微课：当堂清训练和测试(函数图象的简单应用)
专项训练：函数的图像
专项训练：函数的图像1．函数关于直线对称，则函数关于（）A．原点对称B．直线对称C．直线对称D．直线对称2．函数的图象大致是A．B．C．D．3．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．函数的图象大致是（）A．B．C．D．5．函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A．B．C．D．6．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A．B．C．D．﹣7．函数的图象大致为A．B．C．D．8．为了得到函数y=lg x的图象，只需将函数y=lg（10x）图象上A．所有点沿y轴向上平移10个单位长度B．所有点沿y轴向下平移10个单位长度C．所有点沿y轴向上平移1个单位长度D．所有点沿y轴向下平移1个单位长度9．函数y=的单调减区间和图象的对称中心分别为A．（–∞，0），（0，+∞）；（1，1）B．（–∞，–1），（–1，+∞）；（1，0）C．（–∞，1），（1，+∞）；（1，0）D．（–∞，1），（1，+∞）；（1，1）10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是A．B．C．D．11．函数的图象是()A．B．C．D．12．函数的图象大致为（）A．B．C．D．13．函数的图象大致是A．B．C．D．14．函数y=的大致图象只能是A．B．C．D．15．若f（x）的图象向左平移一个单位后与y=e x的图象关于y轴对称，则f（x）解析式是A．e x+1B．e x–1C．e–x+1D．e–x–116．函数的图象大致是（）A．B．C．D．17．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A．B．C．D．﹣18．函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A．B．C．D．19．函数的图象大致为（）A．B．C．D．20．若a>1，则函数y=a x与y=（1–a）x2的图象可能是下列四个选项中的A．B．C．D．21．函数与函数的图象如下图，则函数的图象可能是A．B．C．D．22．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．23．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )A．B．C．D．24．直线与在同一直角坐标系中的图象可能是A．B．C．D．25．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为，则函数y ＝f(－x)的图象可以为A．B．C．D．26．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )A．B．C．D．27．设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（）A．B．C．D．28．函数的图象是（）．A．B．C．D．29．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )参考答案1．D【解析】【分析】由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，结合函数关于直线对称，可知函数关于直线对称.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的对称性，函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】利用特殊值排排除即可【详解】∵函数，（）＞，故排除C，D，（），（）＜，故排除A，故选：B．【点睛】本题考了函数的图象的识别，充分利用排除法是解题的关键，属于基础题3．C【解析】【分析】分析函数的奇偶性，代入特殊值计算结果，排除错误答案，可得结论【详解】，函数为奇函数，排除，令，令，则故选：【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，由于函数非基本初等函数，故用排除法，是解答的最佳选择，需要判定函数的奇偶性和单调性或者取值，属于基础题4．D【解析】【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除A、B；当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除C，只有D正确.【详解】当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除A、B；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除C，只有D正确，故选：D．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．C【解析】【分析】根据函数图象的平移规律：在上的变化符合“左加右减”，在上的变化符合“上加下减”.再根据复合函数的单调性即可得出结论.【详解】将函数向右平移1个单位，得到函数为，再向上平移2个单位可得函数为.根据复合函数的单调性可知在上为单调减函数，且恒过点，故C正确.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的“平移变换”.解答本题的关键是掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减”，属于基础题.6．D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果．【详解】对于A，函数，当时，；当时，，所以不满足题意．对于B，当时，单调递增，不满足题意．对于C，当时，，不满足题意．对于D，函数﹣为偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意．故选：D．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．7．B【解析】【分析】确定函数是奇函数，利用（），（）（）＞，即可得出结论．【详解】由题意，（）（）（）（），函数是奇函数，（），（）（）＞，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础．8．D【解析】【分析】由于函数y=lg（10x）═lgx+1，把函数y=lg（10x）的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lgx的图象，由此得出结论．【详解】由于函数y=lg（10x）═lgx+1，把函数y=lg（10x）的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数y=lgx的图象．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象平移变换方法，依据x加减左右平移（左加右减），函数值加减上下平移（加向上、减向下），属于基础题．9．D【解析】【分析】先化简函数y==1+，通过图像的变换求出函数的对称中心和单调减区间.【详解】∵y==1+，x≠1，画出函数的图象如图所示，由图象可知函数的单调减区间是（–∞，1），（1，+∞）．∵y=的对称中心为（0，0），∴y==1+的图象时由y=的图象先向右平移一个单位，再向上平移1个单位得到的，故对称中心为（1，1），故选D．【点睛】本题主要考查函数图像的变换，考查函数的图像和性质（单调性和对称中心），意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．D【解析】因为-1为即值点且为极小值点，故在-1的左侧<0，-1的右侧>0,所以当x>0时，排除AD，当x<-1时，故综合得选C11．C【解析】【分析】分和两种情况，将函数化为和两段考虑。
函数图象的应用(讲义及答案)
