函数比大小【例1】（2014•山东）已知实数x 满足y x a a <)10(<<a ，则下列关系式中恒成立的是（ ） A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y xC ．22y x >D ．33y x >【例2】（2020•新课标I ）若b a b a 42log 24log 2+=+，则（ ） A ．b a 2> B ．b a 2<C ．2b a >D ．2b a <【例3】（2005•全国卷Ⅲ）若33ln =a ，44ln =b ，55ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为 ．【解题总结】1．比较大小问题注意构造对称统一形式，利用同构函数的单调性求解问题． 2．注意定义域问题，比较大小要保证在同一个单调区间． 【训练1】（2020•新课标II ）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【训练2】（2021•蚌埠三模）若14log log 2222++-=+-b b b a a a ，则（ ） A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a <+【训练3】（2017•新课标Ⅰ）设x ，y ，z 为正数，且zy x 532==，则（ ）A ．z y x 532<<B ．y x z 325<<C ．x z y 253<<D ．z x y 523<<2.指对同构篇同构可以帮助我们大大简化分析和计算．指对同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用()F x 表示，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单调性和最值易求．此外，我们尤其要注意——“内值外定”问题，即内层函数的值域范围为外层函数定义域的子集，而在同构这里我们需要满足的则是外层函数单调区间的子集，这样才能比较内层大小．【例1】（2020•武邑期中）设实数0λ>，若对任意的(0)x ∈+∞，，不等式ln 0x xe λλ-≥恒成立，则λ的取值范围是 ．【例2】（2021•江西月考）已知函数13l (n )2()mxf x x x m x e -=--，当x e ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4]e -∞， B ．(3]e -∞，C ．(2]e -∞，D ．3(]2e -∞，【例3】 （2021•T8联考）函数)0(22ln )(>-++=a x aae x f x ，若0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【例4】（2020•新高考）已知函数1()ln ln x f x ae x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．【解题总结】1．同构函数单调区间和最值易求．2．注意“內值外定”，避免大题交待不清楚扣分．【训练1】（2021•湖北八市）设实数0>t ，不等式0ln 2ln 2≥+-tx e tx 对0>x 恒成立，则t 范围为（ ）A ．1[)2e +∞， B ．1[)e +∞，C ．1(0)e ，D ．1(0]2e，【训练2】（2021•岳阳二模）设实数0a >，若对任意的[e )x ∈+∞，，不等式2e ln 0axa x x -≤恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1eB ．2eC ．e 2D ．e【训练3】（2021•廊坊月考）已知函数x e x f x ln 2)(-=λ． （1）当2=λ时，求)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）当1=λ时，判断)(x f 的零点个数并说明理由； （3）若x x x f λ-≥2)(恒成立，求λ的取值范围．3.指对同构篇朗博函数指的是形如n x x e ⋅或x ae 类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理，比如ln ln ln xx x xx a xx x e x e eae ee x++-⋅===，，；关于朗博函数我们统一往母函数()1x f x e x =--同构，相信大家都知道+1x e x ≥这个基本切线不等式，即()0f x ≥恒成立，当且仅当0x =时等号成立． 【例10】（2021•江苏期末）函数ln xf x xe x x 的最小值为 ．【例11】（2021•镇海模拟）若0>x 时，恒有01ln 2)3(32≥--+-x x k e x x 成立，则实数k 的取值范围 是 ．【例12】（2020•云南师大附中）已知函数x e x x f ⋅=)(，x x x g ln )(+=．（1）令)()()(x eg x f x h -=，求)(x h 的最小值；（2）若1)2()()(+-≥-x b x g x f 恒成立，求b 的取值范围．【解题总结】1．注意朗博同构的变形．2．注意大题需要找矛盾点验证充要性．【训练1】（2021•湘豫名校联考）不等式1ln 3+≥--x x a e x x 对任意的)1(∞+∈，x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]1(e --∞，B ．]2(2e --∞，C ．]2(--∞，D ．]3(--∞，【训练2】（2020•山东月考）已知函数1ln )(++=mx x x f ，)1()(-⋅=x e x x g ． （1）若)(x f 的最大值是0，求函数)(x f 的图象在e x =处的切线方程； （2）若对于定义域内任意x ，)()(x g x f ≤恒成立，求m 的取值范围．4.高考同构篇【例1】（2020•山东新高考）已知函数a x ae x f x ln ln )(1+-=-． （2）若1)(≥x f ，求a 的取值范围．【例2】(2018•新课标ⅰ)已知函数1ln )(--=x ae x f x ． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【解题总结】1．注意同构函数取等一致问题． 2．需要求导说明函数的单调性及最值．【训练1】（2015•新课标Ⅰ）设函数x a e x f x ln )(2-=． （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）证明：当0a >时，aa a x f 2ln 2)(+≥．