高中数学必修一至必修五基础知识汇总

必修一

（一）集合

1.集合的概念

(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性. （2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用?表示. （3）我们约定用N 表示自然数集，用N *表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集. （4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图). 2.集合间的基本关系 （1）集合与元素的关系

表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“?”两种情形.

（2）集合与集合之间的关系

集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n

，非空子集的个数为21n

-，真子集的个数为21n

-，非

空真子集的个数为22n

-.

3.集合的运算

集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论 （1）①(

)()

() U U

U A B A B =

痧?； ②(

)()

()U U

U A B A B = 痧?. （2）①

A B A B A ??= ；

②

A B A B B ??= .

（二）函数的概念

（1）函数的定义

设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的

数f (x )和它对应，那么就称

:f A B →为从集合A 到集

合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自

变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}

()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.

③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合

A 到集合

B 的映射，记作

:f A B →.函数实际上是一种

特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一. （2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.

（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.

分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.

（三）函数单调性

1.增函数、减函数

设函数()f x 的定义域为I ：

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <

，那么就说函

数

()f x 在区间D 上是增函数；

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的

值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说

函数

()f x 在区间D 上是减函数.

2.单调性、单调区间

如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.

3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论. 2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.

3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值. 4.判断函数单调性的常见方法

①定义法；②图象法；③导数法. ④ 5.求函数最值或值域的方法

①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.

5.一些重要函数的单调性

1

y x x

=+的单调区间：增区间(,1),(1,)-∞-+∞； 减区间(1,0),(0,1)-. ()0,0b

y ax a b x

=+

>>的单调区间：增区间

（四）函数奇偶性

1.奇偶性

(1)奇函数、偶函数

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数.

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数.

(2)奇偶性 如果函数

()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数

()f x 具有奇偶性.

(3)奇函数、偶函数的性质

①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；

②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；

③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有

(0)0f =.

④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.

⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

（五）基本函数：一次二次函数

1.函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和

值域皆为R

2.一次函数性质

①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0

时，函数

(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)b

k k

-≠与y 轴的交点为(0,)b .3.二次函数

的解析式的三种形式：

①一般式c bx ax x f ++=2)(； ②顶点式k h x a x f +-=2)()(；

③零点式

))(()(21x x x x a x f --=；

4.二次函数的图象与性质

①()2

2

2

424b ac b

f x ax bx c a x a a -??=++=++

???

(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b a a ??

-- ???

，

对称轴方程为2b

x a

=-，当0a >时开口向上, 当

0a <时开口向下；

②()2

400,0b ac ?=->?=?<时，抛物线与x 轴

有2个（1个、无）交点. ③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b

a

-∞-

减函数； 在(,)2b

a

-

+∞上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：

()0当时，为

b f x =偶函数；

()0当时，b f x

≠既不是奇函数也不是偶函数； （六）指数函数

1.幂的有关概念

正整数指数幂：n a a a a =g g g L g 14444244443个

n

a

；

零指数幂：0

a

=1(0a ≠) ；

负整数指数幂：p

a

-=

1p a

(0,a p N +

≠∈)； 正分数指数幂：

m n

a

=0,1a m n N n +>∈>、且);

负分数指数幂：

m n

a

-

=

1m n

a

(0,1a m n N

n +

>∈>、且);

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 2.幂的运算法则（0,0,a

b r s Q >>∈、）

r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b

3.指数函数图像及性质

4.指数函数

()x f x a =具有性质：

()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠ （七）对数函数

1.定义：如果)1,0(≠>a a

a 且的

b 次幂等于N ，就是

b a N

=，那么数

b

称以

a 为底

N 的对数，记作

log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数.

①以10为底的对数称常用对数，N 10

log 记作N

lg ，

②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，

N e log 记作N

ln

2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =，③log 1a

a =，

④对数恒等式：log a N

a

N =.

3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a

则

①log ()log log a a a MN M N =+；

②log log log a

a a M

M N N

=-； ③log log n a

a M n M =.

4.换底公式：log log log m a m N

N a

=

(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠>

①log log 1a b

b a ?=，

②log log m

n

a a n

b b m

=. 5.对数函数的图像与性质

（八）幂函数：

,y x =2y x =3,y x =1

y x

=

12

y x =的图像

1.当0a

>时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：

(1)图像都通过点(1,1)；

(2)在第一象限内，随x 的增大而增大； (3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时

图像上凸.

