第六章 势流

4－16 强度为24m 2/s 的源位于坐标原点，与速度为10m/s 且平行于x 轴，方向自左向右的均匀流动叠合。求：(1)叠加后驻点的位置；(2)通过驻点的流线方程；(3)此流线在θ＝2π和θ＝0时距x 轴的距离；(4)θ＝2

π时，该流线上的流速。 已已知知：：Q ＝24m 2/s ，u 0＝10m/s 。

解析：已知平行于x 轴的均匀流的流函数为

θψs i n

001r u y u == 位于坐标原点的源流的流函数为

θπ

πψ2tg 212Q x y Q ==- 则两者叠加后的流函数为 θπθπψψψ2s i n tg 201021Q r u x y Q y u +=+

=+=- 令ψ＝常数，得流线方程为

C x y Q y u =+-10tg 2π 或 C Q r u =+θπ

θ2s i n 0 流场的速度分布为

???????+=??-=++=??=22y 220x 22y x y Q

x u y x x Q u y u πψπψ 或 ???

????-=??-=+=??=θψπθθψs i n 2c o s 0θ0r u r u r Q u r u (1) 令00y x ==u u ，，或00θr ==u u ，，得驻点位置为

020

=-=y u Q x ，π 或 πθπ==，02u Q r 将Q ＝24m 3/s·m ，u 0＝10m/s ，代入上式，得驻点位置为(－0.382，0)或(0.382，π)。

(2) 将驻点坐标（

ππ，0

2u Q ）代入流线方程，得2Q C =，于是，通过驻点的流线方程为 2tg 210Q x y Q y u =+

-π 或 2

2sin 0Q Q r u =+θπθ 即 12tg 82.3101=+-x y y 或 1282.3sin 10=+θθr (3) 根据通过驻点的流线方程，可得 )(2sin 0

θππθ-==u Q r y ，则 当2π

θ=时，m 6.010

42440=?==u Q y ； 当0=θ时，m 2.110

22420=?==u Q y (4) 由通过驻点的流线方程可知，当2π

θ=时，0

40u Q r y x ===，，代入速度分布式，

得

m /s 201022m/s 100y 0x π=?==

==ππu u u u ， 或 m /s 10m/s 201022θ0r -==?==u ππu u ，π

则 m /s

86.1114

1022θ2r 2y 2x =+?=+=+=πu u u u u 4－17 一源和汇均在x 轴上，源在坐标原点左边1m 处，汇在坐标原点右边1m 处，源和汇的强度均为20m 2/s 。求坐标原点处的速度。计算通过点(0，4)的流线的ψ值和该点的速度。

已已知知：：Q ＝20m 2/s 。

解析：对于点源 1

tg 101tg 2111+=+=

--x y x y Q ππψ 对于点汇 1tg 101tg 2112--=--=--x y x y Q ππψ 于是，组合流场的流函数为

)1

tg 1(tg 101121--+=

+=--x y x y πψψψ 组合流动的速度分量为 ???????+--++=??-=+---+++=??=

])1()1([10])1(1)1(1[102222y 2222x y x y y x y x u y x x y x x y u πψπψ (1) 将x ＝y ＝0代入上式，得坐标原点处的速度为

0m /s 37.620

y1x1===u u ，π

(2) 将x ＝0，y ＝4代入上式，得(0，4)点处的速度为

0m /s 37.01720y2x2===u u ，π

(3) 将x ＝0，y ＝4代入组合流场的流函数式，得(0，4)点处的流函数值为

/s m 8.483)1

tg 1(tg 10

211=--+=--x y x y πψ 4－18 一平面势流由点源和点汇合成，点源位于(－1，0)，强度为20m 2/s ，点汇位于(2，0)，强度为40m 2/s ，流体密度为1.8kg/m 3，设(0，0)点的压力为零，求(0，1)和(1，1)点的流速和压力。

