现代控制理论第六章
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现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性
9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )
刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制11
TechnicalTechnical parameters for turntable (2) parametersforturntable(1)通过实例来初步认识为转动惯量；内，电动机从静止起动，转过一定角度最小，求θt t I R D t D fd )(2∫=)(t I D 的函数，E 是函数的函数，称为中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(t I D 又停下，求控制（是。
θ()D I t FD D D m T J I J K ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤100末值状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(21θf f t x t x 最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制，使J 为最小最优控制：在某个性能指标下的最优控制；性能指标处的增量为：：求平面上两固定点连线最短的曲线c=自由的终端约束的极值问题。
ce t回顾前面最优控制问题提出的第二个例子可以看出：1、当终值时刻，ω＝02、I D (t )为负斜率线性函数,,]x u t ③边界条件（以始端固定、终端自由为例）：[(),]()f f f x t t x t φ∂],,,*t λu 与通常基于变分法的最优控制不同处极值的必要条件是使哈密尔顿函1线性系统的二次型性能指标最优控制u 在这里不是输入，而是一种（反馈）控制结构03,0f t t ==322212121(242)2x x x x u dt+++10⎡⎤⎢21⎡⎤⎥02S =⎥⎣⎦14Q =⎢⎣⎦121222p x p x ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦xxx+）}t随着参考输入的不同，系统的结构（输入部份）也不同变输入变结构控制？其状态方程模型u x=2&21x x=&}u ≤1系统的初始状态为)0(1x )0(2x 末值状态为)(1=f t x 0)(2=f t x 性能指标为ft t t J f ==∫d )(f t x 要求在状态方程约束下，寻求最优控制，转移到，同时使J 取极小值。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案
=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐 进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始 状态。
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ， 下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得
现代控制理论基础第六章书上第三章(1)PPT课件
是系统输出对输入的稳定性
两种稳定性既有区别，又有内在的联系
2
⑶ 本章内容
•
稳定性：内部稳定性与外部稳定性 本章重点是内部稳定性
•李雅普诺夫稳定性理论和方法
适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据
李雅普诺夫方程稳定性判据
3
3.1 线性系统的外部稳定性
线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简 称为BIBO 稳定性。
g (s)的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点 -1，所以系 统是 BIBO稳定的。
10
3.2 系统的内部稳定性
系统的内部稳定性是研究系统的零输入响应的稳定性。因
此只要讨论齐次状态方程
x f( x ,t)
x ( t0 ) x 0 ,t t0
（3－4）
由初始状态 x(t0)x0引起的响应的稳定性，是状态稳定性问题。
•对渐近稳定系统， A 总是非奇异的，零状态(原点)是系统的
唯一平衡状态。
12
例3－2 倒立摆系统
系统的齐次状态方程为
y(t)Cx(t)Du(t)
则系统的传递函数阵为
G (s ) C (s I A ) 1 B D 1 C a(s d I-A j)B ds e I tA )(
G (s)的极点必是 A的特征值。
（3－3）
如果 A的所有特征值具有负实部，则G (s)的所有极点必定具 有负实部，则系统是 BIBO稳定的。
4
3.1.1 单变量线性系统的 BIBO稳定性判据
⑴ 脉冲响应函数判据
定理3－1 线性系统的输入输出描述是
y(t)tt0g(t,)u(t)d
两种稳定性既有区别，又有内在的联系
2
⑶ 本章内容
•
稳定性：内部稳定性与外部稳定性 本章重点是内部稳定性
•李雅普诺夫稳定性理论和方法
适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据
李雅普诺夫方程稳定性判据
3
3.1 线性系统的外部稳定性
线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简 称为BIBO 稳定性。
g (s)的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点 -1，所以系 统是 BIBO稳定的。
10
3.2 系统的内部稳定性
系统的内部稳定性是研究系统的零输入响应的稳定性。因
此只要讨论齐次状态方程
x f( x ,t)
x ( t0 ) x 0 ,t t0
（3－4）
由初始状态 x(t0)x0引起的响应的稳定性，是状态稳定性问题。
•对渐近稳定系统， A 总是非奇异的，零状态(原点)是系统的
唯一平衡状态。
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例3－2 倒立摆系统