(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限

伸展. 2.当0<α

时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：

(1)图像都通过点(1,1)；

(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的；

(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向

右与x 轴无限地接近； (4)在第一象限内，过()1,1点后，α

越大，图像下

落的速度越快.

（九）函数图像变换

1．平移变换 ⑴水平平移：

()()0y f x a a =±> 的图象，可由

()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个

单位而得到；⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的

图象可由

()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平

移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换

⑴()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称; ⑵()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称; ⑶()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称;

⑷()1y f x -=

与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称;

⑸()y f x = 的图象可将

()y f x = 的图象在x 轴下

方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变;

⑹()y f

x = 的图象可将()y f x = ，()0x ≥

的部分作出，再利用偶函数的图象关于

y 轴对称，作出

0x < 的部分.

3.伸缩变换 ⑴()()0y Af x A =

> 的图象，可将()y f x = 图象上

所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到; ⑵

()()0y f ax a => 的图象，

可将()y f x = 图象上所有点的横坐标变为原来的1

a

，纵坐标不变而得到.

（十）函数的应用

1．函数零点的定义：对于函数()()(),0y f x x D f x =∈=使 成立的_实数x _叫做函数()()y f x x D =∈的零点 . 2.二分法定义：对于区间

[],a b 上连续，

且()()0f a f b <

的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解. 3．解函数应用题，一般可按以下四步进行． (1)阅读理解，认真审题． (2)引进数学符号，建立数学模型．

(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．

(4)转译成具体问题做出回答．

必修二

（一）多面体和旋转体

1．多面体和旋转体的概念

（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．

（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．

（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．

（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．

（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.

（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．

2．多面体和旋转体的面积和体积公式 （1）圆柱的侧面积：S=2πrl ； （2）圆锥的侧面积：S=πrl ； （3）圆台的侧面积：S =π（r+ r ′）l ； （4）球的表面积：2

4πV R =； （5）柱体的体积：V=Sh ；

（6）锥体的体积：1

3

V Sh =；

（7

）台体的体积：1()3

V S S h '=； （8）球的体积：24π3

V R =.

（二）画法

1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．

2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．

在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．

3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图；

光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图；

光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图；

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．

一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．

一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．

4．斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．

（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段．

（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．

（三）点线面位置关系

1．四个公理

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

用

符

号

表

示

为

：

A l

B l A B l ααα∈∈∈∈??，，且，；

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

用符号表示为：P P l αβαβ∈∈?= ，且； 公理4 平行于一条直线的两条直线互相平行；

用符号表示为：m l n l m n ?∥，且∥∥； 2．异面直线

（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

（2）空间两条直线的位置关系：

????

???

? 直

　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 直

　线：同一平面内，没有公共点； 直

　线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线

a '∥a ，

b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫

做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．

（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点； （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行——没有公共点；

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 4．平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线．

（四）平行问题

1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平面，记作l ∥α；

2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；

用符号表示：a b a b a αβα???，，且∥∥． 2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；

用符号表示：a a b a b αβαβ?=? ∥，，∥． 3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

用

符

号

表

示

：

a b a b P ββααβα

??=?

，，，∥，∥∥． 几个结论：

①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；

4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；

且

符

号

表

示

：

a b αβαγβ

γ

==? ∥，，∥． 5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面

的两条直线平行．

用符号表示：a b a b αα⊥⊥?，∥．

（五）垂直问题

1．定义：如果直线l 和平面α内的所有直线都垂直，

那么直线l 和平面α垂直，记作l ⊥α． 直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足． 2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平

面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

用符号表示： l a b a b A a αααα⊥??=?⊥ ，，，且．

3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

用符号表示：a b a b αα⊥⊥?，∥．

4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；

用符号表示：a a αβαβ?⊥?⊥，．

5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

用符号表示：

l a a l a αβαβαβ⊥=?⊥?⊥ ，，，．

几个结论：

①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；

②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

（六）角问题

1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．

两异面直线所成角范围02π?? ??

?，．

2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，

叫做这条直线和这个平面所成的角．

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．

直线和平面所成角范围02

π??

