2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题38椭圆(题型专练)含解析
专题38 椭圆(教学案) 2019年高考数学(文科)热点题型和提分技巧 Word版含解析
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
2．了解椭圆的简单应用。
3．理解数形结合的思想。
热点题型一 椭圆的定义及其标准方程 例1、（2018年全国I 卷） 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D.【答案】C【变式探究】【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】，选B ．【提分秘籍】椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析。
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式。
例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系。
(3)紧扣定义是解题的一个基本出发点，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单。
【举一反三】椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21【解析】若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21。
【答案】C热点题型三 直线与椭圆的位置关系例3．（2018年全国III 卷）已知斜率为k 的直线L 与椭圆交于A ，B 两点．线段AB 的中点为．（1）证明：；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（2）由题意得F （1，0）．设，则．由（1）及题设得，．又点P 在C 上，所以，从而，．于是．同理．所以．故．【变式探究】【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】【变式探究】若F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝23。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
高考数学热点练习：椭圆、双曲线、抛物线
2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )
A.x2＋y2＝1 2
B.x2＋y2＝1 32
C.x2＋y2＝1 43
D.x2＋y2＝1 54
【训练 1】 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，
B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
Hale Waihona Puke (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使得 PB2⊥QB2，求直线 l 的
方程.
【训练 3】 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求|OH|；
(1)(2019·河南八市联考)设双曲线
C：x2－y2＝1 8m
的左、右焦点分别为
F1，F2，过
F1
的直线与双曲
线 C 交于 M，N 两点，其中 M 在左支上，N 在右支上.若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )
A.8
B.4
C.8 2
D.4 2
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若|AF2|＝
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
真题感悟
1.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 ＋y2＝1 的一个焦点，则 p＝( ) 3p p
A.2 B.3 C.4
第1辑 解2019年高考文科真题中椭圆类试题
解2019年高考文科真题中椭圆类试题 关键词： 高考真题 椭圆 2019年，文科 题量：7；1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数,12,TD1】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 ( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=解析: 方法1：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．方法2：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数，15】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 解析：设M （m ，n ），m ，n ＞0，易求得a ＝6，b ＝25，c ＝4，e ＝a c ＝32，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，有|MF 1|＝2c 或|MF 2|＝2c ，6+32m ＝8，即m ＝3，n ＝15；6﹣32m ＝8，即m ＝﹣3＜0，舍去．可得M （3，15【怎样解题】 122=+by )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M 01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,证明：∵11||r e MN =00)x a ex =+， 22||r e MN e ==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF(其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，下加上减3．【2019年高考浙江卷，15】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．解析：方法1：如图，设F 2为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =， 由中位线定理可得22||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,P ⎛⎫- ⎪，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即4p a ex -=，∴32p x =-从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数,20】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解析：（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．5．【2019年高考北京卷文数，19】已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． 解析：（1）由题意得，b 2=1，c =1．所以a 2=b 2+c 2=2．令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而||M OM x =同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1tt+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．6．【2019年高考天津卷文数，19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =. 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l=2.所以，椭圆的方程为16127．【2019年高考江苏卷,17】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．解析：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为24x （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：24x因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.yxlEBDAF1F2O附录：【说明】《中考数学最后一题之平面几何》《中考数学最后一题之函数》为作者已出版著作，套书，由凤凰教育出版社出版，可关注弄潮儿之中考备考购买.【版权申明】本作品版权归属陈冠军(包括但不限于图片、视频、标志、设计、标志等)，任何未经权利人书面许可，销售本作品以及剽窃本作品中原创内容的行为，均违反《中华人民共和国著作权法》，其行为人应承担相应的民事责任和行政责任，构成犯罪的，将依法追究刑事责任。
2019高考数学 椭圆算考点、考情、学科素养分析
λ=10 或 λ=-2(舍去).
