数学模型方法在解题中的应用
如何在分数乘除法应用题教学中渗透数学模型思想
如何在分数乘除法应用题教学中渗透数学模型思想数学思想是对数学知识、方法、规律的本质认识，是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。
小学数学课程中蕴涵着丰富的数学思想，学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是数学课程的一个重要目的。
如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使教师讲深讲透，要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”“记忆型”的，将背离数学教育的目标。
因此，在小学数学教学中，教师要根据小学生的年龄特点，不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透。
但由于数学思想它蕴含渗透在知识体系中，是无形的。
教师如何让学生学会知识的同时，又学会数学思想，一直是教师探究的课题。
渗透数学思想方法的途径主要有两条：一是通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的基本思想和方法，倾向于技巧性强的方法。
二是通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成对人的素质有促进作用的基本思想方法，倾向于一般的思考方法。
我们在分数乘除法应用题教学中主要采用第二种途径。
一、渗透数形结合的思想方法数学家华罗庚曾说：“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。
”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。
数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，能丰富学生的表象，引发联想。
在分数乘除应用题教学时经常通过画线段图或面积图弄清题意，分析数量关系，拓宽解题思路，能引导学生迅速找到解决问题的方法。
如：应用题“水果批发公司有水果25000千克，卖出2/5，还剩下多少千克？”的教学，引导学根据题意先画出线段图。
学生从图中很快找到了许多数量关系：（1）可以先求出卖出多少千克，就是求25000的2/5是多少，再用总数减去卖出千克数求出剩下的重量。
数学模型在高考中的体现
数学模型在高考中的体现作者：马佳来源：《考试与评价》2021年第08期【摘要】在信息化越来越普遍的今天，将数学和实际生活相联也成为高考数学必备的内容，这就表明数学建模已经在教学中占有了很重要的地位，数学建模能力也将受到越来越多人的重视，重视程度也在一步步加深，但是目前高中生的数学建模能力仍然较弱，因此本文将研究数学模型在高考中的体现。
【关键词】数学模型高考数学体现数学建模的能力提升可以让学生的学习兴趣更加浓厚，大部分学生对数学建模还是比较感兴趣的，因为数学建模可以从不同程度提升学生的思维，然后帮助学生将数学题更迅速的做出来。
其实数学建模本身就是一个不断探索的过程，对于普通的教学模式来说，数学建模主要是以学生为中心，培养学生的能力，使得学生了解更多的数学解决问题的方法。
教学中的重点是教师能够为学生提出问题，让学生去解决问题，并且鼓励学生积极的和其他人辩论，创造一个这样的环境去诱导学生学习，培养学生的自学能力，本文通过分析学生建模能力较弱的原因，得出了一系列高中数学建模能力培养的策略。
一、学生建模能力较弱的原因学生对于数学学习的兴趣不高，尤其是对建模这部分。
学生对建模步骤掌握的不是很牢固。
还有很多学生在平时没有做一些类似的建模训练，从而导致学生出现了差距。
再加上这些学生的学习态度不积极，使学生的归纳总结不是很完整;除了学生的原因之外，就是教师教学方面的原因，有时教师组织数学建模活动比较少对数学建模根本不重视，教师在为数学建模进行讲解时也讲解的很少，再加上教师的教学方法也不是很完善，从而导致学生的建模能力比较弱。
二、高中生数学建模能力培养策略2.1提高建模意识，关注高考动向教师是数学建模的关键，首先要保证教师的知识水平扎实，并且教学水平很高，教师要先转变自己错误的教学观念将数学建模在数学中应用，并且设计好每一堂课的教学内容，符合实际的教学现状，让学生在这个过程中积极的参与教师的教学。
教师要清楚地了解自己在数学建模中的作用，然后将数学知识和现实生活相联系，让学生在高考中利用数学建模解决更多的问题，从而提高数学成绩。
数学模型与数学分析———怎样解答“盈亏问题”
文本解读新课程NEW CURRICULUM数学模型与数学分析———怎样解答“盈亏问题”邓忠洪（四川省资阳市雁江区第七小学）平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。
殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还是做不来。
数学的建模与分析非常重要，有了规范的数学模型，就能正确地进行数学分析。
只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题。
笔者以“盈亏问题”的解题方法为例，谈谈怎样建立数学模型和进行数学分析。
一、他人的经验及方法把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。
已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：份数=（盈+亏）÷两次分配数的差；物品总数=每份个数×份数±盈亏数。
解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配人数，进而求出物品的数量。
