线段垂直平分线的性质

点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距 离相等的所有点的集合
作业（必做题）：课本：P29页 2、3、4
问题探讨
在V型公路（∠AOB） 内部，有两个村庄C、D。 你能选择一个纺织厂的厂 址P，使P到V型公路的距 离相等，且使C、D两村的 工人上下班的路程一样吗？
12.3 角的平分线
D A P O E B C
13.1.2 线段的垂直平分线
M
P
B
A N
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。 定理2 到一个角的两边的距离相等 的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等。 逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线 上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两上端点距离相等的所有点的集合
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂 直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平 B 分线上， ∴ AC =CE ∴ AB =AC =CE．
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF。
2、如图线段MN被直线AB 垂直平分，则ME=NE。
3、如图PA=PB，则 直线MN是线段AB的 垂直平分线。
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
线段的垂直平分线
马村中学： 贾素平
实际问题
嘉祥县政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A、 B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
教学目标：
1. 理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其 逆定理，并能利用它们来进行证明或计算。 2. 知道线段垂直平分线是到线段两端距离相 等的点的集合。 3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学 的能力。
性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等。 逆命题: 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。 P
点P在线段 AB的垂直 平分线上
?
PA=PB
几何语言叙述: ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
A C O
.
.
D
B
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A
D
C
E
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
A
B
D
C
E
探索并证明线段垂直平分线的判定
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
如图△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分 AB，若BC=12cm，求△BCD的周长。
C
D B B E A A N
已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.
求证:点C在AD的垂直平分线上.
B
C
C
D
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
B
A M
M’
P C N N’
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
A
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB(？) 同理 PB=PC.
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
M
M’ P C
）.
B
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,B点O在BC的垂直平分线上。 证明：连结OB。 ∵ ON是AB的垂直平分线（已知） N
命题：线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等。
探索并证明线段垂直平分线的性质
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 M 已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上. P 求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90 度 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
A
C
B
N
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等． 几何语言：∵ MN⊥AB， AC＝BC， ∴ PA＝PB（线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等）
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
教学重点、难点：
1.线段垂直平分线定理及其逆定理的推导。 2.定理及逆定理的区别和联系。
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． P3 相等． P2 P1 A l B
由此你能得到什么规律？
实际问题1
威海市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A、 B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
1、求作一点P，使 它和已△ABC的三 个顶点距离相等.
B
数学化
A
实 际 问 题 1
C
p
PA=PB=PC
今天学习了线段的中垂线的性质、 逆定理及集合定义，你能由此联想到前 面学过的什么知识与此类似吗？
例 题 扩 展
已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
A
∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的 点到这条线段的两个端点的距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。） O
B
C