【精品】高中数学选修1-1__全称量词与存在量词(不分层) 讲义+巩固练习

全称量词与存在量词【学习目标】1．了解量词在日常生活中和数学命题中的应用，正确理解全称量词和存在量词的意义，并能使用两类量词叙述数学内容；2．能判断全称命题和特称命题，并能判断其真假掌； 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题 全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等．全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”． 全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题 存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词． 常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等． 存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”． 特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断.（2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+．（2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三： 全称命题与特称命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上要说明这个全称命题的否定是正确的．不难发现，全称命题的否定是特称命题．全称命题p ：x M ∀∈，()p x ；p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝．对含有一个量词的特称命题的否定要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．不难发现，特称命题的否定是全称命题．特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x ；p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝．要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的；(3) 一些常见量词的否定如下表所示：要点四：全称命题和特称命题的真假判断① 要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需找出一个反例即可，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 不成立．② 要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使()p x 成立得元素不存在．【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =．【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断． 【解析】（1）该命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可写成“20,20a a a ∀>-->”．（2）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=．【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思． 举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->； （4）有一个实数，不能作除数； （5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题；（4）特称命题；（5）全称命题；（6）特称命题.【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】 【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数． 【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题．类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ． 【思路点拨】（1）对412x +≥进行等价变形，可化为41x ≥，x 取自然数0，1，2，…代入验证；（2）中0x 取整数0，123±±±，，，…代入31x <，验证不等式是否成立.【答案】（1）假命题；（2）真命题. 【解析】（1）由于0∈Ν，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1-∈Z ，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题． 【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题．举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假： （1）2,10x x ∀∈+>R ； （2）2,1x x ∀∈≥N ； （3）3,3x x ∃∈=Z ； （4）2,320x x x ∀∈-+=R ； （5）2,10x x ∃∈+=R .【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题. 【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=． 【解析】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题． （2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题． （3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题． （4）是全称命题且为真命题．由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题．因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题．【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题．举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=． 【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2,20x R x ∀∈+≠（真命题）．【高清课堂：全称量词与存在量词395491 例5】【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数 ．【答案】A类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接：第一步：解p 与q 中的不等式；第二步：理解“p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”的具体含义：“q ⌝∣p ⌝”≡“p ∣q ”；第三步：问题转化为“对任意p 的x ，q 恒成立”. 【答案】[)9,+∞ 【解析】111:|1|221213210333x x x p x ----≤⇒-≤-≤⇒-≤≤⇒-≤≤ ()()22:210110q x x m ?x m x m -+-≤---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 又∵m >0∴不等式的解为1-m ≤x ≤1+m ．∵“p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件””，∴不等式1|1|23x --≤的解集是()222100x x m m -+-≤>的解集的子集． 123,91109m m m m m -≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩∴实数m 的取值范围是[)9,+∞．【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．举一反三：【变式1】若命题“∃x ∈R ，使得2(1)10x +a x+－＜”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】∵“∃x ∈R ，使得2(1)10x +a x+－＜”是真命题， ∴(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4， ∴a －1＞2或a －1＜－2， ∴a ＞3或a ＜－1．【变式2】已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数11()f x x x c=+>恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．【答案】1{|0c 1}2c c <≤≥或 【解析】由命题p 知：0＜c ＜1． 由命题q 知：1522x x≤+≤，要使此式恒成立，则12>c，即12c >． 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为102c <≤． 当p 为假，q 为真时，c ≥1．综上，c 的取值范围为1{|0c 1}2c c <≤≥或．【巩固练习】 一、选择题1．将“222x +y xy ß”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．任意x y ，∈R ，都有222x +y xy ß B ．存在x y ，∈R ，都有222x +y xy ß C ．任意x ＞0，y ＞0，都有222x +y xy ß D ．存在x ＜0，y ＜0，都有222x +y xy ß 2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x Þ0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33. 下列命题中，是真命题且是全称命题的是( ) A ．对任意的a b ，∈R ，都有222220a +b a b+<－－ B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x x =D ．对数函数在定义域上是单调函数4．命题“存在x ∈Z ，使220x x m ++Þ”的否定是( ) A ．存在x ∈Z ，使22x x m ++>0 B ．不存在x ∈Z ，使 22x x m ++>0 C ．对于任意的x ∈Z 都有22x x m ++Þ0 D ．对于任意x ∈Z 都有22x x m ++>0 5．命题21log 0p x x ∀>>：，，则¬p 是( ) A ．21log x x ∀>，Þ0 B ．21log x x ∀>，>0 C ．21log x x ∃>，Þ0 D ．21log x x ∃>，>06. 下列说法中，正确的是( )A ．命题“若22am bm ＜，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在x ∈R ，2x x －＞0 ”的否定是“任意x ∈R ，2x x －≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件 二、填空题7．命题“有些末位是0的整数，可以被3整除”________特称命题．(填“是”或“不是”)；此命题的否定是__________________________．8．下列命题中真命题为________，假命题为________． ①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形9．命题“对任何x ∈R ， 2250x x ++>”的否定是____________．10. 已知命题p ：“任意[]21,20x x a ∈，－ß”，命题q ：“存在 x ∈R ，02x +2ax+2a －＝”． 若命题p 和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题11．写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；(4) 有些质数是奇数．12．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1) 存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2) 所有圆都有内接四边形．13．写出下列命题的否定：(1) 若2x >4，则x >2；(2) 若m ß0，则2x +x m －＝0有实数根；(3) 可以被5整除的整数，末位是0；(4) 被8整除的数能被4整除；(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．14. 命题“存在x ∈R ，2239x ax+－＜0”为假命题，求实数a 的取值范围．15. 设有以下两个命题：p ：不等式|x |+|x －1|≥m 的解集为R ； q ：函数()(73)x f x m =--是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题.求实数m的范围.【答案与解析】1. 【答案】 A【解析】全称命题是任意x，y∈R，x2＋y2≥2xy都成立，故选A.2. 【答案】 D【解析】①②③都是真命题．3.【答案】 D【解析】A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.4. 【答案】 D【解析】“不存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”等价于对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0.5. 【答案】 C【解析】全称命题的否定是特称命题．6. 【答案】B【解析】“存在x∈R，x2－x＞0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“任意x∈R，x2－x≤0”，故选B.7. 【答案】是；所以末位是0的整数，都不能被3整除【解析】命题中还有量词“有些”，故该命题为特称命题．特称命题的否定是全称命题.8. 【答案】①②③④⑤；⑥【解析】正方形的集合是菱形集合的子集.9. 【答案】存在x∈R，2250x x++Þ【解析】全称命题的否定是特称命题.10．【答案】 A【解析】由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.11.【答案】(1)的否定：有些自然数的平方不是正数．(2)的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(3)的否定：存在实数x，对所有实数y，有x＋y≤0.(4)的否定：所有的质数都不是奇数．12. 【答案】(1)假命题所有的三角形，它的内角和都不大于180°.(2)真命题存在一个圆，没有内接四边形．13．【答案】(1)的否定：存在实数x0，虽然满足2x0>4，但x0≤2.(2)的否定：存在一个实数m≥0使x2＋x－m＝0无实根．(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等．14．【答案】⎡-⎣【解析】题目中的命题为假命题，则它的否命题“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即可解得-≤a15. 【答案】12<<m【解析】由不等式|x|+|x－1|≥m的解集为R，得m≤1；由函数()(73)x=--是减函数，得2f x mm<若这两个命题中有且只有一个真命题，则12<<m。