趣味数学之《木长几何》———《孙子算经》里有这样一道题：今有木，不知长短。
引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺。
木长几何？（屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半（如图）。
解答：绳子的长度：（4.5+1）×2=11（尺）木料的长度：11-4.5=6.5（尺）答：（略）分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。
”这里用到了一点点“盈亏问题”。
为什么这样说呢？遇到类似问题还能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。
二、建立数学模型他人的方法及经验看似简单易行，可事实并非如此。
学生机械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。
数学解题思维拓展高中数学思考题解析与解答技巧
数学解题思维拓展高中数学思考题解析与解答技巧数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科。
高中数学不仅要求学生掌握基本的解题方法，还要拓展思维，培养解题的策略和技巧。
在这篇文章中，我们将探讨数学解题思维的拓展以及高中数学思考题的解析与解答技巧，帮助学生提高数学解题的能力。
一、思维拓展与解题思路1.建立数学模型在解决实际问题的数学题中，我们可以通过建立数学模型来帮助解题。
数学模型可以是方程、不等式、图形等形式，根据不同题目的需求，找到适合的数学模型，转化为数学问题求解。
例如，我们遇到一个几何问题，通过仔细观察，并应用一些几何定理，可以将复杂的问题简化为简单的图形模型，然后进行分析和求解。
2.引入辅助量有时候，我们在解题过程中可以引入一些有用的辅助量，来简化问题或者提供更多的信息。
辅助量是我们人为引入的，它们可以帮助我们更好地理解问题和找到解决问题的方法。
例如，我们在解方程组的时候，可以通过引入新的变量或者设定临时变量来简化方程组的解法，使得整个解题过程更加简洁和优雅。
3.逆向思维逆向思维是一种非常有用的解题方法。
当我们遇到一个复杂的问题时，可以尝试从问题的最终目标出发，逆向思考，找到达到目标的步骤或者方法。
例如，我们遇到一个概率题，需要计算某个事件的概率。
有时候，我们可以从事件的相反情况出发，计算其概率，再用1减去这个概率，就可以得到我们需要的结果。
二、高中数学思考题解析技巧1.理解题意在解答高中数学思考题时，首先要仔细阅读题目，理解题意。
有时候，一个字或者一个条件的改变，可能会影响到整个解题思路和方法。
在阅读题目的时候，可以将重要的信息标注出来，帮助我们更好地理解题意。
如果遇到复杂的问题，可以试着用自己的话归纳总结一下问题的要点，确保自己理解正确。
2.分析题目在理解题意的基础上，我们需要对题目进行分析，明确问题的目标和条件。
有时候，我们需要将问题进行拆解，划分成几个小问题，再逐一解决。
在分析题目的时候，可以尝试从不同角度或者不同方法考虑问题，找到多个解题思路，分析各自的优劣，选择最合适的方法来解决问题。
中考圆的七大解题模型
中考圆的七大解题模型中考圆的七大解题模型是指在中考数学中与圆相关的常见问题的解题方法。
这其中包括以下七种解题模型：一、圆的性质运用模型：在解题过程中，我们可以利用圆的性质进行分析和计算。
例如，圆的周长计算公式2πr、面积计算公式πr²等，可以帮助我们解决与周长、面积相关的问题。
二、切线与弦模型：切线与弦是圆中常见的线段，可以利用它们之间的关系进行问题的解答。
比如，利用切线与半径垂直的性质，可以解决与切线长度、切点的位置等问题。
三、正多边形内接圆模型：正多边形内接圆是指一个正多边形内切于一个圆。
利用正多边形内接圆的一些性质，我们可以解决一些和正多边形和圆有关的问题，如多边形的边长、圆的半径等。
四、弦长定理模型：弦长定理是指在一个圆上，两条弦的乘积等于它们分别对应的弦分割的弧段的乘积。
通过运用弦长定理，我们可以解决与圆弧长、圆心角度、弦长等问题。
五、割线模型：割线是指一条直线穿过圆内部，并且与圆的边界有两个交点。
利用割线与弦之间的关系，我们可以解决与割线长、弦长、切点位置等问题。
六、相切与相交模型：当两个圆相切或相交时，它们之间会存在一些特殊的关系。
利用这些关系，我们可以解决与两个圆的半径、圆心、切点、相交弦等问题。
七、轨迹模型：轨迹是指在一定条件下，一个点、一条线或一个图形所组成的曲线或曲面。
利用轨迹的特点，我们可以解决与圆的半径、圆心位置、点的位置等问题。
通过掌握这七大解题模型，我们可以更加方便地解决中考数学中与圆相关的各种问题，提高解题的效率和准确性。
同时，也能够培养我们对于几何形体的认识和推理能力。
数学模型方法在排列组合中的应用
数学模型方法在排列组合中的应用作者：徐家平来源：《考试周刊》2012年第49期摘要：排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，它具有理论性强，对逻辑思维要求高，思想方法独特灵活等特点.通过构造排列组合实际问题模型解题，方法新颖、独特，可帮助学生多角度地思考问题，培养思维的深刻性、灵活性，激发学生的创造力，形成创新意识.本文分析了多种排列组合中的数学模型，帮助同学们更快更准确地解决排列组合问题.关键词：数学模型排列组合应用排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，这一方面的问题解决已成为数学教育关注的一个热点.但由于它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏，以及不易发现错误等特征，所以学生在学习这部分内容时经常碰到不少困难.