【训练2】（2014•全国卷I ）函数x be x ae x f x x1ln )(-+=在点))1(1(f ，处的切线方程为2)1(+-=x e y ． （1）求b a ，； （2）证明：1)(>x f ．【训练3】（2013•新课标Ⅱ）已知函数)ln()(m x e x f x +-=．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明()0f x >．考点4 分而治之的应用1.高人一等型若0)(>x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f >，通过分别求出两个函数的最值，当min max ()()f x g x >时一定成立，我们称之为高人一等，如图所示；2.错位PS 型若0)(>x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f >，通过分别求出两个函数的最值，当)()(1m in x f x f =)()(2m ax x g x g =≥，21x x ≠时不等式一定成立，我们称之为错位PS ，如图所示． 通常我们将)(x f 叫做上函数，)(x g 叫做下函数．3.亲密接触型若0)(≥x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f ≥，通过分别求出两个函数的最值，当max min )()(x g x f ≥，且)()()()(0max 0min x g x g x f x f ===时一定成立，我们称之为亲密接触，如图所示．【例1】（2021•四川宜宾二诊）已知函数xx a x f ln )(-=. （1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求实数a 的值；（2）讨论)(x f 在)10(，上的单调性；（3）证明：在)1(的条件下0)(>+x xe x f .【例2】（2014•新课标ⅰ）设函数1()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(0))(1f ，处得切线方程为(1)2y e x =-+．（1）求a 和b 的值；（2）证明：()1f x >．【例3】（2018•新课标ⅰ）已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【例4】（2019•新课标ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（1）证明：()f x '在区间(0)π，存在唯一零点；（2）若[0]x π∈，时，()f x ax ≥，求a 的取值范围．【解题总结】1．注意上下函数的选取，即上函数最小值与下函数最大值比较．2．注意等号，有等号往往是构造亲密接触模型，无等号往往是高人一等或错位PS 模型．【训练1】（2021•安徽十校联考）已知函数()1(1)ln f x a x x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0x >，求证：221(1)()xe a xf x xe+++>．【训练2】（2020•成都三诊）已知函数m x ae x f -=)(，其中R m a ∈，.（1）当1==m a 时，设x x f x g ln )()(-=，求函数)(x g 的单调区间；（2）当24==m a ，时，证明：)ln 1()(x x x f +>.【训练3】（2020•全国联考）已知函数)x-+=.ef x∈(1)(Rbbx（1）讨论函数的单调性；（2）若函数x(=有两个实根，求实数b的取值范围.)f lnx。
导数与函数的极值和最值
第十一讲函数的极值和最值与导数一、函数极值：1.定义一般地，设函数)(xfy=在xx=及其附近有定义，如果)(xf的值比x附近所有各点的函数值都大，我们说)(xf是函数)(xfy=的一个极大值；如果)(xf的值比x附近所有各点的函数值都小，我们说)(xf是函数)(xfy=的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
注：（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf。
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
2.判别与求法假设x使0)(='xf，那么x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若x是)(xf的极大值点，则x两侧附近点的函数值必须小于)(xf。
因此，x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(>'xf。
x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(<'xf，同理，如上右图所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结----63805868-7166-11ec-a9c9-7cb59b590d7d§14.导数知识要点1.导数的定义（导数函数的缩写）：设x0是函数y=f（x）定义域中的一个点。
如果自变量x有一个增量∆ x在x0处，函数值y也会导致相应的增量∆ y=f（x0+∆ x） -F（x0）；比率∆ YF（x0+∆ x） -f（x0）称为函数y=f(x)在点x0到x0+∆x之间的平均变化率；如果极限=f（x0）+∆x） -f（x0）∆Y存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做=lim∆十、→0∆十、∆十、→0∆xlimy=f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x=x0，即f'(x0)=limf（x0）+∆x） -f（x0）∆Y∆x→0∆x∆x→0∆x注：① ∆ x是增量，也称为“变化量”，因为∆ x可以是正的，也可以是负的，但不能是零②以知函数y=f(x)定义域为a，y=f'(x)的定义域为b，则a与b关系为a⊇b.2.函数y=f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：（1）函数y=f（x）在点x0处的连续性是y=f（x）在点x0处可微的一个充要条件。