???

?

，． 3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二

面角的面．

在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．

二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．

二面角范围[0]π，．

（七）直线的概念与方程

1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴为基准, x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴平行或重合时,

它的倾斜角为

.直线的倾斜角的取值范围是

[)

180,0.

2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为α

tan =k

.当k=0时,直线平行于x

轴或者与x 轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为

90的直线没有斜率. 3、两点斜率公式 ：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),

当

1x =2x 时,直线的斜率不存在,当1x ≠2x 时,直线的斜

率为1

21

2x x y y k --=.

4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程

)(00x x k y y -=-称为直线方程的点

斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为0x x

=.

5、直线方程的斜截式：直线方程b kx y +=由直线的斜

率k 和它在

y 轴上的截距

b 确定,所以方程

b

kx y +=被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.

6、直线方程的两点式：已知经过两点

),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程

为

1

21

121x x x x y y y y --=

--称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0. 7、直线方程的截距式直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则直线方程

1=+b

y

a x 称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点.

8、直线方程的一般式：二元一次方程0Ax By C ++=（

,A B 不同时为

0）为表示的直线方程称为直线方程的

一般形式.当0≠B

时,可变形为B

C x B

A y --=,它表示

一条斜率为B A -

且在y 轴上截距为C B

-的直线; （八）直线的关系和距离

1、直线平行的条件： 两条不重合的直线21l l 、， 根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=?l ,再

由k 与α的关系可知:21//l l 时21k k =或者21k k 、均

不存在；反之21

k k =或者21k k 、均不存在时两条直线

平行。考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。 2、直线垂直的条件：两条直线21l l 、的倾斜角为21,αα则两条直线21

l l ⊥ 90||21=-?αα .根据两条直

线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为-1. 3、直线0:1111

=++C y B x A l ,直线

0:2222=++C y B x A l ,重合的条件是:

01221=-B A B A 且01221=-C A C A ;平行的条件

是

1221=-B A B A 且

1221≠-C A C A 或

01221≠-C B C B ，

垂直的条件是:

01221=+B B A A .

4、两条直线交点的求法：直线0:1111

=++C y B x A l ,

直线0:2221

=++C y B x A l .两条直线相交的条件是

1221≠-B A B A ，直线的交点的坐标为方程组

??

?=++=++00

222

111C y B x A C y B x A 的解. 5、两点间的距离公式：平面内任意两点 A ),(11y x ,B ),(22y x 之间的距离为 |AB|=2

21221)()(y y x x -+-,当

2

1x x =时

|AB|=||

21y y -;当21y y =时|AB|=||21x x -.

6、点到直线的距离公式 ：平面内任意一点P ),(00y x 到任意一条直线

:=++C By Ax l 的距离为

d =

特别的,

当B=0时||0A C x d +=,当A=0时||0B

C

y d +=. 7、两平行线的距离：直线0:1111

=++C y B x A l 与

0:2112=++C y B x A l 平行,则2

1

2

121||B A C C d +-=.

（九）圆的方程

1.圆的标准方程的意义

当圆心位置和半径的大小确定后,圆就唯一确定了，

根据圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）

，半径r(r>0），所以判断点与圆的位置关系，只需判断点到圆心的距离与半径的大小关系即可。 2.圆的一般方程方程:

x 2+y 2+D x +E y +F=0(D 2+E 2-4F>0)

则可变形为

4

4)2()2(2222F

E D

F y D x -+=

+++，

只有当F E D

422

-+＞0时，才表示圆，

圆心??? ?

?--2,2E D ，半径

4

422F

E D r -+=

,

当D 2

+E 2

-4F ＝0时，表示点??

?

??--

2,2E D ，

若D 2

+E 2-4F <0，不表示任何图形。

（十）直线和圆圆和圆位置关系

1.点和圆的位置关系

①点到圆心距离等于半径，点在圆上； ②点到圆心的距离小于半径，点在圆内； ③点到圆心的距离大于半径，点在圆外. 2.直线与圆有三种位置关系 ①直线与圆相交，有两个公共点； ②直线与圆相切，只有一个公共点； ③直线与圆相离，没有公共点；

3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种

①设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，若d ＜r ，直线与圆相交；若r d =，直线与圆相切；若d ＞r ，

直线与圆相离。

②直线与圆的方程组成方程组，若方程组有两个解，则直线与圆相交；若只有一个解，则直线与圆相切；若无解，则直线与圆相离.