而数学模型方法（Mathematical modelling method简称MM方法）在处理一些排列组合问题中有着它独特的优势，可以克服传统方法中导致学生易犯错的情况，具有很高的应用价值.所谓MM方法，就是将所考察的实际问题转化为一个具体数学问题，构造出相应的模型，通过对模型的研究和解答，问题得以解决的一种数学方法.其基本过程可用下面的框图来表示：构造模型的关键是对实际问题进行抽象概括转化，抓住问题实质.本文结合具体例子，介绍几种排列组合问题中常见的数学模型.一、不等式（方程）组模型在解决某些排列组合问题时，我们可以先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，解方程即可.例1：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解：设取x个红球，y个白球，则x+y=52x+y≥7（0≤x≤4，0≤y≤6）∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1符合题意的取法种数有CC+CC+CC=186种.二、树形图模型某些实际问题常没有提供数学运算的对象，不易求解.为使其转化为数学问题处理，可将问题中需要考察的某些对象或状态进行处理，通过建立模型去解决.画“树形图”、“框图”等手段就能使一些复杂的排列组合问题直观化，从而寻求解题途径，但此法由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验.例2：三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（?摇?摇）.（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种解：该题较新颖，要在考试的较短时间内迅速获得答案，有一定的困难.但是我们如果能够结合题意，构造出一张传球的树形图，那么问题也就不会显得那么复杂了.由上图可知甲开始传球，第一次传球给乙经过五次传递最后回到甲手中共有5种方法，同理如果甲第一次传球给丙的话也有五种，所以答案是C.三、解析几何模型利用数形结合的思想为排列组合问题构造解析几何模型，可以把代数问题转化为比较形象的几何问题，便于解答.例3：设A={-8，-6，-4，-2，0，1，3，5，7，9}，从A中任取两个元素构成向量=（a，b），（a≠b且b≠0），则能组成模大于5的不同向量的个数为多少？解：由题设知a≠b，b≠0；根据向量模的几何意义，结合补集思想，只需求出以原点为圆心，5为半径的圆上及圆内所包含的以A中元素为横纵坐标的点的个数，然后从A中所有元素组成的不同坐标对应的点中除去即可.圆内及圆上的点有4×3+5=17个（不含x轴上的5个点），满足a≠b，b≠0的所有点有C•C=81个（不含x轴上的10个点），所以满足题设的点共有C•C-（4×3+5）=64个.四、立体几何模型在学习了立体几何与排列组合知识并对立体图形有充分的认识后，我们可以利用典型的空间模型与排列组合完美地结合起来，就能在处理相关方面的问题时带来许多方便.例4：A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？分析：在三棱锥A-BCD中，顶点A、B、C、D表示小岛A、B、C、D，棱（包括底边）表示桥.因同一平面上的三条棱不能将四个岛连接起来，因此，根据题意，不同的连桥方案有：C-4=16种.五、多位数模型很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，就可以使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局.多位数模型就很好地为我们诠释了这样一个思想.例5：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？分析：建立数学模型转化为数学问题：用1、2、3、4这4个数字组成没有重复的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？那么问题就容易解决了.由于答案数字也不大，我们可以一一列举出9个满足题意的四位数，所以四张贺年卡不同的分配方式共有9种.六、分球入盒模型例6：在某个城市中M、N两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的边都表示街道，从M到N处要使路程最近，则共有多少种走法？分析：把上图2×4的方格看成一张地图，每个小矩形的边当成一步，则从M到N至少要走6步，其中必须向北走2步、向东走4步.我们看如下的模型：将所走的6步用6张卡片表示，若卡片上写“北”字则表示向北走，现将2张写有“北”字的卡片和4张写有“东”字的卡片分别放入6个小盒子中，每个盒子里放一张，每一种放法对应着一种走法.如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则表示“从M处向东走3步，再向北走2步，然后向东走一步到N”.在这些卡片中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一张“东”（或“北”）即可，放法有C=15种或C=15种（卡片上只要字同则认为无区别）.由此推广：将上例中的2×4个方格推广到m×n个方格，这时从M到N的最短路程的走法是：C或C.。
人教版九年级数学下册-模型构建专题：解直角三角形应用中的模型【数学专题教学设计】
