大一高数复习资料【完整版】

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高等数学（非数院）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部

分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

(){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列{}n

x ，证明{}lim n

x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言 1．由n

x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????。当N n >时，始终有不等式n

x a ε-<成立， ∴{}a x n

x =∞

→lim

第三节 函数的极限 ○0

x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim 【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()0

0x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当0

0x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim ○∞→x 时函数极限的证明

（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim 【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式

()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim 第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大

?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相

关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1

f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1

-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →?????

（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在

x x =的任一去心邻域()δ,0

x U

内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）

2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0

x

x →时的无穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞

→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞

?=????）

第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★

★）

（定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()?????+?++=+?++=--n

n n m

m m

b x b x b x q a

x a x a x p 1

101

1

则有

()()??????

?∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

()()()

()000

lim 0

0x x f x g x f x g x →??

??=∞?????

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==

（特别地，当

()()00lim 0

x x f x g x →=（不

定型）时，通常分子分母约

去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值2

3

3

lim 9

x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()2

3

3

3

3311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()2

3

9

x f x x -=-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()00

2

3

332

33

11lim lim lim

9

26

9x L x x x x x x x '→→→'

--===-'

-

○连续函数穿越定理（复合

函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那

么，()()00

lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????

【题型示例】求值：9

3lim 23

--→x x x 【

求解示

例

】

223

3331

6lim 996

6

x x x x x x →→--===

--

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：1sin lim 0

=→x

x

x ∵??

?

??∈?2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0

=→x x

x 0

00

lim11

lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===?? ???

（特别地，0

sin(

)

lim 1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）

（★★★）

第二个重要极限：e

x

x

x =?

?

?

??+∞

→11lim

（

一

般

地，

()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =??????

??

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞

→???

??++x x x x 【求解示例】 ()()21

1

1

212

1212

2121

1221

2

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

?++++??+++→∞

+→∞++→∞+++????

?

?==+ ? ? ?+++??

??

??

?

??

??

???=+=+ ? ???++??

??

?

?

?

??

???=+

???+???

?

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 1

21x x x x x x x x x e

e

e e +→∞??

?+??

+??+→∞+→∞???+??

+??

+??

?

+?

?

==== 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +-

2．U U cos 1~212

- （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim

2

++++→ 【求解示例】

()()

()()()()()3

131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim

,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

第八节 函数的连续性

○函数连续的定义（★）

()()()000

lim lim x x x x f x f x f x -+

→→== ○间断点的分类（P67）（★） ??

?∞???

?

?）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在

分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数

()?

?

?+=x a e x f x

2 ，00

≥

0000f e e e

f a a

f a -

-?+

+

?===??=+=??=??

2．由连续函数定义

()()()e f x f x f x x ===+

-→→0lim lim 00 ∴e a =

第九节 闭区间上连续函数

的性质

○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程

()()f x g x C

=+至少有一个根介

于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ???<（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使

得()0=ξ?，即()()0

f g C ξξ--=（10<<ξ）

4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★） 【题型示例】已知函数()?

??++=b

ax e x f x

1 ，00

>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b

【求解示例】

1．∵()()0

010f e f a

-

+'?==??

'=??，()()()0000112

0012f e e f b f e -

-+

?=+=+=??=??

=+=??

2．由函数可导定义

()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===???====??

∴1,2a b ==

【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ????

处的切线与法线方程）

【求解示例】

1．()x f y '='，()a f y a

x '='=|

2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()

()1y f a x a f a -=--'

第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±

2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+

3．函数商的求导法则（定理三）：

2u u v uv v v '

''-??=

???

第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数()x f 1

-的导

数

【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴

()()

1

1

f x f x -'??=??' ○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设

(21

22

ln x y e x a -=+，求y ' 【求解示例】

()(()()()()222

22221

22

arcsin 1

22

2

22

1

22

2arcsin 1

222

1

222

arcsin 1

22

arcsi arcsin 1

22

12112122x x x x x x x y e x a e x a x x a e x a x e x a x e x x a e x a e e x a -------''=+++'??'- ?+= + --++ ???

?- = -+++ ??=++解：2n 1

2222

12x x x x a -?? -?-+?

第四节 高阶导数 ○()()()()1

n n f x f x -'??=??（或()()1

1

n n n

n d y d y dx dx

--'??=??

??

）（★）

【题型示例】求函数()x y +=1ln 的

n 阶导数 【求解示例】()1

111y x x

-'==++，

()()()12

111y x x --'??''=+=-?+??

，

()()()()()23

11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+??

……

()

1

(1)(1)(1)n

n n

y n x --=-?-?+！

第五节 隐函数及参数方程

型函数的导数

○隐函数的求导（等式两边

对x 求导）（★★★）

【题型示例】试求：方程y

e

x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点

()1,1e -的切线方程与法线方

程

【求解示例】由y

e x y +=两边对x

求导

即()y y x e '

''=+化简得1y

y e y ''=+?

∴e e y -=-='11

111

∴切线方程：()e x e y +--=-111

1 法线方程：()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程()()?

?

?==t y t x γ?，求2

2

dx y

d 【求解示例】

1.()()

t t dx

dy ?γ''= 2.()

2

2

dy d y dx dx t ?'?? ???='

第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

()dx x f dy ?'=

第三章 中值定理与导数的应

用

第一节 中值定理

○引理（费马引理）（★）

○罗尔定理（★★★）

【题型示例】现假设函数()

f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可

导，试证明：()0,ξπ?∈，

使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?= 显然函数()x ?在闭区间

[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ?== ()()sin 0f ?πππ== 即()()00??π== 3．∴由罗尔定理知 ()0,ξπ?∈，使得