函数图象的应用（讲义）➢ 课前预习1. 我们一般从四个方面来研究函数，这四个方面分别是_________、__________、_________、___________．2. 若一次函数y =kx +b 的图象不经过第二象限，则k _____0，b ______0．3. 当k ＞0时，反比例函数ky x=的函数图象过第_______象限；当k ＜0时，反比例函数ky x=的函数图象过第_______象限.4. （1）已知m ＞0，n ＜0，请在如图所示的坐标系中分别作出y =mx +n ，y =nx +m的大致图象．（2）已知k ＞0，b ＜0，请在如图所示的坐标系中分别作出y =kx +b ，ky x=的大致图象．5. 如图，直线12y x =与直线224y x =--相交于点A ，请回答下列问题： 当x =-3时，12y ___y ；当x =-1时，12y ___y ； 当x =1时，12y ___y ．➢ 知识点睛1. 函数图象共存问题选定一个函数图象，根据图象性质判断k ，b 符号，验证另一个函数图象存在的合理性． 2. 数形结合求范围已知自变量x 的取值范围求因变量y 的取值范围： ①在图上标出x 的取值范围； ②对应到函数的图象上；③根据对应的图象确定y 的取值范围．若已知因变量y 的取值范围求自变量x 的取值范围，操作方式和上述类似． 举例：x 当x 1＜x ＜x 2时，y 1＜y ＜y 2 y 2＜y ＜y 13. 多个函数比大小：①_________；②________；③________．➢ 精讲精练1. 一次函数y =kx -k 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 在同一坐标系中，正比例函数y =kx 与一次函数y =x -k 的图象可能是（ ）y=kxA ．B ．C ．D ．3. 函数y =kx +k ，0ky k x=≠（）在同一坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 两个一次函数y 1=mx +n ，y 2=nx +m ，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 如图，直线25y x =+的图象如图所示，回答下列问题：（1）当52-＜x ＜0时，y 的取值范围是_____________；（2）当-1＜y ≤5时，x 的取值范围是_____________．6. 如图，直线243y x =-+（1）当6＜x ≤8时，y 的取值范围是_____________；（2）当-2≤y ≤2时，x 的取值范围是_____________．7.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，回答下列问题：（1）当x＜1时，y的取值范围是____________；（2）当y≥-2时，x的取值范围是____________．8.已知一次函数y=kx+b（1）当x＞0时，y的取值范围是____________；（2）当y＜2时，x的取值范围是____________．9.反比例函数kyx=中，当x=-1时，y=-4，如果y的取值范围为-4≤y≤-1，则x的取值范围是（）A．1＜x＜4 B．-4＜x＜1 C．-1＜x＜-4 D．-4≤x≤-110.若点A(m，-2)在反比例函数4yx=的图象上，则当函数值2y-≥时，自变量x的取值范围是_______________．11.如图，直线y1=kx+b经过点A(-1，-2)和点B(-2，0)，直线y2=2x过点A，当y1＜y2时，x的取值范围是__________________．第11题图 第12题图12. 如图，直线y 1=3x +b 和y 2=ax -3的图象交于点P (-2，-5)，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是__________________． 13. 如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于M (2，m )，N (-1，n )两点，若12y y ≥，则x 的取值范围是（ ）A ．1x -≤或02x ≤≤B ．1x -≤或2x ≥C ．10x -<≤或02x <≤D ．10x -<≤或2x ≥14. 如图所示，函数y 1=|x |和21433y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜-1B ．-1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜-1或x ＞2【参考答案】➢课前预习1.表达式；图象；性质；计算2.＞；≤3.一、三；二、四4.（1）图略；（2）图略．5.＜；=；＞➢知识点睛3.①找交点；②作直线；③定左右➢精讲精练1. C2. B3. C4. C5.（1）0＜y＜5；（2）-3＜x≤06.（1）43≤y＜0；（2）3≤x≤97.（1）y＜0；（2）x≥08.（1）y＜2；（2）x＞09. D10.x≤-2或x＞011.x＞-112.x＞-213.D14.D。
2021高考数学复习专题 函数的图象及其应用(精测)
函数的图形及其应用精测1．(2020·湖南省永州一中模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D2.（2020·广东广雅中学模拟）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－23．(2020·江苏省淮安一中模拟)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )4．(2020·一中模拟)对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎣⎡⎭⎫12，15.(2020·河南省安阳一中模拟)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <06．(2020·四川五校联考)函数f (x )＝tan x －x 3的部分图象大致为( )7.（2020·山东牟平一中模拟）若函数f(x)＝(ax2＋bx)e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为()A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝－2C．a＝－1，b＝2D．a＝－1，b＝－28．(2020·云南昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值9.（2020·江西金溪一中模拟）如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()10．(2020·辽宁省葫芦岛一中模拟)若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)11．(2020·河南省新乡一中模拟)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(1，2)D ．(1,2)12．（2020·浙江杭州高级中学模拟）已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D13．(2020·沈阳市质量监测一)函数f (x )＝x 2－1e|x |的图象大致为( )A BC D14.(2020·辽宁省营口一中模拟)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．15.(2020·河北省石家庄二中模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )sin x ＜0的解集为________．16．(2020·湖南省湘潭一中模拟)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．17．(2020·辽宁省本溪一中模拟)画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．18．