系统的齐次状态方程为
y(t)Cx(t)Du(t)
则系统的传递函数阵为
G (s ) C (s I A ) 1 B D 1 C a(s d I-A j)B ds e I tA )(
G (s)的极点必是 A的特征值。
（3－3）
如果 A的所有特征值具有负实部，则G (s)的所有极点必定具 有负实部，则系统是 BIBO稳定的。
4
3.1.1 单变量线性系统的 BIBO稳定性判据
⑴ 脉冲响应函数判据
定理3－1 线性系统的输入输出描述是
y(t)tt0g(t,)u(t)d
现代控制理论基础课件第五章书上第六章资料
3）使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制 一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。 在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选
第六章 状态反馈和状态观测器
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第六章状态反馈和状态观测器
其中，显然有
0 ( A bK ) 0 an k1 1 0 an 1 k 2 1 a1 k n
系统 K 的闭环特征方程为
sn (a1 kn )sn1 (a2 kn1 )sn2 (an k1 ) 0
D v L －
u
B
+
∫
A
x
C
+y
K
图6.1.1 状态反馈示意图
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第六章状态反馈和状态观测器
ΣK的状态空间表达式为：
x ( A BK ) x BLv K ： y (C DK ) x DLv
若 D＝0，则
x ( A BK ) x BLv K ： y Cx
uc [B AB A2 B
An1 B] ( A BK )n1 B]
' uc [B ( A BK )B ( A BK )2 B
由 ( A BK )B AB B( KB) ，可知
( A BK )B 的列向量可以由 ( B AB )
的列向量的线性组合表示。
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
于是，从v 到 y 的传递函数矩阵
G( s；K，L) C ( sI A)1 B[ I K ( sI A)1 B]1 L G( s )[ I K ( sI A)1 B]1 L
定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵K ，系统 ΣK 完全
能控的充要条件是系统 Σ 完全能控。P193 即引入状态反馈控制律(K,I) 不影响系统的能控性，
现代控制工程原理 华中科技大学 易孟林 第6章
第6章 控制系统的状态空间综合
内容提要：
控制系统的分析和综合是控制系统研究的 两大课题。
系统分析包括：状态方程式的求解；能控 性和能观测性分析；能控性和能观测性分解； 稳定性分析；化成各种标准型等。
系统综合包括：设计控制器，寻求改善系 统性能的各种控制规律，以保证系统的各种 性能指标要求都得到满足。
与 的秩相同，能控性不变，得证。
U cK
U c0
关于状态反馈不保持系统的能观测性可做如下 解释：
例如，对单输入单输出系统，状态反馈会改变 系统的极点，但不影响系统的零点。这样就可能会 出现把闭环系统的极点配置在原系统的零点处，使 传递函数出现零极点对消现象，因而破坏了系统的 能观测性。
定理6-2 输出反馈不改变原被控系统0 A,B,C 的能控性和能观测性。
输出反馈控制律为
u r Hy
（6-6）
式中, r—r维参考输入向量， H—rm输出反馈矩阵。
把式（6-5）的输出方程代入式（6-6）中整理后，得
u I HD 1r HCx
再将上式代入（6-5），可得输出反馈闭环系统
的状态空间表达式为
x A BI HD1 HC x BI HD1 r
b~ 和 c~ 阵不变。c~ 阵不变表明增加状态反馈
后，而不能改变传递函数的零点。
其对应的特征多项式为
f K~
(s)
sn
(a1
~ kn
)s
n1
(an1
~ k2 )s
~ (an k1)
（6-17）
闭环系统的传递函数为
GK~ (s) c~ sI ( A~ b~K~) 1b~ sn (a1 k~n c)s1snn11(cann11sk~c2n)s (an k~1)
内容提要：
控制系统的分析和综合是控制系统研究的 两大课题。
系统分析包括：状态方程式的求解；能控 性和能观测性分析；能控性和能观测性分解； 稳定性分析；化成各种标准型等。
系统综合包括：设计控制器，寻求改善系 统性能的各种控制规律，以保证系统的各种 性能指标要求都得到满足。
与 的秩相同，能控性不变，得证。
U cK
U c0
关于状态反馈不保持系统的能观测性可做如下 解释：
例如，对单输入单输出系统，状态反馈会改变 系统的极点，但不影响系统的零点。这样就可能会 出现把闭环系统的极点配置在原系统的零点处，使 传递函数出现零极点对消现象，因而破坏了系统的 能观测性。
定理6-2 输出反馈不改变原被控系统0 A,B,C 的能控性和能观测性。
输出反馈控制律为
u r Hy
（6-6）
式中, r—r维参考输入向量， H—rm输出反馈矩阵。
把式（6-5）的输出方程代入式（6-6）中整理后，得
u I HD 1r HCx
再将上式代入（6-5），可得输出反馈闭环系统
的状态空间表达式为
x A BI HD1 HC x BI HD1 r
b~ 和 c~ 阵不变。c~ 阵不变表明增加状态反馈
后，而不能改变传递函数的零点。
其对应的特征多项式为
f K~
(s)
sn
(a1
~ kn
)s
n1
(an1
~ k2 )s
~ (an k1)
（6-17）
闭环系统的传递函数为
GK~ (s) c~ sI ( A~ b~K~) 1b~ sn (a1 k~n c)s1snn11(cann11sk~c2n)s (an k~1)
现代控制理论 6-1 概念 6-2 李雅普诺夫第一法(间接法)
以 xe 为球心，任意规定的半径为ε 的闭球域 S(ε)
c内，即 x(t; x0 , tt )− xe ≤ ε t ≥ t0
y 则称系统的平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义下稳定。 tc稳定前页
返回
10
