第一章函数的极限与函数的连续性

第一章函数的极限与函数的连续性

一、学习目的与要求

1、了解函数极限的£ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。

2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。

3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。

4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。

5、了解在闭区间上连续函数的性质。

二、学习重点

函数极限的概念及计算

三、内容提要

1、数列极限与函数极限

（I）概念综述

设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可

1

2

商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0)

v

比较性质

(1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v

(2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v

有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界

(2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。 存在性质

(1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 (2) 夹逼准则：若u

v ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个

变量u 、v 、国极限过程相同)。

注 的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数;

1

l

x

m o

xsin ;=

,

1

lim e x 不存在,

x

(IV )极限之间的联系

(1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x)

i x o 十

x T x o —

(2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A.

X -

X ) - .

X

(3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 A

v 是函数变量， 极限过程是X — xj 时,

X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是

x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。

(III )基本极限公式

lim 0, n

t ：n

lim ( 一 n 1 — n) = 0,

n 「

1

lim (1 )n = e ,

+ n

lim Q n = lim =1(a > 0)

n

n j ：:

lim ( . n 2 n

n _.

lim (-1)不存在

n —jpc

1

lim (1 X )，=e,

X 0

lim (1 丄广=e, x r ：： x

X

n X

叫

X

Hx

lim 凶不存在。 x 10

x

2 •无穷小量与无穷大量

(I)概念

无穷小量在指定极限过程中以零为极限的变量

无穷大量在指定极限过程中趋于无穷大的变量

u =o(v) 表示u是较v高阶的无穷小量，即limu/v=O

u =O(v)表示u与v是同阶的无穷小量，即limu/v = a,a是非零常数。

u〜V 表示u与v是等价无穷小量，即limu/v=1

无穷小的主部设a,r为常数，a^O,r .0,若u(x)二ax r• o(x r)(x「. 0)，则说ax r是u(x)的

主部，x称作基本无穷小，r称作u关于x的阶数。

(II)运算性质

设u、v是无穷小量，B为有界变量，⑷为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，

1

有(1) u二v,uB,u v,均是无穷小量。

1

(2)u…，，B…，,一(u =0)均是无穷大量。

u

(III)等价无穷小替换原理

设u 〜v，则lim u = lim v，,lim — = lim —。

u v

(IV)常用等价替换公式

在寻求无穷小量u的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果(其中u、v可以是函

( _________________ 1 十n 数变量如sin ln x(x—• 1),e"(x—•「-')，也可以是数列，如x n - . n • 1 - •、n,x n = ln ----- 等

n

等)；

积与商若u〜V,则u•'〜v■/ ■/ u〜/v

[u,若二o(u)

和u卜纣〜u .

:右——l式一1,u〜u ,们〜时L »*

常用公式设u》0 ,则

sin u 〜tanu 〜arcsinu 〜arctanu 〜ln(1 u)〜e u「1 〜u

1 1

1 -cosu〜u2, (1 u)a-1 〜au(a是常数),a u-1 〜uln a(a 0),u —sinu — u3

2 6

3•函数的连续性

(I)概念

f (x)在一点x0连续函数f (x)在x0的某个领域(X0-、：,x0■、：)上有定义，

且lim f (x) = f (x0)。

3

x )X)

f (x)在一点X o左(右)连续函数f (x)在X o的某个左(右)邻域

(X o-、.,X o)((X0,X0 、.))上有定义，且lim f(x)= f(x o)( lim f(x) = f (x o)).

f(x)在(a,b)连续函数f (X)在(a,b)内的每个点连续。

f (x)在［a,b］上连续函数f (x)在(a,b)连续，且在左端点a右连续，右端点b左连续。

间断点当lim f(x)二f(x0)不成立时，称f(x)于x = x°处间断，间断点X o可分为以下

x %

几种类型:

(1 )若f

(x),g(x)均在点X o连续，则 f (x) _ g(x), f (x) g(x), f (x)/g(x),(g(x°) = 0)也在点x o连续；若

f(「(t))有定义,:(t)在t=t o连续,f(x)在X o二(t o)连续，则f(「(t))在t =t o连续。

(2)局部保号性若f (x)在x o连续,f(x o) a则在x o的某邻域U(x or )上f(x) a

(3)若y = f (x)的反函数为x = f '(y)，且f (x)在X o 连续，则f ' (y)在y°= f (x°)连

续。

(4)基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。

(III )闭区间上连续函数的性质

设函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，则有

(1) f (x)在［a,b］上有界并取得最大值与最小值(最值定理) 。

(2) 若f(a)f(b) <0,则存在-(a,b)使f()=0 (零点存在定理)。

(3)若实数A在f(a), f(b)之间，则存在：(a,b)使f「)= A (介值定值)

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