线性代数向量空间
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在Rn中,两种基本运算 : 数乘和加法
k a1 a2 L an ka1 ka2 L kan , k R
对于任意k R, Rn ,有k k.
a1 a2 L an b1 b2 L bn a1 b1 a2 b2 L
an bn
4
向量运算法则 :
(1)加法交换律 + = + (2)加法结合律 ( + ) = +( )
k1 2k3 1 即2k1 k2 3k3 1
3k1 4k2 6k3 5
线性方程组的增广矩阵为
A
' 1'
' 2
' 3
'
用初等行变换把它的增广矩阵化为最简阶梯矩阵 :
a1
或
a2
M
an
分量全为实数的向量称为实向量。
3
实数全体组成的集合记为R,n是自然数
Rn { a1 a2 L an ai R}
称为n维实行向量空间. R1 {a a R}是实数轴
R2 {a1 a2 a1, a2 R}是实平面 R3 {a1 a2 a3 a1, a2 , a3 R}是实三维空间
Ax b与Tx d是同解方程组.
求解方法:用初等行变换把增广矩阵 A b T d , 转而求Tx d的解,如果T d 是最简阶梯矩阵,求解容易得多.
在每一个非零行中第一个非零元素为1， 而它所在的列中只有一个非零元素，
其他元素都已化为零。
9
2x1 2x2 x3 6
例1 用初等行变换求解线性方程组
x1
2x2
4x3
3
5x1 7x2 x3 28
2 2 1 6
1 2 4 3
A b 1 2 4
5 7 1
3
r 1r2
2
2
28
5 7
1
6
1 28
1 2 4 3
1 2 Fra Baidu bibliotek 3
r2 ( 2) r1
r 3 (5)r1
0
6
9
0
r2 13
0
2
3
0
0 17 19 13
0 17 19 13
称k1, k2,..., km为组合系数或表出系数.
零向量可以用任意同维向量组线性表出:
0=01 02 ... 0m
称为零向量的平凡(trivial)表出式.
11
例2 在R3中取三个标准单位向量
1 1 0 0, 2 0 1 0, 3 0 0 1. 任意一个 a1 a2 a3 R都可唯一地
(3) 0 , 0 0 0 L 0是n维零行向量.
(4) +(- )=0 (5)1 = (6)向量分配律 k( + ) k k (7)数分配律 (k l) k l (8)数乘结合律 (kl) k(l ).
5
本章内容
• n维向量空间 • 向量组的线性组合 • 向量组的线性相关性与线
表为这三个标准单位向量的线性组合:
=a11 a22 a33.
如: 2 3 4 21 32 43 0 0 0 01 02 03
12
线性组合的矩阵表示
如果1,2,...,m和都是n维列向量,构造n m矩阵
A 1 2 L m
线性表出式 k11 k22 ... kmm
性无关性 • 向量组的秩
6
向量的线性组合
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
a2n xn LLLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
改写成矩阵形式
a11 a21
a12 a22
L L
L L L
xn
bm
常向量
7
分块矩阵 A b称为此线性方程组的增广矩阵,
是m (n 1)矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
8
利用初等行变换求解线性方程组
如果存在可逆阵P(它是若干个初等方阵的乘积), 使得
P A b PA Pb T d ,其中PA T , Pb d.
可改写成矩阵形式:
k11 k22 ... kmm 1 2 L
k1
m
k2
M
km
表出系数k1, k2 ,..., km就是线性方程组Ax 的解.
如果Ax 无解,说明不能表成1,2,...,m的线性组合.
线性方程组的方程个数就是向量维数(分量个数)n。
线性方程组的变量个数就是向量个数(表出系数个数)m。
r 1(14)
r2
0
01
2
r2 r3
0
1
0
3
T
d
0 1 0 3
0 0 1 2
x1 1
x2
3
x3
2
10
向量的线性组合
定义1 如果对于向量1,2,...,m和 R, 存在数k1, k2 ,..., km , 使得 k11 k22 ... kmm 则称 是1 , 2 , ..., m的线性组合, 或称 可由1 , 2 , ..., m线性表示(线性表出);
am1 am2 L
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
或Ax
b
L M M
amn xn bm
未知列向量
系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,b
b2
L M M
amn
13
例5(P70) 1 1 5能否表成1 1 2 3,2 0 1 4,3 2 3 6的线性组合?
解: 设 =k11 k22 k33,则
k1 2k1 3k1 0 k2 4k2 2k3 3k3 6k3 k1 2k3 2k1 k2 3k3 3k1 4k2 6k3 1 1 5
向量空间
本章内容
• n维向量空间 • 向量组的线性组合 • 向量组的线性相关性与线
性无关性 • 向量组的秩
2
n维向量空间
n 个有次序的数 a1, a2 ,L , an 所组成的数组 称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第i个数ai称为第i个分量 . 记为
a1, a2, L , an
1 2 4 3
1 2 4 3
r 3 (8)r2
0
2
0 1
3
0
r2 (2)r3
0
0
5 13
0 1
13
26
5 13
1 2 4 3
1 0 14 29
r2
(
1 13
)
0
0
1
2
r1 2r3
r 3 (5)r2
0
01
2
0 1 5 13
0 1 0 3
1 0 0 1
1 0 0 1
k a1 a2 L an ka1 ka2 L kan , k R
对于任意k R, Rn ,有k k.