(2020·山西省晋中一中模拟)已知函数f (x )＝2x ，x ∈R. (1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 19．（2020·天津实验中学模拟）画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．1．(2020·湖南省永州一中模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D 【答案】B【解析】y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x ＜1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.2.（2020·广东广雅中学模拟）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2【答案】C【解析】由图象可得，－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，解得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C ．3．(2020·江苏省淮安一中模拟)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )【答案】B【解析】法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.]4．(2020·一中模拟)对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D.⎣⎡⎭⎫12，1【答案】C【解析】若23x ≤log a x ＋1在⎝⎛⎭⎫0，13上恒成立，则0＜a ＜1，利用数形结合思想画出指数函数与对数函数图象(图略)，易得log a 13＋1≥23×13，解得13≤a ＜1，故选C.5.(2020·河南省安阳一中模拟)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C【解析】函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0， ∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)>0，∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba >0，∴a <0.故选C.6．(2020·四川五校联考)函数f (x )＝tan x －x 3的部分图象大致为( )【答案】A【解析】因为f (－x )＝tan(－x )－(－x )3＝－tan x ＋x 3＝－f (x )，故f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除B 、C ；f ′(x )＝1cos 2x－3x 2，则f ′(0)＝1>0，排除D ，故选A ． 7.（2020·山东牟平一中模拟）若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2 【答案】B【解析】令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a >1，又当x >－ba 时，f (x )>0，故a >0，结合选项知，a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B ．8．(2020·云南昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值 【答案】C【解析】如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”知，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．9.（2020·江西金溪一中模拟）如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )【答案】D【解析】直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D．10．(2020·辽宁省葫芦岛一中模拟)若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集为()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．11．(2020·河南省新乡一中模拟)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是() A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(1，2) D．(1,2)【答案】C【解析】作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．12．（2020·浙江杭州高级中学模拟）已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D 【答案】B【解析】y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x ＜1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1，0)，(0，1)，|f (x )|≥0. 又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.13．(2020·沈阳市质量监测一)函数f (x )＝x 2－1e|x |的图象大致为( )A BC D【答案】C 【解析】因为y ＝x 2－1与y ＝e |x |都是偶函数，所以f (x )＝x 2－1e|x |为偶函数，排除A ，B ，又由x →＋∞时，f (x )→0，x →－∞时，f (x )→0，排除D ，故选C.14.(2020·辽宁省营口一中模拟)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．【答案】f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0【解析】当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0. 15.(2020·河北省石家庄二中模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )sin x ＜0的解集为________．【答案】(－π，－1)∪(1，π)【解析】由题意知，在(0,4]上，当0＜x ＜1时，f (x )＞0，当1＜x ＜4时，f (x )＜0.由f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数可知，当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当－4＜x ＜－1时，f (x )＞0.g (x )＝sin x ，在[－4,4]上，当0＜x ＜π时，g (x )＞0；当π＜x ＜4时，g (x )＜0；当－π＜x ＜0时，g (x )＜0，当－4＜x ＜－π时，g (x )＞0.∴f (x )sin x ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＞0，sin x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0，sin x ＞0，则f (x )sin x ＜0在区间[－4,4]上的解集为(－π，－1)∪(1，π)．16．(2020·湖南省湘潭一中模拟)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．【解析】(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．17．(2020·辽宁省本溪一中模拟)画出下列函数的图象．