4. 判断圆与圆的位置关系有两种方法，一是代数法，两圆的方程组成的方程组若有两解，则两圆相交；若有一解，则两圆相切，但不能判断是内切还是外切；若无解则两圆相离，但不能判断是外离还是内含。二是设两圆的半径分

别为21,r r ，两圆的圆心距为d ，则21r r d +>时，两

圆外离；

2

1r r d +=时，两圆外切；

2121r r d r r +<<-时，两圆相交；2

1r r d -=时，

两圆内切；2

1r r d

-<时，两圆内含.

必修三

（一）算法

1.算法通常是指用 计算机 来解决的某一类问题的 程序或步骤 ，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2.程序框图又称 流程图 ，是一种用规定的 图形 、 指向线 及 文字说明 来准确、直观地表示算

法的图形．几种常用的图形符号的名称及作用如下：

3.算法的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和循环结构.

4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的输入和输出功能．其一般格式为：

输入语句：(BASIC) INPUT "提示信息"；变量

(Scilab) x=input("提示信息")

输出语句：(BASIC) PRINT "提示信息"；表达式

(Scilab) print(%io(2),表达式) 或表达式

5.赋值语句的功能是给变量赋初值或计算，其一般格式是：变量=表达式。

6

且作用相同，如A和a是同一个变量。SCILAB中的关键字必须全部小写，变量名中的字母大小写均可，但不相同，如A和a是两个不同的变量。

8.更相减损术：求两个自然数m，n的最大公约数的算法。将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的数比较，再重复以上过程，直到两个数相等时为止，这时这两个相等的数就是m，n的最大公约数。

9.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法。方法是将多项式通过加括号变形，如

32

()456((4)5)6

f x x x x x x x

=-+-=-+-这样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次计算都是相同的过程——将上次的结果乘以x再加下一个系数，这样很容易用计算机来实现。注意计算时若有系数为0的项要补上该项的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样． (2)抽取数量的计算：各层抽取的数量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有300，200，400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300∶200∶400，即3∶2∶4.(3)适用范围：总体容量

N较大，且个体差异明显(有明显的层次).

二、用样本估计总体

1.用样本频率分布估计总体频率分布

(1)频率分布直方图的做法 ①求极差：即最大数与最小数的差；②决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般有规定)；③数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布表；④画频率分布直方图：图中纵轴表示频率/组距，各小矩形的面积=频率.

(2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便。

2.用样本的数字特征估计总体

(1)众数：出现次数最多的数.若用频率分布直方图来估计众数，则可用最高矩形的横坐标的中点表示.众数可能不只一个.中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数.若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数.平均数：

12n

x,x,,x

的平均数为:12n

x x x

x.

n

++

=

(2)标准差：

12n

x,x,,x

的标准差为

s=

标准差的平方叫方差，用2s表示.标准差(或方差)越小，说明数据波动越小，越稳定；标准差越大说明数据越分散，越不稳定.

三、变量间的相关关系

线性相关与最小二乘法回归直线

^

y bx a

=+：()x,y叫做回归中心，回归直线必定经过回归中心. （三）概率

一、随机事件的概率

1.概率的相关概念

(1)事件；(2)频数与频率；(3)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率()

n

f A稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.(4)事件的关系与运算:①对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B 包含事件(或称事件A包含于事件B)，记作B?A(或A?B). ②若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B 相等，记作A=B.③若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件或(和事件)，记作A∪B(或A＋B)．④若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B 的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB).⑤若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A 与事件B在任何一次试验中不会同时发生.⑥若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．

2.概率的性质:

(1)0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

(3)若A，B互斥，则有P(A∪B)=P(A)+P(B).

(4)若A，B对立，则P(B)=1-P(A).

注：概率为1的不一定是必然事件，概率为0的不一定是不可能事件.

二、古典概型

1.基本事件：

①任何两个基本事件都是互斥的；②任何一个事件都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型：

满足以下两个条件的概率模型：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．

3.古典概型概率公式：

P(A)=

包含的基本事件的个数基本事件的总数

A

三、几何概型

1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2.几何概型概率计算：

P(A)=

构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

必修四

（一）角的概念

1.任意角

(1)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合

S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.

