浅谈网络流算法的应用共28页
网络流基础及应用new
网络流基础及应用一.引例 运输方案下图为联结产品产地V 1和销地V 6的交通网，每一边(V i ,V j )代表从V i 到V j 的运输线，产品经这条边由V i 输送到V j ，边旁的数字表示这条运输线的最大通行能力(简称容量)。
产品经过交通网从V 1输送到V 6，现要求制定一个输送方案，使V 1运到V 6的产品数量最多。
下面是一个可行的输送方案，边旁的数字为该运输线的实际运输量(单位：吨)。
该运输方案表示：2吨产品沿有向路P 1(V 1,V 2,V 4,V 6)运到销地；1吨产品沿有向路P 2(V 1,V 2,V 5,V 6)运到销地；2吨产品沿有向路P 3(V 1,V 3,V 5,V 6)运到销地。
总共有5吨从V 1运到V 6。
运输方案的可行必须满足以下三个条件： ⑴实际运输量不能是负的；⑵每条边的实际运输量不能大于该边的容量；⑶除了起点V 1和终点V 6，对其他顶点(中间点)来说，不能囤积物资，即运到它那儿的物资是多少，从它那儿运走的物资也应该是多少。
运输方案的改进：根据这个运输网，是否可增大运输量？ 改进1：我们找到一条有向路P 4(V 1,V 2,V 3,V 4,V 6)可再增加1吨物资运输量，改进的方案如下：2284 371V1 V2 V5V3V4V64 4图1223 0 2321V1 V2 V5V3V4V6 图2改进2：有向路P5(V1,V3,V4,V6)还可增加1吨运输量：改进3：观察有向路P6(V1,V3,V2,V4,V6)中，将正方向的边(V1,V3)、(V2,V4)、(V4,V6)都可增加运输量，而反方向的边(V3,V2)的运输量为1，现将反向边(V3,V2)的运量调到正向边(V2,V4)上去完成，这样有向路P6(V1,V3,V2,V4,V6)的运量可增加1(想一想为什么可以这样做)。
至此，再找不到可“改进”的有向路了，所以，该交通网的最大运输量为8吨。
通过上述实例分析，包含了流量因素的问题，是一类特殊的图。
网络流的变换与应用
一般网络的最大流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
在一般情况下，网络可能有多个源和多个 汇
需要将一般网络的最大流问题转换为与之 等价的单源单汇网络的最大流问题
增加虚源s和虚汇t，同时增加相应的虚源到 源的边，增加虚汇到汇的边
思考：增加的边上填写的容量应该是多少？
网络的顶点容量约束
在有顶点容量约束的网络最大流问题中， 除了需要满足边容量约束外，在网络的某 些顶点处还要满足顶点容量的约束，即流 过该顶点的流量不能超过给定的约束值
若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全 匹配。
二分图的最大匹配
图9.2中各图的粗线表示匹配中的边（简称 匹配边）。（b）中匹配是最大的，X-完全 的，（c）中匹配是完全的（从而也是最大 的）。
二分图的最大匹配问题
最大匹配解决方法：网络流和匈牙利算法 将二分图最大匹配问题转换为网络流问题：
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中 的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题 (maximal matching problem)
如果X(Y)中任一顶点均为匹配M中边的端点，那么称M为 X(Y)-完全匹配(perfect matching)。
1、增加一个虚源s和虚汇t 2、从s向X的每个顶点都增加一条边，从Y 的每一个顶点都向t增加一条边 3、原图G中的每一条边都改为相应的X指向 Y的有向边 4、置所有边的容量为1
匈牙利算法
匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义 (也称增广轨或交错轨)：若边集合P是图G中一条连通两个未匹配顶点 的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上 交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
网络流——求网络最大流
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
(1,8)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
(5,2) V6
2
(1,6)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
V2 (0,+∞) V1 4 4
4
V4
6 V6 2
2 2
(1,4)
V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
网络流算法介绍与分析共91页文档
网络流算法介绍与分析
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
图论中的网络流最大流算法
图论中的网络流最大流算法网络流最大流算法是图论中的重要算法之一，用于在一个网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
通过这个算法，可以解决很多实际问题，如网络传输、货物调度等。
本文将介绍网络流最大流算法的原理、应用场景以及具体实现方法。
一、算法原理网络流最大流算法基于图论中的流网络模型，它将待解决的问题建模成一个有向图，图中的节点表示网络中的顶点，边表示两个顶点之间的连接，并且每条边上有一个权值，代表该边的流量上限。
该模型中包括一个源节点和一个汇节点，算法的目标是找到一条从源节点到汇节点的路径，使得沿着这条路径的流量最大。
算法的基本思想是不断地寻找增广路径，并通过增加流量来提高路径的流量。