(1)y ＝e ln x ；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x ＝x (x ＞0)，所以其图象如图所示．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝x －122－94； 当x ＜2，即x －2＜0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧（x －12）2－94，x ≥2，－（x －12）2＋94，x ＜2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．18．(2020·山西省晋中一中模拟)已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．【解析】(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．19．（2020·天津实验中学模拟）画出下列函数的图象．(1)y ＝e ln x ；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x ＝x (x ＞0)，所以其图象如图所示．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝x －122－94； 当x ＜2，即x －2＜0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧（x －12）2－94，x ≥2，－（x －12）2＋94，x ＜2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．。
第7节 函数的图象(经典练习及答案详解)
第7节函数的图象知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝a x(a>0，且a≠1)的图象y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换(4)翻折变换1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．来，再进行变换.而言的，利用“上加下减”进行.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.(多选题)若函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A.a＞1B.0＜a＜1C.b＞0D.b＜0答案AD解析因为函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.3.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()答案B解析依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析 ∵f (－x )＝sin （－x ）－x cos （－x ）＋（－x ）2＝－f (x )，且x ∈[－π，π]，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C ，只有D 满足. 5.(2021·长沙检测)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝f (－|x |)C.y ＝|f (x )|D.y ＝－|f (x )|答案 B解析 观察函数图象可得，②是由①保留y 轴左侧及y 轴上的图象，然后将y 轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y ＝f (－|x |).6.(2020·重庆联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________.答案 (2，8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].考点一 作函数的图象【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.感悟升华 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别作出下列函数的图象： (1)y ＝sin |x |；(2)y ＝2x －1x －1. 解 (1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图①.(2)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 考点二 函数图象的辨识1.(2020·浙江卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[－π，π]的图象大致为( )答案 A解析 因为f (x )＝x cos x ＋sin x ，则f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，又x ∈[－π，π]，所以f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C ，D 错误.且x ＝π时，y ＝πcos π＋sin π＝－π<0，知B 错误；只有A 满足. 2.(2021·重庆诊断)函数f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象大致为( )答案 A解析 根据题意，f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝x sin x ，定义域为R ，关于原点对称.有f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数y ＝f (x )为偶函数，排除B ，D.当x ∈(0，π)时，x >0，sin x >0，有f (x )>0，排除C.只有A 适合. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )答案 D解析 法一先画出函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.法二 由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )＝⎩⎨⎧31－x，x ≥0，log 13（1－x ），x <0，故该函数过点(0，3)，排除A ；过点(1，1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.4.函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x ＋sin xB.f (x )＝cos xxC.f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2D.f (x )＝x cos x 答案 D解析 从图象看，y ＝f (x )应为奇函数，排除C ； 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，知f (x )＝x ＋sin x 不正确；对于B，f(x)＝cos xx ，得f′(x)＝－x sin x－cos xx2，当0<x<π2时，f′(x)<0，所以f(x)＝cos xx 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，B不正确；只有f(x)＝x cos x满足图象的特征.感悟升华 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质【例2】(多选题)(2021·滨州一模)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点.设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是()A.