高考数学二轮复习 专题六 立体几何 第一讲 空间几何体及三视图 理
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高三数学二轮复习：立体几何
板块三 专题突破 核心考点
专题四 立体几何
第1讲 空间几何体
[考情考向分析]
1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视 图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图 的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.
跟踪演练3 (1)(2018·咸阳模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为
A.13π C.25π
B.20π
√D.29π
解析 答案
(2)(2018·四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，
√ 记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则SS12 等于
例3 (1)(2018·百校联盟联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为
边长为3的等边三角形，且PA＝326 ，则三棱锥P－ABC外接球的体积为
13 13 A. 6 π
10 10 B. 3 π
√C.5
15 2π
55 D. 6 π
解析 答案
(2)(2018·衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视
跟踪演练1 (1)(2018·衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视 图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是
√
解析 答案
(2)(2018·合肥质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱 A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于 截面以下部分的几何体的侧(左)视图为
专题四 立体几何
第1讲 空间几何体
[考情考向分析]
1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视 图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图 的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.
跟踪演练3 (1)(2018·咸阳模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为
A.13π C.25π
B.20π
√D.29π
解析 答案
(2)(2018·四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，
√ 记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则SS12 等于
例3 (1)(2018·百校联盟联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为
边长为3的等边三角形，且PA＝326 ，则三棱锥P－ABC外接球的体积为
13 13 A. 6 π
10 10 B. 3 π
√C.5
15 2π
55 D. 6 π
解析 答案
(2)(2018·衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视
跟踪演练1 (1)(2018·衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视 图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是
√
解析 答案
(2)(2018·合肥质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱 A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于 截面以下部分的几何体的侧(左)视图为
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
64
65
✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
66
✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
67
68
600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
55
56
57
58
600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
2023版高考数学一轮总复习第六章立体几何第一讲空间几何体的结构特征和直观图课件
以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y
轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变)来
掌握.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积
与原图形的面积的关系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形.
【变式训练】
一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为
45°，腰和上底均为 22的等腰梯形，那么原平面图形的面积
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝21OC
＝ 43a，在图 6-1-6 中作 C′D′⊥A′B′于 D′，则 C′D′
＝ 22O′C′＝ 86a.所以 S△A′B′C′＝21A′B′·C′D′＝
12·a·86a＝ 166a2.
答案：D
【题后反思】
(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可
3.(教材改编题)如图 6-1-1，长方体 ABCD-A′B′C′D′
被截去一部分，其中 EH∥A′D′.剩下的几何体是(
)
A.棱台 C.五棱柱 答案：C
图 6-1-1 B.四棱柱 D.六棱柱
题组三 真题展现
4.(2021 年新高考Ⅰ)已知圆锥的底面半径为 2，其侧 面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
答案：B
5.(2020 年全国Ⅰ)如图 6-1-2，在三棱锥 P-ABC 的平面 展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ 3 ，AB⊥AC，AB⊥AD， ∠CAE＝30°，则 cos∠FCB＝________.
答案：－14
图 6-1-2
考点一 空间几何体的结构特征
[例 1] (1)给出下列命题：
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
立体几何第一讲：三视图问题全解析课件--名师微课堂
技巧传播
例 1．(辽宁卷)一个几何体的三 视图如图所示． 则该几何体的表面积 为________．
例 2． （天津卷）一个几何体的三视 图如图所示(单位： m)，则该几何体的 体积为______m3.
减
加
考点突破
题型一 与面积或体积综合
例 3． （北京卷）某三棱锥的三视图如图所 示，该三棱锥的表面积是( A．28＋6 5 )
✔
B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5
例 4.(湖北卷)已知某几何体的三视图如图所 解法 1： （加）下面是一个圆柱，上面是 示，则该几何体的体积为( )
圆柱的一半，所以 1 V＝π×12×2＋ ×π×12×2＝3π. 2
A.