������ +5
+
������ 2 ������
=1(λ>0),则
9
������ +5
+ =1,解得
������
关闭
4
故所求椭圆的方程为15 + 10 =1. A
解析
答案
知识梳理 知识梳理 双击自测
-8-
3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭 圆的离心率是( )
知识梳理 知识梳理 双击自测
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轴 长轴 A1A2 的长为 2a ;短轴 B1B2 的长为 2b 性 焦距 |F1F2 ������|=2c 质 离心率 e= ������ ∈(0,1) a,b,c 的关系 c2=a2-b2
3.点 P(x0,y0)和椭圆的关系 (1)点 (2)点 (3)点
������2 P(x0,y0)在椭圆内⇔ 0 ������2 ������2 P(x0,y0)在椭圆上⇔ 0 ������2 ������2 P(x0,y0)在椭圆外⇔ 0 ������2
+ + +
������2 0 ������ ������2 0 ������ ������2 0 ������
2 <1. 2 =1. 2 >1.
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1.方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
A.5
4
B.5
3
C.5
2
D.5
1
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由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b. 又 c2=a2-b2,消去 b 整理,得 5c2=3a2-2ac, 3 2 即 5e +2e-3=0,∴e=5或 e=-1(舍去). B
江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.3 大题考法—椭圆达标训练(含解析)
椭圆A组——大题保分练1。
如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M,N(点M 在点N的左侧），且MN＝3.（1)求圆C的方程；(2）过点M任作一条直线与椭圆T：错误!＋错误!＝1相交于两点A，B,连结AN，BN,求证：∠ANM＝∠BNM.解:（1）设圆C的半径为r，依题意得，圆心坐标为（r，2)．∵MN＝3,∴r＝错误!，∴r＝错误!，∴圆C的方程为错误!2＋(y－2)2＝错误!。
（2)证明：把y＝0代入方程错误!2＋（y－2)2＝错误!，解得x＝1或x＝4,即点M(1,0)，N(4，0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM＝∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k（x－1），联立方程错误!消去y,得（k2＋2）x2－2k2x＋k2－8＝0.设A(x1,y1),B(x2，y2),则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!.∵y1＝k（x1－1）,y2＝k（x2－1)，∴k AN＋k BN＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.∵（x1－1）（x2－4)＋（x2－1）（x1－4）＝2x1x2－5（x1＋x2）＋8＝错误!－错误!＋8＝0，∴k AN＋k BN＝0，∴∠ANM＝∠BNM。
综上所述,∠ANM＝∠BNM.2．(2018·高邮中学月考)如图,在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左顶点为A(－2，0）,离心率为错误!，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程;（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．解：(1)由题意可得：错误!即错误!从而有b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为错误!＋错误!＝1.（2)设直线l的方程为y＝k（x＋2)，代入错误!＋错误!＝1，得（3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，因为x＝－2为该方程的一个根，解得B错误!，设C(0，y0)，由k AC·k BC＝－1,得错误!·错误!＝－1，即(3＋4k2）y错误!－12ky0＋（16k2－12）＝0.（＊)由AC＝BC，即AC2＝BC2，得4＋y2，0＝错误!2＋错误!2，即4＝错误!2＋错误!2－错误!y0,即4（3＋4k2）2＝(6－8k2)2＋144k2－24k（3＋4k2)y0，所以k＝0或y0＝错误!，当k＝0时，直线l的方程为y＝0，当y0＝错误!时，代入（＊)得16k4＋7k2－9＝0，解得k＝±错误!，此时直线l的方程为y＝±错误!(x＋2),综上，直线l的方程为y＝0,3x－4y＋6＝0或3x＋4y＋6＝0。
专题38 椭圆(教学案) 2019年高考数学(理科)热点题型和提分技巧 Word版含解析
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
2．了解椭圆的简单应用。
3．理解数形结合的思想。
热点题型一椭圆的定义及其标准方程例1、（2018年全国Ⅱ卷理数）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【变式探究】(1)设F1，F2是椭圆x249＋y224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为()A．30 B．25C．24 D．40(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 【解析】(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，【提分秘籍】 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等。
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。
学……&科网(3)当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )。
【举一反三】椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32 C.3 D ．4 【答案】A【解析】a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，不妨设P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m >0)，则－324＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12，根据椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×2－12＝72。
高考题《椭圆》专题(简单)
高考题《椭圆》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名【2019年高考全国Ⅱ卷】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【2019年高考北京卷】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；【2019年高考天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率；【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为 A ．8 B ．6 C ．5D ．4【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左顶点为(20)M -，，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD (2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为A ．B ．C ．D ．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．3 B ．3 C ．23 D ．59（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C ．3 D ．13（2016年全国I 卷）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34（2015广东）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m = A ．2 B ．3 C ．4 D ．9（2015福建）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4（2013广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1,)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2018北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3，焦距为．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． (1)求椭圆M 的方程；（2018天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3||AB = (1)求椭圆的方程；（2017天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的离心率C 截直线1y =所得线段的长度为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（2017北京）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（2016年北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（2016年山东）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（2016年天津）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（2015新课标2）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（2015陕西）如图，椭圆E （Ⅰ）求椭圆E 的方程；(2015重庆)直线交椭圆于,P Q 两点，且PQ ⊥1PF ．(2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为y x =被椭圆C ． