高一零点问题的解题方法

高一零点问题的解题方

法

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．

(2)零点存在性定理(函数零点的判定)

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

(3)几个等价关系

函数y＝f(x)有零点 ? 方程f(x)＝0有实数根 ? 函数y＝f(x)的图象与函数y ＝0(即x轴)有交点．

推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点 ? 方程f(x)－g(x)＝0有实数根 ? 函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．

推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点 ? 方程f(x)＝g(x)有实数根 ? 函数y ＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．

1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？

提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．

3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？

提示：不一定，可能有多个．

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：

1．函数零点的求解与所在区间的判断；

2．判断函数零点个数；

3．利用函数的零点求解参数及取值范围．

考向一、函数零点的求解与所在区间的判断

1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

【解析】法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．

法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B

2．(2015·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝1

x

的图象交点的横坐标所在区

间为( )

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

【解析】函数y＝ln(x＋1)与y＝1

x

的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x

＋1)－1

x

的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln

3－1

2

＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．

【答案】B

3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝

________．

【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2．【答案】2

4．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )

A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内．

【答案】A

5．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )

A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}

C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}

【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2

－3x．求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7．

【答案】D

确定函数f(x)零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

1．已知函数f(x)＝6

x

－log

2x，在下列区间中，包含

f(x)零点的区间是( )

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)

【解析】因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝3

2

－log

2

4

＝－1

2

＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．

【答案】C

2．方程log

3x＋

x＝3的根所在的区间为( )

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3)

D．(3，4)

【解析】法一：方程log

3x＋

x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由

于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．

∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．

法二：方程log

3x＋

x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐

标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．

【答案】C

3．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝

a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3

x －λ3

的两个零点分别位于区间( ) A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内

B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)

内

C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内

D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋

∞)内

【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，

f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故

选B ．

【答案】B

考向二、判断函数零点个数

1．已知函数f (x )＝???

x －2，x >0，

－x 2

＋bx ＋c ，x ≤0

满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝

0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．

【解析】∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝1

2

．∴当x ＞0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12

或x ＝2(舍去)，

综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点． 【答案】 2

2．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】由f (x )＝2x

|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0．5x |＝? ??

??12x

．

设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝? ??

??12x

，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图

象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．

【答案】B

3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝???

2－|x |，x ≤2，

?x －2?2

，x ＞2，

函数g (x )＝3－

f (2－x )，则函数y ＝f (x )－

g (x )的零点个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【解析】分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点． 【答案】A

4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．

【解析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝

f (x )及y ＝lo

g 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．

【答案】4

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________． 【解析】函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝

x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图

象，如图，

由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2． 【答案】2

2．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1

－x 2

，函数g (x )＝???

lg x ，x >0，

0，x ＝0，

－1

x

，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的

解的个数为( )

A ．5

B ．7

C ．8

D ．10

【解析】依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，

结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－

g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．

【答案】C

考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围

1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( ) A ．0

B ．－14

C ．0或－1

4

D ．2

【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14．综上，当a ＝0或a ＝－1

4

时，函数仅有一个零点． 【答案】C

2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )

A ．(0，4)

B ．(4，＋∞)

C ．(0，2)

D ．(2，＋∞)

【解析】依题意，知方程|x 2

－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2

－

a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4．

【答案】B

3．已知函数f (x )＝log 2x －? ??

??13x

，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0

f (x 1)的值为( )

A ．恒为负

B ．等于零

C ．恒为正

D ．不小于零

【解析】在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝? ??

??

13x 的图象，由图象知f (x 1)＜0．

【答案】A

4．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)

时，f (x )＝?

?????

x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相

同)，则实数a 的取值范围是________．

【解析】当x ∈[0，3)时，f (x )＝?

?????x 2－2x ＋12＝???????x －1?2

－12，由f (x )是周期为

3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．

函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，

x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期

内的图象如图，可知当0＜a ＜1

2

时满足题意．

【答案】?

????

0，12

5．(2015·湖北八校联考)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝

[x ]

x

－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )

A ．? ????34，45∪??????43，32

B ．??????34，45∪??????43，32

C ．? ????12，23∪????

??54，32

D ．??????12，23∪????

??54，32 【解析】当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]

x

－a ＝－a ；当1≤x ＜2时，f (x )＝

[x ]

x

－a ＝1

x

－a ；当2≤x ＜3时，f (x )＝

[x ]

x

－a ＝2

x －a ；…．f (x )＝

[x ]

x

－a 的图象是把y ＝

[x ]

x

的

图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝

[x ]

x

的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈

? ????34，45∪????

??43，32． 【答案】A

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

1．(2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝??

?

2x

－1，x ≤1，

1＋log 2x ，x >1，

则函数f (x )的零点

为( )

A ．1

2，0

B ．－2，0

C ．1

2

D ．0

【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝1

2，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只

有0．

【解析】D

2．已知函数f (x )＝???

2x

－1，x ＞0，

－x 2

－2x ，x ≤0，

若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，

则实数m 的取值范围是________．

【解析】画出f (x )＝???

