2004浙江大学生高数竞赛真题
高等数学竞赛浙江省2004文科与专科类试卷
高等数学竞赛浙江省2004文科与专科类（摘自华工藏书：卢兴江 金蒙伟主编《高等数学竞赛教程》，浙江大学出版社） 一、计算题（每小题15分共60分）1．已知)lim0x ax b →∞-=,求常数,a b .（提示：11,3a b ==）2．计算()cos sin sin cos x dx x x x +⎰（提示：csc 2cos 4dxI xdx x π=-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰ln csc cot sec tan 244x x x x c ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭） 3． 计算1cos arccos cos arccos n x m x -⋅⎰,其中,m n 为非负整数。
（提示：作变 换()()()0cos cos 1arccos ,sin cos cos sin 2nt mt x x I t dt m n t m n t dt t ππ==-=++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰） ()()()0,0,02m n m n m n ππ====≠≠4．求曲线11x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1x =处的切线方程（提示：1ln 1x x y e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12ln 22k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,切线()122ln 212y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,）二、（满分20）设函数()g x 在(),-∞+∞上连续且恒证，若()()11f x t xg t dt -=-⎰,试讨论曲线()y f x =在[]1,1-上的凹向（提示：()()()()()1111xxxxf x xg t dt tg t dt tg t dt x g t dt --=-+-⎰⎰⎰⎰,()()()11xxf xg t dt g t dt -'=-⎰⎰()()20f x g x ''=>,曲线凹）三、（满分20分）求()2y x x =-与23x y +=所围成的平面图形面积及此平面图形绕直线1x =旋转所得旋转体的体积（提示：先交点()()1,1,3,3A B -,()()()()3311416232,2(1)232,33S x x x dx V x x x x dx ππ=---==----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰） 四、（满分20分）证明:当0x >时()()221ln 1x x x ++<。
2004年10月浙江省大学数学自学考试试题汇编近世代数
浙江省2004年10月大学数学试题高等教育自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分,共15分)1.设A=R(实数域), B=R＋(正实数域)φ:a→10a∀a∈A则φ是从A到B的( )。
A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.设A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。
A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x3.设S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( )。
A.1B.2C.3D.44.整数环Z中,可逆元的个数是( )。
A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类加群Z18的子群有( )。
A.3个B.6个C.9个D.12个二、填空题(每空3分,共27分)1.设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有____________个.2.n次对称群S n的阶是____________.3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.4.设G是p阶群,(p是素数),则G的生成元有____________个.5.除环的理想共有____________个.6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］},则S的单位元是____________.7.设I是唯一分解环,则I［x］与唯一分解环的关系是____________.8.在2, i＋3, π2, e-3中,____________是有理数域Q上的代数元.9.2＋3在Q上的极小多项式是____________.三、解答题(第1、2小题各12分,第3小题10分,共34分)12 1.设G 是6阶循环群,找出G 的全部生成元,并找出G 的所有子群.2.求剩余类环Z 6的所有子环,这些子环是不是Z 6的理想？3.设Z 是整数环,则(2)∩(3)、(2,3)是Z 的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z 的理想吗？为什么？四、证明题(每小题8分,共24分)1.设a 、b 是群G 的元素,a 的阶为2,b 的阶为3,且ab=ba,证明ab 的阶是6.2.证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e.3.设A=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 0b a a 、b 、c ∈⎭⎬⎫关于矩阵的加法和乘法构成一个环,证明A 1=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 000x ∈⎭⎬⎫是A 的子环,找出A 到A1的一个同态满射f,求f 的核N.。
浙江大学2004-2005学年秋冬学期_微积分I期末试卷
浙江大学2004 — 2005学年 秋冬 学期
考生姓名：所在院系：
学号：…………………………………………………………………..装………………………………….订………………………………….线………………………………………………………
《微积分I》课程期末考试试卷课程号： 061B0170，开课院系：理学院数学系
考试形式：闭卷，允许带笔入场
1．填空题（每空5分，共35分）
1．。
2．设可导，。
3．的值域为。
4．。
5．设。
6．当时，与等价无穷小，则常数
二．计算题（第1至3题每题6分，第4至5题每题8分，共34分）1．求
2．已知连续，求
3．求
4．求曲线与轴围成的平面图形分别绕轴与轴旋转一周所得的旋转体的体积
5．在曲线段上，求一点使得过点的切线与直线所围成的三角形的面积最大。
三．求幂级数的收敛区域以及在收敛区域上的和函数，并求级数的和。
（本题12分）
四．证明若（本题9分）
五．已知为连续函数。
（1）求常数；（2）证明的导函数连续。
（本题10分）。
2004年第13届“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛试题
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为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图 3 ）通过对预演的运
动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望.假设我们在某运动场举办
m 了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出. co 请你按以下步骤对图 2 的 20 个商区设计 MS 网点： xi. 1.根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律. ue com 2 .假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行
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2004 年第 13 届“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛
A 题 奥运会临时超w市w网w点.1设0计 网
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2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段.奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区 网 .1 需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket，以下记做 MS）网，以满足 习 www 观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和 才学 网 小日用品等.在比赛主场馆周边地区设置的这种 MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足 圣 学习 奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利.