模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.◆类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．9．(2017·青岛中考)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)．【方法10】10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE ，求旗杆AB 的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C 2.32解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝60海里，∴CD ＝12AC ＝30海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－30°＝60°，∴BC ＝CDsin ∠CBD ＝203(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为203÷40＝32(小时)．3．解：如图，作AE ⊥CD .∵CD ＝BD ·tan60°＝3BD ，CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，∴AB ＝CD －CE ＝233BD ＝42米，∴BD ＝213米，CD ＝3BD ＝63米．答：⑪号楼的高度CD 为63米．4．解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E .设BD ＝x 米．∵∠CBD ＝60°，∴tan ∠CBD ＝CDBD ＝3，∴CD ＝3x 米．∵AB ＝2000米，∴AD ＝(x ＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan ∠CAD ＝CDAD ＝1，∴3x ＝x ＋2000，解得x ＝10003＋1000，∴CD ＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋10003)米．5．解：(1)在Rt △AHP 中，∵AH ＝5003米，由tan ∠APH ＝tan α＝AH HP ＝5003PH ＝23，可得PH ＝250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)设BC ⊥HQ 于C .在Rt △BCQ 中，∵BC ＝AH ＝5003米，∠BQC ＝30°，∴CQ ＝BCtan30°＝1500米．∵PQ ＝1255米，∴CP ＝245米．∵HP ＝250米，∴AB ＝HC ＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB 为5米．6．D7．22 解析：作PC ⊥AB 于点C .∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC ＝30°，AP ＝4×2＝8(海里)，∴PC ＝AP ×sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B 港沿西北方向出发，∴∠PBC ＝45°，∴PB ＝PC ÷sin45°＝4÷22＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．8．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝ADCD，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BD CD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．9．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝200×33＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则∠CFD ＝90°.∵tan ∠DCF ＝i ＝13＝33，∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4米，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD ·cos ∠DCF ＝4×32＝23(米)，∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝43(米)．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE ＝BF ＝43米，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan37°≈33米，则AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一 反比例函数与一次函数的综合 一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA －CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝k x的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972. 15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k 2.∵S 四边形OAPB ＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6. 17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．。
人教版2024新版七年级数学上册第六章方法模型：线段与角度计算中的方程思想与整体思想
∵EF=1 0cm，
∴2.5x=1 0，解得x=4.