可以证明，如果y=f（x）在点x0处可微，那么y=f（x）在点x0处是连续的，如果x=x0+∆ x、然后x→ x0相当于∆十、→ 0于是limf(x)=limf(x0+∆x)=lim[f(x+x0)-f(x0)+f(x0)]f（x0）+∆x） -f（x0）f（x0）+∆x） -f（x0）⋅∆x+f(x0)]=lim⋅lim+limf(x0)=f'(x0)⋅0+f(x0)=f(x0).∆十、→ 0∆十、→ 0∆十、→ 0∆十、→ 0∆十、∆ x（2）如果y=f（x）在点x0处是连续的，那么y=f（x）在点x0处是可微的，并且不成立=lim[例：f(x)=|x|在点x0=0处连续，但在点x0=0处不可导，因为∆y∆y∆y不存在=1；当∆ x＜0，=-1，所以Lim∆x→0∆x∆x∆x∆y|∆x|，当∆x＞0时，=注：① 奇导数函数的导数是偶数函数②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0).4.四种推导算法：(u±v)'=u'±v'⇒y=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)⇒y'=f1'(x)+f2'(x)+...+fn'(x)（UV）“=Vu'+v'u”⇒（CV）'=c'v+CV'=CV'（c是常数）vu'-v'u⎛u⎛（五）≠0)⎛=2vv⎛⎛注：①u,v必须是可导函数.② 如果两个函数是可微的，那么它们的和、差、积和商都是可微的；如果两个函数都是不可微的，那么它们的和就是差积、商不一定不可导.例如，假设f（x）=2sinx+，G（x）=cosx-，那么f（x）和G（x）在x=0时是不可微的，但是它们和f(x)+g(x)=SiNx+cosx可以在x=0时领先5.复合函数的求导法则：fx'(ϕ(x))=f'(u)ϕ'(x)或y'x=y'u⋅u'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：（1）函数单调性的判定方法：使函数y=f（x）在一定区间内可微。
高考数学导数与函数的极值、最值
0
[解析]结合函数g(x)图像(图略)可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f'(x)=3(x-1)2≥0, f'(x)=0无变号零点,所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.
不存在
5.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
D
例3 (1)[2021·全国乙卷] 设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
课堂考点探究
方法二:因为x=a为函数f(x)的极大值点,且f(a)=0,f(b)=0,所以结合三次函数的图像知,当a>0时,y=f(x)的大致图像如图①,此时0<a<b,得a2<ab;当a<0时,y=f(x)的大致图像如图②,此时b<a<0,得a2<ab.综上可得a2<ab,故选D.
-1
[总结反思]求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
课堂考点探究
微点3 已知极值求参数例3 (1)[2021·全国乙卷] 设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
课前基础巩固
f(a)
f(b)
f(a)
f(b)
[常用结论]导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下:
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
人教版数学选择性必修二期中复习：导数与函数的极值、最值课件
f ′(x)＝0无变号零点
函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点
5．函数f(x)＝4x－ln x的最小值为________．
1＋2ln 2
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意知f ′(x)＝4－ 1 ＝ 4−1.
令f
1
′(x)>0得x> ，令f
4
所以函数f(x)在 0,
1
4
1
′(x)<0得0<x< .
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而
可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
➢ 角度二
求已知函数的极值
[例2] (202X·高考天津卷改编)已知函数f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)为f(x)的导函数．
常见误区
1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”
的必要不充分条件．
!
2．求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定
时，需要分类讨论，不可直接认为极值就是最值．
3．极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点
处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．
中多项式函数一般不超过三次)．
3.数学运算．
课前自测
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( × )
(2)导数为零的点不一定是极值点．( √ )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )
(4)函数的极大值一定是函数的最大值．( × )
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考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值．变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.① 在(－∞，0)上为减函数 ② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23. 7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2.13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。