已已知知：：Q 1＝20m 2/s ，Q 2＝40m 2/s ，ρ＝1.8kg/m 3，p 0，0＝0。

解析：对于点源 1

tg 101tg 21111+=+=--x y x y Q ππψ 对于点汇 2tg 202tg 21122--=--=--x y x y Q ππψ

于是，组合流场的流函数为

)2

tg 21(tg 101121--+=

+=--x y x y πψψψ 组合流动的速度分量为 ???????+--++=??-=+---+++=??=

])2(2)1([10])2()2(2)1(1[102222y 2222x y x y y x y x u y x x y x x y u πψπψ (1) 将x ＝0，y ＝1代入上式，得(0，1)点处的速度为

m /s 32.010

110m/s 14.4101310y1x1=?==?=ππu u ， 则 m /s 15.432.014.4222y12x110=+=+=u u u ，

(2) 将x ＝1，y ＝1代入上式，得(1，1)点处的速度为

m /s 55.2)10

8(10m/s 46.4101410y2x2-=-?==?=ππu u ， 则 m/s 14.555.246.4222y22x211=+=+=u u u ，

(3) 将x ＝0，y ＝0代入上式，得(0，0)点处的速度为

0m /s 37.6210

y0x0==?=u u ，π

则 m/s 37.62y02x000=+=u u u ，

因为流场为有势流动，利用伯努利方程，得

21010200002

121，，，，u p u p ρρ+=+

21111200002

121，，，，u p u p ρρ+=+ 所以 22221,020,00,01,0N /m 02.21)15.437.6(8.12

1)(21=-??=-+=u u p p ρ 22221,120,00,01,1N /m 74.12)14.537.6(8.121)(21=-??=-+=u u p p ρ 4－19 强度为2π m 3/s·m 的点源和点汇分别位于(－2，0)点和(2，0)点处，与速度为4.0m/s 沿x 轴正向的均匀直线流叠加成一个新的流动。试求：(1)两个驻点的位置及其之间的距离；

(2)经过驻点的流线方程；(3)上游无限远处与(－1，1)点之间的压头差。

已已知知：：Q ＝2π m 3/s·m ，u ∞＝4.0m/s 。

解析：(1) 求两个驻点的位置及其之间的距离

对于点源 2

tg 2tg 22111+=+==--x y x y Q Q πθπψ 对于点汇 2tg 2tg 22112--=--=-=--x y x y Q Q πθπψ

对于均匀直线流 y y u 43==∞ψ

于是，组合流场的流函数为

y x y x y 42tg 2tg

11321+--+=++=--ψψψψ 组合流动的速度分量为

4)2(2)2(22

222x ++---+++=??=y x x y x x y u ψ 2222y )2()2(y x y y x y x u +--++=??-

=ψ 由已知条件可知，两驻点均在x 轴上，即y ＝0，这时u y ＝0，由u x ＝0得

042

121=+--+x x 解此方程得 5±=x

即 m 236.251==x ； m 236.252-=-=x

故两驻点的位置分别为(－2.236，0)和(2.236，0)。它们之间的距离为

m 472.4236.22||||21=?=+=x x L

(2) 求经过驻点的流线方程

令 C y x y x y =+--+=--42

tg 2tg 11ψ 将驻点坐标代入上述流线表达式，得C ＝0，则经过驻点的流线方程为

042

tg 2tg 11=+--+--y x y x y (3) 求上游无穷远处到(－1，1)点间水流的压头差

点(－1，1)处流体的速度为

m /s 8.4410321x =++=u ； m /s 4.010

121y =-=u m /s 817.44.08.4222y 2x =+=+=u u u

因为是有势流动，利用伯努利方程，得

222

121u p u p ρρ+=+∞∞ 上游无限远处与(－1，1)点之间的压头差为

m 367.0)0.4817.4(81

.921)(212222=-??=-=-∞∞u u g p

p γ 4－20 为了在(0，5)点产生数值为10m/s 的流速，问位于坐标原点的偶极强度M 应为多大？并求通过(0，5)点的流函数值。

已已知知：：u(0，5)＝10m/s 。

解析：该偶极流为同强度的点源与点汇叠加而成，其流函数及速度分布式分别为 2

22y x y M +-=πψ )

(2222y 2x y x M u u u +=+=π 将(0，5)点坐标代入上述速度分布式，可得

/s m 500)50(102)(23222πππ=+??=+=y x u M

将(0，5)点坐标代入上述流函数式，可得

/s m 505

052500)50(22-=+?-=ππψ， 4－21 均匀直线流的流速为u 0，位于坐标原点的偶极强度为M ，这两种流动叠加后，流速值与u 0相等的点位于哪一条曲线上？

已已知知：： u 0，M 。

解析：该流场为均匀直线流与偶极流叠加而成，叠加后的流函数及速度分布式分别为

θψs i n )1()1(220022200r r

r u y x r y u -=+-= ???

