第3章 平稳线性ARMA模型(1)--随机过程的基本概念
ARMA模型
ARMA模型AR模型是一种线性预测，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据(设推出P点)，AR模型-模型简介所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只是AR模型是由N点递推，而插值是由两点(或少数几点)去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。
ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究时间序列的重要方法，由自回归模型(简称AR模型)与滑动平均模型(简称MA模型)为基础"混合"构成。
在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
ARMA模型的基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，e为误差。
作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，模型原理误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，模型原理图由此，获得ARMA模型表达式模型原理图模型原理总图模型预测模型-常见预测模型预测是对未来作出的估计和推断，为了达到这一目的，往往要对现实世界(或称研究对象)进行模仿或抽象，这一过程称之为建模；用建模手段获得现实世界(对象)的一种表示和体现就称为模型。
一切客观存在的事物及其运动形态我们统称为现实；现实和未来是不一样的，但是通过对于现实的研究可以预见未来，这就是预测。
从信息运动的角度看，现实之中包含着未来，孕育着未来。
因此，一个"好"的模型不仅能表达现实而且应该能准确的反映现实的发展规律。
时至今日，预测模型已多达一百余种，常用的也有二三十种。
任何预测模型都有它自身的优缺点；至今，还没有一种既有极高的预测精度，又适用于任何现实问题(研究对象)的预测模型。
第3讲 随机过程的基本概念、平稳随机过程
第2章 随机过程
（一）统计平均
1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量ξ(t)的均值 称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即
E[ (t )]
注：t1→t，x1 →x
xf ( x，t )dx
1
记为 a(t )
(2.2.2)
物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。 2.均方值 随机变量ξ(t)的二阶原点矩
通信原理
第2章 随机过程
2.数字特征
引言 ●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 ●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性， 更简单方便。 ●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。 统计平均: 对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值ξ(ti)－－随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统 计平均。 时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现ξi(t) ，用数学分 析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。
通信原理
第2章 随机过程
●一维概率密度函数 若一维分布函数对x1的偏导数存在，则
F x1 , t1 f1 x1 , t1 x1
叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。
（2）二维描述－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系 ●二维分布函数
若随机过程ξ(t)在时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，而在时 刻t2的取值是随机变量ξ(t2)，则ξ(t2)与ξ(t2)构成一个二元随机 变量[ξ(t1)，ξ(t2)]，称 F2（x1，x2；t1，t2）= P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2 ] 为随机过程ξ(t)的二维分布函数。
平稳随机过程的概念
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
第3-2章_平稳时间序列分析-ARMA模型
所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
1 2 2 0 (1 )(1 )(1 ) 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 k 1 k 1 2 k 2，k 2
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
例3.1平稳序列时序图
(1) xt 0.8xt 1 t
1 2 p 1
(2)由于
i (i 1,, p) 可正可负，AR(p)模型
1 2 p 1
稳定的充分条件是：
例3.1平稳性判别 模 型
(1)
(2) (3) (4)
1
特征根判别
1 0.8
1 1.1
1 i 2
平稳域判别
结 论
（一）AR模型定义
具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模型，简 记为 AR( p)
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t p 0 2 E ( t ) 0，Var( t ) , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
例3.1非平稳序列时序图
(2) xt 1.1xt 1 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
从时序图上可以看出，（1）（3）模型平稳， （2）（4）模型非平稳。
（三）AR模型平稳性常用判别方法 特征根判别 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根 都在单位圆内。
第三章 平稳随机过程
RX
(t1, t2 )
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )
2]
cos[0 (t1
t2 )]}
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )
2]}
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )]}
cos[0(t1 t2 )]cos2 sin[0(t1 t2 )]sin 2 此项为零
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
X (t) A cos(t )
E[ X (t)] E[ Acos(t )] E[ A] E[cos(t )] =E[cos(t) cos sin(t) sin ] =0
X (t)平稳
cos( ) cos cos sin sin
随机变量在[0, 2 ]上均匀分布.
