圆柱形梁弯曲和横向振动的精确分析
梁的弯曲分析
梁弯曲变形—挠度和斜度的≈计算
挠曲线 梁弯曲变形后轴线在xy平面内变为一条曲线，称为 挠曲线。 挠度 挠曲线上横坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移， 成为挠度，用来量化梁弯曲变形后轴线弯曲变化情况，其表 达式为：w=f(x) 梁的横截面对原来位置转过的角度，其值为： 斜度 i ≈tani=w的导数 即挠曲线上任意一点的斜率都可以精确的代 替该点处横截面的转角。 由几何关系可以推到出 式中左端为w的二次导数，经过积分后可以分别得到斜度和挠 度的方程为：
等强梁的概念
连续梁的超静定结构问题
连续梁的刚度分析—三弯方程
L1
Ln
0
1
2
3
n-2
n-1
n
n+1
Mn-1
Mn
Mn
Mn+1
n-1
n
n+1
连续梁的刚度分析
在对连续梁做出了结构上的分解简化以后，利用应变的几何 变化，以及莫尔积分和力法计算后，可以得到连续梁的三湾 方程：连续梁三弯方程的个数等于其超静定的次数。
L/2 Fs F M x F/2 M F/2 Fs F/2 F
பைடு நூலகம்
x
LF/4 F/2
-F/2 L/2 L/2
梁弯曲的正应力和抗弯刚度
因为梁在承受静止负载时最主要的变形就是弯曲，则通常情 况下在分析梁受力变形时可以当作纯弯曲情况，可以忽略切 应力的影响。 变形几何关系 在纯弯曲梁中取一微段dx。变形前互相平行相 距dx的两个横截面变形后会形成一个角度为θ的夹角，OO代表 中性层，其弯曲后曲率半径为ρ，则设距离中性层y的纤维长 度bb变为b1b1 则线段的应变为：
式中Wn为跨度Ln中的弯矩图的面积，an为该弯矩图形心到左 端的距离，bn+1为形心到右端的距离。对于各个分解后的简 支梁来说很容易就能求出以上几个参数。再对三弯方程组求 解，便可以求出M0~Mn,则连续梁所有跨度的受力情况都为已 知，则可以把它们看成是n个静定梁，按照以前的方法进行分 析即可。
第六章 弯曲-2
（5）讨论
q 67.6kg/m
25
目录
§6-6 梁横截面的合理选择
提高梁强度的主要措施
M max max [ ] Wx
1. 降低 M max
合理安排支座；合理布置载荷 2. 增大
Wx
合理设计截面；合理放置截面
26
目录
§6-6 梁横截面的合理选择
9
§6-4 梁横截面上的正应力
三、静力学关系
横截面上的弯矩：
M dA y
A
Ey
A
y dA
E
A
y 2 dA
令 J x A y 2 dA 横截面对中性轴x的轴惯性矩--单位m4 则
M EJ x
1
式中，EJx称为梁的抗弯刚度，其值越 大，则表明刚度越大，梁的变形越小。 由式（ 6-2 ）
1 M ρ EJ
忽略剪力对变形的影响
1 M (z) (z) EJ
39
目录
§6-7 梁的变形
由数学知识可知，平面曲线 的曲率： d2y
y
dz 2 dy 2 3 [1 ( ) ] dz 略去高阶小量，得
1
M(z > M (x) ) 00
M ((x) 0 M z) > 0
一、截面的轴惯性矩 常见截面的 Jx 和 Wx
J x y 2dA
A
Wx
Jx y max
圆截面
Jx Jy
D 4
64
Wx W y
D 3
32
Wx W y
圆环形截面 J x J y 矩形截面
混凝土梁静载弯曲试验的数据分析
混凝土梁静载弯曲试验的数据分析一、引言混凝土梁静载弯曲试验是确定混凝土梁的强度和刚度的重要方法之一，也是混凝土结构设计的基础。
数据分析是试验的重要环节，可以通过分析试验数据来确定混凝土梁的力学性能参数，为混凝土结构的设计提供依据。
本文将从试验数据的处理、试验数据的统计分析和试验数据的参数反演三个方面介绍混凝土梁静载弯曲试验数据分析的方法。
二、试验数据的处理试验数据的处理包括数据录入、数据清洗和数据筛选三个步骤。