8π 3
✔
B．3π
10π C. 3
D．6π
变式练习：(浙江卷理)若某几何体的三视图(单位:cm) 如图所示，则此几何 体的体积等于________ cm2 .
4 3 3
答案：24
正视图
2 侧视图 3 俯视图
✔
题型二 画三视图或识别三视图
例 6． （湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则 该几何体的俯视图不可能 是( ．．． )
✔
例 7． （陕西卷）将正方体(如图①所示)截去两 个三棱锥，得到图②所示的几何体， 则该几何体的 左视图为( )
解析： AD1 的投影是左上到右下的实线， B1C 的投影是左下到右上的虚线.
三视图问题全解析
数学讲师 许永忠
考点透视1Leabharlann 考纲要求：(3)考查难度：
一般为中低档题，有些题目较难.
必备技能
1.知识要求
从前面向后面正投影的投影图叫做正视图(主视图)；
2015届(理科数学)二轮复习课件_专题六_立体几何_第1讲_空间几何体
解析:观察题中三视图知该三棱锥的底面 为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形.
1 1 3 故体积等于 × ×3×1×2=1(cm ). 3 2
cm3.
答案:1
感悟备考
从近几年的考情分析来看:
三视图是每年的必考内容,一般以选择题的形式出现,一
是考查相关的识图,由三视图想象直观图,二是以三视图 为载体,考查体积的计算等,均属低中档题. 预计2015年仍以选择题形式考查三视图的识图问题以及 简单几何体体积的计算,另外,由直观图判断三视图以及
坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为 投影面,则得到的正视图可以为( )
解析:(1)由于俯视图是两个圆.所以排除选项A、B、C, 故选D. (2)在空间直角坐标系中,设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 1,A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),O(D)(0,0,0),若以zOx 平面为投影面,即从右向左看的正视图为正方形ADD1A1,其 中A1D、BC1分别为虚线、实线.
值为() 2
(C)1
解析:(1)由几何体的三视图得直观图如图,
1 2 1 则体积为[1×2+ ]×2=7(cm ).
3
2
故选 D.
(2)该几何体为四棱锥,高为 x,
1 3 底面面积为 ×(1+2)×1= , 2 2 x 3 1 于是 · = ,x=1. 3 2 2
故选A.
热点二 由三视图求空间几何体的体积及表面积 【例2】 (1)(2014温州一模)已知某几何体的三视图(单
位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(
)
1 1 3 故体积等于 × ×3×1×2=1(cm ). 3 2
cm3.
答案:1
感悟备考
从近几年的考情分析来看:
三视图是每年的必考内容,一般以选择题的形式出现,一
是考查相关的识图,由三视图想象直观图,二是以三视图 为载体,考查体积的计算等,均属低中档题. 预计2015年仍以选择题形式考查三视图的识图问题以及 简单几何体体积的计算,另外,由直观图判断三视图以及
坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为 投影面,则得到的正视图可以为( )
解析:(1)由于俯视图是两个圆.所以排除选项A、B、C, 故选D. (2)在空间直角坐标系中,设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 1,A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),O(D)(0,0,0),若以zOx 平面为投影面,即从右向左看的正视图为正方形ADD1A1,其 中A1D、BC1分别为虚线、实线.
值为() 2
(C)1
解析:(1)由几何体的三视图得直观图如图,
1 2 1 则体积为[1×2+ ]×2=7(cm ).
3
2
故选 D.
(2)该几何体为四棱锥,高为 x,
1 3 底面面积为 ×(1+2)×1= , 2 2 x 3 1 于是 · = ,x=1. 3 2 2
故选A.
