2020版高考数学(文)江苏专用新精准大一轮复习：第八章7第7讲抛物线含解析
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第九章第7讲 抛物线 Word版含解析
第7讲 抛物线一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B.1C.32D.2解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)， 由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2). 代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2，故选D. 答案 D2.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2 B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C.y ＝－36x 2D.y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 答案 D3.(2017·张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A.9B.8C.7D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 答案 B4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72B.52C.3D.2解析 ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP→|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案 C5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A.12B.24C.16D.32解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 22≥32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.故选D.答案 D 二、填空题6.(2016·兰州诊断)抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.解析 由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3.答案 3 37.(2017·四川四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).易得抛物线的焦点是F (1，0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 88.(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析 y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形.因此不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3. 答案 2 3 三、解答题9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围.(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，∴p2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 则⎩⎨⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ， ∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2，又∵P ，Q 关于l 对称.∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上，∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p ). ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ， 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43， 故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.10.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2（|AB |－p ）＋p 24＝2p (定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ， 则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝ 12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A.－4B.4C.p 2D.－p 2解析①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝p2，则x1x2＝p24；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－p2)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，则x1x2＝p24.又y21＝2px1，y22＝2px2，∴y21y22＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p2.故y1y2x1x2＝－4.答案 A12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33 B.23 C.22 D.1解析如图，由题可知F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0，设P点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫y202p，y0(y0＞0)，则OM→＝OF→＋FM→＝OF→＋13FP→＝OF→＋13(OP→－OF→)＝13OP→＋23OF→＝⎝⎛⎭⎪⎫y206p＋p3，y03，k OM＝y03y206p＋p3＝2y0p＋2py0≤222＝22，当且仅当y20＝2p2等号成立.故选C.答案 C13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－114.(2017·南昌模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点). (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值.解 (1)由题意知F 1(1，0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎨⎧y ＝kx .x 2＝4y得N (4k ，4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2， 进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2·（1－k ）（1－k 3）k 2＝2（1－k ）2（1＋k ＋k 2）k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k (t ≤－2)， 则有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，此时k ＝－1，S △PMN 取得最小值.即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.。
2020版高考数学(文)江苏专用新精准大一轮复习：第八章6第6讲双曲线含解析
1．双曲线x 23－y22＝1的焦距为________．解析：由双曲线定义易知c 2＝5. 答案：2 52．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))已知方程x 2m ＋12＋y 2m 2＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．解析：因为方程x 2m ＋12＋y 2m 2＋m ＝1表示双曲线，所以当焦点在x 轴上时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋12>0m 2＋m <0，解得－1<m <0；当焦点在y 轴上时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋12<0m 2＋m >0，解得m <－1.所以实数m 的取值范围是m <－1或－1<m <0. 答案：(－∞，－1)∪(－1，0)3．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x 2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2，0)到其渐近线距离为25＝255. 答案：2554．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝53x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意得，b a ＝53，又a 2＋b 2＝c 2，所以c 2－a 2a 2＝259，所以c 2a 2＝349，所以e ＝343.答案：3435．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知双曲线y 25－x 24＝1，M (2，t )(t >10)，当双曲线上的动点N 到上焦点与到点M 的距离的和的最小值为25时，t ＝________．解析：设双曲线的下、上焦点分别为F 1，F 2，显然NM ＋NF 2最小时，N 点必在双曲线的上支上．由点M 的坐标(2，t )(t >10)，易知点M 位于双曲线的上支的上方．由题意知，NM ＋NF 2＝NM ＋NF 1－2a ，若NM ＋NF 2取得最小值，则NM ＋NF 1取得最小值，结合图形(图略)，可知当M ，N ，F 1三点共线时，NM ＋NF 2取得最小值25，此时NM ＋NF 2＝MF 1－25＝（2－0）2＋[t －（－3）]2－25＝25，解得t ＝219－3. 答案：219－36．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0且n ≠1，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：57．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________． 解析：由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，又PF 1＋PF 2＝3b ，所以(PF 1＋PF 2)2－(PF 1－PF 2)2＝9b 2－4a 2，即4PF 1·PF 2＝9b 2－4a 2，又4PF 1·PF 2＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2－9b a －4＝0，则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫ba＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.答案：538．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝4PF 2，得⎩⎨⎧PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，由余弦定理得 cos θ＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝17a 2－9c28a 2＝178－98e 2. 因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，所以1<e ≤53.答案：539．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：710．从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO －MT 与b －a 的大小关系为________．解析：设F 1是双曲线的右焦点，连结PF 1， 由双曲线的定义知PF －PF 1＝2a ，①因为OM 是△FF 1P 的中位线，所以PF 1＝2OM .② 又M 是FP 的中点，所以PF ＝2MF .③②③代入①得2MF －2OM ＝2a ，MF －OM ＝a .④ 因为MF ＝MT ＋TF ，FT 2＝OF 2－OT 2＝c 2－a 2， 所以FT ＝b . 所以MF ＝MT ＋b .⑤把⑤代入④得MT ＋b －OM ＝a ， 所以OM －MT ＝b －a . 答案：OM －MT ＝b －a11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 则MF 1→＝(－23－3，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上， 所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0， 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长F 1F 2＝4 3. 由(2)知m ＝±3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．