E[cos ] E[sin ] 0
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
RX (t,t ) E[ X (t) X (t )]
X (t) A cos(t )
X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
随机频率的正弦信号
E[ X (t)] E[a cos(t )]
X (t) a cos(t ) X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
sin[2 (2t )] sin(2 )
平稳线性ARMA模型AR模型
18
一阶自回归过程AR(1)
• 一般地，因为经济系统惯性旳作用，经济 时间序列往往存在着前后依存关系。最简 朴旳一种情形就是变量目前旳取值主要与 其前一时期旳取值情况有关，用数学模型 来描述这种关系就是下面简介旳一阶自回 归模型。
19
20
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性
• 特征方程
p a1p1 a2p2 a p 0
Hale Waihona Puke • 特征方程旳根称为特征根，记作
1, 2 ,, p
• 齐次线性差分方程旳通解
• 不相等实数根场合 • 有相等实根场合
zt c11t c2t2 c ptp
zt
(c1
c2t cd t d 1 )1t
cd
t
1 d
1
c ptp
• 得协方差函数旳递推公式
k 1 k1 2 k2 p k p
48
例3.3:求平稳AR(1)模型旳协方差
• 递推公式
k 1 k1 1k 0
• 平稳AR(1)模型旳方差为
0
2
1 12
• 协方差函数旳递 k 推 公1k 式1为212 , k 1
49
例3.4:求平稳AR(2)模型旳协方差
•
平稳AR(1)模型旳方差
Var(xt ) G2jVar(t )
j0
12
j
2
j0
1
2
2 147
协方差函数
• 在平稳AR(p)模型两边同乘 xtk ,k ，1再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
• 根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
平稳时间序列的ARMA模型
第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型1 平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。
这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。
其统计规律不会随着时间的推移发生变化。
平稳的定义分为严平稳和宽平稳。
定义1（严平稳）设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量，在不同的时刻t 是不同的随机变量，任取n 个值1,,n t t K 和任意的实数h ，则1,,n x x K 分布函数满足关系式1111(,,;,)(,,;,)n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++L L L L则称{},t x t T ∈为严平稳过程。
在实际中，这几乎是不可能的。
由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。
定义2（宽平稳）若随机变量{},t x t T ∈的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：（1）任取t T ∈，有()t E x c =； （2）任取t T ∈，t T τ+∈，有[(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-=协方差是时间间隔的函数。
则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程，其中()R τ为协方差函数。
2 各种随机时间序列的表现形式白噪声过程（white noise ，如图1）。
属于平稳过程。
y t = u t , u t ~ IID(0, σ2)图1 白噪声序列（σ2=1）随机游走过程（random walk，如图11）。
属于非平稳过程。
y t = y t-1 + u t, u t~ IID(0, σ2)图2 随机游走序列（σ2=1）图3 日元兑美元差分序列图4股票综合指数图5随机趋势非平稳序列（μ= 0.1）图6 随机趋势非平稳序列（μ= -0.1）图7 对数的中国国民收入序列图8 中国人口序列3 延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B 为延迟算子，有,1p t p t x B x p -=∀≥。
第三章ARMA模型的特性
(1) G j是前j个时间单位以前进入系统的扰动at j对系统现在行 为(响应)影响的权数。
(2)
G
客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。
j
(3)
G
是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间
j
序列中的数据依存关系。
(4) 格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数.