函数y＝f(x)是奇函数B.对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C.函数y＝f(x)的值域为[0，22]D.函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意得，当－4≤x＜－2时，点B的轨迹为以(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x ＜2时，点B 的轨迹为以原点为圆心，22为半径的14圆； 当2≤x ＜4时，点B 的轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的14圆，如图所示； 以后依次重复，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数.由图象可知，函数f (x )为偶函数，故A 错误；因为f (x )的周期为8，所以f (x ＋8)＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x －4)，故B 正确； 由图象可知，f (x )的值域为[0，22]，故C 正确；由图象可知，f (x )在[－2，0]上单调递增，因为f (x )在[6，8]的图象和在[－2，0]的图象相同，故D 正确.故选BCD.角度2 函数图象在不等式中的应用【例3】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）cD.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b(2)(2020·北京卷)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象可知，当a >b >c >0时，f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c .(2)在同一平面直角坐标系中画出h (x )＝2x ，g (x )＝x ＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2). 又f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1， 结合图象，可得x ＜0或x ＞1.故f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.角度3 求参数的取值范围【例4】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1)(0，1) (2)(0，1)∪(9，＋∞)解析 (1)画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1). (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（3－a ）2－4a >0，－3<a －32<0，（－3）2＋（3－a ）×（－3）＋a >0，02＋（3－a ）×0＋a >0，∴0<a <1.②⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a （x －1）(x >1)有两组不同解. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3、x 4， ∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a ＞1， ∴a >9.综上可知，0<a <1或a >9.感悟升华 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练2】(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)(2020·徽州一中期中)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________.(3)(多选题)(2021·淄博模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有()A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D.函数f(x)有且仅有两个零点答案(1)[－1，＋∞)(2)(－2，－1)∪(1，2)(3)ABD解析(1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).(2)∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).(3)函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.一、根据函数图象确定函数解析式【例1】(2021·长沙检测)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的是()A.y ＝sin(e x ＋e －x )B.y ＝sin(e x －e －x )C.y ＝cos(e x －e －x )D.y ＝cos(e x ＋e －x )答案 D解析 由函数图象知，函数图象关于y 轴对称，∵y ＝sin(e x －e －x )为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确； 又－1<f (0)<0，但sin 2>0，cos 0＝1，故A ，C 不正确； 只有y ＝cos(e x ＋e －x )满足图象特征.故选D.素养升华 函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.二、由图象特征研究函数性质求参数【例2】设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.[1，4]C.[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，要使f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增， 需满足a ≥4或a ＋1≤2. 因此a ≥4或a ≤1.素养升华 1.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.2.图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.A级基础巩固一、选择题1.(2020·天津卷)函数y＝4xx2＋1的图象大致为()答案A解析令f(x)＝4xx2＋1，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，因此，函数为奇函数，排除C，D.当x＝1时，f(1)＝42＝2>0，排除B.故选A.2.(2021·江南十校模拟)函数f(x)＝x cos x2x＋2－x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象大致为()答案C解析根据题意，有f(－x)＝－x cos x2x＋2－x＝－f(x)，且定义域关于原点对称，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B ； 又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，x >0，cos x >0，2x >0，2－x >0，则f (x )>0，排除D ，只有C 适合.3.若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可能是( )答案 D解析 由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到.因此D 正确.4.下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x ) D.y ＝ln(2＋x )答案 B解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.5.