(2019·南通模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， 所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ， 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.1．(2019·南京质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 1＋c ，y 1＝－ba x 1得 x 1＝－ac a ＋b ，y 1＝bca ＋b，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 2＋c ，y 2＝b a x 2，得x 2＝ac b －a ，y 2＝bc b －a ， 由已知得－2ac a ＋b ＝－c ＋ac b －a ，所以b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝02.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：连结AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝F 1F 2AF 2－AF 1＝2c3c －c ＝3＋1. 答案：3＋13．(2019·镇江模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q ，且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．解析：设F 2(c ，0)(c >0)，P (c ，y 0)， 代入双曲线方程得y 0＝±b 2a ，因为PQ ⊥x 轴，所以PQ ＝2b 2a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， 所以F 1F 2＝3PF 2，即2c ＝3·b 2a.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)． 因为a >0，b >0，所以ba＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x4．(2019·常州调研)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P 与点F 1关于直线y ＝－bxa对称，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意过F 1(－c ，0)且垂直于y ＝－bx a 的直线方程为y ＝a b (x ＋c )，它与y ＝－bx a的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫c －2a 2c ，2abc ，因为点P 在双曲线上，所以⎝⎛⎭⎫c －2a 2c 2a2－⎝⎛⎭⎫2ab c 2b2＝1，因为a 2＋b 2＝c 2，可得c 2＝5a 2，所以c 2a 2＝5，所以e ＝ca＝ 5.答案： 55．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a ，0)和(0，b )，且点(1，0)到直线l 的距离与点(－1，0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1＝b （a －1）a 2＋b 2.同理得到点(－1，0)到直线l 的距离d 2＝b （a ＋1）a 2＋b 2.所以s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式得54≤e 2≤5.由于e ＞1，故e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5. 6．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点M ，连结P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.所以椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5，0)，B (5，0)，AB ＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5，2y 0)． 将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎨⎧x 2025＋y 209＝1，（2x 0－5）225－4y209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．所以y 0＝332.由此可得M ⎝⎛⎭⎫－52，332，所以P (－10，33)．当P 为(－10，33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0. 所以x ＝－52或－5(舍去)，所以x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．所以S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.7 Word版含解析
§7.7 数学归纳法考情考向分析 高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示 n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3. 2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示 不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(4)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )题组二 教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证_____．121312n －1答案 1＋＋<21213解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝.122－1133．[P103T13]在数列{a n }中，a 1＝，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式13为________．答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 当n ＝2时，＋a 2＝2×3×a 2，13∴a 2＝；13×5当n ＝3时，＋＋a 3＝3×5×a 3，13115∴a 3＝；15×7当n ＝4时，＋＋＋a 4＝4×7×a 4，13115135∴a 4＝；17×9故猜想a n ＝.1(2n －1)(2n ＋1)4．[P105T13]已知a 1＝，a n ＋1＝，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________．由此猜想a n ＝123a na n ＋3________.答案 ，，， 3738133103n ＋5解析 a 2＝＝＝＝，3a 1a 1＋33×1212＋33732＋5同理a 3＝＝＝，a 4＝＝，a 5＝＝，3a 2a 2＋33833＋53934＋531035＋5又a 1＝＝，符合以上规律．31＋512故猜想a n ＝.3n ＋5题组三 易错自纠5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左1－a n ＋21－a边的项是________．答案 1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，n ＋1＝2，∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________．答案 2k解析 运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N *)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．题型一 用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n ∈N *)．12×414×616×812n (2n ＋2)n4(n ＋1)证明 ①当n ＝1时，左边＝＝，右边＝＝，12×1×(2×1＋2)1814×(1＋1)18左边＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，12×414×616×812k (2k ＋2)k 4(k ＋1)则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋＋12×414×616×812k (2k ＋2)12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝＋＝k4(k ＋1)14(k ＋1)(k ＋2)k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝＝＝.(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)k ＋14(k ＋2)k ＋14(k ＋1＋1)所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n ∈N *)．12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n 证明 ①当n ＝1时，等式左边＝1－＝＝右边，等式成立．1212②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，12131412k －112k 1k ＋11k ＋212k 那么，当n ＝k ＋1时，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋12131412k －112k 12k ＋112k ＋21k ＋11k ＋212k－＝＋＋…＋＋，12k ＋112k ＋21k ＋21k ＋312k ＋112k ＋2所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N *均成立．思维升华 用数学归纳法证明等式时应注意：(1)明确初始值n 0的取值；(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标；(3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二 证明不等式例1 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))(n ∈N *)的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.证明 ①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝，因此2≤x 1<x 2<3，114即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为y －5＝·(x －4)．f (x k ＋1)－5x k ＋1－4又f (x k ＋1)＝x －2x k ＋1－3，2k ＋1代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝＝4－，3＋4x k ＋12＋x k ＋152＋x k ＋1由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－<4－＝3；52＋x k ＋152＋3x k ＋2－x k ＋1＝>0，(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1即x k ＋1<x k ＋2，所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋>1(n ∈N *且n >1)．1n 1n ＋11n ＋21n 2证明 ①当n ＝2时，＋＋＝>1成立．1213141312②设n ＝k (k ∈N *，k >1)时，＋＋＋…＋>1成立．1k 1k ＋11k ＋21k 2由于当k >1时，k 2－k －1>0，即k (2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋1k ＋11k ＋21k ＋31(k ＋1)2＝＋＋＋…＋－(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)1k 2＋11k 2＋21k 2＋2k ＋11k>1＋＋＋…＋－1k 2＋11k 2＋21k 2＋2k ＋11k >1＋＋＋…＋－1k (2k ＋1)1k (2k ＋1)1k (2k ＋1)1k ＝1＋－＝1.2k ＋1k (2k ＋1)1k 综合①②可知，原不等式对n ∈N *且n >1恒成立．题型三 数学归纳法的综合应用命题点1 整除问题例2 (2018·苏北四市期中)设n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2.(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)求证：对任意的正整数n ，f (n )是8的倍数．(1)解 ∵n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2，∴f (1)＝3＋7－2＝8，f (2)＝32＋72－2＝56，f (3)＝33＋73－2＝368.