(2)终边在坐标轴上的角：k·360°，90°+k·360°，180°+k·360°，

270°+k·360°的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、x 轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，

起着非常重要的作用.

2.弧度制

(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是|α|=

l

r

.

其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.

注意：弧长公式：l=|α|r. 扇形面积公式：Ｓ=

1

2

lR=2

1

2

R

α.

(3)换算:360°=2π, 180°=π

1°=

180

π

rad≈0.01745rad 1rad=

180

()

π°≈57.30°

(4)一些特殊角的弧度数及函数值

度:0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,270°,360°.

弧度：0，

6

π

，

4

π

，

3

π

，

2

π

，

2

3

π

，

3

4

π

，

5

6

π

，π，3

2

π

，2π.

要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.

3.三角函数的定义

（1）初中直角三角形中的定义；（2）单位圆定义：

（3）坐标法定义：设α是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点(,)

P x y

，令r=，则sin

y

r

α=，cos

x

r

α=，tan(0)

y

x

x

α=≠

4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦．

注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值．

5.三角函数线：设任意角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M.过点(1,0)

A作单位圆的切线，设它与α的终边或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T，则有：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT.

（二）诱导公式及同角关系式

1.同角三角函数的基本关系式：

平方关系：22

sin cos1

αα

+=

商数关系：

sin

tan

cos

α

α

α

=.

2.诱导公式：

三角函数的诱导公式综合：,

2

k

α

±∈Z，

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.

（三）三角函数性质

1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在[0,2]π上图象

的形状时，起关键作用的五个点是

(0,0),(,1),

2

π

(,0),

π

3

(,1),(2,0)

2

π

π

-，余弦的是(0,1),(,0),

2

π

(,1),

π-

3

(,0),(2,1)

2

π

π.

2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是

(,1),(0,0),(,1)

44

ππ

--，两线是,

22

x x

ππ

=-=.

3.三角函数的图象和性质：

4.三角函数的奇偶性

函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数

奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.

5.五点法作函数)

sin(?

ω+

=x

A

y的图象

分别令x

ω?

+取

3

0,,,,2

22

ππ

ππ，求出相应的x

值与y值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一

个周期的图象，通过左右平移，就得到

)

sin(?

ω+

=x

A

y在R上的图象.

6.,,

Aω?的物理意义：

A叫振幅，决定图象最高（低）点的位置；x

ω?

+叫

相位，?叫初相，影响图象的零值点；ω影响其周期，

2

T

π

ω

=.通常情况下0,0

Aω

>>，?可正可负，也

可为0.

7.由sin

y x

=的图象可有两条途径得到

)

sin(?

ω+

=x

A

y的图象：

①先相位变换，再周期和振幅变换；

②先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

余弦、正切公式(如上知识结构).

2.辅助角公式：

sin cos)

y a x b x x?

=+=+，

其中cos?=sin?=.

3.注意拼角、拆角的技巧：

如()

ααββ

=+-，

22

αβαβ

β

+-

=-，

22

αβαβ

α

+-

=+，()()

222

αββα

αβ

-

=+-+，

2()()

ααβαβ

=++-，

3

α

是

2

3

α的半角，

2

α是

4

α的二倍角等.

4.注意公式的“三用”：正用，逆用，变形用.

sin()cos cos()sin

αββαββ

+-+

sin[()]sin

αββα

=+-=

tan tan tan()(1tan tan)

αβαβαβ

+=+-等

（五）平面向量的概念

1.向量的基本概念

（1）既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)向量AB

的大小，也就是向量AB

的长度（或称模），

记作AB

，a

的模为a

.

