圆与方程试题及答案
圆与方程
[基础训练A 组]
一、选择题
１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A ．22(2)5x y -+=
B ．22(2)5x y +-=
C ．22(2)(2)5x y +++=
D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）
A. 03=--y x
B. 032=-+y x
C. 01=-+y x
D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．2
21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实
数λ的值为（ ）
A ．37-或
B ．2-或8
C ．0或10
D ．1或11
5．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x
二、填空题
1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.
2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹
方程为 。
3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),
(0,2
A B --,则圆C 的方程为 .
４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。
5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆01222
2=+--+y x y x 的切线，,A B 是
切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。
三、解答题
1．点(),P a b 在直线01=++y x 上，求22222+--+b a b a 的最小值。
2．求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。
3．求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。
4．已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为7
2，
求圆C 的方程。
[综合训练B 组]
一、选择题
1．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ）
A ．1-或3
B ．1或3
C ．2-或6
D ．0或4
2．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则?EOF （O 是原点）的面积为（ ）
Ａ．23 Ｂ．4
3 Ｃ．52 Ｄ．556 3．直线l 过点）
，（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( ) A ．），（2222- B ．），（22-
C ．），（4242-
D ．），（8
181- 4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程
为（ ）
A ．03222=--+x y x
B ．0422=++x y x
C ．03222=-++x y x
D ．0422=-+x y x
5．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k
的取值范围是（ ） A. 50< ６．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ） A ．1± B ．21± C ．33± D ．3± 二、填空题 1．直线20x y +=被曲线22 62150x y x y +---=所截得的弦长等于 2．圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的外有一点00(,)P x y ，由点P 向圆引切线的长______ 2． 对于任意实数k ，直线(32)20k x k y +--=与圆22 2220x y x y +---=的位置关系是 _________ 4．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 . ５．P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为_______. 三、解答题 １．求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程。 ２．求直线012=--y x 被圆01222=--+y y x 所截得的弦长。 ３．已知实数y x ,满足122=+y x ，求 1 2++x y 的取值范围。 ４．已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ， 求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。 [提高训练C 组] 一、选择题 1．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A. 30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+= 2． 方程1x -= ） A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．两个圆 D ．半圆 3．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =（ ） A ．2 B ．22- C ．12- D ．12+ 4．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33= 的距离是（ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．3 5．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（ ） A ．030 B ．045 C ．060 D ．090 6．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．1 7．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 二、填空题 1．若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为 2．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是___________； 若有一个交点，则b 的取值范围是________；若有两个交点，则b 的取值范围是_______； ３．把圆的参数方程???+-=+=θ θsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________． ４．已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。 ５．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么 x y 的最大值是________。 6．过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ，则直线12T T 的方程为________。 三、解答题 1．求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积。 2．设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++= y x y x y x y x d 的最小值。 3．求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上的圆的方程。 4．平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，点P 在圆周()()44322=-+-y x 上，求使22BP AP +取最小值时点P 的坐标。 [基础训练A 组] 一、选择题 1.A (,)x y 关于原点(0,0)P 得(,)x y --，则得22(2)()5x y -++-= 2.A 设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=- 3.B 圆心为max (1,1),1,1C r d == 4.A 直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位得220x y λ-++= 圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2),3,7C r d λλ-====-=或 5.B 两圆相交，外公切线有两条 6.D 2224x y -+=（）的在点)3,1(P 处的切线方程为(12)(2)4x --+= 二、填空题 1.1 点(1,0)P -在圆032422=+-++y x y x 上，即切线为10x y -+= 2.224x y += 2OP = 3. 