(2)证明 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即f (k )＝3k ＋7k －2能被8整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3×3k ＋7×7k －2＝3(3k ＋7k －2)＋4×7k ＋4＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)，∵3k ＋7k －2能被8整除，7k ＋1是偶数，∴3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)一定能被8整除，即n ＝k ＋1时也成立．由①②得对任意正整数n ，f (n )是8的倍数．命题点2 和二项式系数有关的问题例3 (2018·江苏扬州中学期中)已知F n (x )＝(－1)k·C f k(x )](n ∈N *)．n∑k ＝0[k n (1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值；(2)若f k (x )＝(x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝.x x ＋k n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )(1)解 F n (x )＝(－1)k C f k(x )]＝(－x )k C ]n∑k ＝0[k n n∑k ＝0[kn ＝C (－x )k·1n －k ]＝(1－x )n ，n∑k ＝0[kn ∴F 2 015(2)＝－1.(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝1－＝＝右边．x x ＋11x ＋1②设n ＝m (m ∈N *)时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有＝，m∑k ＝0[(－1)k C kmxx ＋k ]m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))，有m ＋1∑k ＝0[(－1)k C k m ＋1x x ＋k]＝1＋＋(－1)m ＋1m∑k ＝1[(－1)k (C k m＋C k －1m )x x ＋k ]x x ＋m ＋1＝＋m∑k ＝0[(－1)k C k m x x ＋k ]m ＋1∑k ＝1[(－1)k C k －1m x x ＋k ]＝－·m∑k ＝0[(－1)k C k mx x ＋k ]m∑k ＝0[(－1)k C k m x ＋1x ＋1＋k ]x x ＋1＝－·m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )m ！(x ＋2)(x ＋3)…(x ＋1＋m )xx ＋1＝m ！[(x ＋m ＋1)－x ](x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )(x ＋m ＋1)＝，(m ＋1)！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m ＋1)即n ＝m ＋1时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数x (x ≠0，－1，…，－n )，有＝.n∑k ＝0[(－1)k C knxx ＋k ]n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )命题点3 和数列集合等有关的交汇问题例4 设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)分别求，，，的值；T 3S 3T 4S 4T 5S 5T 6S6(2)猜想关于n 的表达式，并加以证明．T nSn 解 (1)当n ＝3时，M ＝{1,2,3}，S 3＝1，T 3＝2，＝2；T 3S3当n ＝4时，M ＝{1,2,3,4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，＝，＝3，＝.T 4S 452T 5S 5T 6S 672(2)猜想＝.T n S n n ＋12下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即＝，T k S k k ＋12而S k ＝C ，所以T k＝C .3k k ＋123k 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C ，3k ＋1而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1)＝C ＋2(C ＋C ＋C ＋…＋C )k ＋123k 223242k ＝C ＋2(C ＋C ＋C ＋…＋C )k ＋123k 323242k ＝C ＋2C ＝C ＝S k ＋1，k －223k ＋13k ＋1k ＋223k ＋1(k ＋1)＋12即＝.T k ＋1S k ＋1(k ＋1)＋12所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．思维升华 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．跟踪训练2 (1)求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．证明 ①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时也成立，由①②可知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．(2)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝·a n ·(4－a n )，n ∈N .12①求a 1，a 2；②证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N .①解 a 0＝1，a 1＝a 0·(4－a 0)＝，1232a 2＝·a 1(4－a 1)＝.12158②证明 用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝，32∴a 0<a 1<2，命题成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时有a k －1<a k <2.则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝a k －1(4－a k －1)－a k (4－a k )1212＝2(a k －1－a k )－(a k －1－a k )(a k －1＋a k )12＝(a k －1－a k )·(4－a k －1－a k )．12而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，∴a k －a k ＋1<0，即a k <a k ＋1.又a k ＋1＝a k (4－a k )＝[4－(a k －2)2]<2.1212∴n ＝k ＋1时命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，对一切n ∈N 都有a n <a n ＋1<2.1．(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1＋a n1＋a n (n ∈N *)．用数学归纳法证明：a n <a n ＋1(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，a 2＝1＋＝，a 1<a 2，a 11＋a 132所以当n ＝1时，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2－a k ＋1＝1＋－a k ＋1a k ＋11＋a k ＋1＝1＋－a k ＋11＋a k ＋1(1＋a k1＋a k)＝－＝>0，11＋a k 11＋a k ＋1a k ＋1－a k(1＋a k )(1＋a k ＋1)所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n <a n ＋1(n ∈N *)成立．2．用数学归纳法证明a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝a 2＋(a ＋1)1＝a 2＋a ＋1，可被a 2＋a ＋1整除；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋1＋(a ＋1)2(k ＋1)－1＝a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a ·a k ＋1＋a (a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，又(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，所以a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对一切n ∈N *命题都成立．3．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝－1且－a n ＋1＝21an ＋1＋a n ，n ∈N *.1an (1)分别计算出a 2，a 3，a 4的值，然后猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解 令n ＝1，得－a 2＝＋a 1＝2，1a 21a 12化简得(a 2＋)2＝3，2解得a 2＝－或a 2＝－－.3232∵a 2>0，∴a 2＝－.32令n ＝2，得－a 3＝＋a 2＝2，1a 31a 23化简得(a 3＋)2＝4，3解得a 3＝2－或a 3＝－2－.33∵a 3>0，∴a 3＝2－.3令n ＝3，得－a 4＝＋a 3＝4，1a 41a 3化简得(a 4＋2)2＝5，解得a 4＝－2或a 4＝－－2.55∵a 4>0，∴a 4＝－2.5猜想a n ＝－.(*)n ＋1n (2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝－1＝－，(*)式成立；221②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)式成立，即a k ＝－，k ＋1k 那么当n ＝k ＋1时，－a k ＋1＝＋a k ＝＋＋－＝2.1a k ＋11ak k ＋1k k ＋1k k ＋1k＋1化简得(a k＋1＋)2＝k＋2，k＋2k＋1∵a k＋1>0，∴a k＋1＝－，∴当n＝k＋1时，(*)式也成立．n＋1n综上，由①②得当n∈N*时，a n＝－.a2n－2a n＋24．设a1＝1，a n＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．2解 (1)方法一 a2＝2，a3＝＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝1.从而{(a n－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，n－1故(a n－1)2＝n－1，即a n＝＋1(n∈N*)．2方法二 a2＝2，a3＝＋1.1－12－13－1可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.n－1因此猜想a n＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时，结论显然成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，k－1即a k＝＋1，则a k＋1＝＋1＝＋1(a k－1)2＋1(k－1)＋1＝＋1.(k＋1)－1所以当n＝k＋1时结论成立．所以a n ＝＋1(n ∈N *)．n －1(2)方法一 设f (x )＝－1，(x －1)2＋1则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝－1，解得c ＝.(c －1)2＋114下面用数学归纳法证明加强命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝－1，2所以a 2<<a 3<1，结论成立．14假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1.因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.即当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝.14方法二 设f (x )＝－1，(x －1)2＋1则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．①当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝－1<1，即0≤a k ＋1<1.2即当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (a 1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝－1，2有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1.由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n < －1，a 22n －2a 2n ＋2即(a 2n ＋1)2<a －2a 2n ＋2，因此a 2n <.③22n 14又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>－1.a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2解得a 2n ＋1>.④14综上，由②③④知存在c ＝使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．145．