(3)长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单

位的向量，叫做单位向量．

（4）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共

线向量．

规定：零向量与任一向量平行．长度相等且方向相同

的向量叫做相等向量．

2.平面向量的线性运算

(1)加法：①定义：已知非零向量a、ｂ，在平面内任取

一点Ａ，作AB

＝ａ，BC

＝ｂ，则向量AC

叫做ａ与

ｂ的和，记作ａ＋ｂ．

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．上述方法称

为向量加法的三角形法则． ②平行四边形法则：以同一点Ｏ为起点的两个已知向量ａ、ｂ为邻边作

ＯＡＣＢ，则对角线ＯＣ就是ａ与ｂ的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

③对于零向量与任一向量ａ，规定：ａ＋０＝０＋ａ＝ａ．

④性质 ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ； （ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）

｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜

(2)减法

①与ａ长度相等，方向相反的向量，叫做ａ的相反向量，记作－ａ．零向量的相反向量仍是零向量．

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即ａ＋（－ａ）＝（－ａ）＋ａ＝０．

③定义:ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

④已知ａ,ｂ,在平面内任取一点Ｏ，作OA ＝ａ,OB

＝ｂ,则BA

＝ａ－ｂ,即ａ－ｂ可以表示为从向量ｂ的终

点指向向量ａ的终点的向量，这是向量减法的几何意义． (3)数乘：①定义：规定实数λ与向量ａ的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λａ，它的长度与方向规定如下：

1°｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜； 2°当λ＞０时，λａ的方向与ａ的方向相同；当λ＜０时，λａ的方向与ａ的方向相反． ②运算律：设λ、μ为实数，那么

1° λ（μａ）＝（λμ）ａ； 2° （λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ； 3° λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ．

③向量共线条件:ａ,ｂ共线（ａ≠０）?有且只有一个实数λ，使ｂ＝λａ．

(4)线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量ａ,ｂ，以及任意实数1λ,1μ,2μ，恒有1(λμａ2μ±ｂ）=1λμａ2λμ±ｂ.

（六）平面向量基本定理及表示

1.平面向量基本定理

如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量ａ，有且只有一对实数λ１、λ２，使

ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２．

称不共线的向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

已知两个非零向量ａ和ｂ，作OA ＝ａ，OB

＝ｂ，

则∠A0B ＝θ（０°≤θ≤180°）叫做向量ａ与ｂ的夹角．如果ａ与ｂ的夹角是90°，则称ａ与ｂ垂直，记作ａ⊥ｂ． 2.向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标

设ｉ，ｊ是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量ａ，有且只有一对实数x ，y ，使得ａ＝x ｉ＋y ｊ，有序数对（x ，y ）叫做向量ａ的坐标，记作ａ＝（x ，y ）．

(2)平面向量的坐标运算 ①设ａ＝（x １，y １），ｂ＝（x ２，y ２），则有

ａ＋ｂ＝（x １＋x ２，y １＋y ２） ａ－ｂ＝（x １－x ２，y １－y ２） λａ＝（λx １，λy １） ②设Ａ（x １，y １），Ｂ（x ２，y ２），则有

AB

＝（x

２

－x １，y ２－y １）

③向量共线的坐标表示

设ａ＝（x １，y １），ｂ＝（x ２，y ２），则有 ａ，ｂ共线? x １y ２－x ２y １＝０． ④中点公式

设P 1（x １，y １），P 2（x ２，y ２），Ｐ为P 1P 2中点， 则对任一点Ｏ，有

121212

1()(,)222

x x y y OP OP OP ++=+= ∴点P 的坐标是1212

(,)22

x x y y ++. ⑤定比分点坐标公式：设P 1（x １，y １），P 2（x ２，y ２），

当12PP PP λ=

时，点

P 的坐标是 1212

(

,)11x x y y λλλλ

++++.

重心坐标公式：123123,3

.3x x x x y y y y ++?=???++?=??

（七）平面向量数量积

1.定义：已知两个非零向量ａ，ｂ，我们把数量

cos a b θ叫做ａ与ｂ的数量积（或内积）． cos a θ (cos b θ)叫做ａ在ｂ方向上（ｂ在ａ方向上）的投影. 2.ａ·ｂ的几何意义：

数量积ａ·ｂ等于ａ的长度｜ａ｜与ｂ在ａ方向上的投影｜ｂ｜cos θ的乘积.