a1 a2 L an b1 b2 L bn a1 b1 a2 b2 L
an bn
4
向量运算法则 :
(1)加法交换律 + = + (2)加法结合律 ( + ) = +( )
k1 2k3 1 即2k1 k2 3k3 1
3k1 4k2 6k3 5
线性方程组的增广矩阵为
A
' 1'
' 2
' 3
'
用初等行变换把它的增广矩阵化为最简阶梯矩阵 :
a1
或
a2
M
an
分量全为实数的向量称为实向量。
3
实数全体组成的集合记为R,n是自然数
Rn { a1 a2 L an ai R}
称为n维实行向量空间. R1 {a a R}是实数轴
R2 {a1 a2 a1, a2 R}是实平面 R3 {a1 a2 a3 a1, a2 , a3 R}是实三维空间
Ax b与Tx d是同解方程组.
求解方法:用初等行变换把增广矩阵 A b T d , 转而求Tx d的解,如果T d 是最简阶梯矩阵,求解容易得多.
在每一个非零行中第一个非零元素为1， 而它所在的列中只有一个非零元素，
其他元素都已化为零。
9
2x1 2x2 x3 6
例1 用初等行变换求解线性方程组
x1
2x2
4x3
3
5x1 7x2 x3 28
2 2 1 6
1 2 4 3
A b 1 2 4
5 7 1
3
r 1r2
2
2
28
5 7
1
6
1 28
1 2 4 3
1 2 Fra Baidu bibliotek 3
r2 ( 2) r1
r 3 (5)r1
0
6
9
0
r2 13
0
2
3
0
0 17 19 13
0 17 19 13
称k1, k2,..., km为组合系数或表出系数.
零向量可以用任意同维向量组线性表出:
0=01 02 ... 0m
称为零向量的平凡(trivial)表出式.
11
例2 在R3中取三个标准单位向量
1 1 0 0, 2 0 1 0, 3 0 0 1. 任意一个 a1 a2 a3 R都可唯一地
(3) 0 , 0 0 0 L 0是n维零行向量.
(4) +(- )=0 (5)1 = (6)向量分配律 k( + ) k k (7)数分配律 (k l) k l (8)数乘结合律 (kl) k(l ).
5
本章内容
• n维向量空间 • 向量组的线性组合 • 向量组的线性相关性与线
表为这三个标准单位向量的线性组合:
=a11 a22 a33.
如: 2 3 4 21 32 43 0 0 0 01 02 03
12
线性组合的矩阵表示
如果1,2,...,m和都是n维列向量,构造n m矩阵
A 1 2 L m
线性表出式 k11 k22 ... kmm
性无关性 • 向量组的秩
6
向量的线性组合
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
a2n xn LLLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
改写成矩阵形式
a11 a21
a12 a22
L L
L L L
xn
bm
常向量
7
分块矩阵 A b称为此线性方程组的增广矩阵,
是m (n 1)矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
8
利用初等行变换求解线性方程组
如果存在可逆阵P(它是若干个初等方阵的乘积), 使得
P A b PA Pb T d ,其中PA T , Pb d.
可改写成矩阵形式:
k11 k22 ... kmm 1 2 L
k1
m
k2
M
km
表出系数k1, k2 ,..., km就是线性方程组Ax 的解.
如果Ax 无解,说明不能表成1,2,...,m的线性组合.
线性方程组的方程个数就是向量维数(分量个数)n。
线性方程组的变量个数就是向量个数(表出系数个数)m。
r 1(14)
r2
0
01
2
r2 r3
0
1
0
3
T
d
0 1 0 3
0 0 1 2
x1 1
x2
3
x3
2
10
向量的线性组合
定义1 如果对于向量1,2,...,m和 R, 存在数k1, k2 ,..., km , 使得 k11 k22 ... kmm 则称 是1 , 2 , ..., m的线性组合, 或称 可由1 , 2 , ..., m线性表示(线性表出);
am1 am2 L
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
或Ax
b
L M M
amn xn bm
未知列向量
系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,b
b2
L M M
amn
13
例5(P70) 1 1 5能否表成1 1 2 3,2 0 1 4,3 2 3 6的线性组合?
解: 设 =k11 k22 k33,则
k1 2k1 3k1 0 k2 4k2 2k3 3k3 6k3 k1 2k3 2k1 k2 3k3 3k1 4k2 6k3 1 1 5
向量空间
本章内容
• n维向量空间 • 向量组的线性组合 • 向量组的线性相关性与线
性无关性 • 向量组的秩
2
n维向量空间
n 个有次序的数 a1, a2 ,L , an 所组成的数组 称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第i个数ai称为第i个分量 . 记为
a1, a2, L , an
1 2 4 3
1 2 4 3
r 3 (8)r2
0
2
0 1
3
0
r2 (2)r3
0
0
5 13
0 1
13
26
5 13
1 2 4 3
1 0 14 29
r2
(
1 13
)
0
0
1
2
r1 2r3
r 3 (5)r2
0
01
2
0 1 5 13
0 1 0 3
1 0 0 1
1 0 0 1