必修二第01讲 空间几何体(三视图、直观图、表面积、体积)

第一讲 空间几何体（三视图、直观图、表面积、体积）A 组题一、选择题1. （2016年北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.B .C .D . 【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==．2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )1613121【答案】D 【解析】先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，知答案为D . 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A πB ．πC .3π D . 23π【答案】D【解析】由三视图“长对正、高平齐、宽相等”知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V ＝(13×π×12)×2＝23π. 4. 如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )A ．66B ．68C ．70D ．72 【答案】A【解析】.如图，由“割补”思想得：连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.5. 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A πB ．3πC πD ．2π 【答案】A【解析】如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ， 连接AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ， 所以AE ⊥平面BCD .所以AE ，EO ＝12.所以OA .在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O .所以该球的体积V ＝43π)3π.故选A . 6. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B . 7. 已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】如图，作出正三棱锥V －ABC 的直观图，取BC 边的中点D ，连接VD ，AD ，作VO ⊥AD 于O .结合题意，可知正视图实际上就是△VAD ，于是三棱锥的棱长VA ＝4，从俯视图中可以得到底面边长为侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为VO .于是侧视图的面积为12×6，故选C . 8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .83B ．8C .323D ．16 【答案】B【解析】1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积V ＝12×2×2×4＝8.二、填空题9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________． 【答案】3π【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥P －ABCD (如图)，其中底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝1，∴该四棱锥的体积为V ＝13×1×1×1＝13.又PC 为其外接球的直径，∴2R ＝PC S ＝4πR 2＝3π.10. （2016四川）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则三棱锥的体积为_______．【解析】三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，1h=俯视图则面积11111332V Sh⎛⎫==⨯⨯⨯⎪⎝⎭11. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．【答案】2【解析】如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＋1.由此可还原原图形如图．在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积为S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×(1＋1)×2＝2.三、解答题12. 某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图．【解析】(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体． (2)直观图如图所示．13. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .【解析】由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E －ABCD . (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥E －ABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝；另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 25=.因此S ＝2×(12×6×＋12×8×5)＝40＋.14. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D -ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D -ABC 的体积．证明：(1)在图中，可得AC ＝BC ＝， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，取AC 的中点O ，连接DO ， 则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ， 所以DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ， 所以BC ⊥平面ACD .(2) 【解析】由(1)可知，BC 为三棱锥B -ACD 的高，BC ＝，S △ACD ＝2.所以V D -ABC ＝V B -ACD ＝13S △ACD ·BC＝13×2×.15. 如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 4. 【解析】S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)2πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯1)π= V V V =-圆台圆锥222112211148()333r r r r h r h πππ=++-=B 组一、选择题1. （2016年山东）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π32+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62+1【答案】C1，高为1所以其体积为3114111323236(π⨯⨯+⨯=+，故选C 2. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】D【解析】如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D .3. 【2015安徽】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）1 （B ）2（C ）1+ （D ）【答案】B 【解析】由题意，该四面体的直观图如下，,ABD BCD ∆∆是等腰直角三角形，,ABC ACD ∆∆是等边三角形，则1131,6022BCD ABD ABC ACD S S S S ∆∆∆∆======，所以四面体的表面积2122BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+=+B .4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A .814πB ．16πC ．9πD .274π【答案】A【解析】如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt △AOF 中，(4－r )2＋2＝r 2， 解得r ＝94， ∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.5. （2016年全国I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）(A ) (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．6. （2015全国新课标）已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B .64π C .144π D .256π 【答案】C 【解析】7. （2015陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 8.（2016全国III ） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81【答案】B【解析】由三视图知该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，如图所以该几何体的表面积为2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ． 二、填空题9.已知四棱锥A －BCPM 的三视图如图，其中正视图是梯形，侧视图是直角三角形．则异面直线AM 与直线PC 所成角的大小____________．三棱锥P －MAC 的体积____________．【答案】060,12 【解析】由三视图得PC ⊥平面ABC ，PM ∥BC ，PM ＝PC ＝AC ＝1，BC ＝2取BC 的中点N ，连接MN ，AN ，则∠AMN 即为异面直线AM 与直线PC 所成角在Rt △AMN 中，MN ＝PC ＝1AN =AN tanAMN MN 故∠AMN ＝60°即异面直线AM 与直线PC 所成角为60°由侧视图可知，A 点到平面PMC 的距离d .∴三棱锥P －MAC 的体积1111113232P ACM A PCM V V PC PM --==⨯⋅=⨯⨯⨯=10. 如图，侧棱长为V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________．【答案】6【解析】沿着侧棱VA 把正三棱锥V －ABC 展开在一个平面内，如图．则AA ′即为截面△AEF 周长的最小值，且∠AVA ′＝3×40°＝120°.在△VAA ′中，由余弦定理可得AA ′＝6，故答案为6.11.已知正四面体的棱长为 6 ，则这个正四面体的外接球的体积是____________．【答案】．92π棱锥的高为：22232(6)()=232-⨯. 设外接球半径为x ，222x x =-+2 解得32x =， 故球的体积为3439()322ππ⨯=. 三、解答题12. 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m )：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．【解析】(1)直观图如图所示．(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34， 在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则四边形AA 1EB 是正方形，AA 1＝BE ＝1，在Rt △BEB 中，BE ＝1，EB 1＝1，所以BB 1，所以几何体的表面积S ＝S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形AA 1D 1D＝1＋2×1＋2×12×(1＋2)×1＋＋1几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)．所以该几何体的表面积为(7)m 2，体积为32m 3. 13. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1) 【证明解析】 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2) 【解析】设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4. ∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB ＝14xy 2142x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6. ∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2. 14. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M 。