具体实现中，可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来查找增广路径。
每次找到增广路径后，算法就会在路径上增加流量，并更新网络的容量。
通过不断寻找增广路径并增加流量，最终得到的流量即为网络的最大流。
二、应用场景网络流最大流算法可以解决很多实际问题，以下是几个常见的应用场景：1. 网络传输：在计算机网络中，经常需要确定网络中的最大可承载流量，以保证网络的正常运行。
网络流最大流算法可以帮助我们找到网络中数据传输的最大流量，并优化网络的传输效率。
2. 货物调度：在仓储物流管理中，需要确定货物从供应商到销售点的最佳路径，并保证货物的流动效率。
网络流最大流算法可以用来确定货物流动的最大流量，并提供最优的货物调度方案。
3. 交通规划：在城市交通规划中，需要确定交通网络中路段的最大容量，以保证道路的通行能力。
网络流最大流算法可以应用于交通规划中，帮助我们找到道路的最大容量，并优化交通流动。
三、具体实现方法网络流最大流算法有多种具体实现方法，其中最经典的算法是Ford-Fulkerson算法。
Ford-Fulkerson算法的基本思想是不断地寻找增广路径，并通过增加流量提高路径的流量。
算法的具体步骤如下：1. 初始化网络流为0。
2. 使用深度优先搜索或广度优先搜索找到一条增广路径。
网络流算法介绍
Leapin' Lizards
题意:有一间房子,有n*m个pillars,第一个矩阵表 示相应的pillars能跳几个Lizards,第二个矩阵表 示哪个pillars上有Lizard. d表示能跳的最大范 围.Lizard跳出边界就能逃跑,问最少还有几个 Lizards跑不了. 思路:拆点,最大流.将每个>0的pillars拆开,有L 的点由源点向其引一条边,边容量为1,能跳出边 界的点向汇点引边,边容量为无穷. 其他题目: pku 3498
二分图匹配例题BOJ1155
流网络示例
流速/流量f 流速限制 容量c
水源
蓄水池 汇点T 水管/边
源点S
网络流三个性质
容量限制：f(u,v) <= c(u,v) 对称性：f(u,v) == -f(v,u) 收支平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结 点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流 量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.
2 —> 3
此时的残量网络中不存在s-t通路 定义S为s可达的点集 定义T为可达t的点集 显然S＋T = V (S,T)中所有弧都满载，否则残量网络将不为0， 使s-t有通路 所以|f| = c(S,T)
3 —> 1
由|f| <= c(S,T)（任意割） 当|f| == c(S,T) |f|为最大值 从上面的证明，我们可以得到求最大流从增广 路径算法。 从2->3的证明给出了从最大流构造最小割的过 程，即求出s的可达点集S， 再令T = V - S
网络流问题
类比：求最短路径 把实际问题的道路地图抽象为有向图，然后 用一定算法求解最短路径。 我们也可以将一个有向图看作一个流网络来 解决另一类型的问题 。 匹配问题、运输问题、任务分配问题。。。
9.王欣上《浅谈基于分层思想的网络流算法》
必然会经过第二类边 经过的第一类边的数 量>=k
.. .
{level=k-1的顶点} 汇点
2007冬令营讲座 2007冬令营讲座
一、最短路径增值(MPLA) 层次图中增广路径长度序列严格递增 1<=路径长度<=n-1
最多建n次层次图
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一、最短路径增值(MPLA) 复杂度分析 最多有n层 建层次图： 每层做一次bfs标号O(m)
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加入这个简单的判断后，MPLA算法仍 然只能过60% 但是Dinic通过了100%的数据
其实这题的标准方法是贪心
使用高效的网络流算法节省了大部分的思考时间
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四、MPM 顶点u的通过量g(u)： 剩余图中，入边权和与出边权和的较小值
N个点 M个点
N<=5000 M<=50000
大
源点
汇点
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Ac它
贪心初始流
使用高效的网络流算法
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NOI2006: Profit 最大获利
算法的选择
Test1~8 最短路径增值 Dinic 预流推进 <0.1s <0.03s <0.03s test9 >30s 0.40s 0.53s test10 >30s 0.37s 0.51s
浅谈基于分层思想的 网络流算法
上海市延安中学 王欣上
Email: wxsxg@
最短路径增值(MPLA) Dinic MPM
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什么是剩余图？ 剩余图G’=(V,E’) 流量网络G=(V,E)中，对于任意一条边(a,b)，若 flow(a,b)<capacity(a,b) 则(a,b)∈ E’
最大流算法在网络流量问题中的应用
最大流算法在网络流量问题中的应用网络流量问题是指在网络中传输数据时的信息流量问题。
这个问题常常需要使用最大流算法来解决。
最大流算法是一种用于寻找网络中的最大物质量传输量的算法。
最大流算法在通信、交通、水文、金融等领域中有广泛的应用。