(2021·豫北名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，则不等式f (x )>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析 根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，可得其图象如图，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，则不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝( ) A.－12 B.－54 C.－1D.－2答案 C解析 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧ln （a －1）＝0，b －a ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1.故f (－3)＝5－6＝－1.7.(多选题)(2021·山东新高考模拟)对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，下列说法正确的是( )A.f (x ＋2)是偶函数B.f (x ＋2)是奇函数C.f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数D.f (x )没有最小值 答案 AC解析 f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)为偶函数，A 正确，B 错误.作出f (x )的图象如图所示，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误.8.若函数y ＝f (x )的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是( )A.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12B.y ＝f (2x －1)C.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12D.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1答案 B解析 函数f (x )的图象先整体往右平移1个单位，得到y ＝f (x －1)的图象，再将所有点的横坐标变为原来的12，得到y ＝f (2x －1)的图象. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________. 答案 (3，1)解析 由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1).10.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________. 答案 －12解析 函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点， 只需2a ＝－1，可得a ＝－12.11.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________. 答案 (－1，0)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0).12.已知函数f (x )在R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值为________. 答案 1解析 由图象可知不等式－2<f (x ＋t )<4， 即f (3)<f (x ＋t )<f (0).又y ＝f (x )在R 上单调递减，∴0<x ＋t <3，不等式解集为(－t ，3－t ). 依题意，得t ＝1.B 级 能力提升13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2e x （x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个答案 B解析 作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.14.(2020·潍坊质检)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或－12 C.－14或12D.0或－14答案 D解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，如图所示：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1，1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a ，或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根.所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.15.(多选题)(2021·日照模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，则称函数f (x )具有性质P .那么下列函数中，具有性质P 的函数为( ) A.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≠0，0，x ＝0B.f (x )＝|x 2－1|C.f (x )＝x 3＋xD.f (x )＝2|x |答案 ABC解析 对于A ，在函数f (x )的图象上取A (－1，－1)，B (0，0)，C (1，1)，有f (0)＝f （－1）＋f （1）2成立，故A 正确； 对于B ，在函数f (x )的图象上取A (－2，1)，B (0，1)，C (2，1)，有f (0)＝f （－2）＋f （2）2成立，故B 正确； 对于C ，在函数f (x )的图象上取A (1，2)，B (0，0)，C (－1，－2)，有f (0)＝f （－1）＋f （1）2成立，故C 正确； 对于D ，因为f (x )＝2|x |，f （x 1）＋f （x 2）2＝2|x 1|＋2|x 2|2≥2|x 1|·2|x 2|＝2|x 1|＋|x 2|2≥2|x 1＋x 22|＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，又x 1≠x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2恒成立，故D 错误.故选ABC.16.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m ＝________.答案 9解析 如图，作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故n m ＝9.。
函数图像专题PPT课件图文
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
函数图像练习题
函数图像练习题函数图像是数学中一种重要的表示方法，通过绘制函数的图像可以直观地理解函数的性质和变化规律。
本文将提供一些函数图像的练习题，帮助读者巩固对函数图像的理解和应用。
1. 基本函数图像考虑以下函数图像的练习题：题目一：绘制函数 y = x 的图像。
题目二：绘制函数 y = x^2 的图像。
题目三：绘制函数 y = sin(x) 的图像。
题目四：绘制函数 y = e^x 的图像。
通过绘制以上函数图像，我们可以观察到不同函数的特点和性质。
在纸上画出图像，并标注重要的点和特征，如坐标轴交点、最值点、周期等。
2. 变换函数图像在实际问题中，我们常常需要对函数进行平移、伸缩、反转等操作，以适应具体的应用场景。
下面是一些变换函数图像的练习题：题目五：将函数 y = x^2 的图像向左平移2个单位。