已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设f n(x)为f n－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出f n(x)的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)因为f n(x)为f n－1(x)的导数，所以f1(x)＝f0′(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.(2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为(x＋π2)(x＋π2)f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)·cos，(x＋2π2)(x＋2π2)f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)·cos，(x＋3π2)(x＋3π2)f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)·cos，(x＋nπ2)(x＋nπ2)猜测f n(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)·cos.(*)下面用数学归纳法证明上述等式．①当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；②假设当n＝k时，等式(*)成立，(x＋kπ2)(x＋kπ2)即f k(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.则当n＝k＋1时，f k＋1(x)＝f k′(x)＝sin ＋(x ＋k )cos ＋cos ＋(x －k )(x ＋k π2)(x ＋k π2)(x ＋k π2)[－sin (x＋k π2)]＝(x ＋k ＋1)cos ＋[x －(k ＋1)]·(x ＋k π2)[－sin (x ＋k π2)]＝[x ＋(k ＋1)]sin ＋[x －(k ＋1)]·(x ＋k ＋12π)cos ，(x ＋k ＋12π)即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ＋(x －n )cos 成立．(x ＋n π2)(x ＋n π2)6．已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＋1＝2a n －3a .142n (1)求证：对任意的n ∈N *，都有0<a n <；13(2)求证：＋＋…＋≥4n ＋1－4.31－3a 131－3a 231－3an 证明 (1)①当n ＝1时，a 1＝，有0<a 1<，1413所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <.13则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k －3a 2k ＝－3＝－32＋，(a 2k －23a k )(a k －13)13于是－a k ＋1＝32.13(13－a k )因为0<a k <，所以0<32<，13(13－a k )13即0<－a k ＋1<，可得0<a k ＋1<，131313所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <.13(2)由(1)可得－a n ＋1＝32，13(13－a n )两边同时取以3为底的对数，可得log 3＝1＋2log 3，(13－a n ＋1)(13－a n )化简为1＋log 3＝2，(13－a n ＋1)[1＋log 3(13－a n )]所以数列是以log 3为首项，2为公比的等比数列，{1＋log 3(13－a n )}14所以1＋log 3＝2n －1log 3，(13－a n )14化简求得－a n ＝·2n －1，1313(14)所以＝3·.113－a n 124n 因为当n ≥2时，2n －1＝C ＋C ＋C ＋…＋C ≥1＋n －1＝n ，0n －11n －12n －1n －1当n ＝1时，2n －1＝1，所以当n ∈N *时，2n －1≥n ，所以≥3·4n ，113－a n ＋＋…＋≥3(41＋42＋…＋4n )＝4n ＋1－4，113－a 1113－a 2113－a n 所以＋＋…＋≥4n ＋1－4.31－3a 131－3a 231－3an。
【教育专用】2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第五节双曲线检测理新人教A版
教育学习+K12 教育学习+K12 第五节 双曲线 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.x24－y212＝1 B．x212－y24＝1
C.x210－y26＝1 D．x26－y210＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，即双曲线方程为x24－y212＝1，故选A.
2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：x2m2－y22m＋6＝1(－2≤m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±22x C．y＝±2x D．y＝±12x 解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－y24＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C. 3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A.13 B．12
C.23 D．32 解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－y23＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，
又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝12|PF|·|AP|＝12×3×1＝32.故选D. 教育学习+K12 教育学习+K12 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－y23＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP→＝(1，0)，PF→＝(0，
－3)，所以AP→·PF→＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝12|PF|·|AP|＝12×3×1＝32.故选D. 4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲
2020高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 课下层级训练48 抛物线(含解析)文 新人教A版
课下层级训练(四十八) 抛物线[A 级 基础强化训练]1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2D [分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.]2．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.]4．(2019·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝yC [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则4p2＋8p 2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .]5．(2018·山东潍坊二模)直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ，则k 的值是( )A ．23 B ．223C ．1D ． 2B [分别过A ，B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N ，则AF ＝AM ，BF ＝BN .设直线y ＝(x ＋2)(k ＞0)与x 轴交于点P ，则P (－2,0)．∵抛物线的方程为y 2＝8x ，∴抛物线的准线方程为x ＝－2，即点P 在准线上．∵sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ，∴根据正弦定理可得AF ＝2BF ，∴AM ＝2BN ，∴PB PA ＝BN AM ＝12，即B 为PA 的中点． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，消去x 可得y 2－8yk＋16＝0．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2，则y 1y 2＝16．∵B 为PA 的中点，∴y 1＝2y 2，即B (1,22)． ∵P (－2,0)，∴直线AB 的斜率为223.]6．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是__________．x 2＝8y [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .]7．(2018·四川南充三模)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax 的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则a ＝__________．±8 [焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，|OF |＝a 4，直线的点斜式方程y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4在y 轴的截距是－a2，所以S △OAF ＝12×a 4×a 2＝4，解得a 2＝64，∵a >0，∴a ＝8，∴y 2＝8x ，故答案为±8.]8．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．2 [方法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2．方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2．由M (－1,1)，得AM →＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0． 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.]9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43．∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －1，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85， 45．10．(2019·河南郑州月考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0． 由题易知，方程必有两个不等实根． 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x ． (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．[B 级 能力提升训练]11．(2018·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6)C [直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]12．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9xB [如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得，|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a,2|AE |＝|AC |，所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |.即1p ＝23，解得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x .]13．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为__________．[1，＋∞) [如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)．∵CA ⊥CB ，∴CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0.∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1.]14．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF ．由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2．∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1．又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3．由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]15．如图，已知抛物线C ∶y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．(1)解 设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ， 代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2． ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ． (2)证明 设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2． 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y 3y 1＋y 3y 1＋y 3＝2． 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．16．(2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)解 由(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22y 20－4x 0． 因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32． 因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104．。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第八章第7讲第1课时空间角含解析