????+-=??-=-=??=θψθθψs i n )1(c o s )1(1220

0θ2200r r r u r u r r u r u θθθ2c o s )(2)(1s i n ])(1[c o s ])(1[20402220222002θ2r r

r r r r

r r r u u u u -+=++-=+= 为了简化计算，以上各式中令002u M r π=

。 将0u u =代入上述速度分布式，简化后得

θ2c o s 20=r r 或写成 θ

2c o s 20r r = 将002u M r π=代入上式，得流速值与u 0相等的点所在的条曲线为

θπ2c o s 210u M r =

4－22 一长圆柱体的直径为1.0m ，位于u 0＝10m/s 的正交于柱轴的直线流中，流体的密度为1000kg/m 3，未扰动流体的压力为0，求在圆柱面上θ＝π/2、5π/8、6π/8、7π/8和π处的流速值和压力值。

已已知知：：d 0＝1.0m ，u 0＝10m/s ，ρ＝1000kg/m 3，p 0＝0。

解析：该绕流流场可由均匀直线流与偶极流叠加而成，叠加后圆柱面上的速度分布和压力分布由式(4－70)和式(4－71)表述，即

θs i n 200θr u u u -==，

)s i n 41(212200θρ-+

=u p p 当2π

θ=时， m/s 0.202sin 102sin 2)2(0-=?-=-=π

θπu u

kPa 0.150)2

sin 41(101021)2(223-=-???=

ππp 当85πθ=时，m/s 48.188

5sin 102sin 2)85(0-=?-=-=πθπu u kPa 71.120)8

5sin 41(101021)85(223-=-???=ππp 当86πθ=时，m/s 14.148

6sin 102sin 2)86(0-=?-=-=πθπu u kPa 0.50)8

6sin 41(101021)86(223-=-???=ππp 当87πθ=时，m/s 65.78

7sin 102sin 2)87(0-=?-=-=πθπu u kPa 71.20)87sin 41(101021)87(223=-???=ππp 当πθ=时， 0sin 102sin 2)(0=?-=-=πθπu u

kPa 0.50)sin 41(10102

1)(223=-???=ππp 4－24 已知水平直线流的流速为5.0m/s ，位于y 轴上(0，2)和(0，－2)点的点源强度均为20π m 3/s·m ，求叠加流动的驻点位置、轮廓线方程，并描述其大致流动情景。

已已知知：：Q ＝20π m 3/s·m ，u ∞＝5.0m/s 。

解析：(1) 求驻点的位置

对于点(0，2)处的点源 x

y x y Q 2tg 102tg 2111-=-=--πψ 对于点(0，－2)处的点源 x y x y Q 2tg 102tg 2111+=+=--πψ

对于均匀直线流 y y u 53==∞ψ

于是，组合流场的流函数为

y x y x y 5)2tg 2(tg

1011321+++-=++=--ψψψψ 组合流动的速度分量为

5])2()2([102

222x ++++-+=??=y x x y x x y u ψ ])2(2)2(2[102222y ++++-+-=??-

=y x y y x y x u ψ 由上式可知，当y ＝0时，u y ＝0，说明驻点在x 轴上，由u x ＝0，得

054

202=++x x 或写成 0442=++x x 解此方程得 m 2-=x 。即驻点的位置为(－2，0)。

(2) 求轮廓线方程

令 0=ψ，得流线方程为

C y x y x y =+++---2

2tg 2tg 11 将驻点坐标代入上述流线方程式，得C ＝0，则轮廓线方程(即经过驻点的流线方程)为 022tg 2tg 11

=+++---y x y x y 或改写为 4

22tg 22+--=y x xy y 由上述流线方程描点作图，即可得出流场图形。