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点(3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；50．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．51． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ， ， 过点F 且与x (Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若··8AC DB AD CB +=， 求k 的值．52．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．53．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为3时，求k 的值. 54．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．55．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．56．（2011陕西）设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点(0，4)，离心率为35． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 57．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．58．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b =1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．59．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果||AB =154，求椭圆C 的方程．。
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2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍1．若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【解析】设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴。
∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32。
又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732。
∴|PF 2|是|PF 1|的7倍。
【答案】A3．在同一平面直角坐标系中，方程ax 2＋by 2＝ab 与方程ax ＋by ＋ab ＝0表示的曲线可能是( )B C 【解析】直线方程变形为y ＝－abx －a ，在选项B 和C 中，⎩⎪⎨⎪⎧－a b ＞0－a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0a ＜0，所以ax 2＋by 2＝ab 表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线，【答案】C6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P (a ，b )满足|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线PF 2与椭圆交于M 、N 两点，若|MN |＝16，则椭圆的方程为( )A.x 2144＋y 2108＝1B.x 2100＋y 275＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 216＋y 212＝1【答案】B7．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【答案】D【解析】因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO |＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3， 所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.8．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 【答案】D9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34【答案】A【解析】∵圆O 与直线BF 相切，∴圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bca ，∵四边形F AMN 是平行四边形，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得(a ＋c )24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，∴5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，∴e ＝35.故选A.10．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎣⎡⎦⎤22，32C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫32，1 【答案】C【解析】从椭圆上长轴端点P ′向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的∠AP ′B 最小． 若椭圆C 1上存在点P ，所作圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°， 即α＝∠AP ′O ≤45°，∴sin α＝b a ≤sin 45°＝22.又b 2＝a 2－c 2，∴a 2≤2c 2，∴e 2≥12，即e ≥22.又0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈⎣⎡⎭⎫22，1. 11．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3C.22 D.32【答案】A12．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫22，1 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫0，12 【答案】A【解析】设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题易知|x 0|<a ，因为存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1→·PF 2→<0有解，即c 2>x 20＋y 20有解，即c 2>(x 20＋y 20)min ，又y 20＝b 2－b 2a2x 20，b 2＋c 2＝a 2，x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，所以e 2＝c 2a 2>12，又0<e <1，所以22<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1，故选A. 13．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 【答案】B【解析】设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，即e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122，∴0<e <5－12，故选B. 19．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________．【答案】2220．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．【答案】733【解析】由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝ x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5 ＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋132＋163， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.21．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，F 1B 与y轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于__________。
【答案】3322．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为__________。
【解析】cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255，∴sin β＝11525或－55(舍去)。
设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57。
【答案】5723．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合。
若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________。
【解析】取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12。
【答案】1224．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4。
(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点。
若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值。
(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0。
因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0， 解得t ＝－2y 0x 0。
又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2 ＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋－x 20x 2＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)。
因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8。
故线段AB 长度的最小值为22。