[基础达标]1．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B (0，－1，0)，A 1(0，0，1)，A (0，0，0)，C 1(－1，0，1)，所以BA 1→＝(0，1，1)， AC 1→＝(－1，0，1)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→|·|AC 1→|＝12×2＝12， 所以〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，所以异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 2．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A ．15B ．255C ．55D ．25解析：选C.以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. 所以P A →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0， DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2，0，1)，设直线P A 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|P A →·n ||P A →||n |＝55，所以直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12， D (0，1，0)，所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.答案：234．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，点D 在棱BB 1上，若BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C所成角的正切值为________．解析：如图，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，E 为AC 的中点，连接BE ，则BE ⊥AC ，所以BE ⊥平面AA 1C 1C ，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝1×32×32＝34＝2×32×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝64＝sin α，所以所求角的正切值为tan α＝cos θsin θ＝155.答案：1555．已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求：(1)AD 1与EF 所成角的大小；(2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A (1，0，1)，B (0，0，1)，D 1(1，1，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，0， F ⎝⎛⎭⎫12，1，0.(1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，所以cos 〈AD 1→，EF →〉＝（0，1，－1）·⎝⎛⎭⎫12，12，02×22＝12，即AD 1与EF 所成的角为60°. (2)F A →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，1，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BA →，F A →〉|＝⎪⎪⎪⎪（1，0，0）·⎝⎛⎭⎫12，－1，11× ⎝⎛⎭⎫122＋（－1）2＋12＝13，所以cos θ＝223. 即AF 与平面BEB 1所成角的余弦值为223.6．(2019·宁波市余姚中学高三期中)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)设点M 是线段PC 上的一点，PM ＝tPC ，且P A ∥平面MQB . ①求实数t 的值；②若P A ＝PD ＝AD ＝2，且平面P AD ⊥平面ABCD ，求二面角M -BQ -C 的大小．解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝60°，所以△ABD 是正三角形，又Q 为AD 中点， 所以AD ⊥BQ .因为P A ＝PD ，Q 为AD 中点，所以AD ⊥PQ .又BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ，AD ⊂平面P AD ， 所以平面PQB ⊥平面P AD .(2)①当t ＝13时，使得P A ∥平面MQB ，连接AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，则O 为BD 的中点，又因为BQ 为△ABD 边AD 上的中线， 所以N 为正三角形ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a .因为P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ， 所以P A ∥MN ，PM PC ＝AN AC ＝3a 33a ＝13，即PM ＝13PC ，t ＝13.②因为PQ ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz ，由P A ＝PD ＝AD ＝2，则B (0，3，0)，C (－2，3，0)， P (0，0，3)，设M (a ，b ，c )， 则PM →＝(a ，b ，c －3)，PC →＝(－2，3，－3)，因为PM ＝13PC ，所以PM →＝13PC →，所以a ＝－23，b ＝33，c ＝233，所以M ⎝⎛⎭⎫－23，33，233，设平面MQB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由QM →＝⎝⎛⎭⎫－23，33，233，QB →＝(0，3，0)，且n ⊥QM →，n ⊥QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋33y ＋233z ＝03y ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0，1)，又平面ABCD 的法向量n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12，由图知二面角M -BQ -C 的平面角为锐角，所以二面角M -BQ -C 的大小为60°.[能力提升]1．(2019·杭州中学高三月考)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且P A ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2 2.(1)求证：CD ⊥平面P AC ； (2)求二面角M -AB -C 的大小；(3)如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为105，求ANNB的值． 解：(1)证明：因为在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝22，所以BC 2＝AB 2＋AC 2，所以AB ⊥AC ， 因为AB ∥CD ，所以AC ⊥CD ，又因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 因为AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC . (2)如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (－2，2，0)，因为M 是棱PD 的中点，所以M (－1，1，1)，所以AM →＝(－1，1，1)，AB →＝(2，0，0)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋z ＝02x ＝0.令y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1z ＝－1，所以平面MAB 的法向量n ＝(0，1，－1)．因为P A ⊥平面ABCD ，所以AP →＝(0，0，2)是平面ABC 的一个法向量．所以cos 〈n ，AP →〉＝n ·AP →|n ||AP →|＝－22×2＝－22.因为二面角M -AB -C 为锐二面角，所以二面角M -AB -C 的大小为π4.(3)因为N 是棱AB 上一点，所以设N (x ，0，0)，NC →＝(－x ，2，0)， 设直线CN 与平面MAB 所成角为α，因为平面MAB 的法向量n ＝(0，1，－1)，所以22×x 2＋4＝105，解得x ＝1，即AN ＝1，NB ＝1，所以ANNB＝1.2．(2019·惠州市第三次调研考试)如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径OA ＝2，侧面积为83π，∠AOP ＝120°.(1)求证：AG ⊥BD ；(2)求二面角P -AG -B 的平面角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，由题意可知83π＝2×2π×AD ，解得AD ＝2 3.则A (0，0，0)，B (0，4，0)，D (0，0，23)，P (3，3，0)， 因为G 是DP 的中点，所以可求得G ⎝⎛⎭⎫32，32，3.(1)证明：BD →＝(0，－4，23)，AG →＝⎝⎛⎭⎫32，32，3.所以AG →·BD →＝⎝⎛⎭⎫32，32，3·(0，－4，23)＝0，所以AG ⊥BD .(2)BP →＝(3，－1，0)，AG →＝⎝⎛⎭⎫32，32，3，PG →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，3，BG →＝⎝⎛⎭⎫32，－52，3，因为BP →·PG →＝0，AG →·BP →＝0，所以BP →是平面APG 的法向量．设n ＝(x ，y ，1)是平面ABG 的法向量，由n ·AG →＝0，n ·BG →＝0. 解得n ＝(－2，0，1)，cos 〈BP →，n 〉＝BP →·n |BP →|·|n |＝－2325＝－155.结合图形得，二面角P -AG -B 的平面角的余弦值为155.3．(2019·温州十五校联考)已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于一点O ，∠BAD ＝60°，将△BDC 沿着BD 折起得△BDC ′，连接AC ′.(1)求证：平面AOC ′⊥平面ABD ；(2)若点C ′在平面ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线CD 与底面ADC ′所成角的正弦值．解：(1)证明：因为C ′O ⊥BD ，AO ⊥BD ，C ′O ∩AO ＝O ，所以BD ⊥平面C ′OA ，又因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AOC ′⊥平面ABD .(2)如图建系Oxyz ，令AB ＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫0，12a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－12a ，0，C ′⎝⎛⎭⎫36a ，0，63a ， 所以DC →＝AB →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，0，平面ADC ′的法向量为m ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，22，设直线CD 与底面ADC ′所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈DC →，m 〉|＝|DC →·m ||DC →||m |＝3a a ·32＝63，故直线CD 与底面ADC ′所成角的正弦值为63.4．