F是CD的中点 CF=FD=2x cm
∴AB=1 2cm，CD=1 6cm.
3x
4x
方程思想
方程思想
读题
分析
解答
反思
例2.如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝1 8°，求∠AOC的度数．
E
O
1
2
则∠DOE= ∠AOB
A
如果M,N分别为AC,BC中点，
C在直线AB上运动的过程中,
1
2
始终有：MN= AB
解：设BD=x cm，则AB=3x cm，CD=4x cm.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
设BD=x cm
AB=3x=1 2cm
∴AE= AB=3x
AB=1 .5x
cm，CF=
CD=2x cm.
cm，
CD=4xcm
CD=4x=1 6cm
∴EF=AC-AE-CF=6x-1 .5x-2x=2.5x(cm).
解答
反思
如图，∠AOB＝1 30°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.则∠EOF=____________________；
F
B
C
E
OC在∠AOB外
部时，∠EOF的
度数会改变吗？
C
O
A
方法卡片
1
方程思想
已知量间的
和差倍分关
系较为复杂
2
B
通过设未知
数统一各量
的表示形式
列出方程
进行求解
整体法
D
如果∠1 =∠2,∠3=∠4
初中数学建模“三部曲”——以二元一次方程组数学模型的学习为例
新 课 ｌ导 学 ２ ０ １ １ ５ ． １ ０
・ 教 学 案例 与评 析 ●
中 的数 学 内涵 。
通 过对本题 解题 思路 的整体 分 析 ， 我们 帮助学 生总 结
了构建数学模 型的常 规思路 ， 利于 学生 的初 期模仿 和后 期 的 自主学 习。在 数学 建模 的过程 中， 其 核心 环节就 是构 建 模型． 易错环节是解方程组 ， 易 疏 漏 的 环 节 是 模 型 还 原 分 析
学生应对题 目的变 式 ． 更 好地 驾 驭 解题 思 路 和解 题 技巧 。 同时对建模方法 的学 习可 以为今 后 的函数 应用 做好 铺垫 ， 让学生更好地适应数学思维解 决 问题 的过程 。本文 以二 元
一
们 根据 设问来设 未知数 ： 设 飞艇 的速度 为 ， 风速为 Ｙ ； 其 次 本题我们筛选 出时 间 、 速度 和路 程 的数学关 系 ， 即时 间× 速 度＝ 路程 ． 建立方程组 ， 本题 我们需要 考虑顺 风和逆 风条件 下， 相 对 速 度 的 问题 ， 顺 风 时 飞 艇 的 速 度 为 ＋ ， 逆 风 时
初中 数 学 建模 “ 三 部曲 ”
以二 元 一江苏省 扬州 市江都 区浦头 中学 张瑞琴
运用数学建模 思想解 决应 用题 ， 概 括来 说就 是运 用形
式化 的数学语言来表述实际情形 中反 映的数学 实质 。通过 数学 运算 来揭示实 际情形 所蕴 含 的内在 规律 ， 对 可能 情 况 做出科学的预测和分析。以往 的教 学大纲 中并未 强调数 学 建模 在初中数学 中的应用 ， 但 是对 初 中数学 中应 用题 的分 析发现 ， 这类题 型虽然 变式 复杂 ， 但 解题 技巧 规律 性强 ， 基 于这种题 目的特点 ， 教 师可 以积极 地 渗透建 模 思想来 帮 助
初中数学解题模型之二元一次方程组的应用(鸡兔同笼问题)
初中数学解题模型之二元一次方程组的应用（鸡兔同笼问题）一．选择题（共10小题）1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，假设鸡有x只，兔有y只，已经列出一个方程x+y＝35，则另一个方程正确的是（）A．x+y＝94B．2x+4y＝94C．4x+2y＝94D．2x+y＝942．鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只，笼中鸡、兔的数目分别为（）A．8、12B．10、10C．11、9D．12、83．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）A．B．C．D．4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（）C．D．5．一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（）A．B．C．D．6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．7．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中各有鸡和兔（）只．A．笼中各有12只鸡，23只兔B．笼中各有23只鸡，12只兔C．笼中各有13只鸡，22只兔D．笼中各有22只鸡，13只兔8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设兔有x只，鸡有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．9．我国古代数学著作《孙子算经》有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意如下：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡与兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（）C．D．10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．通过计算，鸡和兔的数量分别为（）A．23和12B．12和23C．24和12D．12和24二．填空题（共10小题）11．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有只鸡，只兔．12．