热点二 由三视图求空间几何体的体积及表面积 【例2】 (1)(2014温州一模)已知某几何体的三视图(单
位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(
)
高考数学二轮立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
1．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，
即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
2．求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、 锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．
题型二 求空间几何体的体积
[例 3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若 圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中
心，则该圆柱的体积为________．
(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为 2， 下底为 4 的直角梯形，俯视图是一个边长为 4 的等边三角形，则该几何体的体积为______．
[解题方略]
求空间几何体体积的常用方法 公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对
应的棱、面的位置；
(3)确定几何体的直观图形状． 3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路 先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分视图
的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图
[例 1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部
分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
专题六 立体几何
例 2 如 图，在 正四 面 体 A - BCD 中 ，E, F , G 分别是 △ADC, △ABD, △BCD 的中心，则 △EF G 在 该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）
A
B
FE G
C
D
①
②
③
④
A．①③
B．②③④
C．③④
D．②④
解 析 正四 面体 各面的 中点在 四个 面上的 射影
高三二轮复习专题·数学（理）
专题六 立体几何
立 体几何 作为支 撑高 中数学 知识体 系的重 要知 识模块 之一，使其 成为历年高考必考 的重点内容．从 近几年 湖北省高考试卷中可 以看出，高考对立体几何 的考查 以基础题和中档题为 主，并以 空间元素的位置 关 系为主线 ，把空间 元素的 位置关系 、空间角 等知识 融合 在一起 ，立足基础 ，紧扣教材 ，以实现“眼 中模型 胸中策 ，想图画图 巧解题”的 能力考核目标．因此 ，对 立体 几何的 学习，要紧 扣教材 ，立 足基础 ，注 重通法 ， 类比拓 展，唯有如 此，才能“以不变应万 变”，达到事半 功倍之效果．
力考查的方向．
热点二 面积和体积的计算问题 例 3 已 知 某几 何体 的俯 视图 是如 图 所示 的矩 形 ，正 视图(主 视图)是一 个底边 长为 8、高为 4 的等腰 三 角形，侧视 图(左视 图)是一个 底边长 为 6、高 为 4 的 等腰三角形．
45
高三二轮复习专题·数学（理）
（1）求该几何体的体积 V ； （2）求该几何体的侧面积 S ．
何体的 直观图 ．此题 对空间 图形的 处理能 力是空 间
想象力深化的标志 ，是高考 从深层次上考查空间 想象 能力的主要方向．
例 4 某 市为创 建国家级 旅游城 市，市政府决 定
A
B
FE G
C
D
①
②
③
④
A．①③
B．②③④
C．③④
D．②④
解 析 正四 面体 各面的 中点在 四个 面上的 射影
高三二轮复习专题·数学（理）
专题六 立体几何
立 体几何 作为支 撑高 中数学 知识体 系的重 要知 识模块 之一，使其 成为历年高考必考 的重点内容．从 近几年 湖北省高考试卷中可 以看出，高考对立体几何 的考查 以基础题和中档题为 主，并以 空间元素的位置 关 系为主线 ，把空间 元素的 位置关系 、空间角 等知识 融合 在一起 ，立足基础 ，紧扣教材 ，以实现“眼 中模型 胸中策 ，想图画图 巧解题”的 能力考核目标．因此 ，对 立体 几何的 学习，要紧 扣教材 ，立 足基础 ，注 重通法 ， 类比拓 展，唯有如 此，才能“以不变应万 变”，达到事半 功倍之效果．
力考查的方向．
热点二 面积和体积的计算问题 例 3 已 知 某几 何体 的俯 视图 是如 图 所示 的矩 形 ，正 视图(主 视图)是一 个底边 长为 8、高为 4 的等腰 三 角形，侧视 图(左视 图)是一个 底边长 为 6、高 为 4 的 等腰三角形．
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高三二轮复习专题·数学（理）
（1）求该几何体的体积 V ； （2）求该几何体的侧面积 S ．
何体的 直观图 ．此题 对空间 图形的 处理能 力是空 间
想象力深化的标志 ，是高考 从深层次上考查空间 想象 能力的主要方向．
例 4 某 市为创 建国家级 旅游城 市，市政府决 定