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学(浙江卷)(理工类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =⋃)(N M （ ）(A) {1,2,3}(B) {2}(C) {1,3,4}(D) {4}(2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ）(A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21--(D) ()21,23-(3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）(A) –4(B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为（ ）(A) 1(B) –1(C) 3(D) –3(6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= （ ）(A)43(B)34(C) --34(D) --43 (7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）(A) 8(B) 9(C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA >21”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）(A)1716（B ）17174 （C ）54（D ）552 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ）(A)3π(B)4π(C)410arcsin(D)46arcsin（11）设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '= 的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能 的是（ ）（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可．．能．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x（C ）512-x（D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知⎨⎧≥=,0,1)(x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .（14）已知平面上三点A 、B 、C ,5=CA BC AB 则AB· BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于 .（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）. （16）已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 . 三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（18）（本题满分12分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ. （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）求随机变量ξ的期望ξE .（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.（20）（本题满分12分）设曲线x e y x(-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.（21）（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.（22）（本题满分14分）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）参考答案一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.1. D2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.D 11.B 12.D 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13. ]23,(-∞ 14. 14 --25 15. 5 16. 5三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. (18) (满分12分)解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的概率分布列如下ξ2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09随机变量ξ的数学期望ξE =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19) (满分12分)方法一解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形，∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE.(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD =I ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF.∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角. 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º.（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB =I ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QF 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF.在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ.∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形， ∴1)2(2+-=t PF ，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去) 即点P 是AC 的中点.方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设N BD AC =I ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是（0,2,2）、（)1,22,22 ∴ AM=（)1,22,22--∴NE=AM 且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM.又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD =I ∴AB ⊥平面ADF .∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量.∵NE·DB=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·NF=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 NE ⊥DB ，NE ⊥NF ，∴为平面BDF 的法向量. ∴cos<AB,NE>=21 ∴与的夹角是60º.即所求二面角A —DF —B 的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得),1,2,2(t t PF --=∴CD=（2，0，0） 又∵PF 和CD 所成的角是60º. ∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点.（20）（满分12分）解：（Ⅰ）因为,)()(x xe e xf ---='='x-故切线l 的方程为).(t x e e y t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t .（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t 所以S （t ）=)1()1(21+⋅+-t e t t =t e t -+2)1(21 从而).1)(1(21)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0,当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,所以S(t)的最大值为S(1)=e 2 (21) (满分12分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k kmk即221111k k k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--Y (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-b y x 得， 32122++=b所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x （22）（满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++- )(41444n n y y --=+ ,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列.。
