高中数学必修4三角函数知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结

第一章 三角函数

??

???

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落

在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?+

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z

[

终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,k k αα=?∈Z

3、终边相等的角：与角α终边相同的角的集合为{}

360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α

终边所落在的区域．

例4．设α角属于第二象限，且2

cos

2

cos

α

α

-=，则

2

α

角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解.C 22,(),,(),2

4

2

2

k k k Z k k k Z π

π

α

π

παππππ+

<<+∈+

<

<+

∈

当2,()k n n Z =∈时，

2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2

α

在第三象限； 而cos

cos

cos

02

2

2

α

α

α

=-?≤，2

α∴

在第三象限；

5、1弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=

． |

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

=

，180157.3π??=≈ ???

．

8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则弧长l r α=，周长2C r l =+，面积211

22

S lr r α==

．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点

的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 例7．设MP 和OM 分别是角

18

17π

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<

0,cos 01818

MP OM ππ

=>=< 12、同角三角函数的基本关系：

平方关系：()221sin cos 1αα+=，()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； 商数关系：()

sin 2tan cos ααα=，sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ???

．

13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限．

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．

"

()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

．

()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

． 例9．满足2

3

sin =

x 的x 的集合为_________________________________。 14、先平移后伸缩：函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

先伸缩后平移：函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

?

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

例10．将函数sin()3y x π

=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

再将所得的图象向左平移3

π

个单位，得到的图象对应的解析式是（ C ）

A ．1sin 2y x =

B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6

y x π

=-

；

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： （1）①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ωπ

=

=T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

（2）函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，

取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()max min 1

2

y y B =+，

()21122x x x x T

=-<．

例11．如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω

(1) 求这段时间最大温差；

(2) 写出这段曲线的函数解析式

解（1）20°； （2）20)4

5-8

sin(10+=ππx y

|

sin y x = … cos y x = tan y x =

图

象

定义域 R R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

— 值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最

值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =； 当22

x k π

π=-

()

k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；

当2x k ππ=+()k ∈Z 时，

min 1y =-．

<

既无最大值也无最小

值

周期性 2π 2π

π

奇偶性

奇函数 偶函数 奇函数

函

数 性 质

例14．已知函数)

(x

f

y=的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原

来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移

2

π

，这样得到的曲线和x

y sin

2

=的图象相同，则已知函数)

(x

f

y=的解析式为

____)

2

2

sin(

2

1π

-

=x

y___________________________.

第二章平面向量

1.平面向量的知识点：

）

（1）()],0[

,π

θ

θ∈

=

?其中

（2）)

,

(

),

,

(

,

2

2

1

1

2

1

2

1

y

x

y

x

y

y

x

x=

=

+

=

?其中

（3）=

θ

cos

在

（4）两向量的夹角：=

θ

cos

（5),(

,2

2y

x

y

x=

+

=

=其中

(6)

)

,(//)(//2212211112211

221e e e e y x y x μλμλμλμλλ+=+==?=?≠=?其中

(7)

向量三角不等式：||||||a +≤±≤-

第三章 三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin22sin cos ααα

=．

222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?

2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

?降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=． 2

2tan tan 21tan α

αα

=

-． 2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan

2

sin :

2

2

2α

α

αααα万能公式+-=+=