如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值； (2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△P AD 中，P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ，又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，连接OC ，易得OC ⊥AD ，所以以O 为坐标原点，直线OC 为x 轴，直线OD 为y 轴，直线OP 为z 轴可建立空间直角坐标系(OC →、OD →、OP →的方向分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向)，则P (0，0，1)，A (0，－1，0)，B (1，－1，0)，C (1，0，0)，D (0，1，0)，所以PB →＝(1，－1，－1)．易证OA ⊥平面POC ，所以OA →＝(0，－1，0)是平面POC 的一个法向量，又cos 〈PB →，OA →〉＝PB →·OA →|PB →||OA →|＝33，所以直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为63.(2)PD →＝(0，1，－1)，CP →＝(－1，0，1)， 设平面PCD 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP →＝－x ＋z ＝0，u ·PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1，1，1)．所以B 点到平面PCD 的距离为d ＝|BP →·u ||u |＝33.(3)存在．设PQ →＝λPD →(0≤λ＜1)，因为PD →＝(0，1，－1)，所以PQ →＝(0，λ，－λ)＝OQ →－OP →，所以OQ →＝(0，λ，1－λ)，所以Q (0，λ，1－λ)． 设平面CAQ 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝x ′＋y ′＝0，m ·AQ →＝（λ＋1）y ′＋（1－λ）z ′＝0.取z ′＝λ＋1，得m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，易知平面CAD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，因为二面角Q -AC -D 的余弦值为63，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝63， 得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝13或λ＝3(舍去)，所以存在点Q ，使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63，且PQ QD ＝12.。
2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章 第六节 抛物线 Word版含解析
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34. 2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( )A ．y 2＝233x B ．y 2＝3x C ．y 2＝23x D ．y 2＝33x 解析：选A.根据抛物线的对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则（4p ）2＋（8p ）2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |＞2，则点A 到原点的距离为( ) A.41B ．2 2C ．4D ．8解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为4a ，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2. 5．(2018·太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( )A.72B ．52C ．3D ．2解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.6．(2018·江西协作体联考)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C.由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0，2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，即抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .7．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，把焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2代入可求得p ＝52， 所以准线方程为y ＝－54. 答案：y ＝－548．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|＝x M＋p2＝6，即x M＝6－p2，又由题意可知x M＝p4，所以p4＝6－p2，解得p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.答案：y2＝16x9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案： 510．(2018·湖北武汉调研测试)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C 在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝kx ＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p＝－1，∴p ＝2. (2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)， 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p （x －x 1），y －y 2＝x 2p （x －x 2），结合①式， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .B 级 能力提升练11．(2018·河北邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB →＝λAB →，则实数λ为( )A.13B ．12C ．2D ．3解析：选C.把点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1，0)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2M 4，y M ，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，MB →＝(－1－y 2M 4，－y M )，由MB →＝λAB →，得⎩⎨⎧－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C. 12．(2018·河南郑州模拟)已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P 到直线x ＝－2的距离为d ，则|PQ |＋d 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C.如图，由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，连接PF ，FQ ，则d ＝|PF |，将圆C的方程化为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径为2，则|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |，又|PQ |＋|PF |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取得等号)．所以当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，且为|CF |－|CQ |＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝3，故选C.13．(2018·广东五校联考)已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的取值范围是( ) A ．(0，2)B ．[2，＋∞)C ．(0，2]D ．(2，＋∞)解析：选D.由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x 消去y 整理得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，S (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝4（k 2＋2）k 2，故x 0＝x 1＋x 22＝2（k 2＋2）k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k ，所以k OS ＝y 0x 0＝2k k 2＋2，直线OS 的方程为y ＝2k k 2＋2x ，代入抛物线方程，解得x 3＝2（k 2＋2）2k 2，由条件知k 2＞0.所以|OS ||OR |＝x 3x 0＝k 2＋2＞2.选D. 14．(2018·河南洛阳统一考试)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA →＋OB →－3OF →＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA →－OF →)＋(OB →－OF →)＝0，即2FA →＋FB →＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4 ①； 又2FA →＋FB →＝0，因此2x 1＋x 2＝0 ②.由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝5x 218＋1＝94. 答案：9415．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 面积的最小值是________．解析：不妨设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，由OA →·OB →＝－4，即x 1x 2＋y 1y 2＝－4得116y 21y 22＋y 1y 2＝－4，得y 1y 2＝－8.所以S △AB O ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝|y 1－y 2|≥42，当y 1＝22，y 2＝－22时取等号，故△ABO 面积的最小值为4 2.答案：42C 级 素养加强练16．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)把P(1，1)代入y 2＝2px 得p ＝12，所以抛物线C ：y 2＝x ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线：x ＝－14. (2)证明：设l ：y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，OP ：y ＝x ，ON ：y ＝y 2x 2x ， 由题知A(x 1，x 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2， 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0， 所以x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1·x 2＝14k 2. 所以y 1＋x 1y 2x 2＝kx 1＋12＋x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 2＝2kx 1＋x 1＋x 22x 2， 由x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2， 上式＝2kx 1＋1－kk 22×14k 2x 1＝2kx 1＋(1－k)·2x 1＝2x 1， 所以A 为线段BM 的中点．。
2020高考数学(文)大一轮精讲练课件：第八章 解析几何 第8节
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
• 4．(2019·山东淄博月考)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛 交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线 ( )
• A．有且只有一条 B．有且只有两条 • C．有且只有三条 D．有且只有四条
解析 设该抛物线的焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝ ＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
2019/8/6
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谢谢欣赏！
2019/8/6