3.数量积的运算律：已知向量ａ，ｂ和实数λ，则： ①ａ·ｂ＝ｂ·ａ

②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） ③（ａ＋ｂ）·ｃ＝ａ·ｂ＋ａ·ｃ 4.坐标表示：

设ａ＝（x １，y １），ｂ＝（x ２，y ２），则 ａ·ｂ＝x １x ２＋y １y ２． 5.模长公式：设ａ＝（x ，y ），则

｜ａ

．

6.垂直条件：设ａ，ｂ为非零向量，则

ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝０? x １x ２＋y １y ２＝０． 7.夹角公式：

设ａ＝（x １，y １），ｂ＝（x ２，y ２），夹角为θ， 则

cos a b

a b

θ?==

必修五

（一） 三角形中的定理

1.正弦定理：2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 为

三角形外接圆半径.

正弦定理的作用：⑴已知三角形的任意两个角与一边，求其另一角和其他两边；⑵已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求这个三角形的其他边和角.

正弦定理的变形：

①2sin a R A =，2sin ,2sin b R B c R C ==；

②sin

2a A R =

，sin ,sin 22b c

B C R R

==；

③::a b c =sin :sin :sin A B C .

2.余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-，

2222cos ,b c a ca B =+-

2222cos .c a b ab C =+-

余弦定理的作用：⑴已知一个三角形的三边，求这个三角形的三个角；⑵已知一个三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；⑶已知两边及一边的对角，求第三边.⑷判断三角形的形状. 余弦定理的变形：

①cos A =222

2b c a bc

+-等；

②222

a b c +-=2cos ab C 等.

3.三角形面积公式：

1sin 2S ab C ?=

=11

sin sin 22

ac B bc A =. 4. 在已知两边a,b 及角A 解三角形时，需要讨论.

(1)若Ａ≥90°，则有

①a>b 时有一解； ②a≤b 时无解.

（2）若Ａ＜９０°时，则有

①若a ＜bsinA ，则无解； ②若a ＝bsinA ，则有一解； ③若bsinA ＜a ＜b ，则有两解； ④若a≥b ，则有一解.

（二） 数列的概念

1．数列的概念与简单表示法

（1）从定义角度看：按一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.

（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N *

它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.

2．数列的表示 （1）列表法；

（2）图象法：注意图象是离散点，而不是曲线； （3）通项公式：若数列｛a n ｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子表达，那么这个公式叫做数列的通项公式.

（4）递推公式：如果已知数列｛a n ｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

3．数列的分类

（1）按数列项数的多少可以分为有穷数列和无穷数列。

（2）按数列中相邻两项的大小可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.

4．数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系

对任一数列有a n =???≥-=-2,1

,11n S S n S n n

5．根据数列的通项公式判定数列的单调性

（1）已知a n =f(n),若f(x)的单调性可以确定，则｛a n ｝的单调性可以确定；

（2）比较法：①作差比较法n ∈N *,a n+1-a n >0?｛a n ｝为递增数列；a n+1-a n =0?｛a n ｝为常数列；a n+1-a n <0?｛a n ｝为递减数列.②对各项同号的数列，可用作商比较法.

（三）等差数列

1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。若数列｛a n ｝为等差数列，则有a n -a n-1=d (其中n≥2，n ∈N *).

2.等差中项：由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。在等差数列｛a n ｝中，从第二项起，每一项是它的前一项与后一项的等差中项.

3.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，其中a 1为首项，d 为公差.

当d >0时，数列｛a n ｝为递增数列；当d <0时，数列｛a n ｝为递减数列；当d =0时，数列｛a n ｝为常数列.

4.等差数列的前n 项和公式：2

)

(1n n

a a n S +=

；

d n n na S n 2

)

1(1-+

=. 5.等差数列的性质：

（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m =(n -m )d ；

（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中

m,n,p,q ∈N )，则a m +a n =a p +a q ；若m+n=2p ，则a m +a n =2a p ，也称a p 为a m ，a n 的等差中项.

6. 若｛a n ｝与｛b n ｝均为等差数列，且前n 项和分别

为S n ,T n ,则

1

21

2--=

n n n n T S b a

（四）等比数列

1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q≠0）.若数列｛a n ｝为等比数列，

则有q a a n n

=-1

(n≥2, n ∈N *,q≠0).

2.等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ,b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.

3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其通项公式为a n =a 1q n-1.

4.等比数列的前n 项和公式：若等比数列的首项为a 1,

公比为q ，则其前n 项和??

?

??≠--==)1(,1)1()

1(,11q q

q a q na S n n .