题目六：将函数 y = sin(x) 的图像上下翻转。
题目七：将函数 y = e^x 的图像进行纵向压缩。
通过变换函数图像，我们可以进一步观察函数图像的性质变化和规律。
在纸上绘制平移、旋转、压缩等操作后的图像，并标注变换前后的重要点和特征。
3. 复合函数图像复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进行连续的运算。
下面是一些复合函数图像的练习题：题目八：绘制函数 y = sin(x^2) 的图像。
题目九：绘制函数 y = e^(-x) 的图像在 y 轴方向上的压缩。
通过绘制复合函数图像，我们可以进一步理解函数的复合运算对图像的影响。
在纸上绘制复合函数的图像，并标注重要点和特征。
4. 函数图像与实际应用函数图像不仅可以帮助我们理解函数本身，还可以用于解决实际问题。
下面是一些涉及实际应用的函数图像练习题：题目十：绘制一个函数图像，使其在[0, 2π] 区间内有两个相等的正零点。
题目十一：绘制一个函数图像，使其在 [-1, 1] 区间内有两个相等的负零点。
通过解决这些实际应用问题，我们可以将数学知识应用到实际中，并建立数学模型来解决实际问题。
函数图象应用(讲义及答案)
函数图象应用（讲义）➢精讲精练1.王阿姨傍晚散步，往往先从家出发，行进到广场后，会在广场上停留一段时间，与老朋友们聊聊天，然后再返回家中；如图是某天王阿姨散步时步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是如图以B为顶点的抛物线一部分．下列说法中：①点B的实际意义为王阿姨步行20分钟走了1 200米，正好到达广场；②如果当天王阿姨7:20出发，王阿姨能在8:15之前赶回家看电视剧；③王阿姨在广场上停留了5分钟；④25 min~50 min，王阿姨步行的路程为800 m；⑤线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）；⑥曲线段AB的函数解析式为s=-3(t-20)2+1 200（5≤t≤20）；⑦5 min~20 min，王阿姨步行速度由慢到快．正确的有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7第1题图第2题图2.一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10 km；②出发1.25 h 后甲追上乙；③2小时时，甲到达C村庄；④甲每小时比乙多骑行8 km；⑤乙出发2.5 h后到达C村庄；⑥甲追上乙后，乙又骑行了15 min或65 min时两人相距2 km．其中正确的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个3.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点P，Q从点B同时出发，点Pcm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，点Q以1 cm/s的速度沿BA-AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），y与x之间的函数关系图象如图2所示，则BC长为（）A．4 cm B．8 cm C．D．图14.如图1，已知平行四边形ABCD中，AB=BC．点M从点D出发，沿D→C→A以1 cm/s的速度匀速运动到点A．图2是点M运动时，△MAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则边AB的长为（）A．136B C．52D．A图1图25.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A．图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是____________．图16.如图1，在菱形ABCD中，∠A=120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上最低点，则a+b的值为（）A．B．4CDE PDCBA图1图27.如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5 C．6 D．254A BCDEF图18.如图，菱形ABCD的边长是4 cm，∠B=60°，动点P以1 cm/s出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止．若点P发，运动了t s，记△BPQ的面积为S cm2，则下面图象中能表示的函数关系的是（）A．B．DC ．D．9.ABC D10. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =8 cm ，CH 是AB 边上的高，正方形DEFG 的边DE 在高CH 上，F ，G 两点分别在AC ，AH 上．将正方形DEFG 以每秒1 cm 的速度沿射线DB 方向匀速运动，当点G 与点B 重合时停止运动．设运动时间为t s ，正方形DEFG 与△BHC 重叠部分的面积为S cm 2，则能反映S 与t 的函数关系的图象是（ ）CF E (D )CH G11.如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′BC位于同一条直线l上．开始时，点C′与B重合，△ABC把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y函数图象是（）A．B．C．D．12.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE=x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）B′C′AB CDEA．B．lC ．D ．13. 如图，点P 是以AB 为直径的半圆上的动点，CA ⊥AB ，PD ⊥AC 于点D ， 连接AP ，设AP =x ，P A -PD =y ，则下 列函数图象能反映y 与x 之间关系的 是（ ）A．B．C．D．14. 如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BD上由点B 向点D 运动（点E 不与点B 重合），连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，连接BF 交AO于点G ．设BE 的长为x ，OG 的长为y ，下列图象中大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ） A ． B ．C ．D ．15. 如图，A ，B 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB ．点P 从点A 出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束．设运动时DCB A O EF GC DOA间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能．．表示y与x函数关系的是（）①②③④A．①B．③C．②或④D．①或③16.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【参考答案】1. C2. D3. D4. A5.126. C7. B8. D9. A10.B11.B12.B13.C14.A15.D16.A。
函数的图像及其用用
数，求不等式的解集，研究不等式恒成立等问题。
目
作业
优化设计课时作业P219 1-8
目
目
幂函数 y=xα
（α=-1, 1 ,
2
1，2,3）
பைடு நூலகம்图象
y
y
1
o
x
o1
x
(a>1)
(0<a<1)
y y=x3
y=x
y=x2
1
2
y x2
1 y=x-1
-2 -1 o 1 2
x
y=x-1
-1
-2
目
二，知识点拨： 2，函数图象的作法：
（1）描点法：通过___列__表______，_描__点____,__连__线_______三 个步骤，有时用函数的奇偶性和周期性。