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• (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ ，则 0⇔直线l与圆两锥曲线C有______个公共点；
• Δ ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有_一_____个公共点； • Δ ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有_零_____个公共点． • (2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
最新推荐2020高考数学文大一轮精讲练精练：第八章解析
课下层级训练(四十七) 双曲线[A 级 基础强化训练]1．(2019·江西新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a 2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2xA [根据双曲线的渐近线方程知，y ＝±2aax ＝±2x .]2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 210－y 26＝1D ．x 26－y 210＝1A [已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1 .]3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A ．2B ．2C ．322D ．2 2D [由题意，得e ＝ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝2 2.] 4．(2019·河南开封月考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( )A ．233B ． 2C ． 2D ．263C [由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2 .]5．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1C [如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b2＝2bcc ＝2b ＝6，∴b ＝3．又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝3．∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.]6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝__________；b ＝__________．1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2．又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]7．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为__________． 2 [双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝b .∴b＝32c ，∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝ca＝2.]8．设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________．10 [由双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1，得a ＝2，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当|AB |是双曲线的通径时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b 2a＋8＝10.]9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3． ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF →1·MF →2＝0． (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明 证法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23．∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，即MF →1·MF →2＝0． 证法二：由证法一知MF →1＝(－3－23，－m )， MF →2＝(23－3，－m )，∴MF →1·MF →2＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF →1·MF →2＝0．[B 级 能力提升训练]11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x ．设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°． 所以∠MON ＝2α＝60°．又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3．则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.]12．(2019·湖北武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为P A ，PB ，若△P AB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)A [∵直线y ＝3x 与y ＝－3x 的夹角为60°，且3x 2－y 2>0，∴P A 与PB 的夹角为120°，|P A ||PB |＝|3x －y |2·|3x ＋y |2＝3x 2－y 24，S △P AB ＝12|P A ||PB |·sin 120°＝316(3x 2－y 2)＝3316，即P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1，半焦距为c ＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)．]13．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为__________．233 [如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b2． 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝233.] 14．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→＝__________．2 [由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝4， 由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.]15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |．解 (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1．(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为 y ＝33(x －3)． 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275．所以|AB |＝1＋13×⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635． 16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为23． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1． 所以当l 与双曲线左支有两个交点时， k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1．(3)由(2)得x A ＋x B ＝62k1－3k 2， 所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2． 所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2． 设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2．因为33<k <1，所以－2<1－3k 2<0，所以m <－22． 所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题9平面解析几何第78练圆锥曲线中的易错题理(含解析)
第78练 圆锥曲线中的易错题1．(2018·南京模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边三角形PMF 的面积为43，则p ＝________.2．(2018·芜湖期末)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，顶点B (0，b )到F 2的距离为4，直线x ＝32a 上存在点P ，使得△F 2PF 1为底角是30°的等腰三角形，则此椭圆方程为________________．3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．4.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为22，则双曲线的离心率是________．5．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝100和点B (3,0)，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是________．6．已知椭圆C ：x 216＋y 2b 2＝1(4>b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为32，若P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，抛物线y 2＝4cx 与双曲线在第一象限内相交于点P ，若PF 2＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________． 8．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．9．椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的下顶点为P ，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，θ为ON 的倾斜角，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，则e 的取值范围为________．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为________．11．已知F 是椭圆C ：x 220＋y 24＝1的右焦点，P 是C 上一点，A (－2,1)，当△APF 周长最小时，其面积为______．12．设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 在第一象限上的一点，若PF 1PF 2＝54，则△PF 1F 2内切圆的面积为________． 13．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．14．(2019·镇江联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线C 的准线l 与x 轴交于E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________.15.如图所示，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线准线于点C .若BC ＝2BF ，且AF ＝4＋22，则p ＝________.16．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是________．答案精析1．2 2.x216＋y27＝1 3. 3 4. 25.x 225＋y 216＝1 解析 由圆的方程可得圆心C (－3,0)，半径为10，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，∴MB ＝MP ， 又MP ＋MC ＝10， ∴MC ＋MB ＝10>BC .根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3， ∴b ＝4，故椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.6．4解析 因为离心率为32， 所以c a ＝32， 因为a ＝4，所以c ＝23，b ＝2， 因为∠F 1PF 2＝90°， 所以F 1P 2＋PF 22＝(2c )2＝48， 由椭圆定义得F 1P ＋PF 2＝2a ＝8，所以2F 1P ·PF 2＝(F 1P ＋F 2P )2－(F 1P 2＋PF 22)＝64－48＝16， 即F 1P ·PF 2＝8，△F 1PF 2的面积为12F 1P ·PF 2＝4.7．