1.数据录入将试验数据按照要求录入到电脑中，包括试验编号、试验日期、试验人员、试件尺寸、试验条件、试验载荷等试验参数和试验过程中的载荷、位移、应变等数据。
2.数据清洗数据清洗是指对试验数据进行初步处理，去除试验过程中产生的噪声和异常数据，保证数据的准确性和可靠性。
数据清洗的具体步骤包括：（1）去除试验过程中的噪声信号。
噪声信号是指试验过程中不是由试验载荷和试件变形引起的信号，如电磁干扰、机械振动等。
可以通过滤波器对数据进行滤波处理，去除噪声信号。
（2）去除试验数据中的异常点。
异常点是指试验数据中明显偏离正常数据的点，可能是由于设备故障、人为误操作等原因产生的。
可以通过数据可视化的方式对数据进行观察，去除异常数据点。
3.数据筛选数据筛选是指对清洗后的数据进行有效性判断，保留符合要求的数据。
数据筛选的具体步骤包括：（1）根据试验目的和试件尺寸，确定试验载荷和位移的采样频率和数据采集时间。
（2）根据试验过程中的载荷、位移和应变数据，计算试件的应力和应变。
（3）根据试验过程中的载荷、位移和应变数据，确定试验过程中的弹性阶段和塑性阶段，分别提取弹性阶段和塑性阶段的数据。
三、试验数据的统计分析试验数据的统计分析是指对试验数据进行数据描述和数据分析，得到试件的力学性能参数。
试验数据的统计分析包括数据描述、数据分布、概率分布、参数估计、假设检验等内容。
1.数据描述数据描述是指对试验数据进行统计量的计算和数据图形的绘制，得到试件的基本数据特征。
简支梁的变形与振动分析
简支梁的变形与振动分析简支梁是一种常见的结构形式，广泛应用于桥梁、楼板等工程中。
在实际工程项目中，我们需要对简支梁的变形和振动进行分析，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将从数学模型到应用实例，全面深入地探讨简支梁的变形与振动分析。
一、简支梁的基本理论简支梁是在两端支座的约束下，承受集中力或均布力作用下的一种结构形式。
为了研究其变形和振动特性，我们需要建立数学模型。
1. 简支梁的受力分析在进行简支梁的变形和振动分析前，首先需要了解其受力情况。
在两端支座的约束下，简支梁主要受到弯矩和剪力的作用。
通过弯矩和剪力的分析，可以得出简支梁的受力公式，进而计算结构在承受力作用下的变形。
2. 简支梁的变形分析简支梁在受力作用下会发生一定的变形。
根据梁的假设和力学原理，可以建立简支梁的弹性变形方程。
通过求解弹性变形方程，可以得到简支梁在各个位置的变形情况。
3. 简支梁的振动分析在实际工程中，简支梁还可能受到外力的激励，导致振动现象的发生。
为了分析简支梁的振动特性，我们可以建立简支梁的振动微分方程，并求解得到简支梁的振动模态。
二、简支梁的应用实例1. 桥梁工程简支梁在桥梁工程中得到广泛应用。
为了确保桥梁在运行过程中的安全性和稳定性，需要进行简支梁的变形与振动分析。
通过分析得到的变形和振动数据，可以对桥梁的结构参数进行优化，提高桥梁的工作性能。
2. 建筑结构在楼板、屋顶等建筑结构中，简支梁也扮演着重要的角色。
在设计建筑结构时，需要对简支梁进行变形与振动分析，以确保结构的稳定性和安全性。
通过合理调整支座位置或增加梁的截面尺寸，可以改善简支梁的变形和振动特性。
三、总结简支梁的变形与振动分析对于工程项目的设计和施工至关重要。
通过建立数学模型，进行受力分析和变形分析，可以预测结构在实际工况下的变形情况。
同时，通过振动分析，可以了解简支梁的振动特性，为结构的稳定性提供参考。
在实际工程中，我们还可以利用现代软件进行简支梁的有限元分析，获得更加准确的变形和振动数据。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
关于梁的弯曲中若干公式的分类讨论①