2004浙江高等数学竞赛试题-答案
2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 一． 计算题（每小题15分，满分60分） 1． 解: 原式()22cos 2limtan xt x e tdt x x x x x→--=-⋅⎰00202cos 22lim 2tan sec x x e x x x x x x →--=--00202cos 22lim tan tan x x e x xx x x x→--=--203332cos 22lim tan tan x x e x xx x x x x x x →--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭其中223333000tan tan tan tan lim lim lim x x x x x x x x x x xx x x x →→→⎛⎫---=- ⎪⎝⎭ 2222232300001sec tan tan tan 4lim lim lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=-=-=-原式00320032cos 223cos sin 1lim lim 423xx x x x e x x e x e x x x→→----=-=- 0001cos sin sin cos lim22x x x x x e x e x e x e xx →---= 00012sin 1lim 42x x e x x →-=-=.①30tan sin limx x xx→-在课堂上作为一个典型的例子; ②3tan ()x x O x =+2． 解: 原式22cos 200424x dx x ππππ+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎰2222sin 20044x dx t ππππ--=-+⎰22222222sin 2004200444x dx dx t t πππππππ--=--+-+⎰⎰2221dπππ-=⎛⎫⎪+ ⎝==其他想法: 原式22202cos cos 20042004x xdx dx x x x x πππππππ++=+-+-+⎰⎰后者22222cos()cos 22004()()200422x t t xdx dt x x t t πππππππππππ-=+++=-++-++⎰⎰222sin 20044t dt t πππ-=-+⎰, 看来做不下去了!!!3． 解: ①在圆内(开集)(),2x f x y x '=, (),815y f x y y '=+, 解得驻点15(0,)8-, 但不在圆域内.②在圆周上2241x y +=, 求()22,415f x y x y y =++的极值, 是条件极值问题.()2222,415(41)F x y x y y x y λ=++++- (),280x F x y x x λ'=+= (),81520y F x y y y λ'=++=()22,410F x y x y λ'=+-= 解得: 驻点(0,1),(0,1)-(0,1)19f =,(0,1)11f -=-故最大值为(0,1)19f =, 最小值为(0,1)11f -=-.4． 解：()3max ,Dxy x d σ⎰⎰12333D D D xyd x d x d σσσ=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰16= 二．解: 21()1f x x '=-+, 则2(1)()1x f x '+=-,则两边对x 求(1)n -阶导数,由莱布尼茨公式得:2()(1)(2)(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x --++-+-=,令0x =,得:()(2)(0)(1)(0)n n f n n f -=--,而(0)1,(0)0f f '''=-=,则()120,;(0)(1)!,;n n n f n n +⎧⎪=⎨⎪-⎩当为偶数当为奇数 .三．解: 方程22149x y +=两边对x 求导得:2029x yy '+=,则12x y ='=-,直线段l 的方程为: 02y x =-+ 令sin (,)1yP x y x =-+, ()(,)cos ln 1Q x y y x =++, 则cos 1P y y x ∂=-∂+ cos 1Q y x x ∂=+∂+()s i nc o s l n131lyd x y x d yx⎛⎫⎡-+++-⎪⎣+⎝⎭⎰D BC CAσ=--⎰⎰⎰⎰121Dd dxxσ⎛⎫=+--+⎪⎝⎭⎰93921ln2sin ln2sin422242=--⋅+=-⋅.四．证明: ①()1lim()nbi iaif x dx f xλξ→==∆∑⎰由于a b<, 故0ix∆>, 无论[],a b怎么分、[]1,i i ix xξ-∈怎么取，1lim()ni iif xλξ→=∆∑存在且相等，即1lim()0ni iif xλξ→=∆=∑，由于f连续，故()0f x≡，[],x a b∈；（理由说的不够充分）②假设存在[],x a b∈，使得()00f x≠，不妨设()00f x>，则()000,[,],0x x x f xδδδ∃>∀∈-+>都有，由于函数f连续，故在00[,]x xδδ-+内存在最大、最小值分别为00,M m，显然000,0M m>>，而()()20b xa xf x dx f x dx mδδδ+-≥≥>⎰⎰与()0baf x dx=⎰矛盾，故假设错误，即()0f x≡，[],x a b∈。
2004年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(理科)
数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 (A) )23,21(-(B) ()21,23-- (C) ()23,21--(D) ()21,23- (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-= (D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= (A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --43 (7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A ）1716（B ）17174 （C ）54 （D ）552（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（A ）3π （B ）4π（C ）410arcsin（D ）46arcsin（11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。
浙江师范大学高等数学考试卷
浙江师范大学《高等数学》考试卷(2004—2005学年第2学期)考试类别 考试 使用学生 初阳 学院 文科04级 考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 5 月 28 日 说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。