1＋ 2解析 抛物线y 2＝4cx 与双曲线的右焦点F 2(c,0)相同，如图，已知PF 2＝F 1F 2，由抛物线定义可知，PF 2垂直于x 轴，故P (c,2c )，∵P 在双曲线上，∴c 2a 2－4c 2b2＝1，由e ＝c a ，得e 2－4e 2e 2－1＝1，解得e 2＝3±22＝12＋(2)2±2 2 ＝(1±2)2. ∵e >1，∴e ＝1＋ 2. 8.y 225－x 275＝1 解析 设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2a 2＋x2b2＝1，解得y N ＝a 2b 2a 2＋b 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －a ，y 2a 2＋x2b2＝1，解得y M ＝－ac2a 2＋b 2.则y N －y M ＝a 2b 2a 2＋b 2－－ac2a 2＋b 2＝a ， 化为a ＝3b ，此时e ＝ca ＝1－b 2a 2＝63.同理，把直线方程y ＝3x ，y ＝3x －a 与椭圆方程分别联立，可得 y N ＝3aba 2＋3b 2，y M＝3ab 2－a3a 2＋3b 2. y N －y M ＝a ，化为a ＝3b .∴e ＝223.∴椭圆C 的离心率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223.10.32解析 由双曲线的定义知2a ＝4， 得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上， 所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54， 因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.11．4解析 椭圆C ：x 220＋y 24＝1，a ＝25，b ＝2，c ＝4，设左焦点为F ′(－4,0)， 右焦点为F (4,0)，△APF 的周长为AF ＋AP ＋PF ＝AF ＋AP ＋(2a －PF ′) ＝AF ＋AP －PF ′＋2a ≥AF －AF ′＋2a ， 当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即点P 位于x 轴上方时△APF 周长最小，此时直线AF ′的方程为y ＝12(x ＋4)，代入x 2＋5y 2＝20中，可得P (0,2)，故S △APF ＝S △PF ′F －S △AF ′F ＝12×2×8－12×1×8＝4，故答案为4.12.487π解析 双曲线C ：x 2－y 224＝1，则a ＝1，b ＝26，c ＝a 2＋b 2＝5， 由双曲线的定义， 可得PF 1－PF 2＝2a ＝2， ∵PF 1PF 2＝54，解得PF 1＝10，PF 2＝8，F 1F 2＝2c ＝10， 则边PF 2上的高为100－16＝221，运用等面积法得12×221×8＝12×(10＋10＋8)r ，即r ＝4217，故△PF 1F 2内切圆的面积为487π.13.22613解析 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，则A 1(－3,1)， 易知PA ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26， 因此椭圆C 的离心率e ＝AB PA ＋PB ＝4PA ＋PB 的最大值为22613. 14．2解析 由题意知AB 斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，代入抛物线方程并化简得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，由题意易知Δ>0，x 1,2＝k 2p ＋2p ±k 2p ＋2p2－k 4p22k2， 所以x 1·x 2＝p 24.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 代入AF →＝3FB →， 得p2－x 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，②联立①②解得x 1＝32p ，|y 1|＝3p .由梯形的面积公式，得S 四边形AA 1EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋p ·3p 2＝63， 解得p ＝2.15．2解析 如图，过A ，B 两点分别作抛物线准线的垂线，且分别交于E ，D 两点．由抛物线的定义可知BD ＝BF ，AE ＝AF ＝4＋2 2.∵BC ＝2BF ， ∴BC ＝2BD ，则∠ACE ＝45°，AC ＝2AE ＝42＋4， ∴CF ＝22，故p ＝12CF ＝2.16. 5解析 直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，∵A (a,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ba 2－b2，－2a 2b a 2－b 2，∵AB →＝12BC →，∴－ab a ＋b ＝a 2b a 2－b2，∴b ＝2a ，∴c 2－a 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝5，故答案为 5.。
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1．(2019·江苏七校联考)抛物线14x 2＝y 的焦点坐标是________．解析：由14x 2＝y ⇒x 2＝4y ，于是焦点坐标为(0，1)．答案：(0，1)2．(2019·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 解析：设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________．解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为AF ＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝54x 0，解得x 0＝1.答案：15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．答案：2 66．(2019·江苏省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为________．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. 答案：12或47．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则QF ＝________．解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3.答案：3点B 满足OB →＝OA →＋8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一OF →(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1，0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，所以B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·OF ·|y B |＝12×1×2＝1.答案：19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．解析：由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝⎛⎭⎫－p 2，52p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－52p ，故S △ABO＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x10．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1，2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为________．解析：因为点A 在抛物线上，所以4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1，0)，设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又因为y 1＋y 2＋23＝0，所以y 1＋y 2＝－2，所以k BC ＝－2.又因为x 1＋x 2＋13＝1，所以x 1＋x 2＝2，所以BC 的中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0.答案：2x ＋y －1＝011．(2019·江苏省四校联考)已知抛物线y 2＝2x 上有四点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，点M (3，0)，直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q .(1)求y 1y 2的值； (2)求证：MP ＝MQ .解：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，与抛物线方程联立得：y 2－2my －6＝0， 所以y 1y 2＝－6.(2)证明：直线AC 的斜率为y 1－y 3x 1－x 3＝2y 1＋y 3，所以直线AC 的方程为y ＝2y 1＋y 3(x －x 1)＋y 1.所以点P 的纵坐标为y P ＝6＋y 1y 3y 1＋y 3＝6＋⎝⎛⎭⎫－6y 2y 3－6y 2＋y 3＝6（y 2－y 3）y 2y 3－6，同理点Q 的纵坐标为y Q ＝6（y 3－y 2）y 2y 3－6，所以y P ＋y Q ＝0，又PQ ⊥x 轴，所以MP ＝MQ .12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F 且与直线OA 垂直的直线方程；(3)设过点M (m ，0)(m >0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0. 将x ＝yk ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m )，所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0).1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．解析：由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线方程为y 2＝±8x . 答案：y 2＝±8x2．(2019·南通质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则MQ －QF 的最小值是________．解析：抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，MQ －QF 取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则(QM －QF )min ＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪2＋12＝52. 答案：523．(2019·无锡模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF的值等于________．解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝BC AB ＝BB 1－AA 1AF ＋BF ＝BF －AFAF ＋BF，即cos 60°＝BF －AF AF ＋BF ＝12，由此得AF BF ＝13.答案：134．(2019·泰州模拟改编)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记向量OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1总成立． 其中，所有正确命题的序号是________．解析：根据题意可知，当点P 落在准线与x 轴的交点时，PM ＝PN ＝22≠MN ＝4，所以△PMN 不是等边三角形，所以无论P 在何处即∀a ，b ∈R ，△PMN 都不是等边三角形．故①正确，根据题意不妨令M (1，2)，N (1，－2)，令OP →·ON →＝0，即(a ＋b )·1－2(2a －2b )＝0，整理得3a ＝5b ，所以∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直，故②正确，OP →＝(a ＋b ，2a －2b )，因为点P 在抛物线的准线上，所以a ＋b ＝－1总成立，故③正确．答案：①②③5．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段AB ＝20，求直线l 的方程．解：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.6．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点． 解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝OB sin 30°＝43，y ＝OB cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设定点为M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)， MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．。