17
三、根据格林函数形成系统响应(时间序列)
说明：常系数非齐次线性差分方程的特解的求法与微分方程类 似。
10
x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12
例3-3 求下列线性差分方程的通解和特解 。
（1） x(t) 5x(t 1) 4x(t 2) 0
（2） x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12，x(0) 0, x(1) 1
解：（1）特征方程：2 5 4 0，特征根： 1 4，2 1，
齐次方程的通解：
x(t) C1 (4)t C2 (1)t
11
x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12
（2） x(t 2) x(t 1) 2x(t) 12，x(0) 0, x(1) 1
x(t) 2t 4 C2t
x(t) C1 C2t C3 cos( 2 t) C4 sin( 2 t)
13
二、AR(1)系统的格林函数
格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为
X t 1 X t1 at
由于在动态条件下，
（3.4）
X t1 1 X t2 at1 X t 1 (1 X t2 at1 ) at 12 X t2 1at1 at X t2 1 X t3 at2
第3章 平稳线性ARMA模型(1)--随机过程的基本概念
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
• 纯随机性
(k) 0，k 0
• 各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆 ”的序列
• 方差齐性
DX t (0) 2
• 接受原假设
12 (m)分位点，或该统计 • 当检验统计量小于
量的P值大于 时，则认为在 1 的置信水 平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列 为纯随机序列的假定
例3.4：
标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟
QLB 统计量检验
QLB
统计量值
2.36 5.35
• 检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平 稳性
例3.1时序图
例3.1自相关图
例3.2时序图
例3.2 自相关图
例3.3时序图
例3.3自相关图
• 纯随机序列的定义 • 纯随机性的性质 • 纯随机性检验
3.2 纯随机性检验
纯随机序列的定义
• 纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如 下两条性质 (1) EX t , t T
该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零例题检验1962年1月1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性例31时序图例31自相关图例32时序图例32自相关图例33时序图例33自相关图32纯随机性检验纯随机性检验纯随机序列的定义纯随机序列也称为白噪声序列它满足如下两条性质标准正态白噪声序列时序图白噪声序列的性质各序列值之间没有任何相关关系即为没有记忆的序列根据马尔可夫定理只有方差齐性假定成立时用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的有效的dx纯随机性检验判别原则barlett定理如果一个时间序列是纯随机的得到一个观察期数为的观察序列那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零方差为序列观察期数倒数的正态分布原假设
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d
则称{X (t ), t T }为严平稳的。
11
时间序列分析的基本概念
设{X (t ), t T} 是一个随机过程，若 {X (t ), t T} 的所 有二阶矩都存在，并且对任意 t T ，E[ X (t )] 为常数，对任意 s, t T ，r (s, t ) 只与时间差 t s 有关，则称 {X (t ), t T } 为宽平稳过程，简称 平稳过程。若T是离散集，则称平稳过程为 {X (t ), t T }平稳序列。
DX (t ) rX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]2 , s, t T
为{X (t ), t T} 的均值函数、协方差函数、方差函数。
8
9
时间序列分析的基本概念
• 严平稳 • 宽平稳 • 遍历性
10
时间序列分析的基本概念
如果随机过程{X (t ), t T} 对任意的和任意的t1 ,, tn T 和任意的 h （使得 ti h T , i 1,2,, n ），有： ( X (t1 h), X (t 2 h), , X (t n h)) 与 ( X (t1 ), X (t 2 ), , X (tn )) 具有相同的联合分布，记为：
2
X 1 , X 2 ,
时间序列分析的基本概念
设 X1 , X 2 ,是一列独立同分布的随机变量序列，令
S n S0 X 1 X 2 X n 则称随机变量序列Sn ; n 0,1,为随机游动。其中 S 0是与
X1 , X 2 , 相互独立（但是不同分布）的随机变量，一般地，
1 ˆ k ~ N (0, ) n , k 0
假设条件
• 原假设：延迟期数小于或等于m 期的序列 值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
• 备择假设：延迟期数小于或等于 m 期的序 列值之间有相关性
H 1：至少存在某个 k 0, m 1，k m
时间序列分析的基本概念
• • • • 随机过程基础概念和基本理论介绍 平稳过程的特征 线性差分方程 动态数据预处理
1
时间序列分析的基本概念
• §3.1 随机过程
• 描述
在对某些随机现象的变化过程进行研究时，需要 考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才 能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随 机变量族通常称为随机过程。
我们总是假定S0 0 。如果
S n 就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游
动。
3
P X n 1 P X n 1 1 2
时间序列分析的基本概念
在通信工程中，电话交换台在时间段[0，t] 内接到的呼唤次数是与t有关的随机变 量 X (t )，对于固定的t，X (t )是一个取非负整数 的随机变量，则 {X (t ), t [0, )}是随机过程。
2 , t s (2) (t , s ) , t , s T 0, t s