22(2)(3)5x y -++= 圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在 270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r = 4.5 设切线为OT ，则25OP OQ OT ?== 5. 当CP 垂直于已知直线时，四边形PACB 的面积最小 三、解答题 1.(1,1)到直线01=++y x 的距离 而 2d ==min 2=。 2.解：(1)(5)(2)(6)0x x y y +-+-+= 得22 44170x y x y +-+-= 3.解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则 222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=，而r =2 2 (13)(1)16,3,5a a a r --+=== 22(3)(6)20x y ∴-+-=。 4.解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t = ，令d == 而22222,927,1r d t t t =--==± 22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++= [综合训练B 组] 一、选择题 1.D 22,4,0d a a a ==-===或 2.D 弦长为4 ，142S =?= 3.C tan 4α== ，相切时的斜率为4± 4.D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45 a a a a x y +>==-+= 5.A 圆与y 轴的正半轴交于k << 6.D 得三角形的三边060的角 二、填空题 1.22(3)(1)25x y -+-= ，d r === 3.相切或相交 2≤=； 另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上 4.210,(1)x y x --=≠ 圆心为(21,),,(0)m m r m m +=≠， 令21,x m y m =+= 5.1 10115 d r -= -= 三、解答题 1.解：显然2x =为所求切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-= 而32,,341004k x y ==-+= 2x ∴=或34100x y -+=为所求。 2.解：圆心为(0,1)，则圆心到直线012=--y x 得弦长的一半为5 ，即弦长为5 。 3.解：令(2),(1) y k x --=--则k 可看作圆122=+y x 上的动点到点(1,2)--的连线的斜率 而相切时的斜率为 34，2314y x +∴≥+。 4.解：（1）2210100,x y x y +--=①；2262400x y x y ++--=②； ②-①得：250x y +-=为公共弦所在直线的方程； （2 = ，公共弦长为。 [提高训练C 组] 一、选择题 1.C 由平面几何知识知AB 的垂直平分线就是连心线 2.B 对x 分类讨论得两种情况 3.C 1,1d a === 4.A 12 d == 5.C 直线的倾斜角为0120，得等边三角形 6.B 514d r -=-= 7.B 43543-<<+ 二、填空题 1.(0,0,3) 设(0,0,),,P z PA PB =则2214(1)44(2),3z z z ++-=++-= 2.[-；[){}1,12- ；?? 曲线21x y -=代表半圆 3.22(1)(3)4x y -++= 4.30x y -+= 当AB CP ⊥时，AB 最小，1,1,21CP l k k y x =-=-=+ 设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x ==-+=+-+=， 2164(1)0,k k ?=-+≥≤≤ 另可考虑斜率的几何意义来做 6．220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为11(2)(2)4x x y y +--= 2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --= 24(2)4,220x y x y ∴--=-+= 三、解答题 1. 解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222 x y -+-=，表示的图形占整个图形的14 而22111()()222 x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=??+??=+ 2. 解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d =(3,5)A -和(2,15)B 到直线10,x y -+=上的点的距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+= 对称的点'(4,2)A -，则'min d A B == 3.解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上， 即4,23 x y x =??=-?得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-= 4.解：在ΔABP 中有22221(4)2AP BP OP AB += +，即当OP 最小时，22BP AP +取最小值，而min 523OP =-=，394129123,3,(,)555555x y P P P =?==?= 习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题． 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;? 第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程 （1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当042 2 >-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ? --2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离 为2 2B A C Bb Aa d +++= ，则有相离与C l r d ?>； 相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 必修2 第四章 圆与方程 176.(P 122例5)线段AB ,(4,3)B ,A 在圆22 :(1)4C x y ++=上运动,求AB 中点M 的 轨迹方程(用两种方法). 177.(P 124A 组5)直径的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ,求证: 此圆方程为:1212()()()()0x x x x y y y y --+--=,(此结论的应用:例133页B 组5). 178.(P 124B 组1)等腰ABC ?顶点(42)A ， ,底边一端点(35)B ，,求顶点C 的轨迹方程. 179.(P 132 练习 4)如图,等边ABC ?,,D E 为其三等分点 1||||3BD BC =,1 ||||3 CE CA =, AD BE P =.求证:AP CP ⊥. 180.(P 132A 组4)求圆心在直线:40l x y --=上,并且经过圆221:640 C x y x ++-=与圆22 2:6280C x y x ++-=的交点的圆的方程. A B C E P 181.(P 132A 组6)求圆心在直线130l x y -=； 上,与x 轴相切,且被直线2:0l x y -=截得 的弦长为. 182.(P 133A 组7)求与圆22 120C x y x y +-+=：关于:10l x y -+=对称的圆的方程. 183.(P 133A 组10)求经过点(2,2)M 以及圆221:60C x y x +-=与圆222:4C x y +=交点的圆的方程. 184.(P 133A 组11)求经过(3,1)M -且与圆22 :2650C x y x y ++-+=相切于(1,2)N 的圆的方程. 185.(P 133B 组2)已知(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----,点P 在圆22 4x y +=上运动, 求222 ||||||PA PB PC ++的最大值和最小值. 186.