“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为．13．我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？”则题中兔有只．14．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为．15．鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》．原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目：①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？根据小雪编制的四道题目的数据，可以求得鸡兔只数的题目是（填题目前的序号）．16．中国的古代数学著作《孙子算经》中记载了有趣的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？”设有鸡x只，兔y只，可列方程组为．17．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有20头，下有64足，问鸡兔各几何？”若设鸡兔分别有x只，y只．你列出的关于x，y的二元一次方程组为．18．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，请将题中数量关系用二元一次方程组列出得．19．《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，如果设鸡有x只，兔有y只，以题意可得二元一次方程组．20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．初中数学解题模型之二元一次方程组的应用（鸡兔同笼问题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，假设鸡有x只，兔有y只，已经列出一个方程x+y＝35，则另一个方程正确的是（）A．x+y＝94B．2x+4y＝94C．4x+2y＝94D．2x+y＝94【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设鸡有x只，兔有y只，由下有九十四足，即可得出2x+4y＝94，此题得解．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只．∵下有九十四足，∴2x+4y＝94，∴另一个方程为2x+4y＝94．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．2．鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只，笼中鸡、兔的数目分别为（）A．8、12B．10、10C．11、9D．12、8【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，依题意，得：，解得：．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝48文钱，乙的钱+甲所有钱的＝48文钱，据此列方程组可得．【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，可以列出相应的方程组．【解答】解：设有x只兔子，y只鸡，由一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，可得方程x+y＝35，由下面数共有94只脚，可得方程4x+2y＝94，故可列方程组，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．5．一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设鸡有x只，兔有y只，等量关系：鸡+兔＝10，鸡脚+兔脚＝34．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，依题意得．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．解题的关键是弄清题意，找准等量关系，列出方程组．6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，可列方程组为，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．7．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中各有鸡和兔（）只．A．笼中各有12只鸡，23只兔B．笼中各有23只鸡，12只兔C．笼中各有13只鸡，22只兔D．笼中各有22只鸡，13只兔【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：，解得：．答：笼中有23只鸡，12只兔故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设兔有x只，鸡有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设兔有x只，鸡有y只，根据题意，可列方程组为，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．9．我国古代数学著作《孙子算经》有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意如下：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡与兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．通过计算，鸡和兔的数量分别为（）A．23和12B．12和23C．