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
• 纯随机性
(k) 0，k 0
• 各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆 ”的序列
• 方差齐性
DX t (0) 2
P值
0.8838 0.9454
延迟6期 延迟12期
由于P值显著大于显著性水平
，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。
例3.5
• 对1950年——1998年北京市城乡居民定期 储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进 行检验
例3.5时序图
例3.5自相关图
例3.5白噪声检验结果
LB统计量检验 延迟阶数 LB检验统计量的值 6 75.46 P值 <0.0001
1 n
7
时间序列分析的基本概念
设{X (t ), t T } 是一个随机过程，如果对任意t T E[ X (t )] 存在，则分别称函数 X (t ) E[ X (t )], t T
rX (s, t ) E[( X (s) X (s))( X (t ) X (t ))], s, t T
• 接受原假设
12 (m)分位点，或该统计 • 当检验统计量小于
量的P值大于 时，则认为在 1 的置信水 平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列 为纯随机序列的假定
例3.4：
标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟
QLB 统计量检验
QLB
统计量值
2.36 5.35
12
13
时间序列分析的基本概念
如果随机过程 X (t )(t 1,2,)是由一个不相关的随机变 量序列构成，即对于所有s t ，随机变量 X t 和 X s的 协方差均为零，即随机变量X t 和 X s互不相关，则 称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若 其期望和方差都为常数，则称其为白噪声过程。白 噪声过程的样本实现称为白噪声序列（White noise）。
• 自相关图检验
• 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳 序列的自相关系数会很快地衰减向零
例题
• 例3.1
• 检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性
• 例3.2
• 检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶 量序列的平稳性
• 例3.3
14
时间序列分析的基本概念
• 一阶差分方程 • p阶差分方程
15
时间序列分析的基本概念
• 定义 假定当前时期t期的y（输出变量）和另一个变量 （输入变量）、及前一期的y之间存在如下动态方 y 程： t yt 1 ，则此方程称为一阶线性差分方 程，这里假定 为一个确定性的数值序列。差分方 程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达 式。 • 解方程
• 检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平 稳性
例3.1时序图
例3.1自相关图
例3.2时序图
例3.2 自相关图
例3.3时序图
例3.3自相关图
• 纯随机序列的定义 • 纯随机性的性质 • 纯随机性检验
3.2 纯随机性检验
纯随机序列的定义
• 纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如 下两条性质 (1) EX t , t T
12
82.57
<0.0001
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p t
1 2 1 0 F 0 1 0 0 p1 p 0 0 0 0 0 1 0
此时可以写成向量的形式，定义
yt y t 1 t yt 2 yt p 1
t 0 vt 0 0
18
时间序列分析的基本概念
• 平稳性检验 • 正态性检验 • 独立性检验
19
时间序列分析的基本概念
• 平稳性的参数检验法 • 平稳性的非参数检验法 • 时序图检验法
20
平稳性的检验（图检验方法）
• 时序图检验
• 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一 个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界 、无明显趋势及周期特征
• 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最 小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的
纯随机性检验
• • • • 检验原理 假设条件 检验统计量 判别原则
Barlett定理
• 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个 观察期数为n 的观察序列，那么该序列的延 迟非零期的样本自相关系数将近似服从均 值为零，方差为序列观察期数倒数的正态 分布
检验统计量
• Q统计量
ˆ Q n k2 ~ 2 (m)
k 1 m
• LB统计量
LB n(n 2) (
k
m
ˆ k2 nk
) ~ 2 ( m)
判别原则
• 拒绝原假设
• 当检验统计量大于 12 (m)分位点，或该统计 量的P值小于 时，则可以以 1 的置信水 平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列
Ft j ,,t j ( x j1 ,, x jn ) Ft1,,tn ( x1 ,, xn )
1 n
• 相容性：对 m n ，有
Ft1,,tm ,tm1,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1,,tm ( x1 ,, xm )
6
时间序列分析的基本概念
定理 柯尔莫哥洛夫定理 设分布函数族{Ft ,,t ( x1,, xn ), t1,, tn T , n 1} 满足上述的 对称性和相容性，则必存在一个随机过程 {X (t ), t T } ，使 {Ft1 ,,tn ( x1 ,, xn ), t1 ,, tn T , n 1} 恰好是 X (t )的有限维分布族。
16
时间序列分析的基本概念
• 用递归替代法解差分方程 t 1 t t 1 yt y1 0 1 t • 动态乘子
yt j yt t j 或 t 0
17
时间序列分析的基本概念
如果动态系统中的输出 y t依赖于它的p期滞 后值以及输入变量 t :
4
时间序列分析的基本概念
随机过程的一维分布，二维分布，…，n维 分布，等等，其全体
{Ft1 ,,tn ( x1 ,, xn ), t1 ,, t n T , n 1}
称为过程 X (t ) 的有限维分布族。