一,预习自测：
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝f(1－x)的图象，可由 y＝f(－x)的图象向左平移 1 个单位得到．( ) (2)函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称即函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对 称．( ) (3)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝f(|x|)的图象与 y＝|f(x)|的图象相同．( ) (4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对 称．( )
y轴右侧部分翻折到左侧
目
考点一 作函数的图象
【例一】作出下列函数图像
(1) y 1 x 2
(2)y log2(x 1)
(3) y 2x 1 x 1
(4)y x2 2 x 1
目
函数图像解决实际问题课件
02
函数图像的基本概念
函数图像的定义
01
函数图像：将函数的每一个自变 量x的值，通过几何图形上的点(x, y)来表示，这些点的集合就是函 数的图像。
02
函数图像是数形结合的产物，是 函数关系的一种直观表达形式。
函数图像的绘制方法
描点法
根据函数解析式，选取自变量x的若干个值，计算对应的y值，并标出对应的点 ，然后通过平滑的曲线或直线将这些点连接起来，即可得到函数的图像。
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目录 CONTENTS
• 引言 • 函数图像的基本概念 • 函数图像在解决实际问题中的应用案例 • 如何利用函数图像解决实际问题 • 总结与展望
01
引言
主题介绍
01
02
03
函Hale Waihona Puke 图像展示数学函数在坐标系中 的表现形式，通过图像观 察函数的性质和变化规律 。
实际问题
指生活中遇到的各类问题 ，需要运用数学知识和方 法进行解决。
对函数图像的理论和应用进行更深入 的研究，推动相关领域的发展和进步 。
技术创新
未来将有更多创新的技术和方法应用 于函数图像的绘制和解读，提高解决 问题的能力和效率。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
精确度问题
函数图像的精度受限于绘 图工具和观察者的分辨能 力，可能会影响问题的解 决。
复杂度问题
对于复杂的问题，可能需 要绘制多个图像才能全面 理解，增加了工作量。
主观性
观察者对图像的理解可能 存在差异，导致对问题的 解读出现偏差。
未来研究方向与展望
要点一
智能化绘图
研究如何利用计算机技术自动绘制函数图像，提高图像的 准确性和效率。
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2 学会应用函数图像解决实际问题
函数图像能帮助我们理解和解决各种实际 问题。
通过学习和实践，我们可以掌握函数图像 解决实际问题的方法。
结语
- 谢问题
明确实际问题的需求和要解决的关键
选择合适的函数模型
2
点。
根据问题的特性和要求，选择适合的
函数模型进行建模。
3
绘制函数图像
使用数学工具或计算机软件绘制函数
解决实际问题
4
图像。
通过分析函数图像，得出对应实际问 题的结论和解决方案。
总结
1 函数图像在实际问题中的重要性
函数图像在实际问题中的应用
1 例1：用函数图像表示温度变化规律
通过绘制温度随时间变化的函数图像，可以清晰地观察和预测天气变化。
2 例2：用函数图像表示人口增长趋势
通过绘制人口随年份变化的函数图像，可以分析和预测人口增长的趋势。
3 例3：用函数图像表示财务变化规律
通过绘制财务指标随时间变化的函数图像，可以帮助企业分析和优化财务决策。
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# 函数图像解决实际问题 ## 一、引言 - 函数图像在解决实际问题中发挥重要作用 - 本课程将介绍如何利用函数图像解决实际问题
函数图像的基本概念
定义
函数图像是通过将自变量和因变量的值呈现 为平面上的点而形成的图像。
常见函数图像的特征
常见函数图像的特征包括单调性、奇偶性、 极值、拐点等。
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500 x/分 O 10 20 30 40 50
500 x/分 O 10 20 30 40 50
500 x/分 O 10 20 30 40 50
A
．
B
．
C
．
D
．
＠＠＠链接中考
4.甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知 乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km和骑行时间 t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法： a.他们都骑了２０km； b.乙在途中停留了０.５h； c.甲和乙两人同时到达目的地； d.甲乙两人途中没有相遇过． 根据图象信息，以上说法正确的是 （Ｂ ）
当堂清测试
2．某装水的水池按一定的速度放掉水池的一半 后，停止放水并立即按一定的速度注水，水池 注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完 水池的水。若水池的存水量为v（立方米），放 水或注水的时间为t（分钟），则v与t的关系的 大致图象只能是（ A ）
3.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏 前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家. 下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.请 你由图具体说明小明散步的情况.
s/km
20
乙 甲 A.1个 B.２个
O
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
1
2
2.5
t/h
C.３个
D.４个
题1 12 点的时候,两地气温相同; （1）在___ 7 点和___ 0 点到___ 7 点和___ 12 点到___ 24 点之间,上海 （2）在___ 的气温比北京的气温要高. 7 点到__ 12 点之间,上海的气温比北京的气 （3）在__ 温要低.
3．小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出
发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了 20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考 试．下列图象中，能反映这一过程的是 （ D ） ．
y/米 y/米 y/米 y/米 1500 1500 1500 1500
1000
1000
1000
1000
500 x/分 O 10 20 30 40 50
解：
小明先走了约3分钟， 到达离家250米处 的一个阅报栏前看 了5分钟报，又向前 走了2分钟，到达离 家450米处返回， 走了6分钟到家。
作业题
课本P107第7题
微课：当堂清训练和测试
函数图象的简单应用
赖祖亮@小木虫
锦上添花
看好微课 完成当堂清 平时多思考 考试多得分
当堂清训练
1.如果A、B两人在一次百米赛跑中，路程s（米） 与赛跑的时间t（秒）的关系如图所示，则下列说 法正确的是（ C ） （A） A比B先出发 （B） A、B两人的速度相同 （C） A先到达终点 （D） B比A跑的路程多 2.某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若 用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么下列四个图中反映全程 h与t的关系图是（ D ）