关于梁的弯曲中若干公式的分类讨论①梁的弯曲是指梁在受到外力作用下而呈现弯曲变形的现象。
梁的弯曲问题在结构工程中有着广泛应用。
了解和掌握梁的弯曲的数学模型和理论公式，对于结构工程领域的工程师以及相关专业的学生来说是非常重要的。
在本文中，我们将对梁的弯曲中若干公式进行分类讨论。
主要包括以下几个方面：1.梁的几何性质公式2.弯曲应力公式3.梁的挠度公式1.梁的几何性质公式对于梁的几何性质这一方面，我们主要讨论梁的横截面面积、转动惯量以及截面模量等公式。
梁的横截面面积公式：梁的横截面面积公式是指横截面所围成的面积，其中包含了斜率、坡度以及弯曲半径等参数。
其中，A表示横截面面积，I表示横截面的转动惯量，y表示离中心轴的距离，c表示中心轴到边缘的距离，r表示弯曲半径，θ表示角度。
梁的转动惯量公式：梁的转动惯量是指物体在旋转时所具有的惯性量，它是受梁的形状和质量分布影响的。
梁的截面模量是指横截面对弯曲产生的抵抗力矩的能力大小。
2.弯曲应力公式在梁的弯曲中，也需要研究弯曲应力。
弯曲应力是指横截面上材料所受的应力，该应力随着横截面的位置不同会发生变化。
通过弯曲应力的计算，可以对梁的弯曲情况进行分析和判断。
下面是弯曲应力的公式。
3.梁的挠度公式梁的挠度是指梁在受到作用力后的变形，挠度大小可以反映出梁的刚度大小。
梁的挠度公式可以用来估算梁的刚度以及受应力后的弯曲情况。
下面是梁的挠度公式。
其中，Y表示弧形中任意一点的挠度，x表示弯曲梁上的任意一点的坐标，L表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示横截面的转动惯量，M表示弯曲力矩。
总结：综合来看，梁的弯曲中若干公式主要包括梁的几何性质公式、弯曲应力公式以及梁的挠度公式。
学生和工程师们可以通过掌握这些公式，了解和分析梁的弯曲情况，为实际工程问题提供参考依据。
同时，在实践中，还需要将这些公式应用到具体问题中，结合实际情况进行计算和分析。
圆柱壳高频弯曲振动的能量有限元分析(2)
摘要 : 为了利用能量有限元方法得到圆柱壳体任意一点的高频振动响应 ,根据薄壳理论和能量平 衡关系 ,推导了圆柱壳弯曲振动能量密度的控制方程 ,并运用有限元方法对圆柱壳弯曲振动能量密 度的控制方程进行了求解 . 计算了 3 种不同激励下圆柱壳的能量密度分布 ,并对能量有限元方法和 统计能量方法的计算结果进行了比较 . 有限元方法的分析表明 ,使用能量有限元方法能够获得更详 细的结构振动响应信息 ,而用统计能量法只能得到整个圆柱壳体的平均能量信息 ,推导得出的能量 密度方程与梁的能量密度方程类似 ,只适用于计算圆柱壳高频轴对称弯曲的振动响应 . 关键词 : 有限元分析 ; 圆柱壳体 ; 高频振动 ; 控制方程 中图分类号 : TB123 文献标志码 : A 文章编号 : 02532987X ( 2008) 0921113204
的函数 . 假设壳体只承受法向载荷 , 则 N 1 = 0 . 运动 方程为 η ) D (1 + i
d4 w Eh 52 w h = 0 4 + 2 w +ρ dx a 5 t2
( 1)
ε ε ξ为相对 式中 : 1 、 2 分别为 x 方向和θ方向的应变 ; τ 剪切应变 ;γ 1 和γ 2 分别为 x 方向和θ方向的曲率 ; 为扭率 . 对于圆柱壳轴对称变形 , 应变和位移的关系为 μ du w ε ε ξ = 0 ( 10) =w, , 1 = 2 = dx a a d2 w γ γ τ= 0 ( 11) , 2 = 0, 1 = d x2 将式 ( 10) 和式 ( 11) 代入式 ( 9) 得 2 3 52 w 2 Eh w Eh ρ ( 12) 2 2 + 2 U = 2 a 24 ( 1 - μ ) 5 x 式中 : u 表示 x 方向的位移 ;