网络流量问题与最大流算法的关系在计算机网络中，数据包的传输由源节点和目标节点之间的通道组成。
当存在网络堵塞现象时，通道的容量会限制数据包的传输速度和数量。
这时，就需要最大流算法来计算网络中的最大物质量传输量，帮助解决网络拥塞问题。
最大流算法的原理最大流问题可以转化为寻找网络中的最小割。
在一个网路图中，如果我们要将某个节点上的信息流送到另一个节点，那么需要通过一个网络图，网络图基于给定的能力值设置了容量。
在这种情况下，最大流算法可以算出按给定流量分布流到每个节点的最大物质量。
最大流算法采用了一种找到最大物质量传输量的方法。
这个方法被称为增广路径方法。
这种方法利用了模型中的残存图，残存图是指将当时最大流中占据着最大流的边剔除，然后代入新增的增广路径。
最大流算法的实现最大流算法可以使用多种方法来实现。
其中，最常用的方法是Ford-Fulkerson算法及其改进的算法。
Ford-Fulkerson算法是一种流量增量算法，它计算网络中所有从源节点到汇节点的最大物质量流。
这个算法的核心是一个递增路径搜寻的过程，在每一次搜寻过程中增大这条路径的流量。
除了Ford-Fulkerson算法，还有其他的最大流算法。
比如说，预流推进算法和Edmonds-Karp算法。
其中，预流推进算法利用了前向推进和后向收缩两种操作，在实现上更加复杂。
Edmonds-Karp算法则采用了广度优先搜索法，能够快速找到增广路径，实现上也比较直观。
最大流算法的应用最大流算法在计算机网络和信息科学领域中有广泛的应用。
它可以用来优化网络中的资源分配和流量控制，提高网络性能和可靠性。
在视频流媒体和云计算等领域中，最大流算法可以用来优化资源分配，提高多媒体数据传输质量。
网络流ppt
最小割容量=最大流
3 网络流的几个主要研究分支
3.1最大流 3.2最小费用最大流
最大流问题:
在网络上寻求一个使流量 υ(ƒ)达到最大的流ƒ， 称之为网络最大流问题。它是网络流理论中的一 个主要研究课题,已获得一些重要结果： ① 若各弧上的容量都是正整数，则必存在各弧上 的流量都是整数的最大流。 ② 流ƒ是最大流的充分必要条件是,不存在关于ƒ的 增广链。从而将寻求最大流问题化为判断有无增 广链问题。易见，图1中的b不是最大流。福特和 富尔克森提出了一种标号法，即对网络上的点给 以标号，从υs出发沿网络上的弧向υt探寻增广链 的方法。
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
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(3,5)
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(6,6) v1
v2
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(0,3)
(0,3)
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v5
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(4,10)
v3
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(4,5)
(6,6) v1
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(0,3)
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vn
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(0,3)
(0,3)
(4,10)
图论中网络流算法及优化
图论中网络流算法及优化图论中的网络流算法及优化一、引言网络流算法是图论中的重要分支，它被广泛应用于解决各种实际问题，如交通流、电力传输等。
本文将介绍网络流算法的基本概念和常用的优化方法。
二、网络流算法1. 最大流问题最大流问题是网络流算法中最基本的问题之一。
其目标是在给定网络中找到从源点到汇点的最大流量。
常用的解决方法包括：（1）Ford-Fulkerson算法：该算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
（2）Edmonds-Karp算法：在Ford-Fulkerson算法的基础上，引入了BFS搜索策略来寻找增广路径，提高了算法的效率。
2. 最小割问题最小割问题与最大流问题密切相关。
最小割是指将网络划分为两个部分，并且使得网络中横跨这两个部分的边的权重之和最小。
常用的解决方法包括：（1）Ford-Fulkerson算法：该算法在求解最大流问题的同时可以得到最小割的结果。
（2）Dinic算法：通过构造分层图和阻塞流的概念，提高了算法的效率。
三、网络流算法的优化网络流算法在实际应用中可能面临大规模问题的挑战，因此需要采用一些优化方法来提高算法的效率和准确性。
1. 改进的数据结构使用合适的数据结构可以减少算法的时间和空间复杂度。
例如，使用邻接矩阵或邻接表来存储图的信息，选择合适的数据结构来表示流量、残余网络等。
2. 快速增广快速增广是一种对增广路径进行选择的策略，可以减少算法的时间复杂度。
常见的快速增广方法包括Dinic算法和HLPP算法。
3. 预流推进预流推进是一种改进的增广策略，它通过将多余的流量分配到其他边上，减少了增广路径的数量。
常用的预流推进算法包括Push-Relabel 算法和Preflow-Push算法。
4. 分阶段算法对于大规模的网络流问题，可以采用分阶段算法来解决。
分阶段算法将整个问题划分为多个子问题，并结合贪心、动态规划等方法进行求解。
四、总结网络流算法在图论中扮演着重要的角色，可以解决许多实际问题。