(P 133B 组3)已知圆224x y +=,直线:l y x b =+,当b 为何值时,圆22 4x y +=上 （数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 必修2第四章《圆与方程》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别 座号 姓名 成绩 一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为 （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ） (A) 11<<-a (B) 10<-所表示的曲线关于直线y x =对称，必有 （ ） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 8. 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC 的形状是（ ） (A) 直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）斜三角形 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．两圆x 2+y 2－4x+6y=0和x 2+y 2 －6x=0的连心线方程为 （ ） A ．x+y+3=0 B ．2x －y －5=0 第四章 圆方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2 （1 点00(,)M x y 与圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=的位置关系： 当22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当22 00()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ?--2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为 相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22 2222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 第四章圆与方程 4.1 圆得方程 4.1、1 圆得标准方程 1.以(3,－1)为圆心,4为半径得圆得方程为() A.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 B.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－3)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝16 2.一圆得标准方程为x2＋(y＋1)2＝8,则此圆得圆心与半径分别为() A.(1,0),4 B.(－1,0),2 2 C.(0,1),4 D.(0,－1),2 2 3.圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2得圆心为________,半径为________. 4.若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上,则a得值就是________. 5.以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切得圆得方程就是____________________. 6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)得圆得方程为() A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 7.一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1),圆心在直线x－3y－10＝0上,求此圆得方程. 8.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1得内部,则a得取值范围就是() A.|a|＜1 B.a＜1 13 C.|a|＜1 5 D.|a|＜1 13 9.圆(x－1)2＋y2＝25上得点到点A(5,5)得最大距离就是__________. 10.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A,B两点,且弦AB得长为 2 3,求a得值. 4、1、2 圆得一般方程 1.圆x2＋y2－6x＝0得圆心坐标就是________. 2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2,－4)为圆心,以4为半径得圆,则F＝________、 3.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则k得取值范围就是() A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 4.已知圆得方程就是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0,则下列直线中通过圆心得就是() A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y＝0 C.3x－2y＝0 D.3x－2y＋1＝0 5.圆x2＋y2－6x＋4y＝0得周长就是________. 6.点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0得内部,则a得取值范围就是() 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d 标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F 第四章单元测试题 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．外切D．内切 2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1 D．－1 4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( ) A．x＋6y－10＝0 x－2y＋10＝0 C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0 5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( ) A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1) C．(3，－3，－1) D．(3,3,1) 6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( ) A．5 C．10 7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( ) 或－ 3 和－2 8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 《直线与圆的方程》练习题1 一、 选择题 1.方程x 2+y 2 +2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ） （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<- 8.一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22 :(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 （ A ） A ．4 B ．5 C ．321- D ．26 9．直线0323=-+y x 截圆x 2 +y 2 =4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π 10.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 ( ) A.AB B.BC C.CD D.DA [答案] D [解析] 首先若点M 是Ω中位于直线AC 右侧的点，则过M ，作与BD 平行的直线交ADC 于一点N ，则N 优于M ，从而点Q 必不在直线AC 右侧半圆内；其次，设E 为直线AC 左侧或直线AC 上任一点，过E 作与AC 平行的直线交AD 于F .则F 优于E ，从而在AC 左侧半圆内及AC 上(A 除外)的所有点都不可能为Q ，故Q 点只能在DA 上． 二、填空题 11.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 (13,13)- ． 12.圆：0642 2 =+-+y x y x 和圆：062 2=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的 方程是 390x y --= 13.