第十三讲(协方差、相关系数和矩的概念)

若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为
D( X i ) D( X i )
i 1 i 1
n
n
Ch4-7
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数 .
Cov (aX c , bY d ) abCov ( X ,Y )
2
3） Cov( X Y , Z ) Cov( X , Z ) Cov(Y , Z )
4) | Cov( X ,Y ) | D( X ) D(Y ),即 Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
1
称X,Y完全线性相关
3） XY 0
X , Y 线性不相关
Cov( X , Y ) 0 E ( XY ) E ( X ) E (Y ) D( X Y ) D( X ) D(Y )
X , Y 相互独立
X , Y线性不相关
即由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
Ch4-11
例 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 不难求得，
Cov(X,Y)=0，
事实上，X的密度函数 1 1 x 1 f ( x) 2 2 可得E ( X ) 0 0 其它
E ( XY ) E ( X cos X ) x cos xf ( x)dx 0
i 1 j 1
2） 若 ( X ,Y ) 为连续型r.v.，则
Cov ( X , Y )
[ x E ( X )][ y E (Y )] f ( x, y )dxdy


2、协方差的简单性质
1） Cov( X , Y ) Cov(Y , X ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 2）
特别地 Cov( X , X ) E ( X 2 ) E ( X )2 D( X )
Ch4-6
4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
D( X i ) D( X i ) 2 Cov( X i , X j )
i 1 i 1 i j n n
X与Y独立

X与Y不相关
三、有关例题
例1 已知 X ,Y 的联合分布律为
X 1 0
Y
1
p 0
0
0 q 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), XY 解
X
P
1 0 p q
Y
P
1 0 p q
XY
P
1 p
0 q
E ( X ) p, E (Y ) p, D( X ) pq, D(Y ) pq,
试求Z1 X Y和Z 2 X Y的相关系数(其中， 是不全为零的常数）。
Ch4-23
1、解
D( Z1 ) D(X Y ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 D( Z 2 ) D(X Y ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2
问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布
这说明对于二维随机变量，除了每个 随机变量各自的概率特性以外，相互之间 可能还有某种联系. 问题是用一个什么样 的数去反映这种联系. 数 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系
第十三讲
1 Cov ( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) cos 2
1 1 1 E ( X ) 0 cos t dt , D( X ) , 2 2 2 2 1 1 D (Y ) 1 , 2 2 E (Y ) 0 cos (t ) dt , 2 2 2
2 2 2 2
2
D(V ) a D( X ) b D(Y ) (a b )
2 2 2 2
2
故
UV
a b 2 2 a b
2 2
例4 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ 解 E ( X ) E (Y ) 1, D( X ) D(Y ) 4,
协方差、相关系数和矩
2
一、协方差的定义与性质
1、定义 称 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
为X ,Y 的协方差. 记为
Cov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
1） 若 ( X ,Y ) 为离散型r.v.，则
Cov ( X , Y ) [ x i E ( X )][ y j E (Y )]pij

1 2
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0
1 2
因而 =0，即X和Y线性不相关 . 但X和Y不独立 .
Ch4-12
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X Y 1
例3 设 X ,Y 相互独立，且都服从 N (0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数， 且都不为零，求UV 解 Cov(U ,V ) E (UV ) E (U ) E (V )
a E ( X ) b E 2
XY cos
若 0, XY 1
若 , XY 1
YX Y X
X ,Y 有线性关系
| XY | 1
若 , 3 , 2 2
XY 0
X , Y 线性不相关，
但 X ,Y 不独立，
2 2
X ,Y 没有线性关系，但有函数关系
XY
1 , Cov ( X , Y ) XY D( X ) DY ) 2 2
Cov ( X , Z ) Cov ( X , X ) Cov ( X , Y ) D( X ) Cov ( X , Y ) 4 2 6
D( Z ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov ( X , Y ) 12
二、相关系数的定义与性质
1、定义
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
( X E ( X ))(Y E (Y ) E D( X ) D(Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为
XY
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
XZ
6 3 2 12 2
四、矩的概念
1、 阶原点矩 k
μk E ( X )
k
k
2、 阶中心矩 υk E ([ X E ( X )] ) k 其中 k 是正整数.
Ch4-22
三、课堂练习
1、 设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N ( , 2 )，且设X，Y相互独立
aE ( X ) bE (Y )aE ( X ) bE (Y ) 2 2 由 E ( X ) E (Y ) 0, E( X )
D( X ) D(Y )
2
E (Y )
2
2
Cov(U ,V ) (a 2 b 2 ) 2
而 D(U ) a D( X ) b D(Y ) (a b )
2、相关系数的性质 1） | XY | 1 2） | XY | 1 存在a（不为0）及b使P(Y=aX+b)=1 （详细证明自看,见教材 .） XY 的大小是X,Y之间线性关系的一 注：1） 种度量。 2） XY 0 称X,Y不相关，不相关表示X,Y 之间不存在线性关系，但不排除有其他关系。 3） XY
E ( XY ) p, D( XY ) pq,
Cov ( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) pq, Cov ( X ,Y ) XY 1 D( X ) D(Y )
例2 设~ U(0,2) , X = cos , Y = cos( + ), 是给定的常数，求 XY
Cov( Z1 , Z 2 ) Cov(X Y ,X Y )
2Cov( X , X ) 2Cov(Y ,Y ) 2 D( X ) 2 D(Y )
( 2 2 ) 2
Z Z
1
2
Cov( Z1 , Z 2 ) 2 2 2 D( Z1 ) D( Z 2 ) 2
Ch4-5
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
即 =E(XY)-E(X)E(Y)
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
解
1 , f ( t ) 2 0,
2
0 t 2 , 其他
1 E ( X ) 0 cos t dt 0, 2 2 1 E (Y ) 0 cos(t ) dt 0, 2
E ( XY ) 0
2
1 1 cos(t ) cos(t ) dt cos 2 2