24和12D．12和24【考点】二元一次方程组的应用；数学常识；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“上有三十五头，下有九十四足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，依题意得：，解得：．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有6只鸡，6只兔．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】方程思想．【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据共有12个头36只腿，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：，解得：．答：笼中有6只鸡，6只兔．故答案为：6；6．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“笼中上有43个头，下有102个脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设笼中有鸡x只，兔y只，∵上有四十三头，∴鸡和兔共有43只，即x+y＝43；∵每只鸡有2足，每只兔有4足，笼中共有一百零二足，∴2x+4y＝102．联立两方程组成方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？”则题中兔有12只．【考点】二元一次方程组的应用；数学常识；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设兔有x只，鸡有y只，根据“上有三十五头，下有九十四足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设兔有x只，鸡有y只，依题意，得：，解得：．故答案为：12．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．15．鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》．原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目：①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？根据小雪编制的四道题目的数据，可以求得鸡兔只数的题目是③④（填题目前的序号）．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用．【分析】设笼中有x只雉，y只兔，根据各小题中头与足的数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只雉，y只兔，根据题意得，①，解得，不符合题意；②，此方程组无整数解，不符合题意；③，解得，符合题意；④，解得，符合题意；故答案为：③④．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．16．中国的古代数学著作《孙子算经》中记载了有趣的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？”设有鸡x只，兔y只，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．【分析】设有鸡x只，兔y只，根据鸡和兔共35只且鸡和兔共有94只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设有鸡x只，兔y只，依题意，得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有20头，下有64足，问鸡兔各几何？”若设鸡兔分别有x只，y只．你列出的关于x，y的二元一次方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】常规题型．【分析】设鸡兔分别有x只，y只，根据等量关系：今有鸡兔同笼，上有20头，下有64足，即可列出方程组．【解答】解：设鸡兔分别有x只，y只，由题意得：．故答案为．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．18．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，请将题中数量关系用二元一次方程组列出得．．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用．【分析】若设鸡有x只，兔有y只，根据“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足”，即可列出关于x和y的二元一次方程组．【解答】解：根据题意得：，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题找出等量关系列出方程组是解决本题的关键．19．《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，如果设鸡有x只，兔有y只，以题意可得二元一次方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，可列方程组为，故答案是：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：．故答案为．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．3．由实际问题抽象出二元一次方程（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．4．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．5．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＼