一（20分）选择题1．直线122215x y z -++==-与平面430x y z +-=的关系是（ ） A ．直线与平面垂直B ．直线在平面上C ．直线与平面无公共点D ．直线与平面相交于一点2．22{(,)|1}D x y xy=+≤是2R 中的（ ）A. 闭集B. 开集C. 既是开集又是闭集D. 既不是开集也不是闭集 3．设yx y x y x f +-=),(，则=)2,0(df（ ）A. dyB. dxC. dy dx -D.2dxdy -4．级数2(1)nn +∞=-∑（ ）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定5．)ln(y x x z +=，则='')2,1(xxf （ ） A. 0 B.97 C.95 D. 313ln +6．函数)]([)(πππ≤≤-=x xx f 的傅立叶级数在点0=x 和2π=x 分别收敛于（ ）A .0和2/1 B. 0和0 C.2/1-和2/1 D.2/1-和0 7．若广义积分21pxd x +∞-⎰发散，则积分130pxd x -⎰（ ）A ．收敛B ．发散C ．可能收敛，可能发散D ．以上均不对 8．若),(y x f 在点),(000y x P 不可微，则下列命题中一定错误的是（ ）A. f 在0P 不连续B. f 在0P 沿任意方向的方向导数不存在C. f 在0P 的两个偏导数都存在且连续D. f 在0P 的两个偏导数都存在且至少有一个不连续9．设区域（σ）为24π≤22xy +≤2π，则()σσ⎰⎰＝（ ）A ．0B ．2πC ．－2πD ．3π10．已知2)()(y x ydydx ay x +++是某个二元函数的全微分，则=a （ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2 二．（18分）填空题1．二元函数(,)f x y xy =在)1,1(处的全微分(1,1)|d f = ①2．若42y x z +=，则(1,1)(,)|z zx y-∂∂∂∂= ② 3. 二重极限=++-+∞+∞→)(),(),()(limy x y x ey x ③4． 三向量,,a b c 的混合积[,,a b c]的几何意义是 ④5．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面的方程为 ⑤6．=⎰+∞-dx xex1⑥三. （10分）求y x y x z 161222+-+=在闭圆盘}25|),{(22≤+y x y x 上的最值。
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）B题电力市场的输电阻塞管理我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。
2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。
可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。
我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。
电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。
市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。
设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。
电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。
如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。
当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。
电力市场交易规则：1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。
各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。
在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。
2. 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注释），直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。
浙江省高等数学竞赛试题经管类2002-2010
浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）一． 计算题 (每小题５分，共30分) 1. 求极限)11)(1(cos 1lim0-+--→x e xx x2. 求积分⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=-⎰⎰221,221|),(,|1|y x y x D dxdy xy D3. 设x e x y 2=是方程hx ce by ay y =++'''的一个解，求常数h c b a 、、、4. 设)(x f 连续，且当1->x 时，2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰，求)(x f 5. 设∑==nk n kS 1221arctan，求n n S ∞→lim 6. 求积分dx e x x xx 1221)11(+⎰-+二．(15分) 求平面122=-+z y x 含在椭圆柱体19422=+y x 内的面积。
三． (20分) 证明：⎰>π2020)sin(dx x四．(20分) 设二元函数),(y x f 有一阶连续的偏导数，且)0,1()1,0(f f =.证明：单位圆围上至少存在两点满足方程 0),(),(=∂∂-∂∂y x f yx y x f x y五．(15分)（非数学专业做）设{}n a ，{}n b 为满足n nb n a e a e+=，1≥n 的两个实数列，已知 )1(0≥>n a n ，且∑∞=1n n a 收敛。
证明：nnn a b ∑∞=1也收敛。
六．（15分）（数学专业做）设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求∑∞=1n n nx a的收敛半径，收敛域及和函数。
2003年浙江省大学生数学竞赛试题（经管类专业）一、计算题1、已知0sin =++x y xe y ，求)0(y '2、设⎰=x dt t t x G 13sin )(，求dx x G ⎰21)(3、求520)sin(limxdt xt x x ⎰→4、求dxdy y yD⎰⎰sin ，其中D 为以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形区域。
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2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学专业） 一． 计算题（每小题15分，满分60分）
1
．计算：lim n →∞a 为常数。
2．计算：20cos 2004
x dx x x π
ππ+-+⎰。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在
(){}22,41
x y x y Ω=+≤上的最大、小值。
4．计算：
(
)3max ,D xy x d σ⎰⎰，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。
二．（本题满分20分） 设()1tan 1x f x arc x
-=+，求()0n f 。
三．（本题满分20分） 设椭圆22149x y +=
在1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
点的切线交y 轴于B 点，设l 为从A 到B 的直线段，试计算
(
)sin cos ln 11l y dx y x dy x ⎛⎫⎡-+++- ⎪⎣+⎝
⎭⎰。
四．（本题满分20分）已知函数()f x 在[]0,1上三阶可导，且
()01f =-，()10f =，()00f '=，试证至少存在一点()0,1ξ∈，使
()()()22113!
x x f x x f ξ-'''=-++，()0,1x ∈。
五．（本题满分15分） 设函数()f x 在[]0,1上连续，证明：
()()221
12222002f x f x dx dx t x t t x π⎛⎫≤ ⎪++⎝⎭⎰⎰，()0t >。
六．（本题满分15分） 判别级数
1n ∞=的敛散性，其中0α>为常。
（非专业组）
1．（本题满分20分）设函数f 连续，a b <，且()0b
a f x d x =⎰，试证明：()0f x ≡，[],x a
b ∈。
2．（本题满分15分）判别级数
1n ∞=的敛散性。
3.
（非专业组）计算：()()2
00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----⎰。