2x

－1，x ＞0，

－x 2

－2x ，x ≤0

的图象，如图．

由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 【答案】(0，1)

3．已知函数f (x )＝???

2x

－a ，x ≤0，

x 2

－3ax ＋a ，x ＞0

有三个不同的零点，则实数a 的取值

范围是________．

【解析】要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x ＝a 必有一根，此时0＜a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等实根，即

方程x 2

－3ax ＋a ＝0有2个不等正实根，于是?

???

?

Δ＝9a 2－4a ＞0，3a ＞0，

a ＞0，∴a ＞49，故4

9

＜

a ≤1．

【答案】? ??

??

49，1

必记结论 有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x

D ．y ＝x 2＋1

【解析】y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．

【答案】A

2．函数f (x )＝2x

－2

x

－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是

( )

A ．(1，3)

B ．(1，2)

C ．(0，3)

D ．(0，2)

【解析】由题意知f (1)·f (2)＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3． 【答案】C

3．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x

＋1

2

x －2的零点所在的区间是( )

A ．?

????

0，12

B ．? ??

??

12，1 C ．(1，2)

D ．(2，3)

【解析】∵f ? ????12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －3

2＞0，∴零点在区间?

??

??12，1上． 【答案】B

4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )

A ．? ????

15，＋∞

B ．(－∞，－1)∪? ??

??

15，＋∞

C ．?

????－1，15

D ．(－∞，－1)

【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞1

5

．

【答案】B

5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

【解析】由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．

【答案】B

6．(2014·开封模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，

f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

【解析】依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，

观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当

x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9．

【答案】C

7．(2014·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________．

【解析】∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2，3]，即a ＝2，b ＝3．∴a ＋b ＝5．

【答案】5

8．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．

【解析】因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，

当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点． 【答案】6

9．若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－

x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个

数共有________个．

【解析】函数y ＝f (x )以2为周期，y ＝g (x )是偶函数，画出图象可知有8个交点．

【答案】8

10．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝???

x 3

，x ≤a ，

x 2

，x ＞a .

若存在实数b ，使函数

g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．

【解析】令φ(x )＝x 3

(x ≤a )，h (x )＝x 2

(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或

φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋

∞)．

【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)

1．(2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ．若方程f (x )＝

g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )

A ．?

????

0，12

B ．? ??

??

12，1 C ．(1，2)

D ．(2，

＋∞)

【解析】先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，

当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为

1

2，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为? ??

??12，1． 【答案】B

2．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．?

????

0，12 C ．(1，＋∞)

D ．(0，1)

【解析】函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a (a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函数y ＝a x

(a ＞1)的图象与y 轴交于点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a ＞1．

【答案】C

3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝???

2－|x |，x ≤2，

?x －2?2

，x ＞2，

函数g (x )＝b －

f (2－x )，其中b ∈R ．若函数y ＝f (x )－

g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A ．? ??

??74，＋∞

B ．? ????－∞，74

C ．?

????

0，74

D ．? ??

??

74，2 【解析】函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4

个不同的交点．又

y ＝f (x )＋f (2－x )＝????

?

x 2＋x ＋2，x ＜0，

2，0≤x ≤2，

x 2

－5x ＋8，x ＞2，

作出该函数的图象

如图所示，由图可得，当7

4＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交

点．

【答案】D

4．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝

1

f ?x ＋1?

，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区

间(－1，1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )

A ．??????0，12

B ．??????12，＋∞

C ．?

?????

0，13

D ．?

????

0，12

【解析】当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]．因为函数f (x )＋1＝1

f ?x ＋1?，所以

f (x )＝1f ?x ＋1?－1＝1x ＋1－1＝－x

x ＋1

.即

f (x )＝???

－x x ＋1

，x ∈?－1，0]，

x ，x ∈?0，1].

函数

g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间

(－1，1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x

＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈?

????

0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零

点．

【答案】A

5．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝??

?

|x 2

＋5x ＋4|，x ≤0，

2|x －2|，x ＞0.

若函数y ＝

f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．

【解析】画出函数f (x )的图象如图所示．

函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．

当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2． 当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1

＝a |x |的图象有5个交点，

此时，由???

y ＝－ax ，

y ＝－x 2

－5x －4

得x 2＋(5－a )x ＋4＝0．

由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1＜a ＜2． 【答案】(1，2) 考向四、二分法

(1)定义：

对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；

(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；

(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．

④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④．

1．(教材习题改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

A B C D

【解析】由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．

【解析】C

2．(教材习题改编)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证

f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x1＝2＋4

2

＝3，计算得

f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间为( )

A．(2，4) B．(3，4)

C．(2，3) D．(2．5，3)

【解析】∵f(2)·f(4)＜0，f(2)·f(3)＜0，∴f(3)·f(4)＞0，∴零点x0所在的区间为(2，3)．

【解析】C

3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．

【解析】设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.4

2n

＜0．001，即2n＞100，由26

＝64，27＝128知n＝7．【解析】7