可
≤ ２＼ ，
量 的 关 系进行 ＿ 芎 察 ， 存 此 础 卜进 行 数 学 抽 象 ，
ｆ ｛ 数学 概 念 、 数 学 符 号和 数 ！ 羊表 达 』 ＝ Ｉ ＝ ： 简 沽 地 划 Ｊ 田 ｆ 事 物 列‘ 象 及 关 系 。如 现行 数 学 １ 具 不够 川 时 ， 还 可 提 出 新 的 数 学 概 念 和 法 ， 去 表 现 数 学 模 型 ２ ． 存 建 的 数 学 模 型 Ｆ 进 行 牟 ｝ ｝ 推 理 或 数 学 演算 ． 求 得 斛 答 ． ３ ． 把 从 数 学 模 型 得 到 的 理 论 解 答 返 问 纠 观
将 旧 进 行 迁 移 和 提 升 ， 主
要 借 助 于 “ 点 到 直 线 的 距
一
。
离 ” 和 “ ” 的 概 念 来 解 决 的。 这 可 以 看 作 是 一 种 概 念 型数 学模 型 ． ． 很 多 这 样 的 模
如 以解 决 “ 哥 尼 斯 堡 七 桥 问题 ” 为 例 。其 解 题
型 。
重要方法 。 也 是 处 理 各 种 实 际 问 题 的 ～ 般 数 学 方 法 。现 代 各 门 应 用 数 学 之 所 以 具 有 解 决 实 际 问 题
例 ３： 欧拉把 “ 哥 尼 斯 堡七 桥 问题 ” 抽 象 为 一 笔 画 出下 图 的 问 题 （ 所谓一笔画成 ， 就 是 笔 不 离
江巷 叙噶
１ ． 根槲 实 际 问题 的特 点 ， 恰 构 造 数 学 模 ．
１ ． 概 念 型数 学模 型 ： 建 模 与 概 念 原 型 例 １： 设 日 ＞ ０， ＞ ０， ａ ＋６ １， Ｅ明 ： 、 ／ 厂 丌 ＋ 对 所 研 究 的实 际 问题 即现 实 原 型 ， 嗄 分 析 其 埘 象 与关 系 结构 的本 质 属性 ， 抓 住 具 有 天 键 性 作 用 的
数 学模 型方 法在 解题 中的应 用
祁 金 陵
摘要 ： 数 学模 型是 针 对 或 参考 数 学 对 象的 特 征或 数 量 关 系 ， 采 用形 式化 数 学语 言 ． 概 括 地 或
近 似 地 表 述 出 来 的 一 种 数 学 结 构 。数 学 模 型 方 法 是 处 理 数 学 理 论 问 题 的 一 种 重 要 方 法 ． 也 是 处 理 各 种 实 际 问 题 的 一 般 数 学 方 法 。运 用 数 学 模 型 方 法 需 要 有 较 强 的 理 解 实 际 问 题 的 能 力 ， 以 及 通 过 实 践 加 以 验 证 的 能 力 。重 视 数 学 模 型 方 法 的 教 学 可 以 大 大 提 高 学 生 的 解 题 能 力 ， 对 培 养 学 生 的 能
实 去 ， 看 看 能 否 确 实 解 决 问题 。
以上 步骤 可 Ｈ ｛ 框 表 永 如 下 ：
可 看 出 点 Ａ 在 圆 弧 ＋ 一４（ Ｘ＞ ０， ｊ ／ ＞ ０） 上 最 舌 由 Ａ０＞ １ ＡＯ 即 可 证 明 结 论
此题 的证 明 ． 』 ｊ １ 导 学 生
ｉ
利 用数 学模 型解 决 实 际问题 的能 力 。 三 、 数 学 模 型 方 法 在 数 学 解 题 中 的 应 用 数 学 课 程标 准 强 调 ： 从 学 生 已 有 的 生 活 经 验
由 式 ※ 可 以 得
、 ＋ 、 ＋ 、 ≥
ｄ ＋Ｄ ＋Ｃ） ＋（ ａ ＋ｂ ＋Ｃ ＝ 、 ／２ （ ａ ＋ ＋Ｃ ）
由复 数模 的性 质 ： Ｉ Ｚ ］ ＋ ｚ ３ １ ≤ｌ ｚ １ ｌ ＋ｌ ｚ ２ ｛
＋｝ ｚ ３ ｛ ※ 为模 型 ， 设 复 数 Ｚ ｌ —ａ ＋ ｂ ， Ｚ ２ 一 Ｄ ＋ Ｃ ７ ， ｚ ３ 一
ｃ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱａ ７
题 ． 这 样 就 会 有 助 于 提 高 构 造 数 学 模 型 的 能 力 和
过 程 用 框 表 示 如 下 ： 、
型 都 是 基 于 现 实 的 生 活 情
境 作 出适 度 抽 象 后 的 产 物 。
２ ． 方法型 数 学模 型 ： 建 模 与符 号 化 思 想
例 ２： 设 ａ、 ｂ、 Ｃ 为非 负 数 ， 求证 ： 、 ／
、 厂 五 ￡ ＋＿ ＼ ／ 广 ≥、 （ ａ ＋ ＋Ｃ）
力是十 分布 盏的 、
关 键词 ： 数 学模 型 ： 数 学模 型 方法 ： 数 学 解 题
中图分 类 号 ： Ｇ６ ２ ３ ． ５ 文献 标 志码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３ — ９ ０ ９ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ — ０ ０ ７ ７ — ０ ３
数 学 模 型 方 法 是 处 理 数 学 理 论 问 题 的 一 种
用 数学 模 型 方法 ， 还 需 要 有 较 强 的 理 解 实 际 问 题 的能 力 ， 以 及 通 过 实 践 加 以 验 证 的 能 力 。 为 此 学 生 要 多 学 习 相 关 学 科 的 知 识 ， 经 常 接 触 实 际 问
ａ 、 ｂ 、 Ｃ为 非 负 数 ， 右 端 则有 ａ ＋ ６ ＋ ｃ —ｆ ａ ＋ ６ ＋Ｃ ｆ
＋
思考 ：观 察求 证 式之 左 边 为算 术根 之 和 ， 且
根 号 内 出现 平 方 和 ． 由此 结 构 特 征 ， 联 想 到 复 数
的模 ． 故 不 等 式 左 端 可 视 作 复 数 的 模 之 和 、 由 于
从 上 可 见 构 造 数 学 模 型 是 关 键 性 的 一 步 。运
思考 ： 只 鼍 将 求 证 式 砭 形 成 、 ／ ２ ａ 十１ 十、 ｖ ／ ２ 十ｌ ≤２
即 可 想 象 左 式 为 点 Ａ（Ｖ
驯 直 线 ＋ 一０ 的 距 离 。
ｒ ， 、
ｒ一 ）
又 因 ａ ＋ｂ ＝１． （
ｒ ） ４ － （ ￣ ｖ Ｆ ２ － ｂ － ｒ － ｉ 一） ４