最新人教版高中数学必修一函数模型的应用举例(1)优质教案

3.2.2（1）函数模型的应用实例（教学设计）
教学目标：
知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实
际问题．
过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他
学科中的重要性．
情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点难点：
重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
一、新课引入：
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上
面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡
兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？
原来孙子提出了大胆的设想。
分析解答：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”
和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；
鸡数就是：35－12=23。激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．
用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．
二、师生互动，新课讲解：
例1(课本P102例3)．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
1）写出速度v关于时间t的函数解析式；
2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；
3）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；
4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车
里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．

012345
10
20
30
40
50
60
70
80
90

探索：
1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？
2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？
3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？
本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此
题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．

（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：
.54,2299)4(6543,2224)3(7532,2134)2(9021,2054)1(8010,200450tt
tt
tttttts

（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．
例2（课本P103例4）．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以
为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
rt
eyy

0

v
（km/h）

t（h）
其中t表示经过的时间，
0
y

表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份1950 1951 1952 1953 1954
人数55196 56300 57482 58796 60266
年份1955 1956 1957 1958 1959
人数61456 62828 64563 65994 67207
1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人
口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
探索：
1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？
如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？
本例中，数学模型
n
eyy

0是指数型函数模型，它由0y与r两个参数决定，而0
y与r

的值不难

得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，
并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．
课堂练习（课本P104练习 NO：1；2）
例3：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总
收益满足函数：

R(x)＝400x－12x2(0≤x≤400)80 000 (x>400).其中x
是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
分析由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．
解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，总利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以
f(x
)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．

解(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，

从而f(x)＝－12x2＋300x－20 000 (0≤x≤400)60 000－100x (x>400).
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x
)<60 000－100×400<25 000.

∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
点评在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销
售额＝销售价格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函
数关系．

三、课堂小结，巩固反思：
四、布置作业：
A组：
1.

一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如
果水深h时水的体积为V，则函数V=f(h)的图象大致是( )
答案D
解析考察相同的Δh内ΔV的大小比较．

2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案B

解析设至少要洗x次，则1－34x≤1100，

∴x≥1lg 2≈3.32，因此至少要洗4次．
3（课本P107习题3.2 A组 NO：2）
4（课本P107习题3.2 A组 NO：3）
5（课本P107习题3.2 A组 NO：4）（只列出总造价的表达式，并化简即可）
6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数

v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q
表示燕子的耗氧量．

(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
分析由题目可获取以下主要信息：
①已知飞行速度是耗氧量的函数；
②第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.
解答本题的关键是给变量赋值．
解(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2Q10，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：

v
＝5log28010＝5log28＝15 (m/s)．

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，
它的飞行速度为15 m/s.
点评直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数
运算性质求解．

B组：
1、（课本P107习题3.2 B组 NO：2）