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状
y 态，则不稳定。 tc 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！
2
经典控制理论 对稳定性描述的局限性
e (1) 局限于描述线性定常系统；
(2) 局限于研究系统的外部稳定性。
ca稳定性判据
劳斯 (Routh) 判据；
y 奈氏 (Nyquist) 判据； tc 前页
三、系统的内部稳定性
e （系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性） a1. 基本概念 c2. 李雅普诺夫稳定性定义
3. 稳定的范围
tcy 4. 内部稳定与外部稳定的关系 返回
4
1. 基本概念
设系统方程为： x& = f (x,t)
不受外力
e n 维状态向量
n 维向量函数
ca 展开式为： x&i = fi(x1,x2,L, xn,t)
e 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
a初始状态有界，随时
x2
c间推移，状态向量距平衡
S(δ )
点的距离可以维持在一个
y 确定的数值内，而到达不
x0 xe
x1
了平衡点。
tc n=2 圆
n=3 球
S(ε )
前页
返回
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
c内，即 x(t; x0 , tt )− xe ≤ ε t ≥ t0
y 则称系统的平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义下稳定。 tc稳定前页
返回
10
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状
y 态，则不稳定。 tc 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！
2
经典控制理论 对稳定性描述的局限性
e (1) 局限于描述线性定常系统；
(2) 局限于研究系统的外部稳定性。
ca稳定性判据
劳斯 (Routh) 判据；
y 奈氏 (Nyquist) 判据； tc 前页
三、系统的内部稳定性
e （系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性） a1. 基本概念 c2. 李雅普诺夫稳定性定义
3. 稳定的范围
tcy 4. 内部稳定与外部稳定的关系 返回
4
1. 基本概念
设系统方程为： x& = f (x,t)
不受外力
e n 维状态向量
n 维向量函数
ca 展开式为： x&i = fi(x1,x2,L, xn,t)
e 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
a初始状态有界，随时
x2
c间推移，状态向量距平衡
S(δ )
点的距离可以维持在一个
y 确定的数值内，而到达不
x0 xe
x1
了平衡点。
tc n=2 圆
n=3 球
S(ε )
前页
返回
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
现代控制理论基础课件第六章书上第三章(1)
⑴ 系统的平衡状态
对定常系统，齐次状态方程为
A(t ) x x x (t0 ) x0 , t t0
(3－5） （3－7）
如果系统所处的状态
xe
满足
e 0 x
这个状态称为平衡状态。 由平衡状态的定义，x 不会使系统产生运动，即
e
φ(t; t0 , xe , 0) xe
（3－8）
例 3-1 设系统的状态空间描述为
1 0 1 x x u 0 2.5 0 y 1 1 x
的特征值为 -1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为
g (s) c(sI A) 1 b (s 2.5) 1 (s 1)(s 2.5) (s 1)
10
例3－3 如图所示的单摆， 当取状态变量为 x1 , x2 ，状态方程
0 g sin x l 1 x 0
l
图3－1
m
这是一个非线性系统，对其在 处进行线性化，可得线性化 方程
0
0 g cos 0 x l
1 x 0
i
i
1 1 1 , , , s pi (s pi ) 2 ( s p i ) mi
它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应相应地包含有下 列因子
e pi t , te pi t , , t m 1 e pi t
上列因子绝对可积的充分必要条件是 p 具有负实部，即系统 是 BIBO稳定的。 证毕
y(t ) tt0 g (t , )u(t )d
（3－1） （3－2）
则系统是 BIBO 稳定的充分必要条件是 式中， M 是一个有限常数。
证明 充分性：由式（3－1），有
现代控制理论习题之状态观测设计
对应于能观标准型的观测器矩阵：
L
=
⎢⎡l1
⎤ ⎥
⎣l2 ⎦
=
⎡a0
⎢ ⎣
a1
* −a0 ⎤
*
−a1
⎥ ⎦
=
⎡2r 2 − 0⎤
⎢
⎥
⎢⎣ 3r − 0 ⎥⎦
=
⎡2r 2 ⎤ ⎢⎥ ⎢⎣ 3r ⎥⎦
对应于原系统的观测器矩阵：
P1
=
V0
−1
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦,
Po = [p1
Ap1
]
=
系统能观，可设计观测器。
求希望特征多项式：
f * (s) = (s + 3)(s + 4)(s + 5) = s3 + 12s 2 + 47s + 60
求观测器特征多项式：
f (s) = sI − A + LC
计算观测器系数矩阵： 方法二：
⎡ − 6.5 ⎤
令
f
*(s) =
f
(s)
得
L
=
⎢ ⎢
15.5
A
= T −1AT
=
⎢ ⎢
0
−1
⎢⎣ 1 −1
− 4⎤ − 1⎥⎥ − 1⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
A11 A21
A12
⎤ ⎥,
A22 ⎦
A11 = −1,
A12 = [− 2
− 4],
A21
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦,
A22
=
⎡−1 ⎢⎣− 1
− 1⎤ − 1⎥⎦
⎡2⎤ B = T −1B = ⎢⎢0⎥⎥,
⎢⎣1⎥⎦