已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标是 （2,5） 14.过点A (－2,0)的直线交圆x 2＋y 2 ＝1交于P 、Q 两点，则AP →·AQ →的值为________． [答案] 3 [解析] 设PQ 的中点为M ，|OM |＝d ，则|PM |＝|QM |＝1－d 2，|AM |＝4－d 2.∴|AP →|＝4－d 2 －1－d 2，|AQ →|＝4－d 2＋1－d 2 ， 第四章综合检测题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1.下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（） B. 2个 D. 4个 x + y+ m= 0表示圆，则实数 ) 1 A. mv 厂 1 C. m> 3. 已知空间两点 P1(— 1,3,5), P2(2,4,— 3),则IPRI等于( ) A. 74 B. 3. 10 C. 14 D. 53 4.圆x2 + y2 + 2x— 4y= 0的圆心坐标和半径分别是_( ) A . (1,— 2), 5 B . (1,— 2), 5 C . (— 1,2),5 D . (— 1,2), 5 5.圆心为(1 , — 1),半径为2的圆的方程是() A . (x— 1)2 + (y+ 1)2= 2 B . (x+ 1)2 + (y — 1)2= 4 C . (x+ 1)2 + (y —1)2= 2 D . (x— 1)2 + (y+ 1)2 = 4 6.直线I: x — y= 1与圆C： x2 + y2— 4x= 0的位置关系是( ) A .相离 B.相切 A. 1个 C. 3个 2 .若方程x2+y2m的取值范围为 B. mv 0 D. m< 1 C .相交 D.无法确定 7.当点P在圆x2+ y2 = 1上变动时，它与定点 Q(3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是（） A . （x+ 3）2 + y2=4 B . (x— 3)2 + y2= 1 C. （2x— 3）2 + 4y2 = 1 D. （2x + 3）2 + 电=1 8.（2011?2012北京东城区高三期末检测）直线I过点（—4,0）,且与圆（x+ 1）2 + （y — 2）2 = 25交于A, B两点，如果|AB| = 8,那么直线I 的方程为（） A . 5x+ 12y + 20= 0 B . 5x— 12y + 20= 0 或 x+ 4 = 0 C. 5x— 12y+ 20= 0 D . 5x+ 12y+ 20= 0 或 x+ 4 = 0 9 .一束光线从点A(— 1,1)发出，并经过x轴反射，至U达圆(x— 2)2 + (y— 3)2= 1上一点的最短路程是( ) A . 4 B. 5 C. 3 2 — 1 D. 2 6 10. （2012 ?东卷）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+ 4y— 5= 0 与圆x2 + y2 = 4相交于A, B两点，则弦AB的长等于（） A . 3 3 B . 2 3 C. 3 D . 1 11.方程-.：4— x2= lg x的根的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D.无法确定 12.过点M(1,2)的直线I与圆C: (x— 2)2 + y2= 9交于A、B两点， C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程为() A . x= 1 B . y = 1 C . x— y+ 1 = 0 D . x — 2y + 3= 0 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确 答案填在题中横线上) 13.点P(3,4,5)关于原点的对称点是_______ . 14.已知△ ABC 的三个顶点为 A(1,— 2,5), B(— 1,0,1), C(3, —4,5),则边BC上的中线长为__________ . 15.已知圆 C: (x— 1)2 + (y+ 2)2=4,点 P(0,5)，则过 P 作圆 C 的切线有且只有 _______ 条. 16.与直线 x+ y — 2= 0 和曲线 x2+ y2— 12x— 12y + 54= 0 都相切 的半径最小的圆的标准方程是 ________ . 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明， 类型七：圆中的最值问题 例18：圆010442 2 =---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ： ，),(y x P 为圆O 上的动点，求2 2y x d +=的最大、最小值． (2)已知圆1)2(2 22=++y x O ： ，),(y x P 为圆上任一点．求1 2 --x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值． 分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(2 2 =-+-y x ． 可设圆的参数方程为?? ?+=+=, sin 4, cos 3θθy x （θ是参数）． 则θθθθ2 2 2 2 sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d )cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中3 4 tan = φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ． (法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离' 1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离' 1d 减去半径1． 所以6143221=++=d ． 4143222=-+=d ． 所以36max =d ．16min =d ． (2) (法1)由1)2(2 2 =++y x 得圆的参数方程：???=+-=, sin , cos 2θθy x θ是参数． 则 3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3 cos 2 sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ 1)sin(1322 ≤-=+-? φθt t 4 3 3433+≤≤-? t ． 高中数学必修二直线和圆与方程综合测试卷 姓名 分数 一.选择题(每题3分,共30分) 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．2 3 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23 - 6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 7.平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．22 8. 圆 关于原点对称的圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 9. 若为圆 的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. x y O x y O x y O x y O 22(2)5x y ++=(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．外切D．内切 2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1 D．－1 4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( ) A．x＋6y－10＝0 x－2y＋10＝0 C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0 5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( ) A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1) C．(3，－3，－1) D．(3,3,1) 6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( ) A．5 C．10 7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( ) 或－ 3 和－2 8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面高中数学-必修二-圆与方程-经典例题
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