5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则有：

（1）a n =a m q

n-m

；

（2）m+n=s+t(其中m,n,s,t ∈N *)，则a m a n =a s a t ；若m+n=2k ，则a k 2=a n a m .

（五）求和方法

1.公式法: ①2

)(1n n

a a n S +=

=d n n na 2)

1(1-+

(等差数列);

②???

??≠--==1,1)1(1

,11q q

q a q na S n n (等比数列)

③12

+22

+32

+…+n 2

=

6

)

2)(1(++n n n

2.倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列

相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n 项公式的推导所用方法).

3.错位相减法:若｛a n ｝是等差数列,｛b n ｝是等比数列,

求数列｛a n b n ｝的前n 项时,可在等式两边同乘以数列｛b n ｝的公比,再与原式相减,从而求和的方法(等比数列前n 项和

公式的推导方法).

4.裂项相消法:若｛a n ｝是等差数列,求数列?

??

??

?-n n a a 1λ的前n 项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也适合于其它裂项后易于求和的数列.

5.分组求和:对于既非等差有非等比数列的一类数列,

若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差、等比或常数列,然后求和.

6.并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可用这种方法.

（五）不等式的性质

1.实数的运算性质与大小顺序关系是比较大小的依据,也是作差法的依据.

(1) a>b ?a-b>0; (2) a=b ?a-b=0;(3)ab,b>c ?a>c; (2)a>b ?a+c>b+c;(3)a>b,c>0?ac>bc;(4)a>b,c<0?ac

推论:(1) a>c,c>d ?a+c>b+d; (2) a>b>0,c>d>0?ac>bd; (3)a>b>0.,2,,n n n n

b a b a n N n >>?≥∈

经常用“不等式取倒数”的性质:

b

a a

b b a 1

10,

>> （六）一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.

2.一元二次不等式(a>0)的解集如下表:

3.一元二次不等式恒成立的条件:

(1)

20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是

00

a >??

?

20(0)

ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是

a

?

表示直线某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线,

以表示不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界,把边

界画成实线.

对于直线A x+B y+c=0同一侧所有点,把它的坐标(x,y)代入

A x+

B y+c所得值符号都相同,因此只需在直线A x+B y+c=0

的某一侧取一个特殊点

00

(,)

x y作为测试点,由

00

Ax By c

++的符号就可以断定不等式解集表示的是

直线哪一侧的平面区域.当0

c≠时,通常取原点(0,0)作为

测试点.

4.简单线性规划

(1)由二元一次不等式组成的一组约束条件称为线性约束

条件.要求最值的函数z=a x+b y+c称为目标函数,由于

z=a x+b y+c是关于x、y的一次解析式,所以又称为线性目标

函数.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小

值问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)

叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域,其中,使

目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的

最优解.

(2)最优解一般落在可行域的顶点或边界上,具体求解方法

是:设目标函数为z=a x+b y+c,先画出直线a x+b y=0作为参考

直线,然后向上或向下平移参考直线,使其与可行域的有公

共点且达到最上或最下的位置,此时取得最大值或最小值.

当b>0时最上方的为最大值,最下方的为最小值;当b<0时

则相反.

（八）基本不等式

1.基本不等式

(1)222(,)

a b ab a b R

+≥∈.

(2)

2

a b

+

≤(0,0)

a b

>>,其中

2

a b

+

和

分别叫做正数a,b的算数平均数和几何平均数.

变式:(3)(,)

2

a b

ab a b R

+

≤∈

(4)2

()(,)

2

a b

ab a b R

+

≤∈

以上各不等式当且仅当a=b时取等号.

2.最值问题

设,x y都为正数,则有(1)若x y s

+=(和为定值),则当

x y

=时,积xy取得最大值

2

4

s

;(2)若xy p

=(积为定

值),则当x y

=时,和x y

+

利用基本不等式求最值应注意:①x,y一定要都是正数;

②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小

值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.

以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求

最值时,一定要检验等号是否能取到,若取到等号,则解法是

合理的,若取不到,则必须改用其他方法. 常用到的一个不

等式:若0,0

a b

>>,则有

2

2

ab a b

a b

+

≤≤

+

.(当且仅当“a=b”

取等号)